Zobrazení zdroje stránky T-test

'''T-test''' ('''Studentův t-test''') je metodou [[matematická statistika|matematické statistiky]], která umožňuje ověřit některou z následujících hypotéz:
# zda [[normální rozdělení]], z něhož pochází určitý [[náhodný výběr]], má určitou konkrétní [[střední hodnota|střední hodnotu]], přičemž [[Rozptyl (statistika)|rozptyl]] je neznámý
# zda dvě [[normální rozdělení]] mající stejný (byť neznámý) [[Rozptyl (statistika)|rozptyl]], z nichž pocházejí dva nezávislé [[náhodný výběr|náhodné výběry]], mají stejné [[střední hodnota|střední hodnoty]] (resp. rozdíl těchto středních hodnot je roven určitému danému číslu)

V prvním případě může být náhodný výběr tvořen buď jednotlivými hodnotami (pak se jedná o ''jednovýběrový t-test''), anebo dvojicemi hodnot, u nichž se zkoumají jejich rozdíly (pak se jedná o ''párový t-test''). Ve druhém případě jde o ''dvouvýběrový t-test''.

V praxi se t-test často používá k porovnání, zda se výsledky měření na jedné skupině významně liší od výsledků měření na druhé skupině.

== Princip t-testu ==
Pokud [[náhodný výběr]] pochází z [[normální rozdělení|normálního rozdělení]], pak [[výběrový průměr]] má také [[normální rozdělení]] se stejnou [[střední hodnota|střední hodnotou]]. Rozdíl [[Výběrový průměr|výběrového průměru]] a [[střední hodnota|střední hodnoty]] normovaný pomocí skutečného [[Rozptyl (statistika)|rozptylu]] by pak měl [[normální rozdělení]] s nulovou [[střední hodnota|střední hodnotou]] a jednotkovým [[Rozptyl (statistika)|rozptylem]]. Skutečný [[Rozptyl (statistika)|rozptyl]] však není znám. Pokud je nahrazen odhadem pomocí [[výběrová charakteristika|výběrového rozptylu]], vznikne [[T rozdělení]], které s rostoucím počtem [[Stupeň volnosti|stupňů volnosti]] konverguje k [[normální rozdělení|normálnímu rozdělení]].

== Jednovýběrový t-test ==
Označme jednotlivé hodnoty náhodného výběru jako <math>x_1, x_2, ..., x_n</math>, [[výběrová charakteristika|výběrový průměr]] jako <math>\overline{X}</math> a [[výběrová charakteristika|výběrový rozptyl]] jako <math>S^2</math> (výběrové verze jsou definovány jako <math display="inline">\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{\ ...}</math>). Test testuje hypotézu, že střední hodnota [[normální rozdělení|normálního rozdělení]], z něhož výběr pochází, se rovná <math>\mu{}_0</math>.

Platí-li hypotéza, má náhodná veličina <math>T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S} \sqrt{n}</math> [[T rozdělení]] s n-1 stupni volnosti. Hypotézu zamítáme, je-li ''T'' příliš velké nebo příliš malé (výběrový průměr se příliš liší od očekávané střední hodnoty). Konkrétně se ''T'' porovná s kritickou hodnotou [[T rozdělení]] pro předem stanovenou [[hladina významnosti|hladinu významnosti]].

===Příklad jednovýběrového t-testu===
Mužové (smyšleného) kmene Orlů mají podle literatury mít průměrnou výšku 175 cm. Antropolog, který kmen navštívil, změřil výšky deseti náhodně vybraných mužů kmene. V pořadí velikosti to byli muži vysocí 153, 156, 156, 161, 166, 167, 168, 174, 175 a 181 cm. Na hladině významnosti ''α'' = 0,05 máme testovat, zda údaj v literatuře odpovídá antropologovým měřením. Předpokládáme, že výšky členů nějaké skupiny lidí jsou přibližně normálně rozdělené.

Využijeme statistický [[software R]] a zadáme následující příkazy:
 orlove <- c(153, 156, 156, 161, 166, 167, 168, 174, 175, 181)
 t.test(orlove, mu = 175)

Výstup programu je:

 	One Sample t-test
 data:  orlove
 t = -3.1834, df = 9, p-value = 0.01112
 alternative hypothesis: true mean is not equal to 175
 95 percent confidence interval:
  159.0914 172.3086
 sample estimates:
 mean of x 
     165.7

Testová statistika ''t'' tedy nabývá hodnoty -3,1834 při devíti stupních volnosti (počet stupňů volnosti je v tomto testu o jednu nižší než počet měření). Odpovídající [[p-hodnota]] je 0,01112, což je menší než 0,05, a tak můžeme nulovou hypotézu na zadané hladině významnosti zamítnout a říci, že střední hodnota výšky mužů kmene Orlů není 175 cm, ale zřejmě o něco menší: Program vypsal [[aritmetický průměr]] výšek měřené skupiny jako 165,7 cm a jeho 95% [[konfidenční interval]] přibližně 159,1 až 172,3 cm, takže skutečná střední hodnota výšek bude nejspíše někde v uvedeném intervalu.

== Párový t-test ==
Párový t-test se od jednovýběrového liší pouze v tom, že náhodný výběr poskytuje dvojice hodnot <math>(y_1,z_1), (y_2,z_2), ..., (y_n,z_n)</math>, přičemž uvnitř každé dvojice nemusí jít o nezávislé veličiny. V párovém t-testu ověřujeme, zda ''rozdíl'' [[střední hodnota|středních hodnot]] rozdělení pro veličiny ''y'' a rozdělení pro veličiny ''z'' je roven určitému číslu (často nule). Předpokladem je, že tento rozdíl (nikoli nutně samotné ''y'' a ''z'') má normální rozdělení.

