Zobrazení zdroje stránky Sumace

'''Sumace''' označuje [[sčítání]] [[množina|množiny]] [[číslo|čísel]]. Výsledek se označuje jako '''suma'''. Jako ''čísla'' v sumaci přitom mohou vystupovat nejenom [[číslo|čísla]] (např. [[přirozené číslo|přirozená]], [[komplexní číslo|komplexní]] apod.), ale také [[funkce (matematika)|funkce]], [[matice]], popř. jiné [[struktura|matematické struktury]]. Součet prvků nekonečné [[posloupnost]]i se označuje jako [[řada (matematika)|řada]].

== Značení ==
Pro malý počet prvků lze sumaci zapsat jako součet jednotlivých členů.

Např. sumace čísel 1, 2 a 4 je 1 + 2 + 4 = 7. Číslo 7 je suma. Vzhledem k tomu, že sčítání je [[asociativita|asociativní]], nezáleží na tom, zda sumaci „1 + 2 + 4“ chápeme jako (1 + 2) + 4 nebo jako 1 + (2 + 4). Výsledek je v obou případech stejný, proto lze závorky vynechat (což se také obvykle dělá). Součet konečného počtu čísel je také [[komutativnost|komutativní]], takže změna pořadí jednotlivých členů sumace nemá vliv na výslednou sumu.

Pokud obsahuje suma příliš mnoho členů, lze některé členy vynechat a nahradit '…' (tři tečky). Přitom musí být zřejmé, které členy byly vynechány.
Např. suma všech [[přirozené číslo|přirozených čísel]] od 1 do 100 je 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.

=== Sumační znak ===
Pro zjednodušení zápisu sumace se v [[Matematika|matematice]] používá tzv. '''sumační znak''', který je reprezentován [[řečtina|řeckým]] znakem velkého [[sigma]] <math>\sum</math>. Definice zápisu pomocí sumačního znaku má tvar
:<math>\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots+ x_{n-1} + x_n</math>
[[Index (matematika)|Index]] ''i'' se označuje jako '''sumační index''', ''m'' označuje ''spodní hranici sumace'' a ''n'' je ''horní hranice sumace''. V tomto případě označuje ''i'' = ''m'' skutečnost, že sumační index ''i'' je na počátku roven hodnotě ''m''. Tento index odpovídá prvnímu členu v sumaci, tzn. <math>x_m</math>. Následující hodnoty ''i'' jsou získány přičtením hodnoty 1 k předchozí hodnotě indexu ''i''. Těmto indexům pak odpovídají další členy sumace, tzn. <math>x_{m+1}, x_{m+2}, ...</math> Proces změny indexu pokračuje až do okamžiku, kdy platí ''i'' = ''n'', což označuje konec sumace. Tento index odpovídá poslednímu členu sumace, tzn. <math>x_n</math>. Místo ''i'' lze použít libovolný jiný znak - nejčastěji se používají ''i'', ''j'', ''k'', α, β, ν apod. Např.
:<math>\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90</math>.

Pokud jsou hranice sumace zřejmé, pak je možné je vynechat a pouze naznačit, přes který index se sumace provádí. Např.
:<math>\sum_i x_i^2</math>
Pokud je zřejmé, přes který index se sumace provádí i hranice sumace, pak lze použít zjednodušený zápis
:<math>\sum x_i^2</math>

Zápis sumace lze také vyjádřit pomocí podmínek, kterým musí vyhovovat sumační index. Do sumy jsou pak zahrnuty pouze ty členy, které odpovídají indexům vyhovujícím zadané podmínce. Např.
:<math>\sum_{0\le k< 100} f(k)</math>
je suma všech ''f''(''k'') pro daná ''k'', která vyhovují uvedené podmínce,
:<math>\sum_{x\in S} f(x)</math>
je suma všech ''f''(''x'') přes všechny prvky ''x'' [[množina|množiny]] ''S''. Množina ''S'' je [[indexová množina]].

Pokud se provádí současně více sumací, lze použít zjednodušený zápis pomocí jednoho sumačního znaku. Např.
:<math>\sum_{\ell,\ell'}</math>
je to samé jako
:<math>\sum_\ell\sum_{\ell'}</math>

=== Výpočetní technika ===
Se sumací se lze setkat v mnoha [[programovací jazyk|programovacích jazycích]].

