Zobrazení zdroje stránky Pružnost

{{Možná hledáte|[[Cenová elasticita]]}}
'''Pružnost''' (též '''elasticita''' či '''tuhost''') je část [[Mechanika|mechaniky]], která studuje vztahy mezi [[deformace]]mi [[Těleso|těles]] a [[Vnější síla|vnějšími silami]], které na toto těleso působí. V úlohách pružnosti se potom řeší, zda [[deformace]] tělesa či konstrukce nepřesáhla dovolenou hodnotu.<ref name="chap1">PLÁNIČKA, F.; ZAJÍČEK, M.; ADÁMEK, V. Podpůrné materiály pro studium předmětu Pružnost a pevnost 1 : Shrnutí základních poznatků. Plzeň : Fakulta aplikovaných věd, 2007 [cit. 2010-02-21]. Tah - tlak, strana . . Dostupné [online]: [http://www.kme.zcu.cz/kmet/pp/tah-tlak/shrnuti.pdf http://www.kme.zcu.cz/kmet/pp/tah-tlak/shrnuti.pdf] {{Wayback|url=http://www.kme.zcu.cz/kmet/pp/tah-tlak/shrnuti.pdf |date=20200716150139 }}.</ref>

Jedním z prvních, kdo se zabýval hledáním vztahů mezi silami působícími na těleso a deformacemi tělesa způsobenými těmito silami, byl britský [[fyzik]] [[Robert Hooke]]. Hooke v roce [[1676]] zformuloval [[Hookeův zákon|zákon]], jenž říká, že při pružné [[Deformace|deformaci]] je normálové [[Mechanické napětí|napětí]] přímo úměrné relativnímu prodloužení.<ref>BARTUŠKA, Karel; SVOBODA, Emanuel. Molekulová fyzika a termika. 4. vyd. Praha : Prometheus, 2005. 244 s. {{ISBN|80-7196-200-7}}. Strana 138.</ref> Tento poznatek je v podstatě jedním ze základních kamenů [[Matematická teorie pružnosti|matematické teorie pružnosti]] a v nezměněné podobě se využívá dodnes. Zákon, který Hooke definoval, nese jeho jméno.

== Rozdělení, základní pojmy a předpoklady ==
=== Rozdělení pružnosti ===
Pružnost lze velmi obecně rozdělit na několik vzájemně souvisejících oddílů.
* [[Matematická teorie pružnosti]] využívá nejméně zjednodušujících předpokladů a snaží se nalézt analytická (tedy obecná a přesná) řešení úloh a problémů.
* [[Experimentální pružnost]] se používá pro ověření složitých výpočtů a pro stanovení materiálových charakteristik jako je [[modul pružnosti v tahu]], [[modul pružnosti ve smyku]] apod.
* [[Mechanika kompozitních materiálů]] zkoumá chování [[Kompozitní materiál|kompozitních materiálů]], přičemž využívá jak poznatky pružnosti, tak poznatky [[Pevnost (fyzika)|pevnosti]].

=== Základní předpoklady ===
Poznatky z pružnosti lze využít jen při splnění několika níže uvedených předpokladů. Praxe však ukazuje, že teoretické vztahy lze využít, i když se vlastnosti reálného tělesa či konstrukce prvním dvěma z nich pouze blíží. Tyto předpoklady jsou:
* Těleso uvažujeme jako '''[[Homogenní látka|homogenní]]''', tj. těleso má stejné [[Mechanické vlastnosti materiálů|mechanické vlastnosti]] v každém bodě.
* Těleso uvažujeme jako '''[[Izotropní látka|izotropní]]''', tj. těleso má stejné [[Mechanické vlastnosti materiálů|mechanické vlastnosti]] ve všech směrech.
* [[Deformace]] tělesa je '''malá''' a '''pružná''', což jinými slovy znamená, že se tato deformace pohybuje v oblasti platnosti [[Hookeův zákon|Hookeova zákona]] a těleso se po odlehčení vrátí do svého původního tvaru.

=== Základní pojmy ===
==== Pružné těleso ====
{{viz též|Těleso}}
'''[[Pružné těleso]]''' (též '''[[elastické těleso]]''') je takové [[těleso]], které se působením [[vnější síla|vnější síly]] [[deformace|deformuje]], ale po odstranění této síly se vrací do původního [[tvar]]u a velikosti. Tělesa, která se po odstranění vnější síly nevrátí do původního tvaru, se označují jako '''[[nepružné těleso|nepružná]]''' (též '''[[plastické těleso|plastická tělesa]]''').

