Zobrazení zdroje stránky Přímka

'''Přímka''' je ''[[Dimenze vektorového prostoru|jednorozměrný]]'' [[základní geometrické útvary|základní geometrický útvar]]. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou [[křivka|křivku]] (tj. křivku s nulovým [[Křivost křivky|zakřivením]], resp. s nekonečně velkým poloměrem zakřivení; pojem křivka v [[matematika|matematice]] zahrnuje i „rovné křivky“). V [[Eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] pro každé dva [[bod]]y existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, [[úsečka|úsečku]] z jednoho bodu do druhého.

Z [[fyzika|fyzikálního]] hlediska je přímka [[trajektorie]] [[foton]]u neovlivněného [[gravitace|gravitací]].

Speciální případ přímky je [[osa]].

== Znázornění a značení ==
Přímka se znázorňuje rovnou [[čára|čarou]], označuje se malým [[písmeno|písmenem]], např. <math>a, b, c, ...</math>. Přímka procházející dvěma body <math>A,B</math> bývá také značena <math>\overleftrightarrow{AB}</math>.

Znázornění:

[[Soubor:Primka.png]]

== Algebraický zápis ==
Přímku v rovině lze [[algebra]]icky popsat pomocí [[lineární rovnice|lineárních rovnic]] nebo [[lineární funkce|lineárních funkcí]].

Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je [[geometrie]] postavena [[axiom]]aticky (jako v [[Eukleidés|Eukleidových]] [[Eukleidovy Základy|''Základech'']] a později ve ''[[Foundations of Geometry]]'' [[David Hilbert|Davida Hilberta]]), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka.“ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval.

V&nbsp;[[eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]] '''R'''<sup>''n''</sup> (a analogicky ve všech ostatních [[vektorový prostor|vektorových prostorech]]) definujeme přímku ''L'' jako [[podmnožina|podmnožinu]] ve tvaru

: <math>L = \{\mathbf{a}+t\mathbf{b}\mid t\in\mathbb{R}\}</math>

kde '''a''' a '''b''' jsou [[vektor]]y v&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> a '''b''' je nenulové. Vektor '''b''' udává směr přímky a '''a''' je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací '''a''' a '''b'''.

=== Rovinná přímka ===
V&nbsp;'''R'''<sup>2</sup> je každá přímka ''L'' popsaná [[lineární rovnice|lineární rovnicí]], která může být zadána v různých tvarech.

==== Směrnicová rovnice přímky ====
[[Soubor:primka rovnice smernicova.svg|náhled|Ke směrnicové rovnici přímky.]]
Směrnicová rovnice přímky má tvar
: <math>y=kx+q</math>,
kde <math>k = \operatorname{tg}\varphi</math> je tzv. ''[[směrnice přímky]]'', přičemž <math>\varphi</math> je [[orientovaný úhel]] s vrcholem v průsečíku přímky a první [[souřadnicová osa|souřadnicové osy]], jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a <math>q</math> je tzv. ''úsek (vytnutý přímkou)'' na ose <math>y</math>, což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou <math>y</math>.

Pro <math>k>0</math> představuje rovnice přímky [[rostoucí funkce|rostoucí funkci]], pro <math>k<0</math> jde o [[klesající funkce|funkci klesající]]. Pro <math>k=0</math> je přímka [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math>. Je-li <math>q=0</math>, pak přímka prochází počátkem <math>O</math>.

Přímku rovnoběžnou s osou <math>y</math> nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

==== Úseková rovnice přímky ====
[[Soubor:primka rovnice usekova.svg|náhled|K úsekové rovnici přímky.]]
Úseková rovnice přímky má tvar
: <math>\frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1</math>,
kde <math>p\neq 0</math> je ''úsek (vytnutý přímkou)'' na ose <math>x</math> a <math>q\neq 0</math> je ''úsek (vytnutý přímkou)'' na ose <math>y</math>.

