Zobrazení zdroje stránky Newtonovy–Cotesovy vzorce

[[Soubor:Simpson rule.png|náhled|Newtonův–Cotesův vzorec pro&nbsp;''n''&nbsp;=&nbsp;2]]
'''Newtonovy–Cotesovy vzorce''' nebo '''Newtonova–Cotesova (kvadraturní) pravidla''' je v [[numerická matematika|numerické matematice]] skupina vzorců pro [[numerická integrace|numerickou integraci]] (''kvadraturu'') založenou na hodnotách integrandu ve stejně vzdálených bodech. Metoda je pojmenována po [[Isaac Newton|Isaacu Newtonovi]] a [[Roger Cotes|Rogeru Cotesovi]].

Newtonovy–Cotesovy vzorce mohou být užitečné, jestliže jsou dány hodnoty integrandu v bodech, které jsou stejně vzdálené. Pokud je možné změnit body, v nichž se integrand vyčísluje, pak jsou pravděpodobně vhodnější jiné metody, např. [[Gaussovo kvadraturní pravidlo]] nebo [[Clenshawova–Curtisova kvadratura]].

== Popis ==
Předpokládejme, že hodnota funkce ''f'' definované na uzavřeném intervalu <math>\langle a, b\rangle</math> je známa ve stejně vzdálených bodech ''x''<sub>''i''</sub>, pro ''i'' = 0, ..., ''n'', kde ''x''<sub>0</sub>&nbsp;= ''a'' a ''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;= ''b''. Existují dva typy Newtonových–Cotesových vzorců, „uzavřený“ typ, který používá funkční hodnoty ve všech bodech, a „otevřený“ typ, který nepoužívá funkční hodnoty v koncových bodech. Uzavřené Newtonovy–Cotesovy vzorce stupně ''n'' mají tvar

: <math>\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)</math>

kde {{nowrap|''x''<sub>''i''</sub> {{=}} ''h'' ''i'' + ''x''<sub>0</sub>}}, velikost kroku ''h'' je rovna {{nowrap|(''x''<sub>''n''</sub> − ''x''<sub>0</sub>) / ''n'' {{=}} (''b'' − ''a'') / ''n''}}. Hodnoty ''w''<sub>''i''</sub> se nazývají ''váhy''.

Jak je vidět v následujícím odvození, váhy jsou odvozené z [[Lagrangeova interpolace|Lagrangeových interpolačních polynomů]]. Nezávisejí na funkci ''f'', ale pouze na ''x''<sub>''i''</sub>. Nechť ''L''(''x'') jsou interpolační polynom v Lagrangeově tvaru pro dané datové body {{nowrap|(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>) ), …, (''x''<sub>''n''</sub>, ''f''(''x''<sub>''n''</sub>) )}}, pak

: <math> \int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \left( \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x) \right) \, dx
= \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}. </math>

Otevřené Newtonovy–Cotesovy vzorec stupně ''n'' mají tvar

: <math>\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n-1} w_i\, f(x_i).</math>

váhy lze spočítat podobným způsobem jako u uzavřených vzorců.

== Nestabilita u vzorců vysokého stupně ==
Je možné zkonstruovat Newtonův–Cotesův vzorec jakéhokoli stupně ''n''. Ale pro velká ''n'' Newtonovo–Cotesovo pravidlo může někdy trpět katastrofickým [[Rungeho jev]]em, kdy chyba pro velká ''n'' roste exponenciálně. Metody jako [[Gaussovo kvadraturní pravidlo]] a Clenshawova–Curtisova kvadratura s nestejně vzdálenými body (zahuštěné v blízkosti ''koncových bodů'' integračního intervalu) jsou stabilní a mnohem přesnější a jsou obvykle upřednostňovány před Newtonovou–Cotesovou metodou. Pokud tyto metody nelze použít, protože hodnoty integrované funkce jsou známy pouze v pevných, stejně vzdálených bodech, pak se lze Rungeho jevu vyhnout pomocí složeného pravidla, jak je vysvětleno níže.

Alternativně lze stabilní Newtonovy–Cotesovy vzorce zkonstruovat pomocí aproximace metodou nejmenších čtverců místo interpolace. To umožňuje vytvářet vzorce, které jsou i v případě vysokého stupně numericky stabilní.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = http://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/stable-newton-cotes-formulas/
 | titul = Stable Newton-Cotes Formulas
 | autor = Pavel Holoborodko
 | datum = 2011-03-24
 | datum přístupu = 2015-08-17
}}</ref><ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = http://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/stable-newton-cotes-formulas-open-type/
 | titul = Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type)
 | autor = Pavel Holoborodko
 | datum = 2012-05-20
 | datum přístupu = 2015-08-18
}}</ref>

== Uzavřené Newtonovy–Cotesovy vzorce ==
Následující tabulka shrnuje Newtonovy–Cotesovy vzorce uzavřeného typu. Pro <math>0 \le i \le n,</math> {{mvar|n}}-tého stupně, kde <math>x_i = a + i\tfrac{b-a}{n} = a+ih,</math> a <math>f_i</math> je zkratka za <math>f(x_i)</math>.

