Zobrazení zdroje stránky MUB báze

[[Soubor:MUB bases plot.svg|náhled|Příklad tří bází v dvourozměrném prostoru, z nichž báze B1 a B2 jsou vzájemně MUB, zatímco vektory báze B3 nemají stejný překryv s vektory báze B1 či B2 a tak do souboru MUB bází nepatří.]]
'''MUB báze''' (z anglického {{cizojazyčně|en|'''''M'''utually '''U'''nbiased '''B'''ases''}}{{Poznámka|Zřídka je též v angličtině používán název ''conjugate bases''<ref name="wiesner" />, což lze přeložit jako '''konjugované báze''' či '''sdružené báze'''.}}) je v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] označení pro [[množina|množinu]] [[báze (lineární algebra)|bází]] daného [[Hilbertův prostor|Hilbertova prostoru]], kde má každý [[vektor]] jedné báze stejný překryv se všemi vektory bází ostatních a to v následujícím smyslu: Máme-li konečněrozměrný [[komplexní číslo|komplexní]] Hilbertův prostor o [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzi]] <math>d</math>, jsou dvě jeho [[ortonormální báze]] <math>X = \{ | x_j \rangle \}_j</math> a <math>Y = \{ | y_j \rangle \}_j</math> MUB bázemi, splňují-li jejich vektory následující podmínku:<ref name="Wootters" /><ref name="Bengtsson_review">{{Citace periodika
| příjmení = Durt
| jméno = Thomas
| příjmení2 = Englert
| jméno2 = Berthold-Georg
| příjmení3 = Bengtsson
| jméno3 = Ingemar
| titul = On mutually unbiased bases
| periodikum = International Journal of Quantum Information
| datum vydání = 2010-06
| ročník = 08
| číslo = 04
| strany = 535–640
| issn = 0219-7499
| doi = 10.1142/S0219749910006502
| jazyk = en
| url = https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219749910006502
| datum přístupu = 2022-07-26
}}</ref>

:{{Rovnice v rámečku|<math>| \langle x_i | y_j \rangle |^2 = K</math>}}

pro všechny hodnoty indexů <math>i, j \in \{ 1, \ldots, d \}</math>, kde <math>K</math> je [[konstanta]], jejíž hodnota zní <math>K = 1/d</math>.{{Poznámka|Pro odvození viz sekci [[#Hodnota konstanty|"Hodnota konstanty"]] níže.}} Pokud množinu tvoří více než dvě báze, musí tyto podmínky platit pro kterékoliv dvě vybrané báze z této množiny. Splňují-li dvě či více bází výše uvedenou podmínku, říkáme, že jsou tyto vůči sobě MUB.{{Poznámka|Anglicky se používá označení, že jsou takové báze vůči sobě ''mutually unbiased'' a samotná vlastnost těchto bází se pak někdy označuje jako ''mutual unbiasedness''.<ref name="Wootters" />}}

Anglické označení ''mutually unbiased bases'' lze velmi neuměle přeložit jako ''vzájemně nestranné báze'' či ''vzájemně nezkreslené báze'', čímž se odkazuje na následující skutečnost: Uvažme jistý [[fyzikální systém]], jehož [[kvantový stav]] je představován některým z vektorů jedné báze a vystavme systém [[projektivní měření|projektivnímu měření]] v bázi druhé. Je-li stav systému popsán vektorem <math>| x_i \rangle</math>, je pravděpodobnost naměření vektoru <math>| y_j \rangle</math> podle [[Bornovo pravidlo|Bornova pravidla]] rovna <math>p = | \langle x_i | y_j \rangle |^2</math>, což je z definičních podmínek MUB bází rovno konstantě <math>K</math>. Tato [[konstanta]] je však nezávislá jak na konkrétní volbě vektoru <math>| x_i \rangle</math> tak na vektoru <math>| y_j \rangle</math> a naměřený výsledek tak nepřináší žádnou informaci o tom, v jakém stavu se systém před měřením nacházel. Jinými slovy, měření vektoru <math>| x_i \rangle</math> v bázi <math>\{ | y_j \rangle \}_j</math> nepřináší vůbec žádnou novou informaci. V tomto smyslu jsou báze <math>X = \{ | x_j \rangle \}_j</math> a <math>Y = \{ | y_j \rangle \}_j</math> vzájemně nezkreslené.

Pro tuto uvedenou vlastnost nacházejí MUB báze uplatnění například v [[kvantová kryptografie|kvantové kryptografii]], kde neznalost báze, ve které je nosič informace připraven, znemožňuje změřit stav tohoto nosiče a tím i získat přenášenou informaci. Další aplikační oblastí je [[kvantová tomografie]], kde měření fyzikálního systému v MUB bázích umožňuje získat veškerou informaci o stavu systému s nejmenší statistickou chybou.<ref name="Wootters" /> Počet a tvar možných MUB bází daného vektorového prostoru se liší v závislosti na [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzi]] tohoto prostoru. Velkou pozornost přitom poutají sady MUB bází s největším možným počtem bází pro danou dimenzi. Dosud byly nalezeny sady s maximálním počtem MUB bází jen pro prostory, jejichž [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] je rovna [[prvočíslo|prvočíslu]] anebo celočíselné [[mocnina|mocnině]] prvočísla.<ref name="Wootters" /><ref name="Bengtsson_review" /> Obecné řešení nebylo dosud (rok 2022) nalezeno a zůstává předmětem aktivního výzkumu. Nalezení maximálního počtu MUB bází či dokázání jejich neexistence je jedním z otevřených problémů [[teoretická fyzika|teoretické fyziky]].<ref>{{Citace elektronické monografie
| titul = Mutually unbiased bases – Open Quantum Problems
| url = https://oqp.iqoqi.oeaw.ac.at/mutually-unbiased-bases
| datum přístupu = 2022-12-28
| jazyk = en-US
}}</ref><ref>{{Citace elektronické monografie
| titul = KCIK Quantum Information Awards
| url = https://kcik.ug.edu.pl/kcik-awards/
| datum přístupu = 2023-01-08
| jazyk = en-US
}}</ref><ref name="open_problems">{{Citace periodika
| příjmení = Horodecki
| jméno = Paweł
| příjmení2 = Rudnicki
| jméno2 = Łukasz
| příjmení3 = Życzkowski
| jméno3 = Karol
| titul = Five Open Problems in Quantum Information Theory
| periodikum = PRX Quantum
| datum vydání = 2022-03-03
| ročník = 3
| číslo = 1
| strany = 010101
| doi = 10.1103/PRXQuantum.3.010101
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.3.010101
| datum přístupu = 2023-01-08
}}</ref>

Na obrázku vpravo nahoře jsou zobrazeny tři různé báze dvourozměrného (reálného) [[vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Báze B2 (vínově zbarvené vektory) je vůči B1 (černé vektory) natočena tak, že oba její vektory mají stejně veliký překryv s oběma vektory báze B1 (popř. až na znaménko). Jinými slovy, [[Soustava souřadnic|souřadnice]] vektorů báze B2 vyjádřené v soustavě zadané bází B1 mají stejnou [[absolutní hodnota|absolutní hodnotu]]. Naproti tomu báze B3 (oranžové vektory) je natočena vůči B1 tak, že její vektory mají různý překryv s vektory báze B1. Báze B1 a B3 tak netvoří množinu MUB bází, zatímco báze B1 a B2 ano.