Přímku [[rovnoběžky|rovnoběžnou]] s osou <math>x</math> nebo <math>y</math> nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

==== Normálová rovnice přímky ====
[[Soubor:primka rovnice normalova.svg|náhled|K normálové rovnici přímky.]]
Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru
: <math>x \cos\psi + y \sin\psi - n = 0</math>,
kde <math>n\geq 0</math> představuje [[vzdálenost]] počátku soustavy souřadnic <math>O</math> od přímky a <math>\psi</math> je velikost [[orientovaný úhel|orientovaného úhlu]], jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v <math>O</math> vedená [[Ortogonalita|kolmo]] k přímce.

Členy <math>\cos\psi</math> a <math>\sin\psi</math> představují složky [[jednotkový vektor#Druhy vektorů|jednotkového vektoru]] [[Ortogonalita|kolmého]] k přímce.

==== Obecná rovnice přímky ====
Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem [[obecná rovnice nadroviny|obecné rovnice nadroviny]] a má tvar
: <math>ax+by+c=0</math>,
kde <math>a, b, c</math> jsou [[konstanta|konstanty]], přičemž <math>a\neq 0</math> nebo <math>b\neq 0</math>.

Pro <math>a=0</math> je přímka [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math>, pro <math>b=0</math> je přímka rovnoběžná s osou <math>y</math>. Pro <math>c=0</math> prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant <math>a, b, c</math>. Konstanty <math>a, b</math> určují [[vektor]] <math>\mathbf{n}</math>, který je kolmý k přímce. Parametr <math>c</math> pak souvisí se [[vzdálenost]]í přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme <math>k=-\frac{a}{b}, q=-\frac{c}{b}</math>, pro <math>b\neq 0</math>. Zavedeme-li <math>p=-\frac{c}{a}, q=-\frac{c}{b}</math>, pro <math>a\neq 0, b\neq 0, c\neq 0</math>, pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru
: <math>\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}\sgn{c}}x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}\sgn{c}}y + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}\sgn{c}} = 0</math>

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich [[úhlová odchylka|sklon]], průsečík s&nbsp;osou&nbsp;x a průsečík s&nbsp;osou&nbsp;y. [[Excentricita]] přímky je [[nekonečno]].

==== Parametrické vyjádření přímky ====
[[Parametrická funkce|Parametrické vyjádření přímky]] je definováno vztahem: <math>X = A + u.t</math>
a v rovině je tedy dáno rovnicemi
: <math>x = x_0 + a_1 t</math>
: <math>y = y_0 + a_2 t</math>
kde <math>A=[x_0,y_0]</math> je libovolný bod přímky, <math>a_1, a_2</math> jsou [[konstanta|konstanty]] určující [[Směrnice přímky|směrnici přímky]], tedy [[vektor]] <math>u = (a_1, a_2)</math> je směrovým vektorem přímky a <math>t\in (-\infty,\infty)</math> je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant <math>a_1, a_2</math> musí být nenulová.

==== Vektorová rovnice přímky ====
[[Vektor]]ová rovnice přímky má tvar
: <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{a} t</math>
kde <math>\mathbf{r}</math> je [[rádiusvektor]] procházející všemi body přímky, <math>\mathbf{r}_0</math> je rádiusvektor jednoho z bodů přímky, <math>\mathbf{a}</math> je [[vektor]] určující směr přímky a <math>t\in(-\infty,\infty)</math> je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

==== Polární rovnice přímky ====
V [[polární souřadnice|polárních souřadnicích]] lze přímku vyjádřit jako
: <math>\rho = \frac{n}{\cos{(\psi-\varphi)}}</math>,
kde <math>n</math> je [[vzdálenost]] přímky od počátku <math>O</math> a <math>\varphi</math> je velikost [[orientovaný úhel|orientovaného úhlu]] s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří [[polární osa]] a druhé rameno [[polopřímka]] [[Ortogonalita|kolmá]] k přímce s počátkem v O.

