Zobrazení zdroje stránky Okolí (matematika)

'''Okolí bodu''' je pojem používaný v [[Matematická analýza|matematické analýze]], [[Geometrie|geometrii]] a [[Topologie|topologii]] pro množinu, která s tímto bodem obsahuje i body jemu blízké.

Na přímce (např. [[Reálná osa|reálné ose]]), v rovině nebo prostoru (i vícerozměrném) je množina okolím bodu A, pokud obsahuje bod A a pro nějaké kladné číslo <math>\epsilon</math> též všechny body, jejichž vzdálenost od A je menší než <math>\epsilon</math>. Stejná definice pojmu okolí se používá i v každém [[Metrický prostor|metrickém prostoru]].

Ekvivalentně lze definovat, že množina X je okolím bodu A, pokud obsahuje nějakou [[Otevřená množina|otevřenou podmnožinu]] O, která obsahuje A, tedy <math>A \in O \subseteq X</math>. Výhodou této definice je, že zavádí pojem okolí v každém [[Topologický prostor|topologickém prostoru]].

Pomocí okolí bodů se dají definovat pojmy jako [[Uzávěr množiny|uzávěr]] a [[Vnitřek množiny|vnitřek]] množiny, [[spojité zobrazení]], [[Limita posloupnosti]], [[limita funkce]] a podobně.

== Úvod ==
Pojem okolí byl nejprve studován na množině [[Reálné číslo|reálných čísel]], poté byl zobecněn na mnohem širší okruh množin. Reálná i [[Komplexní číslo|komplexní čísla]] jsou metrickým prostorem a každý metrický prostor je topologickým prostorem. Proto ze všech níže uvedených definic je topologická definice nejobecnější (má smysl na širším okruhu množin než zbývající definice).

Všechny níže uvedené definice jsou ekvivalentní v tom smyslu, že pokud má na nějaké struktuře smysl více než jedna z níže uvedených definic pojmu okolí nebo ε-okolí, pak tyto definice splývají. Například na množině je 1-okolí bodu 3 v metrickém smyslu totožné s 1-okolím bodu 3 podle definice pro reálná čísla.

Ve všech níže uvedených případech, kdy definujeme ε-okolí, platí, že množina ''A'' je okolím bodu ''x'', pokud obsahuje jeho ε-okolí pro nějaké ε > 0. Například interval (2.9 , 3.1) je 0.1-okolím bodu 3, a tedy je jeho okolím.

Topologický prostor se od ostatních případů odlišuje tím, že na něm lze definovat okolí, ovšem nikoli ε-okolí.

== Definice ==

=== ε-okolí reálného bodu ===
{{Kotva|Prstencové okolí}}
<math>\varepsilon</math>-okolím reálného bodu <math>x</math> je pro <math>\varepsilon>0</math> otevřený [[interval (matematika)|interval]] <math>(x-\varepsilon,x+\varepsilon)</math>. Prstencové <math>\varepsilon</math>-okolí bodu <math>x</math> je pak okolí, které neobsahuje bod <math>x</math>, tedy sjednocení intervalů <math>(x - \varepsilon, x) \cup (x, x + \varepsilon)</math>. Pojem okolí a <math>\varepsilon</math>-okolí je možno zobecnit na [[Rozšířená reálná čísla#Nerovnost a okolí|rozšířená reálná čísla]], což podstatně zjednoduší definice limity funkce pro různé případy (vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě).

=== ε-okolí komplexního bodu ===
<math>\varepsilon</math>-okolím komplexního bodu <math>z_0</math> označujeme všechny body z [[komplexní rovina|komplexní roviny]], pro které platí <math>|z - z_0 | < \varepsilon</math>, tzn. body ležící na komplexní rovině uvnitř kružnice se středem v bodě <math>z_0</math> a poloměrem <math>\varepsilon</math>.

=== ε-okolí v metrických prostorech ===
V [[metrický prostor|metrickém prostoru]] <math>X</math> s metrikou <math>\rho</math> zavádíme <math>\varepsilon</math>-okolí bodu <math>x</math> jako sférické okolí (kouli) o poloměru <math>\varepsilon</math> následovně: <math>U_{\varepsilon}(x)=\{y\in X:\rho(x, y)<\varepsilon\}</math>.

=== U-okolí v topologických prostorech ===
Podmnožinu <math>U</math> [[Topologický prostor|topologického prostoru]] <math>(X, \tau)</math> nazveme okolím bodu <math>x</math>, pokud existuje prvek [[topologie]] <math>O \in \tau</math> takový, že <math>x \in O</math> a platí <math>O \sub U</math>. Okolí bodu <math>x</math> značíme <math>U(x)</math>.

Protože vnitřek množiny je její největší otevřená [[podmnožina]], je množina <math>U(x)</math> okolí bodu <math>x</math> právě tehdy, když <math>x</math> leží v jejím vnitřku.

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Topologie]]