==== Vnější síla ====
{{viz též|Síla}}
Pojmem vnější síla lze v pružnosti označit veškeré síly působící na těleso (nebo [[Nosná konstrukce|konstrukci]]), které mají původ mimo těleso. Tato definice však není úplně přesná, neboť mezi vnější síly počítáme i [[Tíhová síla|tíhovou sílu]] způsobenou vlastní [[hmotnost]]í tělesa.

Podle oblasti působení rozlišujeme vnější síly '''povrchové''' a '''objemové'''.
* Povrchové vnější síly působící na povrch tělesa mohou být '''osamělé''', ty potom působí na povrch v jediném [[bod]]ě, nebo '''spojité''', které [[Spojitá funkce|spojitě]] působí na určitou část povrchu.
* Objemovou vnější sílou rozumíme vlastní tíhu tělesa či konstrukce (která spojitě vychází z vlastního objemu tělesa).

Z hlediska času můžeme těleso či konstrukci zatížit '''staticky''', kdy jsou vnější síly [[Konstantní funkce|konstantní]] v čase, nebo se velmi pomalu mění, '''cyklicky''', kdy se vnější síly mění v čase [[Periodická funkce|periodicky]], či '''rázově''', kdy (obvykle velmi velká síla) působí na těleso po velmi malý časový interval (obvykle se jedná o mikrosekundy až milisekundy).

==== Vnitřní síla ====
{{podrobně|Síla}}
Vlivem působení vnějších sil se těleso [[Deformace|deformuje]] a rovněž v něm vzniknou tzv. vnitřní síly, které odporují vnějším silám. Velikost a směr vnitřních sil se určuje [[Metoda řezu|metodou řezu]]. Vnitřní síla se v každém řezu rozkládá do dvou složek a to do '''normálové''', která je kolmá na rovinu řezu, a do '''tečné''', která leží v rovině řezu.

== Napětí a deformace ==
[[Napětí (mechanika)|Napětí]] a [[deformace]] vyjadřují intenzitu vnitřních sil.

=== Napětí ===
{{podrobně|Tlak}}
'''Napětí''' se vztahuje k danému řezu v tělese, jeho jednotkou je [[Pascal (jednotka)|pascal]], případně newton na metr čtvereční. Protože rozlišujeme dvě složky vnitřní síly, normálovou a tečnou, budeme rozlišovat i dvě složky napětí, '''normálové''' napětí a '''smykové''' (tečné) napětí.

Normálové napětí tedy vypočteme jako podíl normálově složky vnitřní síly a obsahu plochy řezu
:<math>\sigma = \frac{F_n}{S} = \frac{N}{A}</math>.
Přejdeme-li k diferenciálně malé plošce řezu, platí vztah
:<math>\sigma = \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}A}</math>.

Smykovou složku napětí lze obdobně vyjádřit jako podíl tečné složky vnitřní síly a obsahu plochy příslušného řezu
:<math>\tau = \frac{F_t}{S} = \frac{T}{A}</math>.
Pro diferencíálně malou plošku řezu opět platí
:<math>\tau = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}A}</math>.

V technické praxi se obvykle normálová složka síly značí písmenem <math>N</math>, tečná <math>T</math> a plocha řezu <math>A</math> (z anglického "area").

=== Deformace ===
Oproti napětí se '''deformace''' (těž '''prodloužení''', přetvoření nebo zkrácení) vztahuje k danému rozměru tělesa. Jde ale o bezrozměrnou veličinu, neboť udává poměr mezi prodloužením (zkrácením) a původním rozměrem. Protože se pohybujeme v oblasti malých deformací, je možno vztah pro výpočet '''poměrného prodloužení''' <math>\varepsilon</math> zjednodušit, jak je naznačeno dále, bez (velké) újmy na přesnosti
:<math>\varepsilon = \frac{\Delta l}{\Delta l + l_0} \approx \frac{\Delta l}{l_0}</math>.

