Zobrazení zdroje stránky Matice

{{Různé významy|tento=[[matematika|matematice]]}}
[[Soubor:Matrix-round.svg|náhled|
Matice typu <math>m \times n</math>: obsahuje <math>m</math> vodorovných řádků a <math>n</math> svislých sloupců. Prvky matice se značí proměnnou se dvěma dolními indexy. Například <math>a_{21}</math> představuje prvek na druhém řádku a v prvním sloupci matice.]]
'''Matice''' je v [[matematika|matematice]] obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – ''prvků matice'' (též ''elementů matice'').

Nejsou-li uvedeny další podrobnosti, reprezentují matice [[lineární zobrazení]] a umožňují provádět výpočty v [[Lineární algebra|lineární algebře]]. Proto je studium matic podstatnou částí lineární algebry. Většinu vlastností a [[Operace (matematika)|operací]] abstraktní lineární algebry lze vyjádřit pomocí matic. Například [[Násobení matic|maticový součin]] odpovídá [[Skládání funkcí|skládání]] lineárních zobrazení.

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako ''[[maticový počet]]''.

Ne všechny matice souvisí s lineární algebrou, například [[matice incidence]] a [[matice sousednosti]] v [[Teorie grafů|teorii grafů]]. ''Tento článek se zaměřuje na matice související s lineární algebrou, a pokud není uvedeno jinak, všechny matice představují lineární zobrazení nebo je za takové lze považovat.''

[[Čtvercová matice|Čtvercové matice]], matice se stejným počtem řádků a sloupců, hrají podstatnou roli v teorii matic. Čtvercové matice dané dimenze tvoří nekomutativní [[Okruh (algebra)|okruh]], což je jeden z nejběžnějších příkladů nekomutativního okruhu. [[Determinant]] čtvercové matice je číslo spojené s maticí, které je zásadní pro studium čtvercových matic; například čtvercová matice je [[Regulární matice|regulární]], právě když má nenulový determinant. [[Vlastní vektory a vlastní čísla|Vlastní čísla]] čtvercové matice jsou kořeny [[Polynom|charakteristického]] polynomu, který je definován pomocí determinantu.

V [[Geometrie|geometrii]] jsou matice používány pro popis a reprezentaci [[Geometrické zobrazení|geometrických transformací]] (například [[Otočení|rotací]]) a [[Matice přechodu|změn souřadnic]] . V [[Numerická matematika|numerické analýze]] je mnoho výpočetních problémů redukováno na maticový výpočet, což často vyžaduje výpočet na počítači s maticemi velkých rozměrů. Matice se používají ve většině oblastí matematiky a ve většině vědeckých oborů, a to buď přímo, nebo prostřednictvím jejich použití v geometrii a numerické analýze.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné [[rotace]] [[vektor]]ů, transformace vektorů od jedné [[báze (algebra)|báze]] k bázi jiné, k řešení [[soustava lineárních rovnic|soustav lineárních rovnic]], či k vyjádření [[operátor]]ů v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]]. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu [[Anizotropní látka|anizotropních]] materiálů.

== Definice ==

''Matice'' je obdélníkové schéma [[číslo|čísel]] (nebo jiných matematických objektů), nazývané prvky matice. Nejčastěji je matice vybudována nad nějakým [[Těleso (algebra)|algebraickým tělesem]] <math>K</math>. '''Reálné''' a případně '''komplexní matice''' jsou matice, jejichž položky jsou [[reálné číslo|reálná]] nebo [[komplexní číslo|komplexní]] čísla. Ukázkou reálné matice je:
:<math>\boldsymbol{A} 
= \left(\begin{array}{rr}
-1,3 & 0,6 \\
20,4 & 5,5 \\
 9,7 & -6,2
\end{array}\right).</math>

Čísla, symboly nebo výrazy v matici se nazývají její ''prvky''. Vodorovné a svislé posloupnosti prvků matice se nazývají '''řádky''' a '''sloupce'''.

=== Rozměr ===

Rozměr matice je definován počtem řádků a sloupců, které obsahuje. Neexistuje žádné omezení počtu řádků a sloupců, které může matice (v obvyklém smyslu) mít, pokud se jedná o kladná [[Celé číslo|celá čísla]]. Obsahuje-li matice <math> m</math> řádků a <math>n</math> sloupců, hovoříme pak o '''matici typu''' <math> m \times n</math>, zatímco <math>m</math> a <math>n</math> se nazývají její ''rozměry''. Například matice <math>\boldsymbol{A}</math> výše je matice typu <math> 3 \times 2</math>.

Matice typu <math>1 \times n</math> je tvořena jedním řádkem a bývá nazývána ''[[řádkový vektor]]'' případně ''řádková matice''. Matice s jedním sloupcem se nazývá ''[[sloupcový vektor|(sloupcový) vektor]], případně sloupcová matice''.

Je-li <math> n = m</math>, pak matici označujeme jako [[čtvercová matice|čtvercovou matici]] <math> n</math>-tého řádu (stupně). Pro <math> n \neq m</math> bývá matice označována jako ''obdélníková''.

Jsou-li <math> m</math> i <math>n</math> konečná čísla, označujeme matici jako ''konečnou''. Matice s nekonečným počtem řádků nebo sloupců (nebo obojí) se nazývá ''nekonečná matice''. V některých kontextech je užitečné dodefinovat i matici bez řádků nebo sloupců, nazývanou ''prázdná matice''.

== Značení ==

Maticová notace se značně liší. Matice jsou běžně psány v oblých či hranatých závorkách, takže matici <math>\boldsymbol{A}</math> typu <math> m \times n</math> lze zapsat

<math display="block">\boldsymbol{A} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
{a^1}_1 & {a^1}_2 & \dots & {a^1}_n\\
{a^2}_1 & {a^2}_2 & \dots & {a^2}_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a^m}_1 & {a^m}_2 & \dots & {a^m}_n
\end{pmatrix}.
</math>
Matice jsou v učebnicích a technické matematice zpravidla značeny velkými tučnými písmeny<math>\boldsymbol{A}</math> <ref>{{Citace normy
| označení = ČSN EN ISO 80000-2 (011300)
| název = Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika
| vydal = Česká agentura pro standardizaci
| url = https://csnonline.agentura-cas.cz/Detailnormy.aspx?k=511177
| datum vydání = 2020-11-01
}}</ref>, <math>\mathbf A</math> apod. Ve vyšší matematice a odborné matematické literatuře se od zvýrazňování zpravidla upouští a matice se značí tence, např. <math>A</math> nebo <math>\mathsf A</math>.