== Historie ==

Prvním, kdo studoval MUB báze, ač tehdy ještě ne pod tímto názvem, byl v roce 1960 Julian Schwinger ve svém článku ''Unitary operator bases'',<ref name="Schwinger">{{Citace periodika
| příjmení = Schwinger
| jméno = J.
| titul = Unitary operator bases
| periodikum = Proceedings of the National Academy of Sciences
| datum vydání = 1960-04-01
| ročník = 46
| číslo = 4
| strany = 570–579
| issn = 0027-8424
| pmid = 16590645
| doi = 10.1073/pnas.46.4.570
| jazyk = en
| url = http://www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.46.4.570
| datum přístupu = 2022-02-28
}}</ref> kde mimo jiné ukázal, že [[vlastní vektor]]y vícerozměrných ''X'' a ''Z'' [[Pauliho operátor]]ů tvoří dvě MUB báze a že z těchto operátorů zkonstruované [[Heisenbergův-Weylův operátor|Heisenbergovy-Weylovy operátory]] tvoří [[ortonormální báze|ortonormální bázi]] [[unitární operátor|unitárních operátorů]] pro danou dimenzi. Na jeho práci v roce 1987 navázal [[Karl Kraus (fyzik)|Karl Kraus]], který studoval MUB báze v kontextu [[komplementární proměnná|komplementárních proměnných]] a [[relace neurčitosti|relací neurčitosti]].<ref name="Kraus">{{Citace periodika
| příjmení = Kraus
| jméno = K.
| titul = Complementary observables and uncertainty relations
| periodikum = Physical Review D
| datum vydání = 1987-05-15
| ročník = 35
| číslo = 10
| strany = 3070–3075
| doi = 10.1103/PhysRevD.35.3070
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.35.3070
| datum přístupu = 2023-01-06
}}</ref> Krausova pozorování byla poté dále rozvedena<ref name="Maassen" /> a vztah MUB bází a entropických relací neurčitosti není dosud zcela vyjasněn.<ref name="Wehner" />

V roce 1981 I. Ivanovič prezentoval techniku umožňující ze znalosti výsledků měření v MUB bázích zrekonstruovat původní [[kvantový stav]] daného systému.<ref name="Ivanovic">{{Citace periodika
| příjmení = Ivanovic
| jméno = I D
| titul = Geometrical description of quantal state determination
| periodikum = Journal of Physics A: Mathematical and General
| datum vydání = 1981-12-01
| ročník = 14
| číslo = 12
| strany = 3241–3245
| issn = 0305-4470
| doi = 10.1088/0305-4470/14/12/019
| url = https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/14/12/019
| datum přístupu = 2022-02-28
}}</ref> V tomtéž článku pak autor podal i explicitní tvar těchto bází pro [[Hilbertův prostor|Hilbertovy prostory]], jejichž dimenze je rovna [[prvočíslo|prvočíslu]]. Ivanovičův postup zobecnili v roce 1988 [[William K. Wootters|William Wootters]] a Brian Fields na dimenze, jež jsou rovny mocnině prvočísla,<ref name="Wootters">{{Citace periodika
| příjmení = Wootters
| jméno = William K
| příjmení2 = Fields
| jméno2 = Brian D
| titul = Optimal state-determination by mutually unbiased measurements
| periodikum = Annals of Physics
| datum vydání = 1989-05
| ročník = 191
| číslo = 2
| strany = 363–381
| doi = 10.1016/0003-4916(89)90322-9
| jazyk = en
| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0003491689903229
| datum přístupu = 2022-02-28
}}</ref> a zavedli pojem ''"mutually unbiased bases"''. Titíž autoři současně ukázali, že rekonstrukce kvantových stavů pomocí MUB bází je optimální v tom smyslu, že odpovídající [[statistická chyba]] je v takovémto případě minimální. Techniky rekonstrukce založené na MUB bázích byly dále zobecněny na rekonstrukci [[kvantový proces|kvantových procesů]].<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Fernández-Pérez
| jméno = A.
| příjmení2 = Klimov
| jméno2 = A. B.
| příjmení3 = Saavedra
| jméno3 = C.
| titul = Quantum process reconstruction based on mutually unbiased basis
| periodikum = Physical Review A
| datum vydání = 2011-05-31
| ročník = 83
| číslo = 5
| strany = 052332
| issn = 1050-2947
| doi = 10.1103/PhysRevA.83.052332
| jazyk = en
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.83.052332
| datum přístupu = 2023-01-10
}}</ref> 

V roce 1983 byl opublikován článek [[Stephen Wiesner|Stephena Wiesnera]] s názvem ''Conjugate coding'',<ref name="wiesner">{{Citace periodika
| příjmení = Wiesner
| jméno = Stephen
| titul = Conjugate coding
| periodikum = ACM SIGACT News
| datum vydání = 1983-01
| ročník = 15
| číslo = 1
| strany = 78–88
| issn = 0163-5700
| doi = 10.1145/1008908.1008920
| jazyk = en
| url = https://dl.acm.org/doi/10.1145/1008908.1008920
| datum přístupu = 2022-12-20
}}</ref> ve kterém jsou MUB báze využity pro neodposlouchávatelný přenos informace. Tento článek se stal odrazovým můstkem pro celé odvětví nyní zvané [[kvantová kryptografie]]. Wiesnerovy myšlenky jsou od té doby dále rozpracovávány a analyzovány z pohledu bezpečnosti přenosu i míry přenesené informace, viz např. <ref name="Cerf" />.

