Zobrazení zdroje stránky Stoneova věta o reprezentaci

'''Stoneova věta o reprezentaci Booleových algeber''' říká, že každá [[Booleova algebra (struktura)|Booleova algebra]] je [[Izomorfismus|izomorfní]] s určitým [[Pole množin|polem množin]]. Věta je základem k hlubšímu chápání [[Booleova algebra|Booleových algeber]], které se objevilo v první polovině 20. století. Větu dokázal [[Marshall H. Stone]],<ref>{{Citace periodika
 | jméno = Marshall H.
 | příjmení = Stone
 | datum = 1936
 | url = https://www.jstor.org/stable/1989664
 | titul = The Theory of Representations of Boolean Algebras
 | časopis = Transactions of the American Mathematical Society
 | ročník = 40
 | strany = 37–111
 | ref = harv
}}</ref> kterého k ní přivedlo studium [[spektrální teorie]] [[Lineární zobrazení|operátorů]] na [[Hilbertův prostor|Hilbertově prostoru]].

== Stoneovy prostory ==
Ke každé [[Booleova algebra (struktura)|Booleově algebře]] ''B'' existuje topologický prostor, zde označovaný ''S''(''B''), její '''[[Stoneův prostor]]'''. Prvky ''S''(''B'') jsou [[ultrafiltr]]y v ''B'' nebo ekvivalentně homomorfismy z ''B'' do [[Booleova algebra|dvouprvkové Booleovy algebry]]. Na ''S''(''B'') existuje topologie generovaná (uzavřenou) [[Báze topologického prostoru|bází]] sestávající ze všech množin tvaru
:<math>\{ x \in S(B) \mid b \in x\},</math>
kde ''b'' je prvek ''B''. To je topologie bodové konvergence sítě homomorfismů do dvouprvkové Booleovy algebry.

Pro každou Booleovu algebru ''B'' je ''S''(''B'') [[Kompaktní množina|kompaktní]] [[totálně nesouvislý]] [[Hausdorffův prostor]]; takové prostory se nazývají '''Stoneovy prostory''' (nebo ''profinitní prostory''). Naopak v jakémkoli topologickém prostoru ''X'' tvoří kolekce jeho [[Obojetná množina|obojetných]] podmnožin (tj. současně uzavřených i otevřených podmnožin) Booleovu algebru.

== Věta o reprezentaci ==
Jednoduchá verze '''Stoneovy věty o reprezentaci''' říká, že každá Booleova algebra ''B'' je izomorfní s algebrou [[Obojetná množina|obojetných podmnožin]] příslušného Stoneova prostor ''S''(''B''). Izomorfismus zobrazuje prvek ''b''∈''B'' do množiny všech ultrafiltrů, které ''b'' obsahují. To je obojetná množina kvůli volbě topologie na ''S''(''B'') a protože ''B'' je Booleova algebra.

Po přeformulování do jazyka [[teorie kategorií]] věta říká, že existuje [[Dualita kategorií|dualita]] mezi [[Teorie kategorií|kategorií]] [[Booleova algebra (struktura)|Booleových algeber]] a kategorií Stoneových prostorů. Tato dualita znamená, že kromě korespondence mezi Booleovými algebrami a jejich Stoneovými prostory, každý homomorfismus z Booleovy algebry ''A'' na Booleovu algebru ''B'' přirozeným způsobem odpovídá spojité funkci z ''S''(''B'') do ''S''(''A''), neboli že existuje [[funktor]], který je [[Ekvivalence (teorie kategorií)|ekvivalencí]] mezi kategoriemi. Jde o jeden z prvních příkladů netriviální duality kategorií.

Věta je speciálním případem [[Stoneova dualita|Stoneovy duality]], obecnějšího rámce duality mezi [[Topologický prostor|topologickými prostory]] a [[Uspořádaná množina|uspořádanými množinami]].

Důkaz vyžaduje buď [[axiom výběru]] nebo jeho zeslabený tvar. Konkrétně je věta ekvivalentní s [[Věta o booleovském prvoideálu|větou o booleovském prvoideálu]] považovanou za zeslabený axiom výběru říkající, že každá Booleova algebra má [[prvoideál (teorie uspořádání)|prvoideál]].

Rozšíření klasické Stoneovy duality na kategorii booleovských prostorů (což jsou nularozměrné lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory) a spojitá zobrazení dokázal G. D. Dimov; pro perfektní zobrazení H. P. Doctor.<ref>{{Citace periodika
 | jméno = G. D.
 | příjmení = Dimov
 | datum = 2012
 | titul = Some generalizations of the Stone Duality Theorem
 | časopis = Publ. Math. Debrecen
 | ročník = 80
 | strany = 255–293
 | ref = harv
}}</ref><ref>{{Citace periodika
 | jméno = H. P.
 | příjmení = Doctor
 | datum = 1964
 | titul = The categories of Boolean lattices, Boolean rings and Boolean spaces
 | časopis = Canad. Math. Bulletin
 | ročník = 7
 | strany = 245–252
 | ref = harv
}}</ref>

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Stone's representation theorem for Boolean algebras|1000494179}}<references />

=== Související články ===
* [[Pole množin]]
* [[Seznam článků o Booleových algebrách]]
* [[Stoneův prostor]]
* [[Stoneův funktor]]
* [[Profinitní grupa]]
* [[Věta o reprezentaci]]

=== Literatura ===
* {{Citace periodika
 | příjmení = Halmos
 | jméno = Paul
 | příjmení2 = Givant
 | jméno2 = Steven
 | rok = 1998
 | titul = Logic as Algebra
 | url = https://archive.org/details/logicasalgebra0000halm
 | periodikum = Dolciani Mathematical Expositions
 | číslo = 21
 | vydavatel = The Mathematical Association of America
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení =Johnstone
 | jméno = Peter T.
 | rok = 1982
 | titul = Stone Spaces
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | isbn = 0-521-23893-5
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení =Burris
 | jméno = Stanley N.
 | příjmení2 = Sankappanavar
 | jméno2 = H. P.
 | rok = 1981
 | titul = A Course in Universal Algebra
 | url =https://archive.org/details/courseinuniversa00stan
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | isbn = 3-540-90578-2
}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Obecná topologie]]
[[Kategorie:Booleovy algebry]]
[[Kategorie:Věty v teorii svazů]]
[[Kategorie:Kategorická logika]]