Např.
<math> \sum_{i=m}^{n} x_i</math>
lze zapsat jako [[počítačový program|program]] ve [[Visual Basic]]u/[[VBScript]]u:
<pre>
 Sum = 0
 For I = M To N
     Sum = Sum + X(I)
 Next I
</pre>
nebo následujícím [[zdrojový kód|kódem]] v jazyku [[C (programovací jazyk)|C]]/[[C++]]/[[C Sharp|C#]]/[[Java (programovací jazyk)|Java]], přičemž se předpokládá, že [[proměnná|proměnné]] <code>m</code> a <code>n</code> jsou definovány jako [[celé číslo|celá čísla]] typu <code>int</code>, <code>m</code>&nbsp;≥&nbsp;<code>n</code> a proměnná <code>x</code> je definována jako pole hodnot typu <code>int</code> obsahující nejméně <code>m</code>&nbsp;−&nbsp;<code>n</code>&nbsp;+&nbsp;1 definovaných prvků:
<pre>
int i;
int sum = 0;
for (i = m; i <= n; i++)
    sum += x[i];
</pre>
V programovacím jazyku [[Python]] lze použít vyjádření:
<pre>
sum(range(m, n + 1))
</pre>
V [[Perl]]u:
<pre>
$sum += $x[$_] for ($m..$n);
</pre>
Ve [[Fortran]]u (nebo [[MATLAB|Matlabu]]) lze použít:
<pre> sum(x(m:n)) </pre>
V [[LaTeX|(La)TeXu]] lze pro zobrazení sumačního znaku použít zápis:
<pre> \sum_{i=m}^n x_i </pre>

=== Speciální případy ===
Je možné provést sumaci méně než dvou čísel.
* Pokud sumace obsahuje pouze jediný člen ''x'', pak je suma rovna hodnotě ''x''.
* Jestliže sumace neobsahuje žádný člen, pak je suma rovna [[nula|nule]].

== Vlastnosti ==
* <math>\sum_{n=s}^t C\sdot f(n) = C\sdot \sum_{n=s}^t f(n)</math>, kde ''C'' je [[konstanta]].
* <math>\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \lbrack f(n) + g(n)\rbrack</math>
* <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)</math>
* <math>\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{k=j+1}^t f(k) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>
* <math>\sum_{i=m}^n x = (n-m+1)x</math>
* <math>\sum_{i=1}^n x = n\,x</math> - definice [[součin]]u, kde ''n'' je [[celé číslo]]
* <math>\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}</math> (viz [[aritmetická řada]])
* <math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)(n)}{2}</math> (speciální případ aritmetické řady)
* <math>\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}</math>
* <math>\sum_{i=1}^n (2i)^2 = \frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6} </math> (suma druhých mocnin sudých čísel)
* <math>\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6} </math> (suma druhých mocnin lichých čísel)
* <math>\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2</math>
* <math>\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}</math>
* <math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}</math>, kde <math>B_k</math> je ''k''-té [[Bernoulliho číslo]]
* <math>\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}</math> (viz [[geometrická řada]])
* <math>\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-\,1}{x-1}</math> (speciální případ předchozí řady pro ''m'' = 0)
* <math>\sum_{i=0}^n i x^i = \frac{x}{(1-x)^2} (1-(n+1)x^n+nx^{n+1})</math>
* <math>\sum_{i=0}^n i^2 x^i = \frac{x}{(1-x)^3} (1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})</math>
* <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n</math> (viz [[binomický koeficient]])
* <math>\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}</math>
* <math>\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j</math>
* <math>\left(\sum_i a_i\right)^2 = 2\sum_i\sum_{j<i} a_ia_j + \sum_i a_i^2</math>
* <math>\sum_{n=a}^b f(n) = \sum_{n=b}^{a} f(n)</math>
* <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=-t}^{-s} f(-n)</math>
* <math>\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)</math>
* <math>\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\sdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\sdot t+z-1} f(n)</math>
* <math>(a + b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i</math> (viz [[binomická věta]])
* <math>\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}</math>

== Související články ==
* [[Součet]]
* [[Einsteinova sumační konvence]]
* [[Integrál]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Aritmetika]]
[[Kategorie:Matematické symboly]]