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:white"
|+ '''Uzavřené Newtonovy–Cotesovy Formule'''
! Stupeň {{mvar|n}}!! Velikost kroku {{mvar|h}} !! Obvyklé jméno !! Vzorec !! Chyba
|- style="text-align: střed;" 
| 1 ||<math>b-a</math> ||[[Lichoběžníková metoda]] || <math> \frac{h}{2} (f_0 + f_1) </math> || <math>-\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi)</math>
|- style="text-align: střed;" 
| 2 ||<math>\frac{b-a}{2}</math>|| [[Simpsonova metoda]] || <math> \frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2) </math> || <math>-\frac{1}{90}h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|- style="text-align: střed;" 
| 3 ||<math>\frac{b-a}{3}</math>|| [[Simpsonova metoda#Simpsonovo 3/8 pravidlo|Simpsonova 3/8 metoda]] || <math> \frac{3h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) </math> || <math>-\frac{3}{80}h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|- style="text-align: střed;" 
| 4 ||<math>\frac{b-a}{4}</math>|| [[Booleovo pravidlo]] || <math> \frac{2h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) </math> || <math>-\frac{8}{945}h^7f^{(6)}(\xi)</math>
|}
Kvůli kopírování typografické chyby z často používané referenční publikace od Abramowitze a Steguna je Booleovo pravidlo často nesprávně nazýváno Bodeovo pravidlo.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = http://mathworld.wolfram.com/BoolesRule.html
 | titul = Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")]
}}</ref>

Exponent velikosti intervalu ''b''&nbsp;−&nbsp;''a'' v chybovém členu ukazuje rychlost, s níž se snižuje aproximační chyba. Stupeň derivace funkce ''f'' v chybovém členu udává maximální stupeň polynomů, které jsou tímto pravidlem aproximovány přesně (tj. s chybou rovnou nule). Pamatujte, že derivace funkce ''f'' v chybovém členu se zvyšuje o 2 pro každé další pravidlo. Číslo <math>\xi</math> musí být z intervalu <math>(a, b)</math>.

== Otevřené Newtonovy–Cotesovy vzorce ==
Následující tabulka shrnuje Newtonovy–Cotesovy vzorce otevřeného typu. Opět je <math>f_i</math> zkratka za <math>f\left(x_i\right)</math>, kde <math>x_i = a + i \left(\frac{b - a}{n}\right)</math>, a {{mvar|n}} je stupeň metody.

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:white"
|+ '''Otevřené Newtonovy–Cotesovy Formule'''
! Stupeň {{mvar|n}} !! Velikost kroku {{mvar|h}} !! Obvyklé jméno !! Vzorec !! Chyba
|- style="text-align: střed;" 
| 2 || <math>\frac{b-a}{2}</math>|| [[Riemannův součet#Středový součet|Obdélníková metoda]] pro středy<br />intervalů ({{Vjazyce2|en|''midpoint rule''}}) || <math>2h f_1\,</math> || <math>\frac{1}{3}h^3f^{(2)}(\xi)</math>
|- style="text-align: střed;" 
| 3 || <math>\frac{b-a}{3}</math>|| Lichoběžníková metoda || <math> \frac{3}{2}h (f_1 + f_2) </math> || <math> \frac{1}{4}h^3f^{(2)}(\xi) </math>
|- style="text-align: střed;" 
| 4 || <math>\frac{b-a}{4}</math>|| Milneho pravidlo || <math> \frac{4}{3}h (2 f_1 - f_2 + 2 f_3) </math> || <math> \frac{28}{90}h^5f^{(4)}(\xi) </math>
|- style="text-align: střed;" 
| 5 || <math>\frac{b-a}{5}</math>|| || <math> \frac{5}{24}h (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4) </math> || <math> \frac{95}{144}h^5f^{(4)}(\xi) </math>
|}

== Složená pravidla ==
Aby Newtonova–Cotesova pravidla poskytovala dostatečně přesný výsledek, musí být velikost kroku ''h'' malá, což znamená, že interval integrace <math>\langle a, b\rangle</math> musí být také malý, což obvykle není. Z tohoto důvodu se numerická integrace obvykle provádí po rozdělení intervalu <math>\langle a, b\rangle</math> na menší podintervaly, na které se aplikuje Newtonova–Cotesovo pravidlo na každém podintervalu a dílčí výsledky se sečtou. Tento postup se nazývá ''složené pravidlo''. Viz [[numerická integrace]].

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Newton–Cotes formulas|905340245}}<references />

=== Literatura ===
* M. Abramowitz a I. A. Stegun, eds. [[Abramowitz a Stegun|''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'']]. New York: Dover, 1972. ''(Section 25.4.)''
* George E. Forsythe, Michael A. Malcolm a Cleve B. Moler. ''Computer Methods for Mathematical Computations''. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. ''(Section 5.1.)''
* {{Citace monografie
 | příjmení = Press
 | jméno = WH
 | příjmení2 = Teukolsky
 | jméno2 = SA
 | příjmení3 = Vetterling
 | jméno3 = WT
 | příjmení4 = Flannery
 | jméno4 = BP
 | rok = 2007
 | titul = Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
 | vydání = 3
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | místo = New York
 | isbn = 978-0-521-88068-8
 | kapitola = 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissa
 | chapter-url = http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=156
}}
* Josef Stoer a Roland Bulirsch. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980. ''(Section 3.1.)''

=== Související články ===
* [[Kvadratura (matematika)]]
* [[Rungeho jev]]
* [[Interpolace]]
* [[Interpolace pomocí spline funkcí]]

=== Externí odkazy ===
* {{Citace sborníku
 | editor = Hazewinkel, Michiel
 | rok = 2001 (1994)
 | titul = Newton–Cotes quadrature formula
 | dílo = Encyclopedia of Mathematics
 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Newton-Cotes_quadrature_formula
 | vydavatel = Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers
 | isbn = 978-1-55608-010-4
 | id = p/n066510
}}
* [http://www.math-linux.com/spip.php?article74 Newtonovy–Cotesovy vzorce] na www.math-linux.com
* {{MathWorld | urlname= Newton-CotesFormule | titul= Newton–Cotes Formulas }}
* [http://www.numericalmathematics.com/integration_and_differentiation.htm Newton–Cotes Integration] na webu numericalmathematics.com
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Numerická integrace]]