Zobrazení zdroje stránky Princip maximality

'''Princip maximality''', označovaný také někdy zkratkou '''PM''' a mimo [[Teorie množin|teorii množin]] známější jako '''Zornovo lemma''', je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z [[teorie uspořádání]], které se zabývá existencí [[Maximální a minimální prvek|maximálních prvků]] v [[Uspořádaná množina|uspořádané množině]].

== Formulace principu ==

=== Pomocná definice - řetězec ===
Předpokládejme, že množina A je [[Uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] R. [[Podmnožina|Podmnožinu]] <math> B \subseteq A </math> nazveme '''řetězcem''', pokud je tato množina [[Lineární uspořádání|lineárně uspořádána]] relací R.

=== Princip maximality ===
Pokud je [[neprázdná množina]] <math> A </math> částečně uspořádána relací <math> R </math> (tedy <math> (A,R) </math> je [[částečně uspořádaná množina]]) tak, že každý řetězec je [[Majoranta|shora omezený]], pak v množině <math> A </math> existuje [[Maximální a minimální prvek|maximální prvek]].

=== Princip minimality ===
Vzhledem k [[Dualita pojmů|dualitě pojmů]] týkajících se uspořádání lze „obrácením znamének“ formulovat podobné tvrzení i pro [[Maximální a minimální prvek|minimální prvky]]:

Pokud je neprázdná množina A částečně uspořádána tak, že každý řetězec je [[Minoranta|zdola omezený]], pak v <math> A </math> existuje [[Maximální a minimální prvek|minimální prvek]].

Tento princip je ekvivalentní obdobou ''principu maximality''.

== Postavení principu v teorii množin ==
'''''Princip maximality''''' přibližně v dnes používané formulaci byl vysloven a dokázán [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowským]] v roce [[1922]] za použití [[axiom výběru|''axiomu výběru'']]. Princip byl později v roce [[1935]] znovu objeven [[Max Zorn|Maxem Zornem]], který zpopularizoval jeho použití v mnoha odvětvích matematiky, proto je princip zpravidla nazýván ''Zornovo lemma''. V literatuře bylo popsáno až několik desítek tvrzení podobných principu maximality, zaručujících existenci jistých maximálních prvků v různých kontextech za splnění určitých podmínek; nejstarší se objevují v práci [[Felix Hausdorff|Felixe Hausdorffa]] z roku [[1907]].<ref>Paul J. Campbell, ''The origin of "Zorn's lemma"'', Historia Mathematica 5 (1978), č. 1, s. 77–89. doi:[http://dx.doi.org/10.1016/0315-0860(78)90136-2 10.1016/0315-0860(78)90136-2]</ref>

Byla dokázána i opačná [[implikace]], tj. tvrzení, že z '''''principu maximality''''' plyne ''axiom výběru''. ''Princip maximality'' tedy patří mezi tvrzení ekvivalentní s ''axiomem výběru'' (jako například [[Zermelova věta|princip dobrého uspořádání]]), které jsou [[nezávislost (matematika)|nezávislé]] na základních axiomech teorie množin označovaných zkratkou [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]. Přidáním kteréhokoliv z těchto principů (nebo přidáním samotného axiomu výběru) k [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]] získávám „stejně silnou“ axiomatiku, která je obvykle označována jako [[ZFC]].

== Příklady použití principu ==

=== Trichotomie mohutnosti ===
Relace „mít stejnou nebo menší [[mohutnost]] jako“ je [[trichotomická relace|trichotomická]] pro všechny množiny (tj. na [[Univerzální třída|univerzální třídě]]).<br />
Jinými slovy: z '''''principu maximality''''' plyne, že mohutnosti každých dvou množin lze porovnat. Toto tvrzení nelze dokázat ze základních axiomů ZF - je nutné předpokládat platnost principu maximality (nebo axiomu výběru).

=== Rozklady nekonečných množin ===
Předpokládejme, že A je [[nekonečná množina]]. Potom platí, že
# Množinu A lze rozložit na dvě nekonečné části, neboť pro platí, že A má stejnou mohutnost, jako její [[kartézský součin]] s dvouprvkovou množinou: <math> A \approx A \times \{ 0,1 \} \,\! </math>
# Množinu A lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí, neboť platí, že A má stejnou mohutnost, jako její druhá kartézská mocnina: <math> A \approx A \times A \,\! </math>

== Související články ==
* [[Axiom výběru]]
* [[Zermelova věta|Princip dobrého uspořádání]]
* [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelova teorie množin]]
* [[Mohutnost]]

== Reference ==
<references/>

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Tvrzení nezávislá na ZF]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Principy]]