==== Rovnice přímky určené bodem ====
Rovnice přímky se směrnicí <math>k</math> procházející [[bod]]em <math>[x_0,y_0]</math> je
: <math>y-y_0=k(x-x_0)</math>

Rovnice přímky procházející dvěma danými body <math>[x_1,y_1]</math> a <math>[x_2,y_2]</math>, kde <math>x_1\neq x_2</math>, má tvar
: <math>\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
neboli
: <math>y-y_1 = (x-x_1) \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě [[determinant]]u
: <math>\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0</math>
Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body <math>[x_1,y_1], [x_2,y_2], [x_3,y_3]</math> leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka
: <math>\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0</math>

=== Prostorová přímka ===
Přímkou v prostoru se nazývá [[množina]] [[bod]]ů [[prostor (geometrie)|prostoru]], které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

==== Obecná rovnice přímky ====
V&nbsp;'''R'''<sup>3</sup> lze přímku ''L'' definovat jako průsečík dvou [[rovina|rovin]], pomocí soustavy jejich [[lineární rovnice|lineárních rovnic]]:
: <math>L=\{(x,y,z)\mid (a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1) \land (a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2)\}</math>
(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty <math>a_1</math> až <math>d_2</math>, které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením [[soustava rovnic|soustavy rovnic]]
: <math>a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0</math>
: <math>a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0</math>

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je [[Ortogonalita|kolmá]] k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k <math>xy</math> a <math>xz</math> dostaneme
: <math>y=mx+q</math>
: <math>z=nx+r</math>

==== Parametrické rovnice přímky ====
Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar
: <math>x = x_0 + ta</math>
: <math>y = y_0 + tb</math>
: <math>z = z_0 + tc</math>
kde <math>[x_0,y_0,z_0]</math> je libovolný bod, kterým přímka prochází, <math>a, b, c</math> jsou [[konstanta|konstanty]] určující [[Směrnice přímky|směrnici]] přímky a <math>t\in(-\infty,\infty)</math> je parametr.

Konstanty <math>a, b, c</math> mohou být vyjádřeny prostřednictvím [[směrový úhel|směrových úhlů]] <math>\alpha, \beta, \gamma</math> jako
: <math>x = x_0 + t\cos\alpha</math>
: <math>y = y_0 + t\cos\beta</math>
: <math>z = z_0 + t\cos\gamma</math>

Směrové úhly přitom splňují podmínku
: <math>\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1</math>

==== Rovnice přímky určené bodem ====
Rovnici přímky procházející body <math>[x_1,y_1,z_1], [x_2,y_2,z_2]</math> lze zapsat jako
: <math>\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}</math>

Rovnici přímky procházející bodem <math>[x_1,y_1,z_1]</math> se směrovými úhly <math>\alpha, \beta, \gamma</math> lze zapsat jako
: <math>\frac{x-x_1}{\cos\alpha} = \frac{y-y_1}{\cos\beta} = \frac{z-z_1}{\cos\gamma}</math>

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry <math>a, b, c</math>, pak lze předchozí vztah přepsat jako
: <math>\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}</math>

=== Přímka ve vícerozměrném prostoru ===
Přímku lze zavést také v ''n''-[[Dimenze vektorového prostoru|rozměrném]] prostoru.

==== Parametrické vyjádření ====
Přímku v&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> lze také vyjádřit '''[[parametrická funkce|parametricky]]''': přímka procházející bodem <math>A(a_1;a_2;...a_n) \,</math> se směrovým vektorem <math>v(v_1;v_2;...;v_n) \,</math> je množina bodů <math>L(x_1;x_2;...;x_n) \,</math>, pro které existuje [[skalár]] ''k'' takový, že
: <math>\left\{\begin{matrix} x_1 = a_1+kv_1 \\ x_2=a_2 + kv_2 \\ ... \\ x_n = a_n+kv_n \end{matrix}\right.</math>

==== Vektorový tvar ====
Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít [[vektor]]ový zápis
: <math>\mathbf{x} = \mathbf{a} + k\mathbf{v}</math>

== Vzájemná poloha bodu a přímky ==
{{viz též|Vzájemná poloha bodu a přímky}}
Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají '''''kolineární'''''.