I přes značnou snahu není ani k roku 2022 jasné, kolik MUB bází pro obecnou dimenzi existuje, natož pak jejich tvar. Jedná se o dimenze, jež nelze vyjádřit jako mocninu prvočísla, přičemž nejmenší takovou dimenzí je číslo šest. Tato dimenze byla předmětem intenzivního studia a numerické simulace zatím naznačují, že více než tři MUB báze v dimenzi rovné šesti neexistují.<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Butterley
| jméno = Paul
| příjmení2 = Hall
| jméno2 = William
| titul = Numerical evidence for the maximum number of mutually unbiased bases in dimension six
| periodikum = Physics Letters A
| datum vydání = 2007-09
| ročník = 369
| číslo = 1–2
| strany = 5–8
| issn = 0375-9601
| doi = 10.1016/j.physleta.2007.04.059
| url = http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2007.04.059
| datum přístupu = 2022-02-28
}}</ref>

== Dvourozměrný prostor ==

Tvar MUB bází a jejich použití lze dobře ilustrovat v dvourozměrném  [[Hilbertův prostor|Hilbertově prostoru]], jenž je pro svou jednoduchost také hojně používaný v různých aplikacích a teoretických odvozeních. Za standardní [[ortonormální báze|ortonormální bázi]] lze v tomto prostoru zvolit vektory <math>| 0 \rangle</math> a <math>| 1 \rangle</math>. Velmi častá volba MUB bází pro dvourozměrný prostor je pak následujícího tvaru:
{| class="wikitable"
|+ Dimenze <math>d = 2</math>
! !! Báze 1 !! Báze 2 !! Báze 3 
|-
! Vektor 1
| <math>| x^{(1)}_1 \rangle = | 0 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + | 1 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle)</math> 
|-
! Vektor 2
| <math>| x^{(1)}_2 \rangle = | 1 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - | 1 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle)</math>
|}

Lze se snadno přesvědčit, že takto zadané vektory nejen že tvoří ortonormální báze, ale tyto báze jsou skutečně vůči sobě MUB. V dvourozměrném prostoru navíc nelze sestrojit sadu více než tří MUB bází a výše uvedený příklad je tak již v tomto ohledu maximální.

V reálném světě lze vektory <math>| 0 \rangle</math> a <math>| 1 \rangle</math> ztotožnit například s horizontální <math>H</math> a vertikální <math>V</math> [[Polarizace (vlnění)|polarizací]] [[foton]]u. V takovém případě je druhá MUB báze tvořena diagonální <math>D</math> a anti-diagonální <math>A</math> polarizací. Třetí MUB báze se pak skládá z pravo- <math>R</math> a levotočité <math>L</math> polarizace. Pokud místo fotonu uvažujeme [[spin]] [[elektron]]u, tak vektory <math>| 0 \rangle</math> a <math>| 1 \rangle</math> můžeme ztotožnit po řadě se spinem nahoru a dolů (přesněji vzato, s [[vlastní báze|vlastní bází]] [[Pauliho operátor]]u <math>\sigma_Z</math>). Druhá báze pak odpovídá spinu mířícímu vlevo či vpravo (to jest, vlastní bázi Pauliho operátoru <math>\sigma_X</math>) a konečně báze třetí pak obsahuje vektory představující spin mířící dopředu či dozadu (vlastní bázi Pauliho operátoru <math>\sigma_Y</math>). 

[[Soubor:Bloch sphere 3D.svg|náhled|[[Množina|Množinu]] všech čistých dvourozměrných stavů lze znázornit jako [[Blochova sféra|Blochovu sféru]] a ortonormální bázi jako dvě šipky, mířící přesně v opačných směrech. Zvolíme-li standardní bázi jako bázi tvořenou vektory <math>H</math> a <math>V</math>, zbarvené modře, lze za další dvě MUB báze zvolit báze <math>D/A</math>, červené vektory, a <math>R/L</math>, zelené vektory.]]

Polarizace fotonu i spin elektronu odpovídají dvourozměrným kvantovým systémům. Změření těchto systémů ve třech výše uvedených MUB bázích umožňuje zrekonstruovat jejich [[kvantový stav]] s použitím [[Blochova sféra|Blochovy reprezentace]]. Každý dvourozměrný [[čistý stav|čistý kvantový stav]] lze vyjádřit jako bod na [[Blochova sféra|Blochově sféře]], vyobrazené vpravo. Každou z výše zmíněných MUB bází pak lze znázornit na této sféře jako dvě protilehlé šipky jisté barvy — konkrétně standardní báze (horizontální/vertikální polarizace či spin nahoru/dolů) odpovídá modré, druhá MUB báze (diagonální/antidiagonální polarizace či spin vlevo/vpravo) odpovídá červené a konečně třetí MUB báze (pravotočivá/levotočivá polarizace či spin dopředu/dozadu) odpovídá zelené barvě.

Ve dvourozměrném prostoru je snadné nalézt všechny sady tří MUB bází přímým výpočtem, bez nutnosti využití pokročilejšího matematického aparátu nezbytného ve vyšších dimenzích. Ukazuje se, že až na [[globální fáze|globální fázi]] mají vektory těchto bází následující obecný tvar, kde <math>\omega = \exp(i \varphi)</math> pro nějaké [[reálné číslo]] <math>\varphi</math>{{Poznámka|Sada výše odpovídá volbě <math>\varphi = 0</math>.}} a kde [[Diracova notace|kety]] <math>| 0 \rangle</math> a <math>| 1 \rangle</math> představují standardní bázi daného prostoru:

{| class="wikitable"
|+ Všechny MUB báze pro dimenzi <math>d = 2</math>
! !! Báze 1 !! Báze 2 !! Báze 3 
|-
! Vektor 1
| <math>| x^{(1)}_1 \rangle = | 0 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + \omega | 1 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + i \omega | 1 \rangle)</math> 
|-
! Vektor 2
| <math>| x^{(1)}_2 \rangle = | 1 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - \omega | 1 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - i \omega | 1 \rangle)</math>
|}

Geometricky lze tyto báze znázornit na [[Blochova sféra|Blochově sféře]] podobně jako na obrázku vpravo, kde nyní fáze <math>\varphi</math> v čísle <math>\omega</math> udává natočení červené a zelené báze kolem báze modré, která splývá se svislou <math>z</math>-ovou osou a zůstává neměnná.