[[Soubor:Afschuiving.png|náhled|Ilustrace k výpočtu skosu <math>\gamma</math>]]

Výše uvedený vzorec udává prodloužení tělesa způsobené normálovou složkou vnitřní síly. Je zřejmé, že i tečná složka vnitřní síly způsobuje nějakou deformaci a tou je natočení roviny řezu, tzv. '''skos''' <math>\gamma</math> vyjadřující poměr mezi výškou řezu <math>h</math> a vzdáleností mezi původní polohou krajního bodu řezu a novou polohou krajního bodu řezu <math>a</math>. Vztah pro výpočet skosu jde opět díky základním předpokladům pružnosti zjednodušit
:<math>\tan \gamma \approx \gamma = \frac{a}{h}</math>,
neboť za předpokladu, že úhel <math>\alpha</math> je menší než 5° (což je splněno, neboť předpokládáme malé deformace) platí přibližná rovnost
:<math>\tan \alpha\approx \alpha</math> (pro úhel v [[radián|obloukové míře]]).

== Vztah mezi napětím a deformací ==
Vztah mezi napětím a deformací vyjadřuje [[Hookeův zákon]], omezíme-li se tedy na oblast platnosti tohoto zákona, pro tah (resp. tlak) platí
:<math>\sigma = E \cdot \varepsilon</math>,
kde <math>E</math> je '''[[modul pružnosti v tahu]]''' (též '''Youngův modul pružnosti''').<ref name="chap1"/> Podobně pro skos můžeme definovat vztah, někdy nazývaný '''Hookeův zákon pro smyk''',
:<math>\tau = G \cdot \gamma</math>,
kde <math>G</math> je '''[[modul pružnosti ve smyku]]'''.

Srovnáme-li všechny uvedené vztahy, můžeme v případě, kdy je součást konstantního průřezu <math>A</math> namáhána jenom normálovou silou <math>N</math>, určit prodloužení na základě znalostí počátečních podmínek ze vztahu
:<math>\Delta l = \varepsilon \cdot l_0 = \frac {\sigma}{E} \cdot l_0 = \frac {N \cdot l_0}{E \cdot A}= \frac {F \cdot l_0}{E \cdot A}</math>
kde <math>\Delta l</math> je absolutní změna délky součásti a <math>l_0</math> její původní délka.<ref name="chap1"/>

=== Smluvní a pracovní diagram ===
{{Redirect|Trhací diagram}}
Přesnější vztah mezi napětím a deformací lze získat [[experiment]]álně, provedením [[Tahová zkouška|tahové zkoušky]], kdy nejsme omezeni oblastí platnosti Hookeova zákona.

Po provedení tahové zkoušky je možno vytvořit '''[[tahový diagram]]''', zobrazující závislost mezi [[síla|silou]] <math>F</math>, kterou působíme na vzorek (obvykle tyč [[ČSN|normované]] [[délka|délky]] a [[ČSN|normovaného]] [[obsah|průřezu]]) a délkou <math>\Delta l</math>, o níž se sledovaný vzorek prodlouží. Matematicky lze tento vztah zapsat <math>F = F (\Delta l)</math>.

Často se zavádí '''[[pracovní diagram]]''', vyjadřující závislost napětí na deformaci, matematicky <math>\sigma = \sigma (\varepsilon)</math>. Myšlenka přechodu od tahového diagramu k pracovnímu je velmi jednoduchá: uvědomíme-li si, že pro napětí platí vztah <math>\sigma =  F / A_0</math> a deformaci je možno určit jako <math>\varepsilon = \Delta l / l_0</math>, přičemž <math>A_0</math> i <math>l_0</math> jsou pro měřený vzorek konstanty (jak už bylo zmíněno výše, jde o obsah průřezu a délku nenamáhaného vzorku), můžeme pomocí známých vzorců spočítat napětí <math>\sigma</math> a deformaci <math>\varepsilon</math>.

[[Soubor:napeti_ocel.svg|náhled|Smluvní pracovní diagram houževnatého materiálu s výraznou mezí kluzu]]

Je třeba si uvědomit důležitou skutečnost: je-li vzorek natahován, jeho průřez <math>A</math> se zmenšuje. V naší úvaze však napětí <math>\sigma</math> počítáme díky znalosti obsahu průřezu nenamáhaného vzorku <math>A_0</math>. Tento však obecně není konstantní a proto se skutečné napětí může i značně lišit od napětí námi spočítaného. Z tohoto důvodu se zavádí pojmy '''smluvní [[pracovní diagram]]''' a '''skutečný [[pracovní diagram]]'''. Oba diagramy znázorňují závislost napětí na deformaci, ve '''smluvním pracovním diagramu''' však napětí vztahujeme ke klidovému průřezu <math>A_0</math>, zatímco ve '''skutečném pracovním diagramu''' napětí vztahujeme ke skutečnému průřezu. Je tedy zjevné, že ve '''smluvním diagramu''' je sice napětí zdánlivé, ale jeho vytvoření je snazší, zatímco ve '''skutečném diagramu''' je skutečné napětí, ale vzhledem k proměnnému průřezu je jeho vytvoření složitější.