Jsou-li rozměry matice zřejmé, je možné použít jednoduchého zápisu
:<math>\boldsymbol{A} = (a_{i,j})</math>.
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
:<math>\boldsymbol{A} = {(a_{i,j})}_{m,n}</math> nebo <math>\boldsymbol{A} = (a_{i,j})\in \mathbb R^{m\times n}.</math>

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími '''řádek''' a '''sloupec''', v nichž se prvek nalézá.
Prvek v <math>i</math>-tém řádku a <math>j</math>-tém sloupci matice <math>\boldsymbol{A}</math> se obvykle značí <math> a_{ij}</math>, případně <math>(\boldsymbol{A})_{ij}</math>.
Druhá notace se používá, zejména je-li matice popsána složitějším výrazem, např. pomocí maticových operací.
Nyní <math>i</math>-tý ''řádek matice'' obsahuje vodorovnou <math>n</math>-tici prvků <math>(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})\,</math>, kde <math> i = 1, 2, ..., m </math> a <math> j</math>-tý ''sloupec matice'' obsahuje svislou <math> m</math>-tici čísel <math> (a_{1j}, a_{2j}, ..., a_{mj})\,</math>, kde <math> j = 1, 2, ..., n </math>.

Např. <math>a_{53}</math> leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako <math> a_{53}</math>, nebo první nahoře a druhý dole jako <math> {a^5}_3</math>, což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat [[kovariance a kontravariance|kovariantní]] a [[kovariance a kontravariance|kontravariantní]] indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s [[tenzor]]y.

Tvoří-li indexy více než dva symboly, je třeba je oddělit čárkou, např. <math>a_{1,11}</math> nebo <math>a_{i,jk}</math>.

=== Ukázka ===
Matice

:<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & \color{red}7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 1 & 5 \end{pmatrix}</math>

je obdélníková matice typu <math>4 \times 3</math>. Prvek matice <math>a_{23}</math> nebo <math>{a^2}_3</math> je 7.

Pokud jsou všechny prvky matice [[nula|nulové]], tzn. <math> a_{ij} = 0</math> pro všechna <math> i, j</math>, označujeme matici jako ''[[nulová matice|nulovou]]''.
== Operace s maticemi ==

=== Součet, skalární násobek a transpozice ===
{{Main|Sčítání matic|label1=Součet matic|Násobení skalárem|llabel2=Skalární násobek|Transpozice matice|llabel3=Transpozice}}

{| class="wikitable"
|+Operace na maticích
|-
!scope="col"| Operace
!scope="col"| Definice
!scope="col"| Příklad
|-
!scope="row"| [[Sčítání matic|Součet]]
| ''Součet'' <math>\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}</math> dvou matic <math>\boldsymbol{A}</math> a <math>\boldsymbol{A}</math> typu <math>m \times n</math> je matice typu <math>m \times n</math>, přičemž sčítání probíhá po složkách:
:<math>(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})_{ij}=a_{ij}+b_{ij}</math> 

pro <math>1 \le i \leq m</math> a <math>1 \le j \leq n</math>.
|
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 5 \\
7 & 5 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1+0 & 3+0 & 1+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 6 \\
8 & 5 & 0
\end{pmatrix}
</math>
|-
!scope="row"| [[Násobení skalárem|Skalární násobek]]
| ''<math>\alpha</math>-násobek'' matice <math>\boldsymbol{A}</math>, pro číslo <math>\alpha</math> (nazývané [[skalár]]) a matici <math>\boldsymbol{A}</math>, se spočítá vynásobením každého prvku matice <math>\boldsymbol{A}</math> číslem <math>\alpha</math>:
:<math>(\alpha\boldsymbol{A})_{ij}=\alpha a_{ij}</math>
| <math>2 \cdot

\begin{pmatrix}
1 &  8 & -3 \\
4 & -2 &  5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\
2\cdot 4 & 2\cdot(-2) & 2\cdot 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{pmatrix}
</math>
|-
!scope="row"| [[Transpozice matice|Transpozice]]
| Transpozicí matice <math>\boldsymbol{A}</math> typu <math>m \times n</math> získáme ''transponovanou matici'' <math>\boldsymbol{A}^{\mathrm T}</math> typu <math>n \times m</math>, která vznikne záměnou řádků a sloupců:
:<math>(\boldsymbol{A}^{\mathrm T})_{ij}=a_{ji}</math>.
| <math>

\begin{pmatrix}
1 &  2 & 3 \\
0 & -6 & 7
\end{pmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{pmatrix}
1 &  0 \\
2 & -6 \\
3 &  7
\end{pmatrix}
</math>
|}


[[Soubor:MatrixMultiplication.png|náhled|Schéma součinu <math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}</math> dvou matic <math>\boldsymbol{A}</math> a <math>\boldsymbol{B}</math>.]]
=== Součin matic ===
{{Main|Součin matic}}
''Součin'' dvou matic je definován pouze pokud má levá matice stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Pokud je <math>\boldsymbol{A}</math> matice typu <math>m \times n</math> a <math>\boldsymbol{B}</math> je matice typu <math>n \times p</math>, pak jejich ''součin'' <math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}</math> je matice typu <math>m \times p</math>, jejíž prvky jsou standardním [[Skalární součin|skalárním součinem]] příslušného řádku <math>\boldsymbol{A}</math> a příslušného sloupce <math>\boldsymbol{B}</math>
:<span id="matrix_product"><math>(\boldsymbol{AB})_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj},</math></span>
:kde <math>1 \le i \leq m</math> a <math>1 \le j \leq p</math>.

Například zvýrazněný prvek <math>\color{green}2340</math> součinu se spočítá jako <math>
({\color{red}2} \cdot {\color{blue}1000}) + ({\color{red}3} \cdot {\color{blue}100}) + ({\color{red}4} \cdot {\color{blue}10}) = {\color{green}2340}:
</math>
:<math>
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\color{red}2  & \color{red} 3 & \color{red} 4 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \color{blue}1000 \\
1 & \color{blue}100 \\
0 & \color{blue}10 \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
3 & \color{green}2340 \\
0 & 1000 \\
\end{pmatrix}.
\end{align}
</math>

Maticový součin je [[Asociativita|asociativní]], neboli splňuje rovnost <math>(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})</math>. Je také [[distributivita|distributivní]] vůči součtu zleva i zprava, čili <math>(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})</math> a <math>\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})</math>, pokud mají matice takové rozměry, aby součiny byly definovány.

Součin <math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}</math> může být definován, aniž by měl smysl součin <math>\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}</math>, a o v případě, pokud <math>\boldsymbol{A}</math> a <math>\boldsymbol{B}</math> jsou matice typu <math>m \times n</math> a <math>n \times p</math>, kde
<math>m \ne p</math>. I když jsou oba součiny definovány, nemusí být stejné, neboli existují příklady matic, pro něž platí
:<math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\ne\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}</math>

Maticový součin není [[komutativita|komutativní]], na rozdíl od součinu (racionálních, reálných, nebo komplexních) čísel. Příklad dvou matic, jejichž součin nekomutuje:
:<math>\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{pmatrix},
</math> zatímco
:<math>\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3 & 4\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}.
</math>
Mimo obvyklý maticový součin existují ještě jiné operace s maticemi, které lze považovat za určitý druh součinu, jako například [[Hadamardův součin]] anebo [[Kroneckerův součin matic|Kroneckerův součin]].