Pokud bychom si za standardní, to jest modrou, bázi zvolili nějaké jiné dva ortonormální vektory, obdrželi bychom podobné chování. A sice, fáze <math>\varphi</math> by vyjadřovala natočení červené a zelené báze kolem báze modré, která už ovšem nesměřuje podél <math>z</math>-ové osy. Všechny tři báze by ale v každém případě byly stále MUB — MUB vlastnost totiž souvisí čistě se vzájemnými vztahy mezi bázemi, ne na jejich absolutním natočení v prostoru. Protože se současným natočením všech bází jejich vzájemné vztahy nemění, lze vždy [[bez újmy na obecnosti]] první bázi zafixovat tak, aby byl její tvar co nejjednodušší, jak jsme provedli výše. Tato nezávislost na natočení je důsledkem unitární invariance zmíněné níže v oddíle [[#Unitární invariance|"Unitární invariance"]].

== Matematické vlastnosti ==

=== Hodnota konstanty ===

Základní podmínkou pro to, aby dvě báze v prostoru o dimenzi <math>d</math> byly MUB bázemi, je, aby byla velikost překryvu všech vektorů totožná a tedy <math>| \langle x_i | y_j \rangle |^2 = K</math> pro jistou konstantu <math>K</math>. Hodnotu této konstanty lze určit následovně. Vektory <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math> tvoří [[ortonormální báze|ortonormální bázi]] a pro daný vektor <math>| y_j \rangle</math> tedy platí [[Parsevalova rovnost]]: <math> {\textstyle \sum_{i = 0}^{d-1}} | \langle x_i | y_j \rangle |^2 = \langle y_j | y_j \rangle</math>. Vektor <math>| y_j \rangle</math> je [[Norma (matematika)|normalizovaný]] a tak je pravá strana rovnice rovna jedničce. Levá strana se zjednodušší na <math>{\textstyle \sum_{i = 0}^{d-1}} K = d K</math>, z čehož plyne <math>K = 1/d</math>. Fyzikálněji motivované vysvětlení může znít tak, že výraz <math>| \langle x_i | y_j \rangle |^2</math> udává dle [[Bornovo pravidlo|Bornova pravidla]] pravděpodobnost <math>p_j</math> naměření vektoru <math>| y_j \rangle</math>, je-li měřený systém ve [[kvantový stav|stavu]] <math>| x_i \rangle</math>. Ať už je výsledek měření jakýkoli, je jisté, že nějaký výsledek obdržíme. Pravděpodobnost toho, že obdržíme nějaký výsledek, je tedy rovna jedné. Současně je tato pravděpodobnost rovna součtu <math>{\textstyle \sum_{i = 0}^{d-1}} p_j</math>, odkud tedy <math>{\textstyle \sum_{i = 0}^{d-1}} p_j = 1</math>. Z definice MUB bází je každá dílčí pravděpodobnost <math>p_j</math> rovna konstantě <math>K</math> a odtud už podobně jako při důkazu výše nutně plyne, že <math>{\textstyle \sum_{i = 0}^{d-1}} K = d K = 1</math>.

=== Unitární invariance ===

Volba MUB bází není jednoznačná — [[unitární operátor|unitární]] rotací všech bází současně se jejich vzájemný vztah zachovává. Uvažme dvě [[ortonormální báze]] <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math> a <math>\{ | y_k \rangle \}_k</math>, které jsou vzájemně MUB. Unitární operace zachovávají ortonormalitu a tak sady vektorů <math>\{ U | x_j \rangle \}_j</math> a <math>\{ U | y_k \rangle \}_k</math>, kde <math>U</math> je [[unitární operátor]], opět tvoří dvě ortonormální báze. Pro jejich překryv dále platí:
:<math>| \langle x_j | U^\dagger U | y_k \rangle |^2 = | \langle x_j | y_k \rangle |^2 = \frac{1}{d},</math>
kde první rovnost plyne z unitarity, to jest <math>U^\dagger U = \mathrm{I}</math>, a druhá rovnost plyne z předpokladů, že původní báze jsou MUB. Jak lze tedy snadno nahlédnout, i báze <math>\{ U | x_j \rangle \}_j</math> a <math>\{ U | y_k \rangle \}_k</math> jsou vůči sobě MUB.

Když se hovoří o tom, že v daném prostoru existuje <math>m</math> MUB bází, je tím míněno, že lze v daném prostoru sestrojit sadu ortonormálních bází, které jsou vůči sobě MUB, jejichž počet je přitom <math>m</math>. Z této sady lze však sestrojit nekonečně mnoho jiných sad <math>m</math> MUB bází čistě tím, že na každý vektor uplatníme nějakou unitární operaci <math>U</math>. Vzhledem k této unitární invarianci lze vždy za první bázi zvolit [[standardní báze|bázi standardní]]. Touto volbou již nelze využít unitární invariance a tvar dalších MUB bází je již značně omezen MUB podmínkami. I s tímto ukotvením však lze i tak v některých dimenzích nalézt vícero neekvivalentních sad MUB bází.<ref name="Bengtsson">{{Citace sborníku
| příjmení = Bengtsson
| jméno = Ingemar
| titul = Three Ways to Look at Mutually Unbiased Bases
| url = http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.2713445
| sborník = AIP Conference Proceedings
| vydavatel = AIP
| místo = Vaxjo (Sweden)
| datum vydání = 2007
| svazek = 889
| strany = 40–51
| doi = 10.1063/1.2713445
| jazyk = en
}}</ref>

=== Maticové vyjádření ===

Vztahy pro vektory MUB bází lze přepsat do formy [[matice|matic]], potažmo [[lineární operátor|lineárních operátorů]]. Máme-li dvě [[ortonormální báze]] <math>\{ | x_i \rangle \}_i</math> a <math>\{ | y_j \rangle \}_j</math> v <math>d</math>-rozměrném prostoru, lze ke každému vektoru přiřadit [[Projekce (lineární algebra)|projektor]] na tento vektor tak, že <math>P_i = | x_i \rangle \langle x_i |</math> a <math>Q_j = | y_j \rangle \langle y_j |</math>. Tyto dvě báze jsou pak vzájemně MUB, pokud odpovídající projektory splňují následující rovnici:

:<math>
\mathrm{Tr}(P_i Q_j) = \frac{1}{d},
</math>

kde <math>\mathrm{Tr}</math> označuje [[stopa matice|stopu matice]]. Kvůli ortonormalitě báze <math>\{ | x_i \rangle \}_i</math> musí přitom sada operátorů <math>\{ P_i \}_i</math> být tvořena [[ortogonální projektor|ortogonálními projektory]] a totéž platí pro bázi <math>\{ | y_j \rangle \}_j</math> a projektory <math>\{ Q_j \}_j</math>.