Na základě podobnosti pracovních (či tahových) diagramů lze jednotlivé materiály rozdělit do několika skupin, o nichž bude řeč dále.

Zbývá dodat, že křivky v tahovém i smluvním pracovním diagramu mají pro daný materiál stejný průběh.

=== Houževnatý materiál ===
{{podrobně|Houževnatost}}
{{Přesnost|část|comment=rozpor s článkem [[Houževnatost]]!
* zde se tvrdí, že pevné jsou i houževnaté,
* v článku [[Houževnatost]] se ale naopak tvrdí, že houževnaté uhnou, zato se zas vrátí (a také, že opravdu pevné jsou naopak křehké - neuhnou, prasknou.)
Podobný zmatek v pojmu raději přenesme na tu jednu stránku, sem asi jen odkaz přes {{šablona|podrobně}}? každopádně je toto třeba ozdrojovat: A klidně i sporně, že každý "odborník" pojem definuje jinak, když to budem mít ozdrojované.}}
Houževnaté materiály se vyznačují stejným chováním v [[tah]]u i [[tlak]]u a obvykle i vysokou [[Pevnost (fyzika)|pevností]]. Mezi houževnaté materiály patří například houževnatá [[ocel]].{{Fakt/dne|20170202030719|}}

[[Soubor:Traction conventionnal curve.png|vlevo|náhled|Pracovní diagram houževnatého materiálu se smluvní mezí kluzu]]
Dále je pomocí pracovního diagramu popsáno chování houževnatého materiálu, respektive závislost napětí na jeho deformaci.

Hodnota <math>\sigma_u</math> v diagramu se nazývá '''mez úměrnosti'''. V intervalu od nulového napětí do '''meze úměrnosti''' platí Hookeův zákon a veškeré deformace jsou elastické (bývají značeny <math>\varepsilon_e</math>), což znamená, že po odstranění zatížení deformace zmizí a délka namáhané součásti se vrátí na původní délku <math>l_0</math>.

Hodnota <math>\sigma_E</math> označuje '''mez pružnosti''', zvanou též '''mez elasticity'''. Mez pružnosti se obvykle příliš neliší od meze úměrnosti. Při zvýšení napětí nad mez pružnosti dochází po odstranění zatížení k tomu, že deformace nezmizí úplně, ale zůstává jistá trvalá (tzv. plastická) deformace (značí se <math>\varepsilon_p</math>).

Napětím <math>\sigma_k</math> (v novější literatuře <math>R_e</math>) je určena '''mez kluzu''' nebo '''mez průtažnosti'''. Součást se v tomto bodě prodlužuje, aniž by se zvětšovalo zatížení. Rovněž dochází ke změně fyzikálních vlastností materiálu, kdy krystalové mřížkou kloužou po sobě (proto mez kluzu) a v důsledku jeho přetvoření také k mírnému zpevnění.

U některých materiálů jsou hodnoty <math>\sigma_u</math>, <math>\sigma_e</math> a <math>\sigma_n</math> prakticky totožné. O takových materiálech říkáme, že nemají výraznou mez skluzu a zavádíme tzv. '''smluvní mez skluzu''' <math>R_{p02}</math>, což je hodnota napětí způsobující plastickou deformaci 0,2%.<ref>DROZD, Zdeněk. FyzWeb [online]. 2001 [cit. 2010-04-02]. Deformační zkouška - cesta k poznání mechanických vlastností materiálů. Dostupné [online]: [http://fyzweb.cuni.cz/knihovna/deformace/index.htm#12 deformace] {{Wayback|url=http://fyzweb.cuni.cz/knihovna/deformace/index.htm#12 |date=20070610062234 }}, fyzweb.cuni.cz></ref>

Při dalším zvyšování zatížení dosáhneme '''meze pevnosti''' <math>\sigma_p</math> (v novější literatuře <math>R_n</math>). Za mezí pevnosti dochází ke zužování průřezu (tzv. tvorbě krčku) a v bodě <math>T</math> dojde k přetržení vzorku.

