Zobrazení zdroje stránky Přechodový jev (elektrický obvod)

'''Přechodový jev''' je [[fyzika|fyzikální]] děj probíhající v čase mezi dvěma ustálenými stavy. V ustáleném stavu se [[energie]] soustavy nemění (popř. se mění periodicky), během přechodového děje dochází k jejím změnám.

Vznik jevu je podmíněn změnami energie v [[Akumulátor|akumulačních]] prvcích obvodu ([[kondenzátor]]y a [[cívka|cívky]]). Tyto změny nemohou proběhnout okamžitě, protože by vyžadovaly zdroj nekonečné energie. Charakter jevu závisí na druhu zapojených akumulačních prvků. Obsahuje-li obvod pouze jeden akumulační prvek obvodu (tj. kromě rezistoru pouze kondenzátor nebo pouze cívku), nemůže dojít k vratné výměně energie a děj probíhá aperiodicky. Pokud však obvod obsahuje oba akumulační prvky, dochází k periodické výměně energie mezi prvky - [[rezonance]]. Tyto obvody pak nazýváme [[oscilátor]]y.
[[Soubor:RL RC průběh proudu.png|náhled|Průběh náběhového (připojení zdroje) resp. doběhového (odpojení zdroje) proudu v RL resp. RC obvodu.]]

== Přechodové jevy prvního řádu ==

=== RL obvod ===
[[Soubor:RL obvod.png|náhled|RL obvod]]
RL obvod je tvořen zdrojem [[stejnosměrné napětí|stejnosměrného]] [[elektrické napětí|elektrického napětí]] a sériovým zapojením ideálního [[rezistor]]u a ideální [[cívka|cívky]]. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet [[elektrický proud]], který na cívce vytvoří [[magnetické pole]], které se bude zvětšovat a na cívce se začne [[elektromagnetická indukce|indukovat]] napětí. Napětí na cívce je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na rezistoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na cívce snižovat a na rezistoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice ([[Kirchhoffovy zákony|2.Kirchhoffův zákon]]):

:<math>L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) = U_0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = {U_0 \over R} (1-e^{-{t\over \tau}}) \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(0) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(\infty) = {U_0 \over R}</math>

a po odpojení zdroje napětí se začne energie magnetického pole cívky měnit v rezistoru na energii [[teplo|tepelnou]]:

:<math>L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = {U_0 \over R} e^{-{t\over \tau}} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(0) = {U_0 \over R} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(\infty) = 0</math>,

časová konstanta je <math>\tau=\frac{L}{R}</math>.

=== RL obvod (střídavý) ===
[[Soubor:RL_obvod_(střídavý).png|náhled|RL obvod (střídavý)]]
RL obvod je tvořen zdrojem [[střídavé napětí|střídavého]] [[elektrické napětí|elektrického napětí]] a sériovým zapojením ideálního [[rezistor]]u a ideální [[cívka|cívky]] a je modelován rovnicí ([[Kirchhoffovy zákony|2.Kirchhoffův zákon]]):

:<math>L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) = U_0 \sin\omega t \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = {U_0 \over Z} (e^{-{t \over \tau}} - \cos\omega t) \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(0) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(\infty) = {U_0 \over Z} \sin (\omega t-{\pi \over 2})</math>

kde <math>Z^{2} = R^{2} + (\omega L)^{2}</math> a <math>\omega</math> představuje [[Úhlová frekvence|úhlovou frekvenci]] střídavé třífázové sítě (<math>\tau</math> viz výše). Uvedené řešení diferenciální rovnice je východiskem výpočtů zkratových poměrů v třífázových elektrizačních soustavách, viz norma ČSN EN 60909-0 ED.2 (333022).

=== RC obvod ===
[[Soubor:RC obvod.png|náhled|RC obvod]]
[[Soubor:RC průběh napětí.png|náhled|Postupné nabíjení resp. vybíjení kondenzátoru napětím <math>U_C</math> po připojení resp. odpojení zdroje.]]
RC obvod je tvořen zdrojem [[stejnosměrné napětí|stejnosměrného]] [[elektrické napětí|elektrického napětí]] a sériovým zapojením ideálního [[rezistor]]u a ideálního [[kondenzátor]]u. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet [[elektrický proud]], který na kondenzátoru vytvoří [[elektrické pole]], které se bude zvětšovat a kondenzátor se začne nabíjet (bude v něm vzrůstat nahromaděný [[Elektrický náboj|náboj]]). Napětí na rezistoru je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na kondenzátoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na rezistoru snižovat a na kondenzátoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice ([[Kirchhoffovy zákony|2.Kirchhoffův zákon]]):

:<math>R \, i(t) + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(T) \, dT = U_0</math>.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času ''t'', dostáváme rovnici prvního řádu:

:<math>R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = {U_0 \over R} \, e^{-{t\over \tau}} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(0) = {U_0 \over R} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(\infty) = 0</math>

a po odpojení zdroje napětí se začne energie elektrického pole kondenzátoru měnit v rezistoru na energii [[teplo|tepelnou]]:

:<math>R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = -{U_0 \over R} \, e^{-{t\over \tau}} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(0) = -{U_0 \over R} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(\infty) = 0</math>,

kde časová konstanta je <math>\tau=RC</math>, tj. za čas <math>t=\tau</math> se kondenzátor nabije zhruba na dvě třetiny své kapacity a za čas <math>t=3\tau</math> se kondenzátor nabije na 95% své kapacity, kondenzátor pak lze považovat za nabitý. Vybíjení kondenzátoru probíhá reverzně k nabíjení.