=== Další operace s maticemi ===

==== Rovnost ====
* O dvou maticích <math>\boldsymbol{A}</math> a <math>\boldsymbol{B}</math> prohlásíme, že jsou si rovny, pokud jsou stejného typu (stejný počet řádků i sloupců) a každý prvek <math>a_{ij}</math> matice <math>\boldsymbol{A}</math> je roven odpovídajícímu prvku <math>b_{ij}</math> matice <math>\boldsymbol{A}</math>. Rovnost zapíšeme
:<math>\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}</math>

==== Rozdíl ====
* [[Odčítání|Rozdíl]] dvou matic <math>\boldsymbol{A}</math> a <math>\boldsymbol{B}</math> (stejného typu) je nová matice <math>\boldsymbol{A}</math>:
:<math>\boldsymbol{R} = \boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}= \boldsymbol{A} + (-1\boldsymbol{B})</math>
Prvky matice <math>\boldsymbol{R}</math> jsou pak určeny vztahem
:<math>r_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \,</math>

==== Lineární kombinace ====
* Obecně lze pro matice <math>\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, ...</math>, které jsou stejného typu, definovat [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] matic
:<math>\boldsymbol{L} = \lambda \boldsymbol{A} + \mu \boldsymbol{B} + ...</math>,
:kde prvky matice <math>\boldsymbol{L}</math> určuje výraz
:<math>l_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu b_{ij} + ...</math>

==== Mocnina ====
* Opakovaným součinem čtvercové matice <math>\boldsymbol{A}</math> se samou sebou lze vytvářet ''[[mocnina|mocniny]] matic'' <math>\boldsymbol{A}^k</math>. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu [[polynom]]u
:<math>P(\boldsymbol{A}) = c_0 \mathbf{I}+ c_1 \boldsymbol{A} + c_2 \boldsymbol{A}^2 + \dots + c_n \boldsymbol{A}^n</math>, kde <math>\mathbf{I}</math> je jednotková matice stejného typu jako <math>\boldsymbol{A}</math>.

=== Řádkové operace ===
 S maticemi lze provádět následující elementární řádkové operace:
* součet, neboli přičtení nějakého řádku k jinému,
* vynásobení řádku, resp. všech prvků v řádku, nenulovou konstantou.
Z těchto dvou operací lze odvodit i
* záměnu pořadí řádků,
* přičtení násobku řádku k jinému.
Zmíněné řádkové operace se používají v řadě situací včetně řešení [[Lineární rovnice|soustav lineárních rovnic]] (neboť zachovávají množinu řešení) a výpočtu [[Regulární matice|inverzní matice]].

Podobným způsobem lze definovat i sloupcové operace.

=== Podmatice ===
'''Podmatice''' se z matice získá odstraněním libovolně mnoha řádků anebo sloupců. Například odebrání třetího řádku a druhého sloupce z následující matice řádu <math>3 \times 4
</math> dává podmatici řádu <math>2 \times 3
</math>:

: <math>\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}
1 & \color{red}{2} & 3 & 4 \\
5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
\color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{red}{12}
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 \\
5 & 7 & 8
\end{pmatrix}.
</math>

[[Determinant]]y určitých podmatic se nazývají [[Subdeterminant|minory]] a kofaktory.

'''Hlavní podmatice''' je čtvercová podmatice získaná odstraněním určitých řádků a sloupců. Definice se liší od autora k autorovi. Podle některých autorů je hlavní podmatice taková podmatice, ve které se shodují indexy ponechaných řádků s indexy ponechaných sloupců. Jiní autoři považují za hlavní podmatice jen takové, ve kterých je ponecháno jen několik prvních řádků a odpovídajících sloupců. Uvedený typ podmatice bývá také nazýván '''vedoucí hlavní podmatice'''.

== Lineární zobrazení ==
[[Soubor:Area_parallellogram_as_determinant.svg|náhled| Vektory reprezentované maticí typu <math>2 \times 2</math> odpovídají stranám jednotkového čtverce transformovaného do rovnoběžníku.]]
{{viz též|Lineární zobrazení}}
Podstatné vlastnosti matic a maticového součinu vynikají v kontextu ''[[Lineární zobrazení|lineárních zobrazení]]'', nazývaných též ''lineární transformace''. <span id="linear_maps">Reálná matice <math>\boldsymbol A</math></span> typu <span id="linear_maps"><math>m \times n</math>určuje lineární zobrazení <math>\mathbb R^n</math> → <math>\mathbb R^m</math> tím, že vektor <math>\boldsymbol x \in\mathbb \R^n</math> zobrazí maticovým součinem na vektor <math>\boldsymbol{Ax}\in \mathbb R^m.</math> Na druhou stranu, každé lineární zobrazení <math>f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m</math> je určeno jednoznačně maticí <math>\boldsymbol A</math></span> typu <span id="linear_maps"><math>m \times n</math>. Konkrétně prvek</span> <math>a_{ij}</math><span id="linear_maps"> je <math>i</math>-tou souřadnicí vektoru <math>f(\mathbf e_j)</math>, kde</span> <math>\mathbf e_j =(0,...,0,1,0,...,0)^\mathsf{T}</math><span id="linear_maps"> je [[jednotkový vektor]] s 1 na</span> <math>j</math><span id="linear_maps">-té pozici a nulami jinde.</span> O matici <math>\boldsymbol A</math> se říká, že reprezentuje lineární zobrazení <math>f</math>, a <math>\boldsymbol A</math> se nazývá '''transformační matice''' zobrazení <math>f</math>.

Například na čtvercovou matici
: <math>\boldsymbol A = \begin{pmatrix} a & c\\b & d \end{pmatrix}</math>

lze pohlížet jako na zobrazení, které transformuje jednotkový čtverec na [[rovnoběžník]] s vrcholy v <math>(0, 0)</math>, <math>(a, b)</math>, <math>(a + c, b + d)</math> a <math>(c, d)</math> . Rovnoběžník zobrazený vpravo se získá postupným součinem matice '''<math>\boldsymbol A</math>''' se sloupcovými vektory <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>, <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> a <math>\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}</math>. (Tyto vektory jsou vrcholy jednotkového čtverce.)

Následující tabulka předvádí několik matic <span id="linear_maps"><math>2 \times 2</math></span> s příslušnými lineárními zobrazeními v <math>\mathbb R^2</math>. Obrazem modrého originálu jsou zelená mřížka a zelené obrazce. Počátek <math>(0,0)</math> je vyznačen černou tečkou.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|[[Zkosení|Vodorovné zkosení]]<br />s faktorem <math>m</math> = 1,25
| [[Osová souměrnost]] podél svislé osy
| Transformace zachovávající plochu s faktorem ''r'' = 3/2
| Škálování<br />faktorem 3/2
| <span id="rotation_matrix">[[Otočení|Otáčení]]<br /></span><span id="rotation_matrix">o π /6 = 30°</span>
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & 1.25 \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math>
| <math>\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
| <math>\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & 0 \\
     0 & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}</math>
| <math>\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & 0 \\
     0 & \frac{3}{2}
\end{pmatrix}</math>
| <math>\begin{pmatrix}
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) & \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
\end{pmatrix}</math>
|-
| width="20%" |[[Soubor:VerticalShear_m=1.25.svg|175x175pixelů]]
| width="20%" |[[Soubor:Flip_map.svg|150x150pixelů]]
| width="20%" |[[Soubor:Squeeze_r=1.5.svg|150x150pixelů]]
| width="20%" |[[Soubor:Scaling_by_1.5.svg|125x125pixelů]]
| width="20%" |[[Soubor:Rotation_by_pi_over_6.svg|125x125pixelů]]
|}
Vzhledem k [[Bijekce|vzájemně jednoznačnému vztahu]] mezi maticemi a lineárními zobrazeními odpovídá maticový součin [[Skládání funkcí|skládání]] zobrazení: Jestliže matice <math>\boldsymbol B</math> typu <math>k \times m</math> představuje lineární zobrazení <math>g: \mathbb R^m\to \mathbb R^k</math>, pak složení <math>g \circ f</math> je reprezentováno <math>\boldsymbol{BA}</math>, protože <math>(g\circ f)(\boldsymbol x)=g (f (\boldsymbol x )) =
g (\boldsymbol{Ax}) = \boldsymbol B (\boldsymbol{Ax}) = (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol  x  </math>

Poslední rovnost vyplývá z asociativity maticového součinu.