Jiný způsob, jak se dívat na MUB báze je využitím [[unitární operátor|unitárních operátorů]]. Z každé ortonormální báze lze vytvořit [[unitární matice|unitární matici]] tak, že z jednotlivých vektorů utvoříme řádky matice. Je-li tedy <math>(x_i)_k</math> <math>k</math>-tá složka <math>i</math>-tého vektoru báze, je matice <math>U</math> tvaru <math>U_{ik} = (x_i)_k</math>. Unitarita plyne z ortonormality. Máme-li poté dvě unitární matice <math>U_x</math> a <math>U_y</math>, lze podmínku MUB vlastnosti přepsat do tvaru:

:<math>
| M_{jk} |^2 = \frac{1}{d}, \quad \text{kde} \quad M = U_x \cdot U_y^\dagger.
</math>

Součin dvou unitárních matic je opět unitární matice a tak výše uvedená podmínka znamená, že všechny prvky unitární matice <math>M</math> musejí mít [[absolutní hodnota|absolutní hodnotu]] rovnou <math>1/\sqrt{d}</math>. Jinými slovy, prvky takové matice musejí být tvaru:

:<math>M_{jk} = \frac{1}{\sqrt{d}} \exp \left( i \varphi_{jk} \right)</math>

pro jistá [[reálné číslo|reálná čísla]] <math>\varphi_{jk}</math>. Matice <math>M</math> je tak obecně tvaru <math>\textstyle M = \frac{1}{\sqrt{d}} H</math>, kde <math>H</math> je jistá [[komplexní číslo|komplexní]] [[Hadamardova matice]].<ref name="Bengtsson" />

=== Počet MUB bází ===

V prostoru dimenze <math>d</math> může být nanejvýš <math>d+1</math> MUB bází<ref name="Wootters" /> (viz též poznámku v oddíle [[#Unitární invariance|"Unitární invariance"]]). S použitím [[Weylova grupa|Weylových grup]] lze ukázat, že v každé dimenzi lze zkonstruovat alespoň tři MUB báze. Lze dále dokázat následující vztah, který udává spodní a horní mez pro počet MUB bází <math>N</math> v dané dimenzi <math>d</math>:

:<math>p_1^{n_1} + 1 \leq N \leq d + 1,</math>

kde <math>d = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}</math> je [[prvočíselný rozklad]] čísla <math>d</math>, kde jsou navíc jednotlivé členy seřazeny tak, aby platilo <math>p_1^{n_1} < p_2^{n_2} < \ldots < p_k^{n_k}</math>.<ref name="Klappenecker">{{Citace monografie
| příjmení = Klappenecker
| jméno = Andreas
| příjmení2 = Rötteler
| jméno2 = Martin
| titul = Constructions of Mutually Unbiased Bases
| url = http://link.springer.com/10.1007/978-3-540-24633-6_10
| editoři = Gary L. Mullen, Alain Poli, Henning Stichtenoth
| vydavatel = Springer Berlin Heidelberg
| místo = Berlin, Heidelberg
| strany = 137–144
| svazek = 2948
| isbn = 978-3-540-21324-6
| isbn2 = 978-3-540-24633-6
| doi = 10.1007/978-3-540-24633-6_10
| poznámka = DOI: 10.1007/978-3-540-24633-6_10
}}</ref> Z tohoto vztahu je vidět, že v každé dimenzi lze sestrojit alespoň tři MUB báze (viz též sekci [[#Konstrukce pro konečné dimenze|"Konstrukce pro konečné dimenze"]]).

Všechny výsledky zmiňované v tomto článku se vztahují ke [[komplexní číslo|komplexním]] [[Hilbertův prostor|Hilbertovým prostorům]], ne [[reálné číslo|reálným]]. V případě reálných Hilbertových prostorů je existence MUB bází v obecné dimenzi též stále otevřenou otázkou. Oproti komplexnímu případu lze ale v mnoha případech ukázat, že sady MUB bází buď vůbec neexistují nebo je jich jenom velmi malý počet.<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Boykin
| jméno = P. Oscar
| příjmení2 = Sitharam
| jméno2 = Meera
| příjmení3 = Tarifi
| jméno3 = Mohamad
| titul = Real Mutually Unbiased Bases
| periodikum = arXiv:quant-ph/0502024
| datum vydání = 2005-09-13
| poznámka = arXiv: quant-ph/0502024
| url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0502024
| datum přístupu = 2022-12-28
}}</ref> Například ve trojrozměrném reálném Hilbertově prostoru neexistuje ani jeden pár MUB bází.<ref name="Bengtsson" />

== Konstrukce bází ==

=== Dvojice MUB bází ===

Ke každé ortonormální bázi v daném prostoru vždy existuje alespoň jedna báze, vůči níž je MUB. V následujícím je představen obecný postup, jak tuto druhou bázi nalézt. Mějme zadánu jistou [[ortonormální báze|ortonormální bázi]] <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math> <math>d</math>-rozměrného [[Hilbertův prostor|Hilbertova prostoru]]. Libovolný vektor z tohoto prostoru tak lze vyjádřit jako [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] vektorů této báze. Především tak lze vyjádřit i každý vektor z nějaké další báze <math>\{ | y_k \rangle \}_k</math> téhož prostoru. Existují tedy [[koeficient]]y <math>\alpha_{jk}</math> tak, že platí <math>| y_k \rangle = {\textstyle \sum_{j = 0}^{d-1}} \alpha_{jk} | x_j \rangle</math>, přičemž <math>\alpha_{jk} = \langle x_j | y_k \rangle</math>.{{Poznámka|Hodnotu koeficientu <math>\alpha_{jk}</math> lze spočíst tak, že lineární kombinaci pro <math>| y_k \rangle</math> vynásobíme zleva [[Diracova notace|"braem"]] <math>\langle x_j |</math> a využijeme ortogonality vektorů <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math>. Levá strana tak zní <math>\langle x_j | y_k \rangle</math>, zatímco lineární kombinace samotná se redukuje do tvaru <math>\alpha_{jk}</math>.}} Dosazením tohoto výrazu do definičního vzorce MUB bází dostáváme <math>| \alpha_{jk} |^2 = 1/d</math>, z čehož je patrno, že [[absolutní hodnota]] [[komplexní číslo|komplexního čísla]] <math>\alpha_{jk}</math> je rovna <math>1/\sqrt{d}</math>, zatímco jeho fáze je zcela libovolná a určená [[reálné číslo|reálným číslem]] <math>\varphi_{jk}</math>. To jest, <math>\alpha_{jk} = (1/\sqrt{d}) \exp(i \varphi_{jk})</math>. Při zpětném dosazení tohoto tvaru koeficientů do původní lineární kombinace obdržíme 