Leží-li tři (různé) body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod <math>B</math> mezi body <math>A</math> a <math>C</math>, pak bod <math>B</math> označíme jako ''vnitřní bod'' úsečky <math>AC</math>.

Bod <math>X</math> ležící na přímce <math>p</math> ji dělí na dvě ''[[polopřímka|polopřímky]]''. Je-li bod <math>A</math> vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení <math>\overrightarrow{X A}</math>. Opačnou polopřímku k polopřímce <math>\overrightarrow{X A}</math> značíme <math>\overleftarrow{X A}</math>.

== Vzájemná poloha přímek ==
{{viz též|Vzájemná poloha dvou přímek}}
Dvě různé přímky ležící v téže [[rovina|rovině]] mohou být buď [[rovnoběžky|rovnoběžné]] a nemít žádný společný bod (v [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]] se protínají v [[Nekonečno|nekonečnu]]), nebo [[různoběžka|různoběžné]] a [[průsečík|protnout]] se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě [[rovina|roviny]] se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim [[mimoběžka|mimoběžky]].

Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky ''splývající'' (''totožné'').

Přímku různoběžnou s rovnoběžkami <math>p, q</math> označujeme jako ''příčku rovnoběžek'' <math>p, q</math>.

[[Průnik]] dvou polopřímek <math>\overrightarrow{AB}</math> a <math>\overrightarrow{BA}</math> se nazývá ''[[úsečka|úsečkou]]'' a značí <math>AB</math>.

== Některé důležité přímky ==
* [[asymptota]] – přímka, ke které se [[Limita|limitně]] blíží daná [[křivka]], zejména [[graf funkce]], pro nezávisle proměnnou rostoucí nade všechny meze,
* [[číselná osa]] – přímka s reálnými čísly přiřazenými každému jejímu bodu, užívaná např. jako [[souřadná osa]],
* [[osa rotace]] – přímka, kolem níž [[Otočení|rotuje]] (otáčí se) dané [[těleso]] nebo vůči které provádíme matematické otáčení tělesa,
* [[osa symetrie]] – přímka, ke které lze [[Zrcadlení|zrcadlově]] obrátit [[geometrický útvar]] a dostat tak útvar totožný,
[[Soubor:Euler line.svg|náhled|250px|Eulerova přímka (červená) a osy stran (symetrály, zelené), těžnice (oranžové) a výšky (modré) v trojúhelníku]]
* [[Eulerova přímka]],
* [[Simsonova přímka]],
* [[tečna]] – přímka dotýkající se křivky nebo plochy, prochází průběžným [[Bod|bodem]] (bodem dotyku) křivky (plochy) jednostranně, neprotíná ji v něm,
* [[normála]] – kolmice k tečně v bodě dotyku křivky, laicky „kolmice ke křivce“,
* [[kolmice]] – přímka [[Pravý úhel|pravoúhle]] skloněná k dané přímce nebo rovině,
* [[těžnice]] – přímka procházející [[Vrchol (geometrie)|vrcholem]] [[trojúhelník]]u a středem protilehlé strany, půlící jeho plochu.

== Odkazy ==

=== Literatura ===
* Marcela Palková a kolektiv: ''Průvodce matematikou 2'', Didaktis, Brno 2007, {{ISBN|978-80-7358-083-4}}, str. 8-9
* Šárka Voráčová a kolektiv: ''Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná'', Academia, Praha 2012, {{ISBN|978-80-200-1575-4}}, str. 12

=== Související články ===
* [[Základní geometrické útvary]]
* [[Lineární geometrické útvary]]
* [[Vzájemná poloha přímky a kružnice]]
* [[Výpočet průsečíku křivek]]

=== Externí odkazy ===
* {{commonscat}}
* {{wikislovník|heslo=přímka}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrické útvary]]
[[Kategorie:Rovinné geometrické útvary]]
[[Kategorie:Rovinné křivky]]