== Vlastnosti a základní pojmy ==

[[Soubor:Diagonaly.svg|náhled|upright=.5|Červeně je značena hlavní diagonála (d), žlutě vedlejší diagonála (v), zeleně horní sekundární diagonála (h) a fialově dolní sekundární diagonála (s).]]
=== Diagonála matice ===
{{viz též|Diagonála matice}}
Prvky <math>a_{11}, a_{22}, a_{33}, ..., a_{nn}</math> čtvercové matice <math>\boldsymbol{A}</math> řádu <math>n</math> tvoří její '''[[Hlavní diagonála|hlavní diagonálu]]'''.<ref name="slovnik">{{Citace monografie
 | titul = Slovník školské matematiky
 | vydavatel = SPN
 | místo = Praha
 | rok = 1981
 | počet_stran = 240
}}</ref> Jinými slovy, hlavní diagonála obsahuje prvky <math> a_{ij}</math>, kde <math>i = j</math>.

Prvky <math>a_{1n}, a_{2,n-1}, a_{3,n-2}, ..., a_{n1}</math> pak leží na tzv. '''[[Hlavní diagonála#Vedlejší diagonála|vedlejší diagonále]]''',<ref name="slovnik"/>. Vedlejší diagonála je tvořena všemi prvky <math> a_{ij}</math>, kde <math> j = (n - i) + 1</math>.

Pro prvky bezprostředně sousedící s hlavní diagonálou, se také používá termín sekundární diagonála, např. u [[bloková matice#bloková tridiagonální matice|blokových tridiagonálních matic]]. '''Horní sekundární diagonálu''' čtvercové matice <math>\boldsymbol{A}</math> řádu <math>n</math> tvoří prvky <math>a_{12}, a_{23}, ..., a_{n-1,n}</math>  a '''dolní sekundární diagonálu''' tvoří prvky <math>a_{21}, a_{32}, ..., a_{n,n-1}</math>.

Pokud se hovoří jen o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.


=== Hodnost matice ===
{{viz též|Hodnost matice}}
Hodnost matice se dá definovat jako počet [[lineární závislost|lineárně nezávislých]] řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice je též rovna [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzi]] prostoru obrazů lineárního zobrazení reprezentovaného maticí <math>\boldsymbol A</math> .

=== Algebraické vlastnosti prostorů matic ===
Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého [[okruh (algebra)|okruhu]] nebo [[těleso (algebra)|tělesa]]. Označme jej <math>K</math> (obvykle <math>K=\mathbb{R}</math> nebo <math>\mathbb{C}</math>).
[[Množina]] všech čtvercových matic <math>n\times n</math> tvoří [[asociativní algebra|asociativní algebru]], která se nazývá ''maticová algebra'', značí se <math> M(n,K)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, nebo <math>M^{n,n}</math> apod. Pro <math> n>1</math> je nekomutativní a její centrum je izomorfní <math> K</math> (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je ''jednoduchá'', tj. nemá žádné netriviální oboustranné [[ideál (algebra)|ideály]]. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze <math> n</math>-dimenzionálního prostoru <math>V</math> nám dává izomorfizmus <math> \mathrm{Mat}(n)\simeq \mathrm{End}(V)</math>. Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na <math>V</math>.

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného [[Komutativní okruh|komutativního okruhu]], a analogické tvrzení lze zformulovat i v [[kvaternion]]ových maticích).

Množina všech regulárních (tj. invertovatelných) matic tvoří [[grupa (algebra)|grupu]], která se označuje <math>GL(n,K)</math>. Pro <math>K=\mathbb{C}, \mathbb{R}</math> je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem <math>SL(n,K)</math>.

=== Důvod dvojího značení ===
Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi [[Vektorový prostor|vektorovými prostory]]. Předpokládejme, že matice <math>\boldsymbol{A}=(a^i_{\,\,j})</math> přiřadí vektoru <math>\boldsymbol{v}</math>, který má souřadnice (v nějaké bázi) <math> v^j</math> vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice <math>w^i=\sum_{j} a^i_{\,\,j} v^j</math> (symbolicky <math>\boldsymbol{Av}=\boldsymbol{w}</math>).

Užíváme-li matice k operaci s [[vektor]]y v [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], nebo kdykoliv se příslušný [[skalární součin]] chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a [[řádkový vektor|řádkové]] a [[sloupcový vektor|sloupcové vektory]] lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. [[Diracova notace]] v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]]), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako [[vektor]]y, kdežto řádky matice jako [[duální prostor lineárních forem|duální]] vektory, neboli [[lineární forma|lineární formy]]. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru <math> \mathrm{End}(V,W)</math> zapsán v nějakých bázích <math> {v_i}, {w_j}</math> prostorů <math> V, W</math>. Protože ale <math> \mathrm{End}(V,W)\simeq V^*\otimes W</math>, můžeme chápat matici jako [[tenzor]] typu (1,1)
a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat [[bilineární forma]], která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili (<math> a_{ij}</math>) (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