== Namáhání těles ==
{{podrobně|Namáhání}}
Působení vnějších sil na těleso může být různé. Hovoříme pak o ''namáhání tělesa'' v [[tah (pružnost)|tahu]], v [[tlak]]u, v [[ohyb]]u, ve [[smyk (mechanika)|smyku]] ([[Střih (mechanika)|střihu]]), v [[kroucení]] (v krutu/torzi), resp. že jsou takto namáhány [[soumezné řezy]]:
* Tah/tlak je z tohoto pohledu totéž, na jejich normálu.
* Při smyku leží osa rotace v jejich rovině, podél osy se každý posouvá (smýká) v opačném směru.
* Při ohybu leží osa rotace v rovině soumezných řezů, ty se na jedné straně vzdalují (podtlak), na druhé straně osy naopak přitlačují.
* Při krutu je osa rotace na kolmá na rovinu soumezných řezů, ty se podle ní otáčejí, proti sobě, opačně.

Soumezné řezy tedy popisují čtyři varianty dvou proměnných: Směr pohybu je tečný/kolmý, posuvný/otáčivý. Pokud soumezné řezy na sebe vzájemně působí opačně, jsou spolu v kolizi.

<gallery>
soubor:mechanika_tah.svg|[[tah (pružnost)|tah]]
soubor:mechanika_tlak.svg|[[tlak]]
soubor:mechanika_ohyb.svg|[[ohyb]]
soubor:mechanika_smyk.svg|[[smyk (mechanika)|smyk]] ([[Střih (mechanika)|střih]])
soubor:mechanika_krouceni.svg|[[krut (mechanika)|krut]] ([[torze (mechanika)|torze]])
</gallery>

== Dopružování ==
[[Soubor:hysterezni_smycka_napeti.svg|náhled|Hysterezní křivka při opakovaném namáhání tlakem a tahem.]]
{{podrobně|Dopružování}}
U některých materiálů nezmizí po odstranění zatížení deformace ihned, ale pouze její část. Zbytek deformace pak mizí po určitou dobu. Tento jev se nazývá '''dopružování''' ('''elastická [[hystereze]]''').

Dopružování a odchylky od Hookova zákona se objevují při opakovaném namáhání materiálu [[tah (pružnost)|tahem]] a [[tlak]]em. Křivky napínání a stlačování pak vytváří tzv. [[hysterezní křivka|hysterezní křivku]].

== Odkazy ==
=== Reference ===
<references />

=== Literatura ===
* HÁJEK, E., REIF, P., VALENTA, F.: ''Pružnost a pevnost I''. 1. vyd. Praha : SNTL/ALFA, 1988. 432 s.
* HÁJEK, E. a kol.: ''Pružnost a pevnost I.''. 1. vyd. Praha : ČVUT, 1981. 444 s.
* HÁJEK, E. a kol.: ''Pružnost a pevnost II.''. 1. vyd. Praha : ČVUT, 1981. 252 s. : 344 obr.
* ZEMAN, V., LAŠ, V.: ''Technická mechanika''. 3. vyd. Plzeň : Vydavatelství ZČU v Plzni, 2001. 191 s.
* LAŠ, V., HLAVÁČ, V., VACEK, V.: ''Technická mechanika v příkladech''. 5. vyd. Plzeň : Vydavatelství ZČU v Plzni, 2009. 160 s.

=== Související články ===
* [[modul pružnosti]]
* [[mez pružnosti]], [[mez kluzu]]
* [[mechanika kontinua]]
* [[pevnost (fyzika)]]
* [[namáhání]] těles
* [[tuhost pružiny]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=pružnost}}
* [http://www.kme.zcu.cz/kmet/pp/ Podpůrné materiály pro studium předmětu Pružnost a pevnost I] {{Wayback|url=http://www.kme.zcu.cz/kmet/pp/ |date=20100304181813 }} (obsahuje problémy rozdělené do osmi kapitol s řešenými a interaktivními příklady)

{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Mechanika]]
[[Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti]]
[[Kategorie:Technické veličiny]]
[[Kategorie:Materiálové inženýrství]]
[[Kategorie:Statika]]