Zobrazení zdroje stránky Neinerciální vztažná soustava

[[Soubor:Noninertial reference frames.gif|náhled|300x300pixelů|Příkladem neinerciální vztažné soustavy je rotující vztažná soustava. Bod cítí odstředivou sílu, kterou je třeba kompenzovat, aby se mohl dále otáčet. Jinak necítí Eulerovu sílu, protože rychlost otáčení je konstantní, a necítí Coriolisovu sílu, protože se nepohybuje vzhledem k rotujícímu rámu.]]
Jako '''neinerciální vztažná soustava''' se ve [[fyzika|fyzice]] označuje taková [[vztažná soustava]], v níž ''neplatí'' [[1. Newtonův pohybový zákon]] ani [[3. Newtonův pohybový zákon]], tzn. že [[těleso]], ačkoliv na ně nepůsobí žádná [[síla]] nebo výslednice sil je [[nula|nulová]], ''mění'' svůj pohybový stav ([[rychlost]]), tzn. pohybuje se s nenulovým [[zrychlení]]m. Druhý použít lze, ale musíme vzít v úvahu kromě sil vznikajících vzájemným silovým působením těles i síly setrvačné.<ref>http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/40-neinercialni-vztazne-soustavy</ref> Změna pohybového stavu se vysvětluje [[Setrvačná síla|setrvačnou silou]], jejíž původ je mimo neinerciální vztažnou soustavu.

Neinerciální vztažné soustavy se vzhledem k [[Inerciální vztažná soustava|inerciálním vztažným soustavám]] pohybují zrychleně (s nenulovým [[zrychlení]]m). Stejně velké zrychlení, ale opačného směru, mají ''všechna'' volná tělesa v neinerciální vztažné soustavě (nepůsobí-li na ně další síla).

== Pohybové rovnice pro neinerciální vztažnou soustavu a setrvačné síly ==

=== Pohybová rovnice pro soustavu konající rotační pohyb ===
Pro vektor rychlosti platí vztah
:<math>\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d'\mathbf{v}}{dt}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}</math>,
kde levá strana rovnice představuje zrychlení <math>\mathbf{a}</math> vzhledem k inerciální soustavě. Za rychlost <math>\mathbf{v}</math> dosadíme <math>\mathbf{v}=\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}</math>, čímž dostaneme
:<math>\mathbf{a}=\frac{d'(\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})}{dt}+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})</math>.
Provedeme časovou derivaci a zároveň roznásobíme závorku, čímž dostaneme
:<math>\mathbf{a}=\frac{d'\mathbf{v}'}{dt}+\frac{d'\mathbf{\omega}}{dt}\times\mathbf{r}+\mathbf{\omega}\times\frac{d'\mathbf{r}'}{dt}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})=\mathbf{a}'+\frac{d'\mathbf{\omega}}{dt}\times\mathbf{r}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})=\mathbf{a}'+\frac{d'\mathbf{\omega}}{dt}\times\mathbf{r}+2\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})</math>.
Časová změna vektoru úhlové rychlosti v rotující soustavě je
:<math>\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}=\frac{d'\mathbf{\omega}}{dt}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{\omega}=\mathbf{\epsilon}</math>,
z čehož dostáváme celkové zrychlení ve tvaru
:<math>\mathbf{a}=\mathbf{a}'+\mathbf{\epsilon}\times\mathbf{r}+2\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})</math>,
pomocí kterého můžeme pohybovou rovnici pro neinerciální vztažnou soustavu psát ve tvaru
:<math>m\mathbf{a}'=m\mathbf{a}-m\mathbf{\epsilon}\times\mathbf{r}-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r})=\mathbf{F}+\mathbf{F}_E+\mathbf{F}_C+\mathbf{F}_O</math>,
kde <math>\mathbf{F}</math> je reálná (skutečná síla) působící na [[hmotný bod]], <math>\mathbf{F}_E</math> je [[Eulerova síla]], <math>\mathbf{F}_C</math> je [[Coriolisova síla]] a <math>\mathbf{F}_O</math> je [[Odstředivá síla|síla odstředivá]].