:{{Rovnice v rámečku|<math>| y_k \rangle = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{j = 0}^{d-1} \exp \left( i \varphi_{jk} \right) | x_j \rangle.</math>}}

Navíc musí nadále platit, že vektory <math>| y_k \rangle</math> jsou [[ortonormální báze|ortonormální]]. Z výše uvedeného tvaru plyne: <math>\langle y_m | y_k \rangle = (1/d) {\textstyle \sum_{j,l = 0}^{d-1}} \exp \left( i (\varphi_{jk} - \varphi_{lm}) \right) \langle x_l | x_j \rangle = (1/d) {\textstyle \sum_{j = 0}^{d-1}} \exp \left( i (\varphi_{jk} - \varphi_{jm}) \right)</math>. Lze snadno ověřit, že pro <math>m = k</math> se tento vzorec redukuje do <math>\langle y_k | y_k \rangle = 1</math> a vektory jsou tak vskutku jednotkové. Kvůli ortogonalitě musí být vzorec pro <math>m \neq k</math> roven nule, čehož lze docílit vícero způsoby. Jedním takovým je volba <math>\varphi_{jk} = 2 \pi j k/d</math>, pro niž je báze <math>\{ | y_j \rangle \}_j</math> určená [[diskrétní Fourierova transformace|diskrétní Fourierovou transformací]] báze <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math>. Výsledné vektory jsou pak určeny vzorcem:{{Poznámka|Například v dimenzi <math>d = 3</math> vypadají složky takto zadaných vektorů následovně: <math>y_{0} = (1/\sqrt{3})(1,1,1)</math>, <math>y_{1} = (1/\sqrt{3})(1,\omega,\omega^2)</math> a <math>y_{2} = (1/\sqrt{3})(1,\omega^2,\omega)</math>, přičemž <math>\omega = \exp(2 \pi i / 3)</math> a je využito identity <math>\omega^3 = 1</math>.}}

:<math>| y_k \rangle = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{j = 0}^{d-1} \exp \left( \frac{2 \pi i}{d} j k \right) | x_j \rangle.</math>

Ke každé zadané bázi <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math> tak lze vždy sestrojit alespoň jednu další bázi <math>\{ | y_j \rangle \}_j</math>, která je s ní MUB. [[reálné číslo|Reálná čísla]] <math>\varphi_{jk}</math> v konstrukci výše přitom musí vyhovovat podmínce plynoucí z [[ortogonalita|ortogonality]] vektorů <math>\{ | y_j \rangle \}_j</math>. Pokud bychom chtěli tímto způsobem pokračovat a nalézt větší počet bází, musí být tyto nové báze MUB nejen vůči bázi <math>\{ | x_j \rangle \}_j</math>, ale i mezi sebou, což nakládá na tvar fází <math>\varphi_{jk}</math> dodatečné netriviální podmínky. Jsou to tyto dodatečné podmínky, které velmi komplikují nalezení obecného postupu pro konstrukci MUB bází a vynucují si použití pokročilého matematického aparátu.

=== Konstrukce pro konečné dimenze ===

Konstrukce sad MUB bází velkou měrou závisí na jejich zamýšleném počtu a dimenzi odpovídajícího prostoru. Je-li naším cílem sestrojit sadu pouze dvou MUB bází, nabízí se nejrůznější možnosti. Jak plyne z diskuze v předchozí sekci lze druhou bázi v kterékoliv dimenzi vytvořit aplikací [[diskrétní Fourierova transformace|diskrétní Fourierovy transformace]] na vektory báze první. V každé dimenzi lze též sestrojit sadu tří MUB bází a to například tak, že za báze vezmeme po řadě [[vlastní vektor|vlastní vektory]] operátorů <math>X</math>, <math>Z</math> a <math>XZ</math> definovaných v oddíle [[#Konstrukce pomocí Pauliho operátorů|"Konstrukce pomocí Pauliho operátorů"]].<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Grassl
| jméno = Markus
| titul = On SIC-POVMs and MUBs in Dimension 6
| periodikum = arXiv:quant-ph/0406175
| datum vydání = 2009-05-25
| poznámka = arXiv: quant-ph/0406175
version: 2
| url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406175
| datum přístupu = 2023-01-06
}}</ref> Pokud však chceme v daném prostoru nalézt soubor většího počtu MUB bází, je nutno použít sofistikovanějších metod. V prostoru dimenze <math>d</math> může existovat nanejvýš <math>d+1</math> bází, viz patřičný oddíl [[#Počet MUB bází|"Počet MUB bází"]]. Velkou pozornost tak vzbuzují konstrukce maximálních sad o <math>d+1</math> MUB bázích, jejichž neúplný výčet je podán v samostatné sekci [[#Konstrukce maximálních sad|"Konstrukce maximálních sad"]] níže.

Pro prostory, jejichž dimenze je [[prvočíslo]] nebo [[mocnina]] prvočísla, byly objeveny konstrukce umožňující takovou sadu sestrojit.<ref name="Ivanovic" /><ref name="Wootters" />{{Poznámka|Kromě těchto zmíněných existují i další, zobecněné či elegantnější konstrukce<ref name="Bengtsson_review" />, viz např. <ref name="Klappenecker" /><ref name="Wocjan">{{Citace periodika
| příjmení = Wocjan
| jméno = Pawel
| příjmení2 = Beth
| jméno2 = Thomas
| titul = New Construction of Mutually Unbiased Bases in Square Dimensions
| periodikum = arXiv:quant-ph/0407081
| datum vydání = 2004-07-12
| poznámka = arXiv: quant-ph/0407081
| url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407081
| datum přístupu = 2023-01-06
}}</ref>.}} Pro nejmenší dimenze pokrývají tyto konstrukce následující čísla: <math>2, 3, 4 = 2^2, 5, 7, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 11, \ldots</math> Jak vidno, pro čísla menší než deset existuje jedna dimenze, konkrétně <math>d = 6</math>, pro níž nelze stávající konstrukce použít. Tato dimenze tak byla podrobena zatím největšímu zájmu výzkumníků. Ačkoli lze v každé dimenzi najít MUB báze alespoň tři, není jasné, zda v <math>d = 6</math> existuje sada čtyř či více takových bází. Numerické simulace naznačují, že maximální sada MUB bází v této dimenzi neexistuje.<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Butterley
| jméno = Paul
| příjmení2 = Hall
| jméno2 = William
| titul = Numerical evidence for the maximum number of mutually unbiased bases in dimension six
| periodikum = Physics Letters A
| datum vydání = 2007-09
| ročník = 369
| číslo = 1–2
| strany = 5–8
| doi = 10.1016/j.physleta.2007.04.059
| jazyk = en
| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0375960107006111
| datum přístupu = 2022-12-28
}}</ref> Obecně není konstrukce a dokonce ani samotná existence maximálního počtu MUB bází v prostorech, jejichž dimenze není rovna mocnině prvočísla, známá.