== Čtvercové matice ==
''[[Čtvercová matice]]'' je matice se stejným počtem řádků a sloupců. Matice typu <math>n\times n</math> se stručně nazývají matice ''řádu'' <math>n</math>.
* Matici, která má nenulové prvky pouze na [[hlavní diagonála|hlavní diagonále]], tzn. <math> a_{ij} = 0</math> pro <math> i \neq j</math>, nazýváme ''[[diagonální matice|diagonální maticí]]''. Prvky diagonální matice <math> \boldsymbol{D}</math> lze vyjádřit pomocí [[Kroneckerovo delta|Kroneckerova symbolu]] <math>d_{ij} = \lambda_i \delta_{ij} \,</math>, kde <math> \lambda_i = d_{ii}\,</math> jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky <math> \lambda_i</math> diagonální matice platí <math> \lambda_i = 1 \,</math>, jedná se o [[jednotková matice|jednotkovou matici]] <math> \mathbf{I}</math>, pro jejíž prvky platí <math>e_{ij} = \delta_{ij}</math>
* Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako ''[[Horní trojúhelníková matice|horní trojúhelníkovou matici]]''. Taková matice má tvar
:<math>\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 &  \cdots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}</math>
* Podobně označujeme jako ''[[Dolní trojúhelníková matice|dolní trojúhelníkovou matici]]'' takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
* Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. <math> \boldsymbol{A}^{\mathrm T} = \boldsymbol{A}</math>, pak matici <math> \boldsymbol{A}</math> označujeme jako ''[[Symetrická matice|symetrickou]]''. Pro prvky symetrické matice platí:
:<math>a_{ij} = a_{ji} \,</math>
* Matici <math> \boldsymbol{A}</math> označujeme jako ''[[Antisymetrická matice|antisymetrickou]]'', platí-li pro všechny prvky této matice vztah:
:<math>a_{ij} = -a_{ji} \,</math>
* Matice <math> \boldsymbol{B}</math> je ''[[Inverzní matice|inverzní maticí]]'' k čtvercové matici <math> \boldsymbol{A}</math>, pokud platí
:<math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} = \mathbf{I}</math>, kde <math> \mathbf{I}</math> je jednotková matice (stejného typu jako <math> \boldsymbol{A}</math>). Matice <math> \boldsymbol{B}</math> je pak také stejného řádu jako <math> \boldsymbol{A}</math>.
* Matici <math> \boldsymbol{A}</math>, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako ''[[Regulární matice|regulární matici]]''. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako ''[[Singulární matice|singulární]]''.
* ''[[Adjungovaná matice]]'' k matici <math> \boldsymbol{A}</math> je transponovaná matice [[algebraický doplněk|algebraických doplňků]] matice <math> \boldsymbol{A}</math>.

[[Soubor:Determinant_example.svg|vpravo|náhled|300x300pixelů|Lineární zobrazení na <math>\mathbb R^2</math> dané maticí. Determinant této matice je −1, protože plocha zeleného rovnoběžníku vpravo je 1, ale zobrazení obrací orientaci, protože otočí levotočivé pořadí vektorů na pravotočivé.]]
=== Determinant ===
{{Main|Determinant}}
''Determinant'' čtvercové matice <math>\boldsymbol A</math>, označovaný <math>\det \boldsymbol A</math> nebo <math>|\boldsymbol A|
</math>, je číslo kódující určité vlastnosti matice. Matice je regulární, právě když je její determinant nenulový. [[Absolutní hodnota]] determinantu je rovna ploše (v <math>\mathbb R^2</math>) případně objemu (v <math>\mathbb R^3</math> ) obrazu jednotkového čtverce (resp. [[krychle]]), přičemž jeho znaménko odpovídá orientaci příslušného lineárního zobrazení. Determinant je kladný, právě když je orientace zachována.

Determinant matic řádu dva je dán vztahem

: <math>\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad-bc.</math>

Determinant matic řádu tři má 6 členů ([[Sarrusovo pravidlo]]). Leibnitzův vzorec <math>\det\boldsymbol A = \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) \prod_{i = 1}^n a_{i, \, \tau(i)}</math> zobecňuje tyto dva vzorce na všechny dimenze.

Determinant součinu čtvercových matic je roven součinu jejich determinantů:

: <math>\det(\boldsymbol{AB})=\det\boldsymbol A\cdot\det\boldsymbol B</math>

Přičtení násobku libovolného řádku do jiného řádku nebo násobku libovolného sloupce do jiného sloupce nezmění determinant. Záměna dvou řádků nebo dvou sloupců změní znaménko determinantu na opačné. Pomocí těchto operací lze libovolnou matici převést na dolní (nebo na horní) trojúhelníkovou matici. Determinant těchto matice je pak součin prvků na hlavní diagonále. Uvedený postup lze použít pro výpočet determinantu jakékoli matice. Konečně, [[Determinant#Metoda rozvoje podle řádku (sloupce)|Laplaceův rozvoj]] vyjadřuje determinant pomocí [[Subdeterminant|minorů]], což jsou determinanty podmatic. Toto rozšíření lze použít pro rekurentní definici determinantu (za výchozí případ vezmeme determinant matice <math>1\times 1</math>, který je jejím jediným prvkem, nebo dokonce determinant matice <math>0\times 0</math>, což je 1), což lze považovat za ekvivalentní Leibnizově vzorci. Determinanty mohou být použity k řešení [[Lineární systém|soustav lineárních rovnic]] pomocí [[Cramerovo pravidlo|Cramerova pravidla]], podle nějž jsou hodnoty neznámých rovny podílům determinantů.

=== Vlastní čísla a vlastní vektory ===
{{Main|Vlastní vektory a vlastní čísla}}
Číslo <math>\lambda</math> a nenulový vektor <math>\boldsymbol v</math> vyhovující rovnici

: <math>\boldsymbol{A} \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}</math>

jsou nazývány ''vlastním číslem (hodnotou)'' a ''vlastním vektorem'' <math>\boldsymbol A</math>. <ref group="pozn.">''Eigen'' znamená „vlastní“ v němčině a nizozemštině.</ref> Číslo λ je vlastním číslem matice <math>\boldsymbol A</math> řádu <math>n</math>'','' právě když <math>\boldsymbol A -\lambda \mathbf I_n</math> je singulární, což je [[Ekvivalence (logika)|ekvivalentní]] podmínce

: <math>\det(\boldsymbol{A}-\lambda \mathbf{I}_n) = 0.</math>

Polynom <math>p_{\boldsymbol A}</math>v neznámé <math>x</math> odpovídající determinantu <math>\det(x \mathbf{I}_n-\boldsymbol{A})</math> se nazývá [[charakteristický polynom]] matice <math>\boldsymbol A</math>. Jde o [[monický polynom]] stupně <math>n</math>, a proto rovnice <math>p_{\boldsymbol A}(\lambda)=0</math> má nejvýše <math>n</math> různých řešení, což jsou právě všechna vlastních čísla matice <math>\boldsymbol A</math>. Ta mohou být komplexní, a to i pro některé reálné matice. Podle [[Cayleyho–Hamiltonova věta|Cayley-Hamiltonovy věty]] platí <math>p_{\boldsymbol A}(\boldsymbol A)=\mathbf 0</math>. Jinými slovy, dosadíme-li samotnou matici do svého vlastního charakteristického polynomu, dostaneme za výsledek [[nulová matice|nulovou matici]].


