Zobrazení zdroje stránky Polytop

[[Soubor:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|náhled|Posunutím bodu o určitou vzdálenost vznikne úsečka, posunutím úsečky kolmo na její směr o stejnou vzdálenost čtverec, posunutím čtverce o stejnou vzdálenost kolmo na jeho rovinu krychle, posunutím krychle o stejnou vzdálenost kolmo na její prostor, čtyřrozměrná nadkrychle neboli [[teserakt]]]]
'''Polytop''' (ze starořeckého {{Cizojazyčně|grc|''πολύς''}} [''polýs''] – mnoho, a {{Cizojazyčně|grc|''τόπος''}} [''tópos''] – místo) je v [[Geometrie|geometrii]] zobecněním [[mnohoúhelník]]u nebo [[mnohostěn]]u v libovolněrozměrném prostoru. Je-li třeba zdůrazit počet rozměrů ''d'', mluví se o ''d''-polytopu.

== Definice ==
0-polytop je tvořen jediným bodem (vrchol); 1-polytop se skládá ze dvou vrcholů spojených hranou (úsečka); 2-polytop se skládá z několika 1-polytopů, vždy po dvou spojených ve společném vrcholu, takže vznikne cyklus, který tvoří [[mnohoúhelník]]; 3-polytop se skládá z několika 2-polytopů (mnohoúhelníků), z nichž některé dvojice jsou spojeny hranou, a dohromady tvoří [[mnohostěn]]; atd.

Obecně je <math>(d\!+\!1)</math>-polytop tvořen několika <math>d</math>-polytopy, které mají po dvou společné {{nowrap|<math>(d\!\!-\!\!1)</math>-podpolytopy}} (jako mají dvě hrany společný vrchol nebo dvě plochy společnou hranu). Všechny <math>(d\!\!-\!\!1)</math>-podpolytopy musí být průnikem dvou <math>d</math>-polytopů, které spolu sousedí. Dále musí mezi dvěma <math>d</math>-polytopy existovat řetěz <math>d</math>-polytopů, takže každé dva členy jsou spojeny stejným způsobem jedním <math>(d\!\!-\!\!1)</math>-podpolytopem – například několik nesousedících mnohoúhelníků netvoří 3-polytop.

== Terminologie ==
V určitých dimenzích dostaly polytopy zvláštní názvy, které jsou uvedeny v následující tabulce:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Dimenze
! Název ''d''-polytopu
|-
| 0
| [[Bod]]
|-
| 1
| [[Úsečka]]
|-
| 2
| [[Mnohoúhelník]]
|-
| 3
| [[Mnohostěn]]
|-
| 4
| [[Polychor]]
|}

U polytopů dimenze ''d'' se používají následující názvy:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Dimenze
! Název části polytopu ({{Vjazyce2|en|''face''}})
|-
| ''0''
| [[Vrchol (geometrie)|Vrchol]] ({{Vjazyce2|en|''vertex'', pl. ''vertices''}})
|-
| ''1''
| Hrana ({{Vjazyce2|en|''edge''}})
|-
| ''2''
| Stěna ({{Vjazyce2|en|''side''}})
|-
| ''3''
| Buňka ({{Vjazyce2|en|''cell''}})
|-
| ''d − 3''
| ({{Vjazyce2|en|''peak''}})
|-
|''d − 2''
| Hřeben ({{Vjazyce2|en|''ridge'', ''subfacet''}}), tj. vrchol pro mnohoúhelníky (''d = 2''), hrana pro mnohostěny (''d = 3''), …
|-
|''d − 1''
| Nadstěna ({{Vjazyce2|en|''facet''}}), tj. hrana pro mnohoúhelníky (''d = 2''), stěna pro mnohostěny (''d = 3''), …
|-
|''d''
| Nadtěleso ({{Vjazyce2|en|''body''}}) - vlastní polytop
|}

[[Dimenze]] polytopu <math>P</math> je definována jako rozměr jeho [[Afinní obal|afinního obalu]], tedy nejmenší [[afinní prostor]], který obsahuje polytop <math>P</math>. Krychle je tedy trojrozměrná, protože nejmenší prostor, který ji obsahuje, je trojrozměrný. Polytop '''plné dimenze''' je polytop, které neleží ve vlastním podprostoru, tedy jehož dimenze je stejná jako prostor, v němž je umístěn.

== Konvexní polytop ==
V&nbsp;[[Matematika|matematice]] a v [[Lineární programování|lineárním programování]] mají zvláštní význam [[Konvexní množina|konvexní]] polytopy, tedy takové polytopy, u nichž úsečka spojující libovolné dva body leží celá uvnitř polytopu. Jde o zobecnění pojmu [[Mnohostěn|konvexního mnohostěnu]].

=== Konvexní polyedr ===
'''Konvexní polyedr''' je průnik konečně mnoha podprostorů prostoru <math>\mathbb{R}^d</math>. Polyedr <math>P \subset \mathbb{R}^d</math> je tedy každá množina tvaru

:<math>P = \{ x \in \mathbb{R}^d | Ax \leq b\},</math>

kde <math>A</math> je nějaká matice typu <math>(m, d)</math> a <math>b</math> je vektor <math>b \in \mathbb{R}^m.</math>{{Sfn|Turzík|1999|s=22}}

Takto definovaný polyedr je zobecněním [[Mnohostěn|konvexního mnohostěnu]] na libovolný počet rozměrů <math>d</math>. Navíc oproti běžné představě mnohostěnu může být neohraničený; doplněním podmínky ohraničenosti dostáváme jiný způsobe zavedení polytopu:

Konvexní polyedr <math>P</math> je (konvexní) polytop pravě tehdy, když je ohraničený. (Minkowského věta){{Sfn|Turzík|1999|s=25}}

=== Alternativní definice ===
Konvexní polytop lze alternativně definovat jako [[konvexní obal]] konečné množiny bodů <math>\mathbb{R}^d</math> (vrcholů).

