Zobrazení zdroje stránky Normální podgrupa

'''Normální podgrupa''' (známá také jako '''invariantní podgrupa''' nebo '''samokonjugovaná podgrupa'''){{Sfn|Bradley|2010|s=12}} je v [[Abstraktní algebra|abstraktní algebře]] [[podgrupa]], která je [[Invariant (matematika)|invariantní]] vůči [[Vnitřní automorfismus|konjugaci]] podle prvků [[Grupa|grupy]], jíž je částí. Jinými slovy podgrupa <math>N</math> grupy <math>G</math> je normální v <math>G</math> právě tehdy, když <math>gng^{-1} \in N</math> pro všechny <math>g \in G</math> a <math>n \in N</math>. Že <math>N</math> je normální podgrupou <math>G</math> zapisujeme <math>N \triangleleft G</math>.

Význam normálních podgrup spočívá v tom, že normální podgrupy (a pouze normální podgrupy) lze použít pro vytvoření [[Faktorová grupa|faktorové grupy]] <math>G/N</math> dané grupy. Navíc jsou normální podgrupy grupy <math>G</math> právě [[Jádro homomorfismu|jádry]] [[Grupový homomorfismus|grupových homomorfismů]] s [[Definiční obor|definičním oborem]] <math>G</math>, což znamená, že je lze použít pro interní klasifikaci těchto homomorfismů.

První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl [[Évariste Galois]].{{Sfn|Cantrell|2000|s=160}}

== Definice ==
[[Podgrupa]] <math>N</math> grupy <math>G</math> se nazývá '''normální podgrupa''' grupy <math>G</math> (značíme <math>N \triangleleft G</math>), pokud je invariantní vůči [[Vnitřní automorfismus|konjugaci]]; tj. konjugace prvku podgrupy <math>N</math> podle prvku grupy <math>G</math> je vždy v <math>N</math>.{{Sfn|Dummit|Foote|2004}}

=== Ekvivalentní podmínky ===
Pro libovolnou podgrupu <math>N</math> grupy <math>G</math> jsou následující podmínky [[Ekvivalence (logika)|ekvivalentní]] s tím, že <math>N</math> je normální podgrupou grupy <math>G</math>. Proto libovolnou z nich můžeme použít jako definici normální podgrupy:

* Obraz konjugace podgrupy <math>N</math> libovolným prvkem grupy <math>G</math> je podmnožinou <math>N</math>,{{Sfn|Hungerford|2003|s=41}} tj. <math>gNg^{-1}\subseteq N</math> pro všechny <math>g\in G</math>.
* Obraz konjugace podgrupy <math>N</math> libovolným prvkem grupy <math>G</math> je roven <math>N,</math>{{Sfn|Hungerford|2003|s=41}} tj. <math>gNg^{-1}= N</math> pro všechny <math>g\in G</math>.
* Pro všechny <math>g \in G</math> jsou si levé a pravé třídy <math>gN</math> a <math>Ng</math> rovné.{{Sfn|Hungerford|2003|s=41}}
* Množiny levých a pravých [[Levá třída|tříd]] podgrupy <math>N</math> v <math>G</math> jsou stejné.{{Sfn|Hungerford|2003|s=41}}
* Násobení v <math>G</math> zachovává relaci ekvivalence „je ve stejné levé třídě jako“. Tj. pro každé <math>g,g',h,h'\in G</math>, které vyhovuje <math>g N = g' N</math> a <math>h N = h' N</math>, platí <math>(g h) N = (g' h') N</math>.
* Existuje grupa na množina levých tříd podgrupy <math>N</math> kde násobení libovolných dvou levých tříd <math>gN</math> a <math>hN</math> dává levou třídu <math>(gh)N</math>. Tato grupa se nazývá ''[[faktorová grupa]]'' grupy <math>G</math> ''podle'' <math>N</math> a značí se <math>G/N</math>.
* <math>N</math> je [[Sjednocení|sjednocením]] [[třída konjugace|tříd konjugace]] grupy <math>G</math>.{{Sfn|Cantrell|2000|s=160}}
* <math>N</math> se zachovává [[Vnitřní automorfismus|vnitřními automorfismy]] grupy <math>G</math>.{{Sfn|Fraleigh|2003|s=141}}
* Existuje nějaký [[grupový homomorfismus]] <math>G \to H</math> jehož [[Jádro (algebra)|jádro]] je <math>N</math>.{{Sfn|Cantrell|2000|s=160}}
* Existuje grupový homomorfismus <math>\phi:G \to H</math> jehož vlákna tvoří grupa kde neutrální prvek je <math>N</math> a násobení libovolných dvou vláken <math>\phi^{-1}(h_1)</math> a <math>\phi^{-1}(h_2)</math> dává fiber <math>\phi^{-1}(h_1 h_2)</math> (tato grupa je tatáž grupa <math>G/N</math> se zmínil výše).
* Existuje nějaká [[kongruence]] na <math>G</math>, jejíž [[třída ekvivalence]] [[Neutrální prvek|neutrálního prvku]] je <math>N</math>.
* Pro všechny <math>n\in N</math> a <math>g\in G</math> je [[komutátor (algebra)|komutátor]] <math>\langle n,g\rangle = n^{-1} g^{-1} n g</math> v <math>N</math>.{{Doplňte zdroj|datum=březen 2019}}
* Libovolné dva prvky komutují modulo relace příslušnosti k normální podgrupě.{{Ujasnit}} Tj. pro všechny <math>g, h \in G</math> je <math>g h \in N</math> právě tehdy, když <math>h g \in N</math>.{{Doplňte zdroj|datum=říjen 2020}}

