Zobrazení zdroje stránky Supremum

[[Soubor:Supremum.png|náhled|Supermum ]]
'''Supremum''' (někdy též ''spojení'') je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který je často používán především při zkoumání vlastností [[Reálné číslo|reálných čísel]]. Supremum je zaváděno jako alternativa k pojmu [[největší prvek]], oproti největšímu prvku je však dohledatelné u více množin – například omezené [[Otevřený interval|otevřené intervaly]] reálných čísel na jedné straně nemají [[největší prvek]], na druhé straně však zároveň mají supremum.

[[Dualita pojmů|Duálním pojmem]] (opakem) suprema je [[infimum]].

== Obecná definice ==
Předpokládejme, že množina <math>X</math> je [[uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] <math>R</math>. O prvku <math>a \isin X</math> řekneme, že je '''supremum''' [[podmnožina|podmnožiny]] <math>Y \subseteq X</math>, pokud je to [[nejmenší prvek]] množiny všech [[horní závora|horních závor]] množiny <math>Y</math>. Tuto skutečnost značíme
:<math>a = \sup_R(Y)</math>.

== Supremum v množině reálných čísel ==
Supremum má každá [[omezená množina|shora omezená množina]], přestože ne každá má [[maximum]] (největší prvek). Například otevřený [[interval (matematika)|interval]] <math>I = (a,b)</math> maximum nemá (pro každé <math>c \in I</math> můžeme nalézt <math>d:c < d < b</math>), ovšem jeho supremem je právě <math>b</math> (jde o nejmenší horní závoru a jakékoliv větší číslo již nejmenší horní závorou není — lze argumentovat podobně jako u maxima).

Shora neomezené množiny supremum nemají. Například otevřený interval <math>I = (a, +\infty)</math> nemá supremum v množině <math>\mathbb{R}</math> všech reálných čísel.

Pokud má množina [[maximum]] <math>M</math> má i supremum <math>K</math>, pro které platí, že <math>K = M</math>.

== Obecné vlastnosti a další příklady ==

=== Vztah suprema a největšího prvku ===
Nejen na [[Množina|množině]] reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je supremum zobecněním pojmu největšího prvku. Pokud má množina největší prvek, je tento největší prvek zároveň jejím supremem. Naopak to však platit nemusí — prvním takovým příkladem je výše uvedený shora omezený otevřený interval na množině reálných čísel.

Pokud supremum existuje, pak je určeno jednoznačně — množina nemůže mít dvě různá suprema. To je dáno tím, že nejmenší prvek (tedy i nejmenší prvek množiny horních závor — supremum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen.

=== Supremum podle dělitelnosti ===
Uvažujme o množině <math>\mathbb{Z}^+</math> všech kladných [[Celé číslo|celých čísel]] a relaci <math>R</math> danou vztahem <math>a \leq_R b \Leftrightarrow a | b</math> (tj. číslo <math>a</math> je menší nebo rovné číslu <math>b</math> podle <math>R</math>, pokud číslo <math>a</math> dělí číslo <math>b</math>).

Každá konečná podmnožina <math>\mathbb{Z}^+</math> má supremum. Supremem je v tomto případě [[nejmenší společný násobek]]. Zdaleka ne každá množina má ale největší prvek, například <math>\{ 4,6,8 \} \subseteq \mathbb{Z}^+</math> nemá největší prvek, protože neplatí ani <math>6 \leq_R 8</math>, ani <math>8 \leq_R 6</math>. Přitom ale <math>\sup_R \{ 4,6,8 \} = 24</math>.

=== Supremum na množině racionálních čísel ===
Jak již bylo uvedeno výše, má každá shora omezená množina reálných čísel supremum. Zdálo by se, že množina <math>\mathbb{Q}</math> [[Racionální číslo|racionálních čísel]] je množině reálných čísel hodně podobná — je také [[Husté uspořádání|hustě uspořádaná]] podle velikosti. Přesto ale existují shora omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) supremum.

Příkladem takové množiny je
: <math>\{ x \isin \mathbb{Q} : x^2 < 2 \}</math>.
Dá se poměrně snadno ověřit, že v množině <math>\mathbb{Q}</math> nemá tato množina supremum. Pokud bychom uvažovali o supremu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe — supremem by byla odmocnina ze dvou.

=== Supremum na ordinálních číslech ===
Uvažujme o [[Třída (matematika)|třídě]] <math>\mathbb{O}n</math> všech [[ordinální číslo|ordinálních čísel]]. Ordinální čísla jsou [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádána]] — to znamená, že každá [[podmnožina]] má [[nejmenší prvek]] a tím pádem i [[infimum]]. Zajímavější a na první pohled ne tak zjevné je, že každá shora omezená podtřída třídy <math>\mathbb{O}n</math> (shora omezená třída ordinálních čísel je vždy množina) má supremum, ale nemusí mít největší prvek.

Například množina konečných ordinálních čísel <math>\{ 0,1,2,\ldots \}</math> nemá největší prvek, ale platí:
: <math>\sup \{ 0,1,2,\ldots \} = \omega</math>.

=== Esenciální supremum ===
Mějme prostor s mírou <math>\scriptstyle (X, \Sigma, \mu)</math> a [[měřitelná funkce|<math>\scriptstyle \mu</math>-měřitelnou reálnou funkci]] <math>\scriptstyle f</math> na <math>\scriptstyle X</math>, tj. <math>\scriptstyle f: X \to \mathbb{R}</math>. '''Esenciální supremum''' funkce <math>\scriptstyle f</math> na množině <math>\scriptstyle X</math> pak značíme <math>\scriptstyle \text{ess sup}_X f</math> a definujeme vztahem
:<math> \text{ess sup}_X f = \inf \{ C \in \mathbb{R} | f(x) \leq C \ \text{pro} \ \mu\text{-skoro všechna } x \in X \}.</math>
Esenciální supremum je tedy [[infimum]] ze všech čísel <math>\scriptstyle c</math> takových, pro něž když vezmeme množinu všech <math>\scriptstyle x \in X</math>, v nichž nabývá funkce <math>\scriptstyle f</math> hodnoty větší než <math>\scriptstyle c</math>, tak tato množina bude míry nula (podle [[Míra (matematika)|míry]] <math>\scriptstyle \mu</math>).

== Související články ==
* [[Infimum]]
* [[Největší prvek]]
* [[Maximální a minimální prvek|Maximální prvek]]
* [[Dedekindův řez]]
* [[Svaz (matematika)]]
* [[Reálné číslo|Reálná čísla]]
* [[Ordinální číslo|Ordinální čísla]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]