=== Reálné a komplexní matice ===
{|align="right" class="wikitable" style="text-align:center; margin: 0ex 0ex 1ex 1ex"
| colspan=3 | '''Přehled některých druhů matic'''
|-
| ''Nad'' [[Komplexní čísla|<math>\mathbb{C}</math>]] || ''Nad'' [[Reálné číslo|<math> \mathbb{R}</math>]] || ''vlastnost''
|-
| hermitovská || symetrická || <math> \boldsymbol{A}^{\mathrm{H/T}} = \boldsymbol{A}</math>
|-
| unitární || ortogonální || <math> \boldsymbol{A}^{\mathrm{H/T}} = \boldsymbol{A}^{-1}</math>
|-
|-
| colspan=2 | regulární (invertibilní) || <math>\det \boldsymbol{A} \ne 0</math>
|}

* Pokud každý prvek <math> a_{ij}</math> komplexní matice <math> \boldsymbol{A}</math> nahradíme prvkem k němu [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženým]] <math> \overline{a_{ij}}</math>, pak získáme matici <math> \overline{\boldsymbol{A}}</math>, kterou označujeme jako ''komplexně sdruženou matici''. Reálné matice se shodují se svými komplexně sdruženými maticemi <math> \bar{\boldsymbol{A}} = \boldsymbol{A}</math>.
* Provedeme-li na matici <math> \mathbf{A}</math> transpozici a komplexní sdružení, získáme matici ''[[Hermitovská transpozice|hermitovsky sdruženou]]'' (někdy též psáno „hermiteovsky“, podle [[Charles Hermite|Charlese Hermita]]). Hermitovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů
:<math>\boldsymbol{A}^{\mathrm H} = 
\overline{\boldsymbol{A}}^{\mathrm T} = 
\boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{A}^+</math>
:(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. [[Pseudoinverze matice|Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzní maticí]])
* Pokud je hermitovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. <math>\boldsymbol{A}^{\mathrm H} = \boldsymbol{A}</math>, říkáme, že matice <math> \boldsymbol{A}</math> je ''[[hermitovská matice|hermitovská]]'' (též ''samosdružená'' nebo ''samoadjungovaná''). Každá hermitovská matice má všechna [[vlastní číslo|vlastní čísla]] reálná (důkaz indukcí s využitím [[Základní věta algebry|základní věty algebry]] a [[Gram-Schmidtova ortogonalizace|Gram-Schmidtovy ortogonalizace]]).
* Symetrická reálná matice <math>\boldsymbol A</math> řádu <math>n</math> se nazývá:
** [[Pozitivně definitní matice#Podobné definice|pozitivně semidefinitní]], pokud pro všechny vektory <math>\boldsymbol x \in \mathbb R^n</math>platí <math>\boldsymbol x^\mathsf{T}\boldsymbol {Ax}\ge 0</math>;
** [[Pozitivně definitní matice|pozitivně definitní]], pokud pro všechny vektory <math>\boldsymbol x \in \mathbb R^n</math> různé od <math>\boldsymbol 0</math> platí <math>\boldsymbol x^\mathsf{T}\boldsymbol {Ax}> 0</math>;
** [[Pozitivně definitní matice#Podobné definice|negativně (semi)definitní]], pokud v předchozích definicích použijeme obrácené nerovnosti, tj. <math>\leq</math> a <math><</math>
** [[Pozitivně definitní matice#Podobné definice|indefinitní]] v ostatních případech, neboli existují <math>\boldsymbol {x,y} \in \mathbb R^n</math> taková, že <math>\boldsymbol x^\mathsf{T}\boldsymbol {Ax}> 0</math> a zároveň <math>\boldsymbol y^\mathsf{T}\boldsymbol {Ay}< 0</math>.
: Uvedené vlastnosti jsou definovány i pro komplexní hermitovské matice; jen je třeba vzít v potaz všechny komplexní vektory a v součinu nahradit obyčejnou transpozici <math>\boldsymbol x^\mathsf{T}</math> za hermitovskou transpozici <math>\boldsymbol x^\mathsf{H}</math>.
* Matici <math> \boldsymbol{A}</math> označujeme jako ''[[Unitární matice|unitární]]'', jestliže inverzní matice <math> \boldsymbol{A}^{-1}</math> je rovna matici hermitovsky sdružené <math> \boldsymbol{A}^{\mathrm H}</math>, tzn.
:<math>\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{\mathrm H}</math>

== Použití ==

=== Matice jako zápis lineárního zobrazení ===
Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů ''V'' do prostoru ''W'', pokud máme na prostoru ''V'' zvolenou [[báze (algebra)|bázi]] <math> {v_j}</math> a na prostoru ''W'' bázi <math> {w_j}</math>. Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru <math> v_i</math> zapsaného v bázi <math> w_j</math>.

=== Matice přechodu ===
Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud <math> \{b_1,\ldots,b_n\}</math> a <math> \{c_1,\ldots,c_n\}</math> jsou dvě báze, pro které platí <math> c_j=\sum_{i=1}^n b_i a^i_{\,\,j},</math>, neboli
:<math>(c_1,\ldots,c_n)=(b_1,\ldots,b_n)\boldsymbol{A},</math>
pak matice <math>\boldsymbol{A}=(a^i_{\,\,j})</math> se nazývá [[matice přechodu]] od báze <math> \{b_i\}_i</math> k bázi <math> \{c_i\}_i</math>. Pro souřadnice pak platí
:<math>\boldsymbol{A}^{-1}
\left(\begin{array}{c}x_1\\\vdots\\x_n\end{array}\right)_{\{b_i\}_i}=
\left(\begin{array}{c}y_{1}\\\vdots\\y_{n}\end{array}\right)_{\{c_i\}_i},
</math>
kde <math>x_i</math> jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi <math>\{b_i\}_i</math> a <math> y_{i}</math> jsou jeho souřadnice v bázi <math> \{c_i\}_i</math> a <math> \boldsymbol{A}^{-1}</math> je [[inverzní matice]] k matici <math>\boldsymbol{A}</math>.

[[Duální báze]] k <math> \{b_i\}</math> a <math> \{c_i\}</math> (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

=== Matice jako zápis bilineární formy ===
Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin) <math>V\times V\to K</math> (obvykle <math>K=\mathbb{R}</math> nebo <math>\mathbb{C}</math>), pokud máme na prostoru <math>V</math> zvolenou [[báze (algebra)|bázi]] <math>{v_j}</math> a na prostoru <math>W</math> bázi <math>{w_j}</math>. Matice zobrazení <math>\boldsymbol{A}</math> vytvoříme tak, že
<math>a_{ij}:=(v_i, w_j)</math>, kde (.) je příslušná bilineární forma.
Pak v souřadnicích platí <math> (\{x_i\},\{y_j\})=\{x_i\}^\mathrm{T} \boldsymbol{A} \{y_j\}</math>.

=== Soustavy lineárních rovnic ===
{{viz též|Soustava lineárních rovnic}}

Soustava <math>m</math> rovnic o <math>n</math> neznámých <math> \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i</math> se dá zapsat elegantně v maticovém tvaru <math display="block">\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b},</math>kde<math display="block"> \boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m1} & \dots & a_{mn} 
\end{pmatrix}
\quad 
\boldsymbol{b}=
\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots\\
b_{m} \end{pmatrix}
, \quad 
\boldsymbol{x}=
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots\\
x_{n} \end{pmatrix}
</math>jsou matice soustavy, vektor pravých stran a vektor neznámých. Často při řešení rovnic stačí pracovat s maticí soustavy a vektorem pravých stran, které se pro potřeby výpočtu spojují do rozšířené matice soustavy (viz [[Gaussova eliminace]]).