Položíme-li <math>x_i=y_i-z_i</math> a označíme-li <math>\mu{}_0</math> jako číslo, kterému se má rovnat rozdíl [[střední hodnota|středních hodnot]], můžeme párový test zcela převést na případ jednovýběrového t-testu.

== Dvouvýběrový t-test ==
Označme jednotlivé hodnoty prvního náhodného výběru jako <math>x_1, x_2, ..., x_n</math>, [[výběrová charakteristika|výběrový průměr]] jako <math>\overline{X}</math> a [[výběrová charakteristika|výběrový rozptyl]] jako <math>S_x^2</math>. Obdobně označme jednotlivé hodnoty druhého náhodného výběru jako <math>y_1, y_2, ..., y_m</math>, [[výběrová charakteristika|výběrový průměr]] jako <math>\overline{Y}</math> a [[výběrová charakteristika|výběrový rozptyl]] jako <math>S_y^2</math>. Oba výběry musejí být vzájemně nezávislé. Nakonec označme <math>\delta</math> číslo, které se má rovnat rozdílu středních hodnot základního souboru <math>\mu{}_1-\mu{}_2</math> (jak již bylo řečeno, často <math>\delta=0</math>).

Potom veličina<br />
<math>T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{(n-1)S_x^2 + (m-1)S_y^2}} \sqrt{\frac{nm(n+m-2)}{n+m}}</math><br />
má za platnosti hypotézy, že se rozdíl středních hodnot rovná <math>\delta</math>, [[T rozdělení]] o ''n''+''m''-2 stupních volnosti. Hypotéza se tedy zamítá v případě, že veličina T překročí kritickou hodnotu [[T rozdělení]] o uvedeném počtu stupňů volnosti.

===Příklad dvouvýběrového t-testu===
Muži (smyšleného) kmene Orlů mají podle literatury mít stejnou průměrnou výšku jako muži sousedního kmene Býků. Antropolog, který oba kmeny navštívil, změřil výšky deseti náhodně vybraných mužů každého kmene. V pořadí velikosti to byli muži vysocí u Orlů 153, 156, 156, 161, 166, 167, 168, 174, 175 a 181 cm a u Býků 160, 165, 168, 170, 171, 174, 176, 181, 181 a 183 cm. Na 5% hladině významnosti máme testovat, zda údaj v literatuře odpovídá antropologovým měřením za předpokladu, že variabilita výšek obou skupin je stejná. 

Opět využijeme [[software R]] a zadáme příkazy:

 orlove <- c(153, 156, 156, 161, 166, 167, 168, 174, 175, 181)
 byci <- c(160, 165, 168, 170, 171, 174, 176, 181, 181, 183)
 t.test(orlove, byci, var.equal = TRUE)

Po spuštění testu dostaneme výstup:

     Two Sample t-test
 data:  orlove and byci
 t = -1.9114, df = 18, p-value = 0.07201
 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
 95 percent confidence interval:
  -15.1137829   0.7137829
 sample estimates:
 mean of x mean of y 
     165.7     172.9 

V tomto případě je [[p-hodnota]] rovna 0.07201, což je více než 0,05 - hypotézu o stejnosti středních hodnot výšek mužů obou kmenů tedy nezamítáme. Testová statistika je rovna -1,9114 při 18 stupních volnosti (18 je počet měření snížený o dvě). Konfidenční interval rozdílu středních hodnot výšek Orlů a Býků je přibližně -15,1 až 0,7 cm, a nemožnost zamítnout nulovou hypotézu plyne i z toho, že tento interval obsahuje nulu, tj. možnost, že mezi středními výškami není žádný rozdíl. Poslední řádek výstupu obsahuje aritmetické průměry výšek změřených zástupců obou kmenů.

== Poznámky ==
Předpoklad, že oba výběry pocházejí z [[normální rozdělení|normálního rozdělení]], nemusí být za každou cenu dodržen. T-test totiž pracuje s [[průměr]]y obou výběrů, a ty již při rozsahu výběru v řádu desítek mají přibližně normální rozdělení díky [[centrální limitní věta|centrální limitní větě]] za předpokladu, že data pocházejí z poměrně málo šikmých a špičatých rozdělení (výchozí rozdělení samozřejmě musí plnit předpoklady centrální limitní věty, jinak aritmetické průměry k ničemu nekonvergují, a nelze tedy provádět jejich statistické testování).

Před provedením t-testu by mělo být prověřeno, že oba náhodné výběry mají stejný [[Rozptyl (statistika)|rozptyl]]. K tomu může posloužit [[F-test]]. Existují i modifikace t-testu pro výběry s různými rozptyly.

Pokud je rozsah výběru (resp. obou výběrů) velký (v řádu stovek a víc), lze místo kritických hodnot [[T rozdělení]] použít kritické hodnoty [[normální rozdělení|normálního rozdělení]], tedy vlastně provést [[z-test]].

Je-li skupin hodnot (tj. náhodných výběrů) víc než dva, bývá obvykle vhodnější provést simultánní porovnání pomocí [[analýza rozptylu|analýzy rozptylu]] než opakované t-testy po dvojicích.

== Literatura ==
Anděl, J.: Matematická statistika, SNTL 1985.
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Testování statistických hypotéz]]