Zobrazení zdroje stránky Přirozené číslo

'''Přirozeným číslem''' se v [[Matematika|matematice]] rozumí číslo, které je možné použít pro vyjádření počtu („na stole je ''šest'' mincí“) nebo pořadí („toto je třetí největší město“) prvků konečných množin.

Čísla používaná pro vyjádření počtu se v matematice označují jako [[kardinální číslo|kardinální čísla]], zatímco čísla určená pro vyjádření pořadí se nazývají [[ordinální číslo|ordinální čísla]]. Přirozená čísla studuje odvětví matematiky [[teorie čísel]].

Přirozená čísla patří mezi základní [[Matematika#Kvantita|matematické koncepty]], a&nbsp;protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel. Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje písmenem <math>\N</math>.

Podle některých z používaných definic (např. standard [[ISO 80000-2]]) přirozená čísla začínají číslem 0 a označují tak celá nezáporná čísla (tj. čísla 0, 1, 2, …),<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Mac Lane
| jméno = Saunders
| titul = Algebra
| url = https://books.google.cz/books?id=L6FENd8GHIUC&q=%22the+natural+numbers%22&pg=PA15&redir_esc=y#v=snippet&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false
| vydavatel = Chelsea Pub. Co
| kapitola = The Natural Numbers
| strany = 15
| isbn = 9780821816462
| oclc = 18102563
}}</ref> zatímco podle jiných definic přirozená čísla začínají číslem 1<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Carothers
| jméno = N. L.
| titul = Real analysis
| url = https://books.google.cz/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=%22natural+numbers%22&redir_esc=y#v=snippet&q=%22natural%20numbers%22&f=false
| vydavatel = Cambridge University Press
| místo = Cambridge [UK]
| počet stran = 1 online resource (xiii, 401 pages)
| strany = 3
| isbn = 978-1-139-64871-4
| isbn2 = 1-139-64871-3
| oclc = 855534519
}}</ref> a označují tak celá kladná čísla 1, 2, 3, …<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Prvňáci a matematika VII. Číslo 0
| periodikum = clanky.rvp.cz
| url = https://clanky.rvp.cz/clanek/k/z/18025/PRVNACI-A-MATEMATIKA-VII-CISLO-0.html/
| datum přístupu = 2018-11-20
}}</ref>

== Značení ==

[[Množina]] přirozených čísel se označuje velkým písmenem '''N''' (nebo zdvojeným písmenem <math>\mathbb{N}</math>). (Z latiny numero-číslo, naturalis-přírodní, přirozený.{{doplňte zdroj}})

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a&nbsp;jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:
* pro [[Nezáporné číslo|nezáporná]] [[celé číslo|celá čísla]] (včetně [[Nula|nuly]]):
** '''N<sup>0</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{0}</math>, případně '''N<sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{N}_{0}</math>, nebo
** '''Z<sup>+</sup><sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>;
* pro [[Kladné číslo|kladná]] celá čísla (bez [[Nula|nuly]]):
**'''N<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{+}</math>, nebo
** '''Z<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}</math>.

== Formální definice ==

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících [[axiom]]ech (tzv. [[Peanova aritmetika]]):

* Každé přirozené číslo <math>a</math> má jediného následníka, označovaného <math>S(a)</math>.
* Existuje jediné přirozené číslo, jež není následníkem žádného přirozeného čísla, značí se obvykle 0.
* Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud <math>a \ne b</math>, pak <math>S(a) \ne S(b)</math>.
* Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom (resp. [[axiomatické schéma]]) zajišťuje platnost [[Matematický důkaz|důkazů]] technikou [[Matematická indukce|matematické indukce]].)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0&nbsp;v&nbsp;této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s&nbsp;funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

== Konstrukce ==

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v [[Axiomatická teorie množin|axiomatické teorii množin]] je následující postup (von Neumannova konstrukce):
* Definuje se <math>0 = \{\} = \empty</math> ([[prázdná množina]]).
* Definuje se <math>S(a) = a \cup \{ a \}</math> ([[sjednocení|sjednocení množin]]) pro všechna <math>a</math>.
* Množina přirozených čísel se pak definuje jako [[průnik]] všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí [[Axiom nekonečna|axiomu nekonečna]] lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

:<math>0 = \{\}</math>
:<math>1 = \{0\} = \{\{\}\}</math>
:<math>2 = \{0, 1\} = \{0, \{0\}\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}</math>
:<math>3 = \{0, 1, 2\} = \{0, \{0\}, \{0, \{0\}\}\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}</math>
: …atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo ''n'' vyjadřuje mohutnost množiny o&nbsp;právě ''n'' prvcích.

