Zobrazení zdroje stránky Množina

[[Soubor:Set Theory Operations.svg|náhled|Množiny]]
'''Množina''' je souhrn objektů, chápaný jako celek. Objekty množiny se nazývají [[Prvek množiny|prvky množiny]]. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné [[Prvek množiny|prvky]] se nazývá [[prázdná množina]]. V [[matematika|matematice]] existuje abstraktní [[teorie množin]], zkoumající množiny z formálního hlediska.

{{citát|Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.|[[Georg Cantor]]}}

== Obecně ==
V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými.
Je-li prvek <math>a</math> prvkem množiny <math>B</math>, píšeme: <math>a\in B</math>

[[prázdná množina|Prázdnou množinu]] značíme symbolem: <math>\empty</math>

Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.

Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu <math>A</math> obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako <math>A = \{ 1,2,5,8\}</math>. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina <math>\{a, b, c\}</math> je totožná s množinou <math>\{c, b, a\}</math>.

Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny. Např. množinu <math>A</math> obsahující samohlásky latinské abecedy můžeme zapsat jako <math>A= \{ x | x\; je\; samohl\acute{a}skou\; latinsk\acute{e}\; abecedy\}</math>. Taková množina pak obsahuje prvky <math>\{ a,e,i,o,u,y \}</math> (tento zápis, který je ekvivalentní předchozímu, zadává množinu <math>A</math> výčtem prvků). U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat [[paradox]]. Například množina všech takových množin, které neobsahují sama sebe, je zjevně nesmysl, protože z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.

Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku [[axiomatická teorie množin|axiomatické teorie množin]], ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelova teorie množin]] (ZF).

V takových axiomatizovaných [[Teorie množin|teoriích množin]], obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:

<math>\{\empty\}</math> je množina obsahující prázdnou množinu. Vzhledem k tomu, že obsahuje právě jen jeden objekt (totiž prázdnou množinu), jde o jednoprvkovou množinu.

<math>\{\empty, \{\empty\}\}</math> je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu. Jde tedy o dvouprvkovou množinu.

Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i [[nekonečná množina|nekonečné množiny]], například:

<math>\{\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\}, \{\{\{\empty\}\}\},...,\{...\{\empty\}...\},...\}</math>

== Základní množinové operace ==
<gallery>
Soubor:Venn0001.svg|[[Průnik]] dvou množin<br /><math>~A \cap B</math>
Soubor:Venn0111.svg|[[Sjednocení]] dvou množin<br /><math>~A \cup B</math>
Soubor:Venn0010.svg|[[Rozdíl množin|Rozdíl]] množin ''A'' (vlevo) a ''B'' (vpravo)<br /><math>A^c \cap B~=~B \setminus A</math>
Soubor:Venn0110.svg|[[Symetrická diference]] dvou množin<br /><math>A~\triangle~B</math>
Soubor:Venn1010.svg|[[Doplněk množiny|Doplněk]] A v U<br /> <math>A^c~=~U \setminus A</math>
</gallery>


Množina (prostá) nemůže obsahovat žádné prvky vícekrát. Pokud je potřeba pracovat se souhrny obsahujícími více „stejných“ předmětů (např. stůl a čtyři židle), je lepší používat pojem [[multimnožina]] nebo [[kolekce (informatika)|kolekce]], zavedený v [[matematická informatika|informatice]]. Pokud se prvky mohou opakovat a záleží na jejich pořadí (jako např. u písmen ve slově [[ABBA]]), jedná se o [[posloupnost]].

Množinou není každý soubor prvků, byť v běžném jazyce se to tak chápe. V matematice vede vytváření libovolných souhrnů prvků k [[paradox]]ům, například neexistuje množina obsahující všechny množiny, jak říká [[Russellova antinomie]]. Proto jsou libovolné souhrny nazývány ''[[Třída (matematika)|třídou]]'' a jenom některé třídy jsou potom množinami. Množina je takový souhrn prvků, který je sám prvkem nějaké třídy.

== Mohutnost množin ==
Podle počtu prvků se mluví o [[mohutnost]]i množin. Nelze tedy hovořit o velikosti, jde o jinou veličinu, s jinou definicí. Základní stupně mohutnosti jsou tyto:
* množiny '''konečné''' mohutnosti neboli konečné množiny, mají konečný počet prvků,
* množiny '''nekonečné''' mohutnosti neboli množiny nekonečné,
* množiny '''spočetné''' – nekonečné množiny, jejichž prvky jsou označitelné přirozenými čísly, všechny tedy mají shodný počet prvků, např. celá čísla, celá kladná (přirozená), racionální čísla atp.,
* [[kontinuum]], mohutnosti '''kontinua''' – mají počet prvků spojitě nekonečný, tj. nekonečně mohutnější, než spočetné množiny, např. interval mezi dvěma čísly, reálná čísla, komplexní čísla, body úsečky, body roviny.

== Související články ==
* [[Disjunktní množiny]]
* [[Geometrický útvar]]
* [[Množina všech bodů dané vlastnosti]]
* [[Množina (datová struktura)]]
* [[Nekonečná množina]]
* [[Podmnožina]]
* [[Prázdná množina]]
* [[Stirlingova čísla]]
* [[Uspořádaná množina]]
* [[Vyhledávací operátory]]

== Odkazy ==

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=množina}}
* {{MathWorld|Set}}

{{Teorie množin}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie množin]]