== Příklady ==
Pro libovolnou grupu <math>G</math> je triviální podgrupa <math>\{ e \}</math> sestávající pouze z neutrálního prvku grupy <math>G</math> vždy normální podgrupou grupy <math>G</math>. Podobně grupa <math>G</math> samotná je vždy normální podgrupou grupy <math>G</math> (pokud to jsou jediné normální podgrupy, pak o <math>G</math> říkáme, že je [[Jednoduchá grupa|jednoduchá]]).{{Sfn|Robinson|1996|s=16}} Jiný pojmenovaný normální podgrupy libovolné grupy zahrnuje [[centrum grupy]] (množina prvků, které komutují se všemi ostatními prvky) a [[komutátorová podgrupa]] <math>\langle G,G\rangle </math>.{{Sfn|Hungerford|2003|s=45}}{{Sfn|Hall|1999|s=138}} Obecněji, protože konjugace je izomorfismus, libovolná [[charakteristická podgrupa]] je normální podgrupou.{{Sfn|Hall|1999|s=32}}

Pokud <math>G</math> je [[Abelova grupa]], pak každá podgrupa <math>N</math> grupy <math>G</math> je normální, protože <math>gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng</math>. Obecněji pro libovolnou grupu <math>G</math>, každá podgrupa ''centra'' <math>Z(G)</math> grupy <math>G</math> je normální v <math>G</math> (ve speciálním případě, když <math>G</math> je Abelova je centrum grupy celé <math>G</math>, tedy fakt, že všechny podgrupy Abelovy grupa jsou normální). Grupa, které není Abelova, ale jejíž každá podgrupa je normální, se nazývá [[Hamiltonovská grupa]].{{Sfn|Hall|1999|s=190}}

Konkrétní příkladem normální podgrupy je podgrupa <math>N = \{(1), (123), (132)\}</math> [[Symetrická grupa|symetrických grup]] <math>S_3</math>, sestávající z neutrální a oba tři-cykly. Konkrétně, můžeme kontrolovat, že každá levá třída podgrupy <math>N</math> je jak rovno <math>N</math> samotný nebo je rovno <math>(12)N = \{ (12), (23), (13)\}</math>. Na druhou stranu, podgrupa <math>H = \{(1), (12)\}</math> není normální v <math>S_3</math>, protože <math>(123)H = \{(123), (13) \} \neq \{(123), (23) \} = H(123)</math>.{{Sfn|Judson|2020|loc = Section 10.1}} To demonstruje obecný fakt, že libovolná podgrupa <math>H \leq G</math> indexu dva je normální.

Jako příklad normální podgrupy v [[Lineární grupa|grupě matic]] uvažujme [[Obecná lineární grupa|obecnou lineární grupu]] <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math> všech invertovatelných matic <math>n\times n</math> [[Reálné číslo|reálných čísel]] s operací [[násobení matic]] a její podgrupu <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> všech matic <math>n\times n</math> s [[determinant]]em 1 ([[speciální lineární grupa]]). Pro představu, proč podgrupa <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> je normální v <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math>, uvažujme libovolnou matici <math>X</math> v <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> a libovolnou invertibilní matici <math>A</math>. Pak použitím dvou důležitých identit <math>\det(AB)=\det(A)\det(B)</math> a <math>\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}</math> dostáváme, že <math>\det(AXA^{-1}) = \det(A) \det(X) \det(A)^{-1} = \det(X) = 1</math>, takže také <math>AXA^{-1} \in \mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math>. To znamená, že <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> je uzavřená vůči konjugaci v <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math>, takže je to normální podgrupa.{{Poznámka|Jinak řečeno: <math>\det</math> je homomorfismus <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math> do multiplikativní podgrupy <math> \mathbf{R}^\times</math>, a <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> je jádro. Oba argumenty fungují také nad [[Komplexní číslo|komplexními čísly]] nebo dokonce nad libovolným [[Komutativní těleso|komutativním tělesem]].}}