=== Konstrukce pomocí tenzorových součinů ===

V případě konečněrozměrných [[Hilbertův prostor|Hilbertových prostorů]] lze použít následující techniku, kde je pro konstrukci neúplných sad MUB bází použito znalosti MUB bází z prostorů o nižších dimenzích. Předpokládejme, že máme dva Hilbertovy prostory <math>X</math> a <math>Y</math> o dimenzích <math>d_X</math> a <math>d_Y</math> s tím, že v prvním i druhém jsme nezávisle sestrojili sadu <math>m</math> MUB bází, přičemž tato sada nemusí být maximální, to jest <math>m \leq d_X+1</math> a <math>m \leq d_Y+1</math>. Uvažme nyní [[tenzorový součin]] těchto dvou prostorů <math>X \otimes Y</math> a zkoumejme, jak sestrojit MUB sadu bází v tomto větším prostoru.

Jak lze snadno nahlédnout, sada tvořená tenzorovými součiny bází představuje sadu <math>m</math> MUB bází v prostoru <math>X \otimes Y</math>: Nechť <math>\mathcal{X}_0 = \{ | x^{(0)}_j \rangle \}_j</math> je první MUB báze v prostoru <math>X</math>, <math>\mathcal{X}_1 = \{ | x^{(1)}_j \rangle \}_j</math> je druhá MUB báze atd. a podobně nechť <math>\mathcal{Y}_0 = \{ | y^{(0)}_j \rangle \}_j</math>, <math>\mathcal{Y}_1 = \{ | y^{(1)}_j \rangle \}_j</math>, <math>\ldots</math>, <math>\mathcal{Y}_{m-1} = \{ | y^{(m-1)}_j \rangle \}_j</math> jsou MUB báze v prostoru <math>Y</math>. Uvažme nyní sadu bází <math>\{ \mathcal{Z}_r \}_r</math>, kde je každá báze tvaru <math>\mathcal{Z}_r = \{ | z^{(r)}_{j,k} \rangle \}_{j,k}</math>, přičemž <math>| z^{(r)}_{j,k} \rangle \equiv | x^{(r)}_j \rangle \otimes | y^{(r)}_k \rangle</math>.

Z ortonormality jednotlivých bází <math>\mathcal{X}_r</math> a <math>\mathcal{Y}_r</math> pro vektory každé z bází <math>\mathcal{Z}_r</math> plyne:

:<math>\langle z^{(r)}_{j,k} | z^{(r)}_{m,n} \rangle = (\langle x^{(r)}_j | \otimes \langle y^{(r)}_k |)(| x^{(r)}_m \rangle \otimes | y^{(r)}_n \rangle) = \langle x^{(r)}_j | x^{(r)}_m \rangle \, \langle y^{(r)}_k | y^{(r)}_n \rangle = \delta_{jm} \, \delta_{kn}.</math>

Každá z bází <math>\mathcal{Z}_r</math> je tak bází ortonormální. Dále pro <math>r \neq s</math> platí:

:<math>| \langle z^{(r)}_{j,k} | z^{(s)}_{m,n} \rangle |^2 = | (\langle x^{(r)}_j | \otimes \langle y^{(r)}_k |)(| x^{(s)}_m \rangle \otimes | y^{(s)}_n \rangle) |^2 = |\langle x^{(r)}_j | x^{(s)}_m \rangle |^2 \, | \langle y^{(r)}_k | y^{(s)}_n \rangle |^2 = \frac{1}{d_X} \frac{1}{d_y} = \frac{1}{d},</math>

kde <math>d = d_X \, d_Y</math> je dimenze prostoru <math>X \otimes Y</math>. Báze <math>\mathcal{Z}_r</math> tedy tvoří sadu MUB bází.{{Poznámka|Poznamenejme, že sadu <math>\{ \mathcal{Z}_r \}_r</math> netvoří všechny možné tenzorové součiny bází <math>\mathcal{X}_r</math> a <math>\mathcal{Y}_s</math>, ale jenom těch, jejichž indexy se shodují, to jest <math>r = s</math>. V opačném případě bychom sice též obdrželi sadu ortonormálních bází, tyto by ale už nebyly vůči sobě MUB.}} Právě uvedenou konstrukci lze jednoduše zobecnit na větší počet prostorů.

Protože <math>m \leq \textrm{min}(d_X, d_Y)+1</math>, nelze tímto způsobem vytvořit maximální sadu MUB bází v prostoru <math>X \otimes Y</math>. Jedná se však o jednoduchý způsob, jak v tomto prostoru nalézt alespoň nějakou sadu a to ze znalosti MUB bází v menších prostorech <math>X</math> a <math>Y</math>. 

=== Konstrukce pro nekonečné dimenze ===

Diskuzi pro konstrukci MUB bází v prostorech konečné dimenze lze zobecnit pro případ spojitých nekonečně-rozměrných prostorů. Takovéto prostory mohou fyzikálně odpovídat například poloze [[částice|částice]] na přímce.<ref name="Bengtsson_review" /> Konstanta <math>K</math> v definici MUB bází už nemůže být zjevně rovna <math>1/d</math>, protože nyní <math>d = +\infty</math>. Ukazuje se, že hodnota této konstanty závisí na [[topologie|topologii]] daného prostoru a na konkrétní volbě bází.<ref name="Weigert">{{Citace periodika
| příjmení = Weigert
| jméno = Stefan
| příjmení2 = Wilkinson
| jméno2 = Michael
| titul = Mutually unbiased bases for continuous variables
| periodikum = Physical Review A
| datum vydání = 2008-08-29
| ročník = 78
| číslo = 2
| strany = 020303
| issn = 1050-2947
| doi = 10.1103/PhysRevA.78.020303
| jazyk = en
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.78.020303
| datum přístupu = 2023-01-10
}}</ref> Tak například pro prostor odpovídající pohybu částice po [[přímka|přímce]] je tato konstanta odlišná od té pro prostor odpovídající pohybu částice po [[kružnice|kružnici]].<ref name="Bengtsson_review" /> 