Lineární pasivní elektrický RC obvod měnící signál v závislosti na kmitočtu se užívá jako [[frekvence|frekvenční]]  [[Filtr (zpracování signálu)|filtr]], např. [[horní propust]] nebo [[dolní propust]].

== Přechodové jevy druhého řádu ==

=== LC obvod ===
[[Soubor:LC obvod.png|náhled|LC obvod]]
LC obvod je tvořen zdrojem [[stejnosměrné napětí|stejnosměrného]] [[elektrické napětí|elektrického napětí]] a sériovým zapojením ideální [[cívka|cívky]] a ideálního [[kondenzátor]]u a je modelován rovnicí ([[Kirchhoffovy zákony|2.Kirchhoffův zákon]]):

:<math>L\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = U_0</math>.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času ''t'', dostáváme rovnici druhého řádu:

:<math>L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = i(0) \cos\omega_0 t \, \, \, \, \,</math> - pro <math>U_0=0</math>

kde <math>\omega_0 = {1\over \surd LC}</math> představuje [[rezonance|rezonanční]] [[Úhlová frekvence|úhlovou frekvenci]] netlumeného kmitání.

=== RLC obvod ===
[[Soubor:RLC obvod.png|náhled|RLC obvod]]
RLC obvod je tvořen zdrojem [[stejnosměrné napětí|stejnosměrného]] [[elektrické napětí|elektrického napětí]] a sériovým zapojením ideálního [[rezistor]]u ([[Elektrický odpor|odporu]]), ideální [[cívka|cívky]] ([[indukčnost]]i) a ideálního [[kondenzátor]]u ([[Elektrická kapacita|kapacity]]) a je modelován rovnicí ([[Kirchhoffovy zákony|2.Kirchhoffův zákon]]):

:<math>L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = U_0</math>.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času ''t'', dostáváme rovnici druhého řádu:

:<math>L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>i(t) = i(0) \, e^{-\alpha t} \cos\omega t \, \, \, \, \,</math> - pro <math>U_0=0</math> a <math>R \rightarrow 0 </math>

a kde <math>\omega = \sqrt {{1\over LC}-\frac{R^2}{4L^2}} = \sqrt {\omega_0^2-\alpha^2}</math> pro <math>\omega_0^2>\alpha^2</math> představuje [[Úhlová frekvence|úhlovou frekvenci]] tlumeného kmitání.

[[Charakteristická rovnice]] výše uvedené [[homogenní diferenciální rovnice]] je ve tvaru:

:<math>\lambda^2 + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>\lambda_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{{\frac{R^2}{4L^2}} - \frac{1}{LC}}</math>

a pro diskriminant uvedené kvadratické rovnice platí:

<math>D > 0</math> - řešením jsou dva různé reálné kořeny <math>\lambda_1</math> a <math>\lambda_2</math> a děj je aperiodický

<math>D = 0</math> - řešením jsou dva shodné reálné kořeny <math>\lambda_1 = \lambda_2</math> a děj je na mezi periodicity

<math>D < 0</math> - řešením jsou dva kořeny komplexně sdružené a děj je periodický (viz řešení výše uvedené diferenciální rovnice).

=== RLC obvod (střídavý) ===
[[Soubor:RLC obvod (střídavý).png|náhled|RLC obvod (střídavý)]]
RLC obvod je tvořen zdrojem [[střídavé napětí|střídavého]] [[elektrické napětí|elektrického napětí]] a sériovým zapojením ideálního [[rezistor]]u, ideální [[cívka|cívky]] a ideálního [[kondenzátor]]u a je modelován rovnicí ([[Kirchhoffovy zákony|2.Kirchhoffův zákon]]):

:<math>L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = U_0 e^{j \omega t}</math>.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času ''t'', dostáváme rovnici druhého řádu:

:<math>L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = j \omega U_0 e^{j \omega t}</math>

a kde <math>\omega</math> představuje [[Úhlová frekvence|úhlovou frekvenci]] kmitání střídavého napětí.

Řešení výše uvedené rovnice ve tvaru:

:<math>i(t) = I_0 e^{j \omega t} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>\frac{di(t)}{dt} = j \omega I_0 e^{j \omega t} \, \, \, \, \,</math> tj. <math>\frac{d^2i(t)}{dt^2} = - \omega^{2} I_0 e^{j \omega t}</math>

dosaďme do výše uvedené rovnice, pak dostaneme:

:<math>(- \omega^{2} L \, I_0 + j \omega R \, I_0 + \frac{1}{C} \, I_0) = j \omega U_0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>I_0 \, (R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})) = U_0 \, \, \, \, \,</math> tj. <math>I_0 \, Z = U_0</math>.

== Související články ==
* [[Rezonanční obvod]]
* [[Elektrický obvod]]
* [[Elektrický zkrat]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/rlcser.html Sériový RLC obvod (anglicky)]
* [https://mse.redwoods.edu/darnold/math55/DEproj/sp14/TejaAluru/paper.pdf Sériový RLC obvod (anglicky)] {{Wayback|url=https://mse.redwoods.edu/darnold/math55/DEproj/sp14/TejaAluru/paper.pdf |date=20220923120757 }}
* [https://www.intelligentsoftware.eu/upload/pdf/MathES.pdf Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě]

{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Elektromagnetismus]]