=== Zkoumání lineární nezávislosti vektorů ===
Je-li dána množina vektorů ze stejného vektorového prostoru v souřadnicích, je možné tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat pod sebe jako řádky matice. [[Lineární obal]] řádků matice se nezmění, pokud budu se s maticí provádí následující úpravy:

* Výměna dvou řádků
* Vynásobení řádku nenulovým číslem
* Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud se podaří postupnou aplikací těchto úprav vytvořit v matici nulový řádek, původní vektory jsou [[Lineární nezávislost|lineárně závislé]] (viz též [[Gaussova eliminace]]). Pokud se podaří matici upravit do odstupňovaného tvaru aniž by vznikl nulový řádek, jsou původní vektory [[Lineární nezávislost|lineárně nezávislé]]. Viz též [[hodnost matice]].

=== Řešení obyčejných diferenciálních rovnic ===
[[Obyčejná diferenciální rovnice|Obyčejná homogenní diferenciální rovnice]] s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá zapsat v maticovém tvaru <math display="block"> \dot{x}=\boldsymbol{A}x,</math>kde <math> x=x(t)</math> je sloupcový vektor neznámých a <math>\boldsymbol{A}</math> je čtvercová matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané [[maticová funkce|maticovou funkcí]] <math> \exp(\boldsymbol{A}t)</math>.

== Historie ==
Matice byly odedávna používány pro řešení [[Lineární rovnice|soustav lineárních rovnic]], ale až do 19. století byly obvykle nazývány ''pole''. Jedním z prvních textů využívajících koncept pole (včetně [[determinant|detrminantů]]) je ''[[Devět kapitol matematického umění|Devět kapitol o matematickém umění]]'' napsaný v Číně v 10.–2. století před naším letopočtem. V Evropě představil tuto metodu italský matematik [[Gerolamo Cardano]] v roce 1545 a to ve svém díle ''Ars Magna''. <ref name=":1">''Discrete Mathematics'' 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 {{ISBN|978-0-321-07912-1}}, p. 564-565</ref> Japonský matematik [[Takakazu Seki|Seki]] použil stejné metody pole k řešení [[Soustava rovnic|soustavy rovnic]] v roce 1683. Nizozemský matematik [[Johan de Witt|Jan de Witt]] reprezentoval transformace pomocí polí ve své knize ''Elements of Curves'' z roku 1659. <ref name=":1"/> V letech 1700 až 1710 propagoval [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] použití polí pro záznam informací nebo řešení. Mimo jiné experimentoval s více než 50 různými systémy polí. <ref name=":1" /> [[Gabriel Cramer|Cramerovo]] [[Cramerovo pravidlo|pravidlo]] bylo poprvé předvedeno v roce 1750.

Termín „matice“ (latinsky ''matrix'' - „lůno“, „zdroj“, „původ“, „seznam“, „registr“, odvozeno od ''[[wiktionary:mater#Latin|mater]]'' - matky) zavedl v roce 1850 [[James Joseph Sylvester]], který považoval matici za objekt, z něhož pochází několik determinantů, dnes nazývaných [[Subdeterminant|minory]]. To jsou determinanty menších matic, vzniklých z původní matice odstraněním sloupců a řádků. V dokumentu z roku 1851 Sylvester vysvětluje:

{{Citát|V předchozích článcích jsem definoval "Matrix" jako pravoúhlé pole členů, z nichž mohou vznikat různé systémy determinantů jako z lůna rodiče.|The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853<ref>The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, [https://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247 Paper 37], p. 247. Původní znění: "I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent."</ref>}}



V polovině 19. století publikoval [[Arthur Cayley]] pojednání o geometrických transformacích pomocí matic, které nebyly jen přeuspořádanými množinami koeficientů, jak tomu bylo dříve. Místo toho definoval operace jako sčítání, odčítání, násobení a dělení jako transformace těchto matic a ukázal, že jsou asociativní a distributivní. Cayley zkoumal a demonstroval nekomutativitu součinu matic i komutativitu součtu. <ref name=":1">''Discrete Mathematics'' 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 {{ISBN|978-0-321-07912-1}}, p. 564-565</ref> Do té doby se maticová teorie omezovala použití polí téměř výhradně na determinanty, a proto byly abstraktní maticové operace Arthura Cayleyho doslova revoluční, zejména proto, že Cayleyův koncept matic byl nezávislý na soustavách rovnic. V roce 1858 [[Arthur Cayley|Cayley]] publikoval své ''A memoir on the theory of matrices'' <ref>''Phil.Trans.'' 1858, vol.148, pp.17-37 ''Math. Papers II'' 475-496</ref>, ve kterých představil [[Cayleyho–Hamiltonova věta|Cayley-Hamiltonovu větu]].

Anglický matematik Cuthbert Edmund Cullis byl první, kdo v roce 1913 zavedl pro matice moderní závorkovou notaci. Současně předvedl první významné použití notace <math>\boldsymbol A=(a_{ij})</math> k reprezentaci matice, kde <math>a_{ij}</math> odkazuje na <math>i</math>''-tý'' řádek a <math>j</math>''-''tý sloupec. <ref name=":1">''Discrete Mathematics'' 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 {{ISBN|978-0-321-07912-1}}, p. 564-565</ref>

Moderní studia determinantů vycházela z několika zdrojů. [[Teorie čísel|Číselně-teoretické]] problémy přivedly [[Carl Friedrich Gauss|Gausse]] ke vztahům mezi koeficienty [[Kvadratická forma|kvadratických forem]], to jsou výrazy jako <math>x^2+2xy-y^2</math>, [[lineární zobrazení|lineárními zobrazeními]] ve třech rozměrech a maticemi. Tyto pojmy dále rozvinul [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]], včetně poznámky, že [[Násobení matic|součin matic]] není [[Komutativita|komutativní]]. První obecná tvrzení o determinantech dokázal [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], přičemž determinant matice <math>\boldsymbol A = a_{ij}</math> definoval následovně:

V [[polynom]]u <math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;</math>, kde <math>\prod</math> označuje [[Násobení|součin]] uvedených členů, nahraďte mocniny <math>a_j^k</math> za <math>a_{jk}</math>.

V roce 1829 Cauchy ukázal, že [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastní čísla]] symetrických matic jsou reálná.

[[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] se zaměřil na determinant související s funkcemi více proměnných. Tento determinant, později Sylvesterem nazvaný [[Jacobiho matice a determinant|Jacobiho determinant]], může být použit k popisu geometrických transformací na lokální (nebo i [[Infinitezimální hodnota|infinitezimální]]) úrovni. První [[axiom]]atický popis determinantů podali současně v roce 1903 [[Leopold Kronecker|Kronecker]] a [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] ve svých článcích ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten'' a ''Zur Determinantentheorie''. Do té doby byly determinanty definovány jen pomocí konkrétnějších přístupů, jako je například výše uvedený Cauchyho vzorec.

Mnohé věty se nejprve zabývaly pouze malými maticemi. Například [[Cayleyho–Hamiltonova věta|Cayley-Hamiltonova věta]] byla ve zmíněné Cayleyho monografii dokázána jen pro matice <math>2 \times 2</math> a [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] ji pak rozšířil i na matice <math>4 \times 4</math>. Teprve [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]], pracující na [[Bilineární forma|bilineárních formách]], zobecnil v roce 1898 tuto větu na všechny rozměry. [[Gaussova–Jordanova eliminace]], zobecňující speciální případ nyní nazývaný [[Gaussova eliminační metoda|Gaussova eliminace]], byla popsána Wilhelmem Jordanem až na konci 19. století.

