Zobrazení zdroje stránky Průnik

[[Soubor:Venn0001.svg|náhled|Průnik dvou množin<br /><math>~A \cap B</math>]]
V [[Matematika|matematice]] se jako '''průnik''' dvou nebo více [[Množina|množin]] označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách. Průnik množin ''A'' a ''B'' se označuje symbolem ''A'' ∩ ''B''.

== Formální definice ==
Pro všechna ''x'' platí, že <math>x \in \left ( A  \cap B \right  ) \equiv \left ( x \in A \right  ) \land \left (x \in B \right ) </math>.

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <math>n</math> množin <math>A_1, A_2, ..., A_n</math> lze zkráceně psát

<math>A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n = 	\bigcap_{i=1}^n {A_i}</math>


Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny [[Sudá a lichá čísla|sudých]] [[Kladné číslo|kladných čísel]] { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

== Vlastnosti ==
Operace průniku dvou množin (jakožto [[binární operace]]) je [[Asociativita|asociativní]], tzn. (''A'' ∩ ''B'') ∩ ''C'' = ''A'' ∩ (''B'' ∩ ''C''). Současný průnik všech tří množin – ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je [[Komutativita|komutativní]] operace, platí tedy, že ''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.

[[Neutrální prvek|Neutrálním prvkem]] pro operaci průniku je [[Univerzální množina|univerzum]], tzn. množina ''všech'' prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy <math>A \cap I = A</math>.

Výsledkem průniku množiny <math>A</math> s [[prázdná množina|prázdnou množinou]] je opět prázdná množina, tzn. <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>.

Je-li výsledkem průniku dvou množin <math>A,B</math> prázdná množina, pak platí <math>A \cap B = \emptyset \leftrightarrow B \subseteq -A</math>, kde <math>-A</math> je [[Doplněk množiny|doplňkem množiny]] <math>A</math>.

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o [[Logická spojka|logické spojce]] ''a zároveň''.

[[Mohutnost]] průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |''A'' ∩ ''B''| ≤ [[minimum|min]] { |''A''|, |''B''| }.

Průnik je [[idempotence|idempotentní]], tzn. platí <math>A \cap A = A</math>.

== Související články ==
* [[Množinové operace]]
* [[Sjednocení]]
* [[Rozdíl množin]]
* [[Doplněk množiny]]
* [[UNION]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

{{Teorie množin}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie množin]]
[[Kategorie:Binární operátory]]