Zobrazení zdroje stránky Násobek

'''Násobek''' je v [[Matematika|matematice]] hodnota [[Číslo|čísla]], kterou lze získat [[násobení]]m příslušného základu [[Přirozené číslo|přirozeným číslem.]]

== Definice ==
Nechť čísla <math>a,b \in N</math>; číslo <math>a</math> je násobkem čísla <math>b</math>, jestliže existuje takové přirozené číslo <math>k</math>, že platí: <math>a = b \cdot k</math>. Neexistuje-li takové číslo <math>k</math>, pak číslo <math>a</math> není násobkem čísla <math>b</math>.

Definici lze použít i pro <math>a, b \in Z</math>, pak platí:

* číslo <math>0</math> je násobkem každého [[Celé číslo|celého čísla]],
* je-li číslo <math>a</math> násobkem čísla <math>b</math>, je také násobkem čísla <math>-b</math> a také číslo <math>-a</math> je násobkem čísla čísla <math>b</math>.<ref name=":0">{{Citace monografie
| příjmení = Hruša
| jméno = Karel
| příjmení2 = Kraemer
| jméno2 = Emil
| příjmení3 = Sedláček
| jméno3 = Jiří
| spoluautoři = VYŠÍN Jan, ZELINKA Rudolf
| titul = Přehled elementární matematiky
| vydání = 3. revidované
| vydavatel = SNTL
| místo = Praha
| rok vydání = 1962
| počet stran = 497
| strany = 43 – 48
}}</ref>

== Společný násobek ==
Nenulové [[přirozené číslo]] <math>D</math> se nazývá společným násobkem nenulových [[Celé číslo|celých čísel]] <math>a, b</math>, když platí <math>a\mid D  \land b \mid D</math>, tj. <math>D</math> je dělitelné oběma čísly. Nejmenší ze všech jejich společných násobků se nazývá [[nejmenší společný násobek]].<ref name=":0" />

Příklad: Jsou-li společní dělitele čísel <math>a = 420, b = 36</math> jsou <math>1, 2, 3, 4, 6, 12</math>. Čísla ve tvaru <math>1260 \cdot n</math>, kde <math>n \in N</math>, jsou všechny společné násobky čísel <math>a, b.</math>

=== Obecné vyjádření společného násobku dvou přirozených čísel ===
Číslo <math>D</math> je libovolný společný násobek čísel <math>a,b \in N</math>. Použitím [[Eukleidův algoritmus|Eukleidova algoritmu]] lze zapsat <math>D = a \cdot q</math>, kde <math>q \in N</math>. Čísla <math>a,b </math> lze vyjádřit ve tvaru <math display="inline">a = a_1 \cdot NSD (a,b); b = b_1 \cdot NSD(a,b); </math> kde <math>NSD (a_1,b_1) = 1</math>, tedy čísla <math>a_1, b_1</math>jsou [[Nesoudělná čísla|nesoudělná]]. Číslo <math>\frac{D}{NSD(a,b)} = a_1 \cdot q</math> přirozené a navíc <math>q</math> je dělitelné (beze zbytku) <math>b_1</math>. Pro <math>n \in N </math> lze napsat <math> \frac{a_1q}{b_1} = a_1n</math> a tedy <math>a_1q = a_1b_1n</math>. Provedením úprav lze získat vztah <math>D = \frac{ab}{NSD(a,b)} \cdot n</math><ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Koucký
| jméno = Miroslav
| titul = Diskrétní matematika II
| url = https://kap.fp.tul.cz/images/stories/predmety/DIM/skripta_dim_ii.pdf
| vydavatel = Fakulta pedagogická, TUL
| místo = Liberec
| datum vydání = 2004
| datum přístupu = 27.10.2021
| url archivu = https://web.archive.org/web/20211027154712/https://kap.fp.tul.cz/images/stories/predmety/DIM/skripta_dim_ii.pdf
| datum archivace = 2021-10-27
| nedostupné = ano
}}</ref>

=== Společný násobek více čísel ===
Společným násobkem nenulových celých čísel <math>a_1, ... a_n</math>, kde <math>n \geq 2</math>, je nenulové číslo <math>D \in N</math>, které je dělitelné každým z čísel <math>a_1, ... a_n</math>, tj. <math>\forall i \in \{1, ... n\} </math> <math>a_i\mid D</math>.

=== Příklady ===
''Příklad1'': Číslo <math>10</math> lze získat jako součin čísel: <math>2 \cdot 5 = 10</math>

O číslech v této rovnosti platí: číslo <math>10</math> je násobek čísla <math>2</math>, bylo získáno [[násobení]]m čísla <math>2</math> a zároveň lze říci, že číslo <math>10</math> je násobek čísla <math>5</math>, je výsledkem násobení čísla <math>5</math>.<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Základní poznatky z matematiky
| periodikum = www2.karlin.mff.cuni.cz
| url = https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~portal/mocniny/?page=Delitelnost
| datum přístupu = 2021-10-25
}}</ref>

''Příklad2:'' Které věty jsou pravdivé?

* Číslo 54 je násobek 8 – ne, věta není pravdivá, protože <math>54 : 8 = 6; (zbytek = 6)</math>
* Číslo 36 je násobek 12 – ano, pravdivé tvrzení, protože <math>36</math> je trojnásobek čísla <math>12</math>

''Příklad3:'' Určení násobku

* jedenáctinásobek čísla <math>6</math>: <math>11 \cdot 6 = 66</math>
* čtyřnásobek čísla <math>z</math>: <math>4 \cdot z = 4z</math>

== Reference ==
<references />

== Související články ==
* [[Nejmenší společný násobek]]
* [[Dělitelnost]]
* [[Násobení]]
* [[Eukleidův algoritmus]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

* {{Wikislovník|heslo=násobek}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie čísel]]