=== Pohybová rovnice pro soustavu konající translační pohyb ===
Uvažujme inerciální soustavu a neinerciální soustavu, která se vůči inerciální pohybuje obecným translačním pohybem <math>\mathbf{R}(t)</math>. Transformační vztah mezi souřadnicemi je dán ve tvaru
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}'+\mathbf{R}</math>.
Dvojitou derivací předchozího vztahu dostaneme zrychlení ve tvaru
:<math>\mathbf{a}=\mathbf{a}'+\mathbf{A}</math>,
pomocí kterého můžeme pohybovou rovnici pro neinerciální vztažnou soustavu psát ve tvaru
:<math>m\mathbf{a}'=m\mathbf{a}-m\mathbf{A}=\mathbf{F}+\mathbf{F}_S</math>,
kde <math>\mathbf{F}</math> je reálná (skutečná síla) působící na hmotný bod a <math>\mathbf{F}_S</math> je [[setrvačná síla]].

=== Pohybová rovnice pro soustavu konající obecný pohyb ===
Pohybovou rovnici pro obecný pohyb získáme sloučením rovnic pro rotační a translační soustavu, čímž dostaneme rovnici ve tvaru
:<math>m\mathbf{a}'=m\mathbf{a}-m\mathbf{A}-m\mathbf{\epsilon}\times\mathbf{r}'-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}')=\mathbf{F}+\mathbf{F}_S+\mathbf{F}_E+\mathbf{F}_C+\mathbf{F}_O</math>.

== Příklad ==
Uvažujme inerciální soustavu, která je pevně spojena se Zemí o poloměru <math>R</math> (pro jednoduchost uvažujme Zemi jako homogenní kouli), neinerciální soustavu těsně nad povrchem Země do jejíž začátku ukazuje vektor <math>\mathbf{R}</math> a hmotný bod, který má vůči neinerciální soustavě polohový vektor <math>\mathbf{r}'</math>. Dále považujme vektor úhlové rychlosti Země <math>\mathbf{\omega}</math> za konstantní. Derivací polohového vektoru <math>\mathbf{R}</math> dostaneme
:<math>\frac{d\mathbf{R}}{dt}=\mathbf{V}=\mathbf{\omega}\times\mathbf{R}</math>.
Opětovnou derivací dostaneme zrychlení ve tvaru
:<math>\frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2}=\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}\times\mathbf{R}+\mathbf{\omega}\times\frac{d\mathbf{R}}{dt}=\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})</math>.
S ohledem na pohybovou rovnici soustavy konající obecný pohyb dostáváme rovnici ve tvaru
: <math>m\mathbf{a}'=\mathbf{F}-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}')</math>.
Jestliže jedinou reálnou silou je [[Newtonův gravitační zákon|gravitační síla]], jež má v inerciální soustavě tvar
: <math>\mathbf{F}_G=-G\frac{mM}{r^3}\mathbf{r}=m\mathbf{a}_G</math>,
kde M je celková hmotnost Země a <math>\mathbf{r}=\mathbf{R}+\mathbf{r}'</math> a <math>\mathbf{a}_g</math> je gravitační zrychlení, pak dosazením do předchozí rovnice dostaneme
: <math>m\mathbf{a}'=-G\frac{mM}{r^3}\mathbf{r}-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'-m\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}')</math>.
Jestliže tato rovnice bude popisovat pohyb hmotného bodu blízko Zemského povrchu, pak si můžeme dovolit aproximaci <math>\mathbf{r}=\mathbf{R}+\mathbf{r}'\approx \mathbf{R}</math>. Na základě této aproximace můžeme zavést [[tíhové zrychlení]] <math>\mathbf{g}</math>, které je ve tvaru
:<math>\mathbf{g}=-G\frac{M}{R^3}\mathbf{R}-\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{R})</math>.
Jelikož pro velikost [[Úhlové zrychlení|úhlového zrychlení]] platí <math>\omega\ll1 </math>, můžeme poslední člen [[Pohybová rovnice|pohybové rovnice]] zanedbat, čímž dostáváme výslednou pohybovou rovnici, která je dobrou aproximací pohybu v blízkosti Zemského povrchu. Výsledná pohybová rovnice je ve tvaru
: <math>m\mathbf{a}'=m\mathbf{g}-2m\mathbf{\omega}\times\mathbf{v}'=m\mathbf{g}+\mathbf{F}_C</math>.

== Reference ==
<references />

== Související články ==
* [[Inerciální vztažná soustava]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Dynamika]]