V [[Grupa Rubikovy kostky|grupě Rubikovy kostky]] podgrupy sestávající z operace, které ovlivňují pouze orientace buď rohových kostiček nebo hranových kostiček, jsou normální.{{Sfn|Bergvall|Hynning|Hedberg|Mickelin|2010|s=96}}

[[Posunutí (geometrie)|Grupa posunutí]] je normální podgrupa [[Eukleidova grupa|Eukleidovy grupy]] v libovolné dimenzi.{{Sfn|Thurston|1997|s=218}} To znamená, že použitím shodného zobrazení následovaného posunutím a inverzním shodným zobrazením, má stejný efekt jako samotné posunutí. Naproti tomu podgrupa všech [[Otáčení|rotací]] okolo počátku ''není'' normální podgrupou Eukleidovské grupy pro dvou nebo vícerozměrný prostor: provedení translace následované rotací kolem počátku a opačnou translací typicky změní počátek souřadnicového systému, a proto dá jiný výsledek než samotná rotace kolem počátku.

== Vlastnosti ==

* Pokud <math>H</math> je normální podgrupa grupy <math>G</math>, a <math>K</math> je podgrupa grupy <math>G</math> obsahující <math>H</math>, pak <math>H</math> je normální podgrupa grupy <math>K</math>.{{Sfn|Hungerford|2003|s=42}}
* Normální podgrupa normální podgrupy grupy nemusí být normální v grupě. Čili normalita není [[Tranzitivní relace]]. Nejmenší grupa vykazující toto chování je [[Dihedrální grupa]] řádu 8.{{Sfn|Robinson|1996|s=17}} [[Charakteristická podgrupa]] normální podgrupy však je normální.{{Sfn|Robinson|1996|s=28}} Grupa, v niž je normalita tranzitivní, se nazývá [[T-grupa (matematika)|T-grupa]].{{Sfn|Robinson|1996|s=402}}
* Dvě grupy <math>G</math> a <math>H</math> jsou normální podgrupy jejich [[Direktní součin grup|přímý součin]] <math>G \times H</math>.
* Pokud grupa <math>G</math> je [[Semidirektní součin|semidirektním součinem]] <math>G = N \rtimes H</math>, pak <math>N</math> je normální v <math>G</math>, ale <math>H</math> nemusí být normální v <math>G</math>.
* Pokud <math>M</math> a <math>N</math> jsou normální podgrupy aditivní grupy <math>G</math> takové, že <math>G = M + N</math> a <math>M \cap N = \{0\}</math>, pak <math>G = M \oplus N</math>.{{Sfn|Hungerford|2013|s=290}}
* Surjektivní homomorfismy zachovávají normalitu;{{Sfn|Hall|1999|s=29}} tj., pokud <math>G \to H</math> je surjektivní grupový homomorfismus a <math>N</math> je normální v <math>G</math>, pak obraz <math>f(N)</math> je normální v <math>H</math>.
* [[Inverzní obraz]] zachovává normalitu; {{Sfn|Hall|1999|s=29}} tj., pokud <math>G \to H</math> je grupový homomorfismus a <math>N</math> je normální v <math>H</math>, pak inverzní obraz <math>f^{-1}(N)</math> je normální v <math>G</math>.
* [[Direktní součin grup]] zachovává normalitu; {{Sfn|Hungerford|2003|s=46}} tj., pokud <math>N_1 \triangleleft G_1</math> a <math>N_2 \triangleleft G_2</math>, pak <math>N_1 \times N_2\; \triangleleft \;G_1 \times G_2</math>.
* Každá podgrupa [[Index (teorie grup)|indexu]] 2 je normální. Obecněji podgrupa <math>H</math> konečného indexu <math>n</math> v <math>G</math> obsahuje podgrupu <math>K</math>, která je normální v <math>G</math> a jejíž index dělí <math>n!</math>, která se nazývá [[normální jádro]]. Speciálně pokud <math>p</math> je nejmenší prvočíslo dělící řád grupy <math>G</math>, pak každá podgrupa indexu <math>p</math> je normální.{{Sfn|Robinson|1996|s=36}}
* Skutečnost, že normální podgrupy grupy <math>G</math> jsou právě jádra grupových homomorfismů definovaných na <math>G</math>, odpovídá za některé z významů normálních podgrup; jsou způsobem, jak interně klasifikovat všechny homomorfismy definované na grupě. Například neidentity konečné grupy je [[Jednoduchá grupa|jednoduchá]] právě tehdy, když je izomorfní se všemi svými neidentickými homomorfními obrazy;{{Sfn|Dõmõsi|Nehaniv|2004|s=7}} konečná grupa je [[Dokonalá grupa|dokonalá]] právě tehdy, když nemá žádné normální podgrupy prvočíselného [[Index podgrupy|indexu]]; grupa je [[Nedokonalá grupa|nedokonalá]] právě tehdy, když [[odvozená podgrupa]] nemá žádnou vlastní normální podgrupu.