== Vlastnosti ==

* Množina přirozených čísel je [[Nekonečná množina|nekonečná]] (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak [[Spočetná množina|spočetná]] (podle definice).
* Na přirozených číslech lze definovat operaci [[sčítání]] takto: <math>a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b)</math> pro všechna <math>a, b</math>. Tím se stane <math>(\N, \operatorname+)</math> [[komutativní]]m [[monoid]]em s&nbsp;[[Neutrální prvek|neutrálním prvkem]] 0. Pokud definujeme <math>S(0) = 1</math>, je <math>S(a) = S(a + 0)</math><math>= a + S(0) = a + 1</math>, tedy následníkem čísla <math>a</math> je číslo <math>a + 1</math>. Tento monoid je možné vnořit do [[Grupa|grupy]]; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou [[Celé číslo|celá čísla]].
* Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operaci [[násobení]] takto: <math>a \cdot 0 = 0, a \cdot (b + 1) = (a \cdot b) + a</math>. Tím se stane <math>(\N, \operatorname\cdot)</math> komutativním monoidem s&nbsp;neutrálním prvkem&nbsp;1. Sčítání a&nbsp;násobení splňují [[distributivní zákon]]: <math>a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math>. <math>(\N, \operatorname+, \operatorname\cdot)</math> je tedy komutativním [[polookruh]]em.
* Na přirozených číslech lze definovat [[úplné uspořádání]], kdy <math>a \le b</math> právě tehdy, když existuje přirozené číslo <math>c</math> takové, že <math>a + c = b</math> Přirozená čísla jsou [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádaná]], takže každá neprázdná množina přirozených čísel má [[nejmenší prvek]].
* Na přirozených číslech neexistuje operace [[dělení]], neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady ''dělení se zbytkem'': pro libovolná dvě přirozená čísla <math>a, b</math>, kde <math>b \ne 0</math>, můžeme najít taková přirozená čísla <math>r, g</math>, že platí <math>a = bg + r</math> a&nbsp;zároveň <math>r < b</math>. Číslu <math>r</math> pak říkáme [[zbytek po dělení]] čísla <math>a</math> číslem <math>b</math>, číslo <math>q</math> je celočíselný podíl <math>a</math> a <math>b</math>. Tato operace je základem mnoha vlastností ([[dělitelnost]]), postupů ([[Euklidův algoritmus]]) a&nbsp;idejí v [[Teorie čísel|teorii čísel]]. Na existenci a&nbsp;vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část [[kryptografie]].

== Reference ==
<references />

== Související články ==
* [[Celé číslo]]
* [[Racionální číslo]]
* [[Reálné číslo]]
* [[Iracionální číslo]]

== Externí odkazy ==

* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=přirozené číslo}}
* {{MathWorld|NaturalNumber}}
* [[Neil Sloane]]: [https://oeis.org/wiki/Annotated_version_of_%22What%27s_Special_About_This_Number%3F%22_(Part_0) ''Annotated version of "What's Special About This Number?" (Part 0)'']

{{navboxes
| title = Přirozená čísla 0-1099
| list = {{Přirozená čísla 0-99}}
{{Přirozená čísla 100-199}}
{{Přirozená čísla 200-299}}
{{Přirozená čísla 300-399}}
{{Přirozená čísla 400-499}}
{{Přirozená čísla 500-599}}
{{Přirozená čísla 600-699}}
{{Přirozená čísla 700-799}}
{{Přirozená čísla 800-899}}
{{Přirozená čísla 900-999}}
{{Přirozená čísla 1000-1099}}
}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Čísla]]
[[Kategorie:Přirozená čísla| ]]
[[Kategorie:Číselné obory]]