Matice získaly ústřední roli v lineární algebře na počátku 20. století , částečně díky jejich použití v klasifikaci [[Hyperkomplexní číslo|hyperkomplexních číselných]] soustav z předchozího století.

[[Maticová kvantová mechanika|Maticová mechanika]] zavedená [[Werner Heisenberg|Heisenbergem]], [[Max Born|Bornem]] a [[Pascual Jordan|Jordanem]] vedla ke studiu matic s nekonečně mnoha řádky a sloupci. [[John von Neumann|Von Neumannův]] pozdější matematický popis kvantové mechaniky přispěl k dalšímu rozvoji souvisejících pojmů z [[Funkcionální analýza|funkcionální analýzy]], jako jsou například [[Lineární zobrazení|lineární operátory]] na [[Hilbertův prostor|Hilbertových prostorech]]. Ty, velmi zhruba řečeno, odpovídají [[Eukleidovský prostor|euklidovskému prostoru]], ale s nekonečnem [[Dimenze vektorového prostoru|nezávislých směrů]].

=== Další historická použití slova „matice“ v matematice ===
Termín matice byl použit neobvyklým způsobem v následujících případech:

[[Bertrand Russell]] a [[Alfred North Whitehead]] použili v díle ''[[Principia Mathematica]]'' (1910–1913) slovo „matice“ v kontextu svého axiomu redukovatelnosti. Tento axiom zavedli coby prostředek k postupné redukci jakékoli funkce na funkci nižšího typu, takže "naspod" (řád 0) je funkce identická se svým rozšířením:
{{Citát|Zaveďme název matice pro jakoukoli funkci, bez ohledu na počet proměnných, která neobsahuje žádné zjevné proměnné. Potom se jakákoli možná funkce jiná než matice odvozuje z matice pomocí zobecnění, to znamená zvážením tvrzení, že zkoumaná funkce je pravdivá pro všechny možné hodnoty nebo s nějakou hodnotou jednoho z argumentů, druhého argumentu nebo zbývajících neznámých argumentů.|Principia Mathematica to *56, 1913 <ref>Whitehead, Alfred North; and Russell, Bertrand (1913) ''Principia Mathematica to *56'', Cambridge at the University Press, Cambridge UK (republished 1962) str 162 a násl., původní znění: "Let us give the name of ''matrix'' to any function, of however many variables, that does not involve any apparent variables. Then, any possible function other than a matrix derives from a matrix by means of generalization, that is, by considering the proposition that the function in question is true with all possible values or with some value of one of the arguments, the other argument or arguments remaining undetermined."</ref>}}

Například funkce <math>\Phi(x,y)</math> dvou proměnných <math>x</math> a <math>y</math> může být redukována na ''soubor'' funkcí jediné proměnné <math>y</math> tím, že „uvážíme“ funkci pro všechny možné hodnoty „jednotlivých"'' <math>a_i</math>'' dosazených za proměnnou <math>x</math>. Získaný soubor funkcí jediné proměnné <math>y</math>, tedy <math>\forall a_i:  \Phi(a_i,y)</math>, pak lze redukovat na „matici“ hodnot „uvážením“ funkce pro všechny možné hodnoty „jednotlivých“ <math>b_i</math> nahrazených místo proměnné <math>y</math>:

: <math>\forall b_j \forall a_i :\Phi(a_i,b_j)</math>.

[[Alfred Tarski]] ve svém ''Úvodu do logiky'' z roku 1946 použil slovo „matice“ jako synonymum pro [[Pravdivostní tabulka|pravdivostní tabulku]] používanou v [[Matematická logika|matematické logice]]. <ref>Tarski, Alfred; (1946) ''Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences'', Dover Publications, Inc, New York NY, {{ISBN|0-486-28462-X}}.</ref>

=== Další použití ===
V matematice a fyzice:

* [[Jacobiho matice]]
* [[Hessova matice]]
* [[Wronského matice]]
* [[incidenční matice]] [[Graf (teorie grafů)|grafu]]

Ve statistice:

* Matice dat (zcela obecná tabulka popisující závislost jedné veličiny na druhé)
* [[Korelační matice]]
* [[Stochastická matice]]
* [[Kontingenční tabulka|kontingenční tabulky]]

V kvantové mechanice:

* Zápis operátorů do matic
* [[Matice hustoty]] (popis smíšeného stavu systému)
* [[Pauliho matice]]

V populační biologii:

* [[Leslieho model]]

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
<references group="pozn." />

=== Reference ===
{{Překlad|en|Matrix (mathematics)|1139384011}}
<references />

=== Literatura ===

* {{Citace monografie
 | titul = Slovník školské matematiky
 | vydavatel = SPN
 | místo = Praha
 | rok = 1981
 | počet_stran = 240
}}

* {{Citace monografie
 | příjmení = Bärtsch
 | jméno = Hans-Jochen
 | titul = Matematické vzorce
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 2006
 | počet_stran = 832
 | kapitola = Matice
 | strany = 180–198
 | isbn = 80-200-1448-9
}}

* {{Citace monografie
| příjmení = Bečvář
| jméno = Jindřich
| titul = Lineární algebra
| vydání = 1
| vydavatel = Matfyzpress
| místo = Praha
| rok vydání = 2019
| počet_stran = 436
| isbn = 978-80-7378-392-1
}}
* {{Citace monografie
| příjmení = Hladík
| jméno = Milan
| titul = Lineární algebra (nejen) pro informatiky
| vydání = 1
| vydavatel = Matfyzpress
| místo = Praha
| rok vydání = 2019
| počet_stran = 328
| strany = 39
| isbn = 978-80-7378-378-5
}}
* {{Citace elektronické monografie
 | příjmení = Olšák
 | jméno = Petr
 | titul = Lineární algebra
 | url = http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf
 | místo = Praha
 | datum vydání = 2007
 | datum přístupu = 2023-02-20
 }}
* {{Citace elektronické monografie
 | příjmení1 = Motl
 | jméno1 = Luboš
 | příjmení2 = Zahradník
 | jméno2 = Miloš
 | titul = Pěstujeme lineární algebru
 | url = https://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html
 | datum přístupu = 2023-02-20
 }}

=== Související články ===
* [[Determinant]]
* [[Hodnost matice]]
* [[Jordanův rozklad]]
* [[Kontingenční tabulka]]
* [[Lineární algebra]]
* [[LU rozklad]]
* [[Matice přechodu]]
* [[Maticová funkce]]
* [[Násobení matic]]
* [[Norma matice]]
* [[Soustava lineárních rovnic]]
* [[Stopa (algebra)|Stopa matice]]
* [[Transpozice matic]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=matice}}
* [http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra Učebnice lineární algebry na webu (anglicky)]
* [http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html Autar Kaw, Introduction to Matrix Algebra]
* [http://wims.unice.fr/wims/en_tool~linear~matrix.en.html Maticová kalkulačka]
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)]*
* [http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/index_male.php Sčítání a násobení matic] {{Wayback|url=http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/index_male.php |date=20130324230901 }}


{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Matice| ]]