=== Svaz normálních podgrup ===
Jsou-li <math>N</math> a <math>M</math> dvě normální podgrupy grupy <math>G</math>, jejich průnik <math>N\cap M</math> a jejich součin <math>N M = \{n m : n \in N\; \wedge\; m \in M \}</math> je také normální podgrupa grupy <math>G</math>. 

Normální podgrupy grupy <math>G</math> tvoří [[svaz (matematika)|svaz]] s relací [[Podmnožina|inkluze množin]] s [[Nejmenší a největší prvek|nejmenším prvkem]] <math>\{ e \}</math> a [[Nejmenší a největší prvek|největším prvkem]] <math>G</math>. [[Spojení a průsek|Průsek]] dvou normálních podgrup <math>N</math> a <math>M</math> v tomto svazu je jejich průnik a [[Spojení a průsek|spojení]] je jejich součin.

[[Svaz (matematika)|Svaz]] je [[Úplný svaz|úplný]] a [[modulární svaz|modulární]].{{Sfn|Hungerford|2003|s=46}}

== Normální podgrupy, faktorové grupy a homomorfismy ==

Pokud <math>N</math> je normální podgrupa grupy <math>G</math>, je možné definovat násobení na [[Grupa#Rozkladové_třídy|levých třídách]] jako zobrazení <math>G/N\times G/N \to G/N</math> takto:
:<math>\left(a_1 N\right) \left(a_2 N\right) := \left(a_1 a_2\right) N</math>
Pro důkaz, že toto zobrazení je [[Korektně definovaný|korektně definované]], je třeba dokázat, že výsledek nezávisí na volbě reprezentantů <math>a_1, a_2</math>. Za tímto účelem uvažujme jiné reprezentanty <math>a_1'\in a_1 N, a_2' \in a_2 N</math>. Pak existují <math>n_1, n_2\in N</math> takové, že <math>a_1' = a_1 n_1, a_2' = a_2 n_2</math>. Odtud plyne, že
:<math>a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N,</math>
kde využíváme také fakt, že <math>N</math> je ''normální'' podgrupa, a proto existuje <math>n_1'\in N</math> takové, že <math>n_1 a_2 = a_2 n_1'</math>. Tím je dokázáno, že tento součin je korektně definovaným zobrazení mezi levými třídami.

Množina levých tříd s touto operací je grupou, kterou nazýváme [[faktorová grupa]] a značíme <math>G/N.</math> Existuje přirozená [[Grupový homomorfismus|projekce]] <math>f : G \to G/N</math> daná vztahem <math>f(a) = a N</math>. Tato projekce převádí <math>N</math> na neutrální prvek grupy <math>G/N</math>, což je levá třída <math>e N = N</math>,{{Sfn|Hungerford|2003|s=42–43}} tj. <math>\ker(f) = N</math>.

Obecně, grupový homomorfismus <math>f : G \to H</math> zobrazuje podgrupy grupy <math>G</math> na podgrupy grupy <math>H</math>. Také vzor libovolné podgrupy grupy <math>H</math> je podgrupou grupy <math>G</math>. Vzor triviální grupy <math>\{ e \}</math> v <math>H</math> nazýváme '''[[Jádro homomorfismu|jádrem homomorfismu]]''' a značíme <math>\ker f</math>. Lze ukázat, že jádro je vždy normální a obraz <math>f(G)</math> grupy <math>G</math> je vždy [[Izomorfismus|izomorfní]] s <math>G / \ker f</math> ([[první věta o izomorfismu]]).{{Sfn|Hungerford|2003|s=44}} Tato korespondence je [[Bijekce|bijekcí]] mezi množinami všech faktorových grup <math>G/N</math> grupy <math>G</math>, a množinou všech homomorfních obrazů grupy <math>G</math> ([[až na]] izomorfismus).{{Sfn|Robinson|1996|s=20}} Je také zřejmé, že jádrem faktorového zobrazení <math>f : G \to G/N</math> je samotné <math>N</math>, takže normální podgrupy jsou právě jádry homomorfismů s [[Definiční obor|definičním oborem]] <math>G</math>.{{Sfn|Hall|1999|s=27}}