Každý polytop plné dimenze rozděluje prostor své dimenze na svůj vnitřek, vnějšek a hranici. Každá úsečka, která spojuje nějaký vnitřní a nějaký vnější bod, protíná nadstěnu polytopu právě v jednom bodě. Průnik dvou polytopů plné dimenze se společným vnitřním bodem je opět polytopem plné dimenze. Matematickou indukcí lze dokázat, že totéž platí pro konečný počet polytopů plné dimenze se společným vnitřním bodem.

Každé nadstěně (tedy koncovému bodu pro úsečky, hraně pro mnohoúhelníky atd.) polytopu lze přiřadit [[poloprostor]], na jehož hranici nadstěna leží, a která polytop obsahuje. Chceme-li to provést, představíme si část prostoru, která leží na straně hraniční plochy obrácené k polytopu. Takový poloprostor lze chápat jako množinu bodů, které ve svých [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnicích]] vyhovují nějaké lineární nerovnosti. Průnik všech poloprostorů s každou z ploch je opět polytop. Každý konvexní polytop lze tedy popsat jako množinu řešení [[Soustava lineárních nerovnic|soustavy lineárních nerovnic]] s konečně mnoha proměnnými. Pokud je množina řešení lineárního systému nerovnic omezená (tj. vzdálenost mezi všemi body je omezená), platí i obrácené tvrzení.

Jestliže
:<math>a^T x \leq b</math>
je lineární nerovnice, kterou splňují všechny body polytopu, pak průnik polytopu s množinou, pro kterou je splněna rovnost
:<math>\{x | a^T x = b \}</math>
označované jako ''stěna''. Každá stěna může být reprezentována nějakou takovou nerovnicí. Pro speciální případ nerovnice
:<math>0^T x \leq 0</math>
je průnikem celý polytop; naopak pro nerovnici
:<math>0^T x \leq 1</math>
je průnikem prázdná množina:
:<math>\{x | 0^T x = 1 \} \cap P = \{x | 0^T x = 1 \} = \varnothing</math>
Množina všech stěn polytopu je uspořádána inkluzí. Nadstěna <math>n</math>-rozměrného konvexního polytopu je pak <math>(n-1)</math>-rozměrná nadstěna. Například u trojrozměrné krychle jsou všechny vrcholy, hrany a stěny krychle „hraničními plochami“, ale hraničními plochami jsou také prázdná množina a celá krychle. Ale pouze dvourozměrné hraniční plochy jsou stěnami krychle.

[[Vrchol (geometrie)|Vrchol]] konvexního polytopu je takový bod polytopu, který není [[Lineární kombinace|konvexní kombinací]] jiných bodů polytopu, což znamená, že neleží na úsečce mezi dvěma jinými body polytopu. To odpovídá grafické představě vrcholu. Není například možné sestrojit úsečku mezi dvěma body krychle, jejímž vnitřním bodem je vrchol krychle. Vrchol <math>x</math> polytopu <math>P</math> nazýváme ''degenerovaný'', pokud počet nadstěn, které obsahují bod <math>x</math> je větší než dimenze <math>P</math>. Například vrchol trojrozměrné pyramidy se čtvercovou základnou je degenerovaný, protože je obsažen ve čtyřech stěnách. Konvexní polytop nazýváme ''celočíselný'', pokud jsou všechny jeho vrcholy popsány celočíselnými souřadnicemi. Tyto pojmy jsou důležité mimo jiné v [[Lineární programování|lineárním programování]] a [[Celočíselné programování|celočíselném programování]], protože [[optimum|optima]] lineární funkce je dosaženo vždy alespoň v jednom vrcholu.

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|de|Polytop (geometrie)|199849478|en|Polytope|1007247842}}<references />

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | jméno = Harold Scott MacDonald
 | příjmení = Coxeter
 | titul = Regular polytopes
 | url = https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe_q0b5
 | vydání = 3
 | vydavatel = Dover Publications
 | rok = 1973
 | isbn = 0-486-61480-8
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Günter M.
 | příjmení = Ziegler
 | titul = Lectures on polytopes
 | Reihe = Graduate Texts in Mathematics
 | NummerReihe = 152
 | vydavatel = Springer Verlag
 | rok = 1995
 | isbn = 0-387-94365-X
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Branko
 | příjmení = Grünbaum
 | editoři = Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler
 | titul = Convex polytopes
 | vydání = 2
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | rok = 2003
 | isbn = 0-387-00424-6
 | rok prvního vydání = 1967
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Daniel
 | příjmení = Turzík
 | titul = Matematika III: základy optimalizace
 | vydání = 3
 | vydavatel = Vysoká škola chemicko-technologická v Praze
 | místo = Praha
 | rok = 1999
 | isbn = 80-7080-363-0
}}

=== Související články ===
* [[Nadkrychle]] (hyperkrychle)

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}

{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Vícerozměrné geometrické útvary]]