Zobrazení zdroje stránky Prvoideál (teorie uspořádání)

'''Prvoideál''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie množin]].

== Definice ==
Je-li <math> X \,\! </math> [[množina]] a <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> její [[potenční množina]] (tj. množina všech jejích [[Podmnožina|podmnožin]]), pak řekneme, že neprázdná množina <math> I \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! </math> je '''prvoideál''', pokud platí: <br />
# <math> I \,\! </math> neobsahuje celou množinu <math> X \,\! </math>
# <math> A,B \isin I \implies A \cup B \isin I \,\! </math>
# <math> (A \isin I \land B \subseteq A) \implies B \isin I \,\! </math>
# <math> ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin I \vee X - A \isin I) \,\! </math>

== Vysvětlení definice ==
Podle bodu 2 je '''prvoideál''' [[nahoru usměrněná množina]], podle bodu 3 je to [[dolní množina]] - jedná se tedy o [[Ideál (matematika)|ideál]] v [[Potenční algebra|potenční algebře]].<br />
Bod 1 a podmínka, podle které je prvoideál neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní ideál (teorie uspořádání)|vlastní ideál]] - '''prvoideál''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br />

Podle bodu 4 je v '''prvoideálu''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval prvoideál tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cup (X - A) = X \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o prvoideál. Prvoideál tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br />
Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''prvoideál''' je mezi ostatními vlastními ideály na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální a minimální prvek|maximální]] - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude prvoideál, výsledkem již dokonce nebude ani ideál.

== Příklady a vlastnosti ==
=== Triviální prvoideál ===
Za [[hlavní ideál (teorie uspořádání)|hlavní ideál]] považujeme ideál všech podmnožin nějaké množiny <math> A \subseteq X \,\! </math>, hlavní ideál určený množinou <math> A \,\! </math> tedy lze zapsat jako<br />
<math> I(A) = \{ B \subseteq X : B \subseteq A \} \,\! </math><br />
Mezi hlavními ideály existují prvoideály - jsou to hlavní ideály určené doplňkem jednoprvkvé množiny, neboli <math> A = X \setminus \{a \} \,\! </math>, kde <math> a \isin X \,\! </math>. Tyto prvoideály jsou nazývány '''triviální prvoideály'''.

Na [[konečná množina|konečné množině]] je každý prvoideál triviální - celkový počet prvoideálů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br />
Na [[Nekonečná množina|nekonečné množině]] odpovídá počet triviálních prvoideálů [[mohutnost]]i množiny <math> X \,\! </math>.

=== Dualita s ultrafiltrem ===
Stejně jako u většiny pojmů z [[teorie uspořádání]], má i prvoideál svůj duální pojem - [[ultrafiltr]]. Ke každému prvoideálu <math> I \,\! </math> existuje '''duální ultrafiltr''' - množina všech doplňků z <math> I \,\! </math>: <br />
<math> I^* = \{ X - A : A \isin I \} \,\! </math>

Vztah platí i opačně - množina doplňků k ultrafiltru je prvoideál - '''duální prvoideál'''. Navíc je každý prvoideál duálním prvoideálem svého duálního ultrafiltru, tj. platí<br />
<math> (I^*)^* = I \,\! </math>

=== Základní věta o ultrafiltrech ===
Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální prvoideály. Kladnou odpověď dává '''základní věta o ultrafiltrech''':<br />
''Každý [[centrovaný systém]] lze rozšířit (přidáním dalších podmnožin) do ultrafiltru.''

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr.
Vezmeme-li v úvahu například [[Fréchetův filtr]] a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

S ohledem na dualitu ultrafiltr-prvoideál to znamená, že [[Fréchetův ideál]] lze rozšířit na netriviální prvoideál.

== Související články ==
* [[Ideál (matematika)|Ideál]]
* [[Ultrafiltr]]
* [[Fréchetův ideál]]
* [[Uniformní filtr]]

{{Portály|Matematika}}
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]