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Reference ===
{{Překlad|en|Normal subgroup|1223075302}}<references />

=== Literatura ===
* {{Citace elektronické monografie
 | příjmení = Bergvall
 | jméno = Olof
 | příjmení2 = Hynning
 | jméno2 = Elin
 | příjmení3 = Hedberg
 | jméno3 = Mikael
 | příjmení4 = Mickelin
 | jméno4 = Joel
 | příjmení5 = Masawe
 | jméno5 = Patrick
 | titul = On Rubik's Cube
 | datum = 2010-05-16
 | vydavatel = [[Královský technický institut|KTH]]
 | url = https://people.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Cantrell
 | jméno = C.D.
 | titul = Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers
 | url = https://archive.org/details/modernmathematic0000cant
 | url-access = registration
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2000
 | isbn = 978-0-521-59180-5
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Dõmõsi
 | jméno = Pál
 | příjmení2 = Nehaniv
 | jméno2 = Chrystopher L.
 | titul = Algebraic Theory of Automata Networks
 | edice = SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications
 | vydavatel = SIAM
 | rok = 2004
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Dummit
 | jméno = David S.
 | příjmení2 = Foote
 | jméno2 = Richard M.
 | titul = Abstract Algebra
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | rok = 2004
 | vydání = 3
 | isbn = 0-471-43334-9
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Fraleigh
 | jméno = John B.
 | titul = A First Course in Abstract Algebra
 | vydavatel = Addison-Wesley
 | rok = 2003
 | vydání = 7
 | isbn = 978-0-321-15608-2
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Hall
 | jméno = Marshall
 | titul = The Theory of Groups
 | vydavatel = Chelsea Publishing
 | místo = Providence
 | rok = 1999
 | isbn = 978-0-8218-1967-8
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Hungerford
 | jméno = Thomas
 | titul = Algebra
 | edice = Graduate Texts in Mathematics
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2003
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Hungerford
 | jméno = Thomas
 | titul = Abstract Algebra: An Introduction
 | url = https://archive.org/details/abstractalgebrai0003hung
 | vydavatel = Brooks/Cole Cengage Learning
 | rok = 2013
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Judson
 | jméno = Thomas W.
 | titul = Abstract Algebra: Theory and Applications
 | rok = 2020
 | url = http://abstract.ups.edu/aata/aata.html
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Robinson
 | jméno = Derek J. S.
 | titul = A Course in the Theory of Groups
 | ročník = 80
 | edice = Graduate Texts in Mathematics
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | rok = 1996
 | isbn = 978-1-4612-6443-9
 | zbl = 0836.20001
 | vydání = 2
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Thurston
 | jméno = William
 | odkaz na autora = William Thurston
 | titul = Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1
 | url = https://archive.org/details/threedimensional0001thur
 | příjmení editora = Levy
 | jméno editora = Silvio
 | edice = Princeton Mathematical Series
 | vydavatel = Princeton University Press
 | rok = 1997
 | isbn = 978-0-691-08304-9
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Bradley
 | jméno = C. J.
 | titul = The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups
 | vydavatel = Clarendon Press
 | místo = Oxford New York
 | rok = 2010
 | isbn = 978-0-19-958258-7
 | oclc = 859155300
 | ref = harv
}}

* {{Citace monografie
 | jméno = I. N.
 | příjmení = Herstein
 | titul = Topics ion algebra
 | vydání = 2
 | vydavatel = Xerox College Publishing
 | místo = Lexington, Mass.-Toronto, Ont.
 | rok = 1975
 | počet stran = xi+388
 | ref = harv
}}

=== Související články ===
* [[Ideál (teorie okruhů)]]
* [[Pologrupa|Ideál pologrupy]]

=== Externí odkazy ===
* {{MathWorld|urlname=NormalSubgroup|titul= normal subgroup}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Normal_subgroup Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics]
* [http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter1.pdf Robert Ash: Group Fundamentals in ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year'']
* [http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/normal.html John Baez, What's a Normal Subgroup?]

{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Algebraické struktury]]