Pro konkrétnost se zaměřme právě na pohyb částice po přímce, čemuž odpovídá prostor [[kvadraticky integrabilní funkce|kvadraticky integrabilních funkcí]] na [[reálná osa|reálné ose]] <math>\mathcal{L}^2(\mathbb{R})</math>. [[Poloha tělesa|Poloha]] a [[hybnost]] částice pak odpovídá kvantově-mechanickým [[operátor|operátorům]] <math>Q</math> a <math>P</math> splňujícím komutační relace <math>[Q, P] = i \hbar</math>, které působí na funkce z <math>\mathcal{L}^2(\mathbb{R})</math>. Vlastní vektory <math>| q \rangle</math> a <math>| p \rangle</math> těchto operátorů splňují známý vztah:

:<math>\langle q | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp \left( \frac{i q p}{\hbar} \right).</math>

Tato rovnice je přesně tvaru, který je v sekci [[#Dvojice MUB bází|"Dvojice MUB bází"]] obdržen pro překryv vektorů ze dvou MUB bází. Rozdíl v tomto případě je jednak hodnota konstanty <math>K = 1/(2 \pi \hbar)</math>, jednak fakt, že <math>| q \rangle</math> a <math>| p \rangle</math> jsou přesně vzato [[zobecněný vlastní vektor|zobecněné vlastní vektory]] normalizované k [[delta funkce|delta funkci]], které neleží v <math>\mathcal{L}^2(\mathbb{R})</math>. Jak vidno, báze zobecněných vektorů <math>| q \rangle</math> a báze zobecněných vektorů <math>| p \rangle</math> tvoří sadu dvou MUB bází. Konstrukce sady tří MUB bází je složitější.<ref name="Weigert" />

Ve stejném prostoru lze sestrojit různé báze charakterizované [[reálné číslo|reálnými čísly]] <math>\alpha</math> a <math>\beta</math> tak, že každá báze je složena ze zobecněných vektorů <math>| \alpha, \beta, y \rangle</math> indexovaných reálným číslem <math>y</math>, přičemž jsou tyto normalizovány k delta funkci a platí <math>\langle \alpha, \beta, y | \alpha, \beta, y' \rangle = \delta(y - y')</math>, což odpovídá požadavku na [[ortonormální báze|ortonormalitu]]. Aniž bychom zacházeli do podrobností, zmiňme pouze, že lze tyto báze sestrojit tak, aby platilo:<ref name="Weigert" /><ref name="Bengtsson_review" />

:<math>| \langle \alpha, \beta, y | \alpha', \beta', y' \rangle |^2 = \frac{1}{2 \pi |\alpha \beta' - \alpha' \beta|}.</math>

Tento vztah je nezávislý na indexech pro konkrétní vektory <math>y</math> a <math>y'</math>, čímž pádem jsou báze <math>\{ | \alpha, \beta, y \rangle \}_y</math> a <math>\{ | \alpha', \beta', y \rangle \}_y</math> vůči sobě MUB. Protože čísla <math>\alpha</math> a <math>\beta</math> mohou nabývat [[Nespočetná množina|nespočetně mnoha]] hodnot, máme v prostoru <math>\mathcal{L}^2(\mathbb{R})</math> nespočetně mnoho párů MUB bází.

== Konstrukce maximálních sad ==

Jak zmíněno v sekci [[#Konstrukce pro konečné dimenze|"Konstrukce pro konečné dimenze"]], výsadní postavení v prostoru o dimenzi <math>d</math> mají sady MUB bází, které sestávají z <math>d + 1</math> bází. V následujícím jsou podány způsoby, jak lze takové sady explicitně zkonstruovat.

Pro zjednodušení zápisu jsou v této sekci jednotlivé báze a složky vektorů indexovány od nuly a [[bez újmy na obecnosti]] je za <math>d</math>-tou, tedy poslední, bázi vždy zvolena [[standardní báze|bázi standardní]]. Označíme-li si <math>k</math>-tý vektor standardní báze symbolem <math>| x_{k}^{(d)} \rangle \equiv | k \rangle</math>, je <math>l</math>-tá složka tohoto vektoru rovna <math>(x^{(d)}_k)_l = \delta_{kl}</math>, kde <math>\delta_{kl}</math> je [[Kroneckerovo delta]].{{Poznámka|Například v dimenzi <math>d = 3</math> je tato báze explicitního tvaru: <math>| x_{0}^{(3)} \rangle = | 0 \rangle</math>, <math>| x_{1}^{(3)} \rangle = | 1 \rangle</math> a <math>| x_{2}^{(3)} \rangle = | 2 \rangle</math>, kteréžto vektory lze ekvivalentně přepsat v souřadnicovém vyjádření jako: <math>x_{0}^{(3)} = (1,0,0)</math>, <math>x_{1}^{(3)} = (0,1,0)</math> a <math>x_{2}^{(3)} = (0,0,1)</math>.}} Pro vektory dalších MUB bází pak budeme v následujícím užívat konvenci, že <math>| x_{k}^{(r)} \rangle</math> je <math>k</math>-tý vektor <math>r</math>-té báze, jehož <math>l</math>-tá souřadnice ve standardní bázi zní <math>(x_{k}^{(r)})_l</math> a tedy:

:<math>| x_{k}^{(r)} \rangle = \sum_{l=0}^{d-1} (x_{k}^{(r)})_l | l \rangle.</math>

Ukazuje se, že konstrukce použitelné pro mocniny [[Sudá a lichá čísla|lichých]] prvočísel nelze uplatnit pro mocniny dvojky coby jediného [[Sudá a lichá čísla|sudého]] prvočísla a pro tento případ je nutno použít konstrukce odlišné.<ref name="Wootters" /> Obě dvě konstrukce jsou představeny níže, předtím je nicméně podán přehled konstrukcí pro dimenze, jež jsou rovny [[prvočíslo|prvočíslu]], ne jeho mocnině.

=== Konstrukce pro prvočíselné dimenze ===

==== Ivanovičova konstrukce ====

Ivanovičova konstrukce navazuje na tu zmíněnou v sekci [[#Dvojice MUB bází|"Dvojice MUB bází"]], kde poslední báze je ta standardní, první je generována diskrétní Fourierovou transformací a všechny ostatní jsou zkonstruovány podle obecného předpisu vypsaného níže:<ref name="Ivanovic" />
:{{Rovnice v rámečku|<math>
\begin{align}
(x_{k}^{(0)})_l & = \frac{1}{\sqrt{d}} \exp{ \left( \frac{2 \pi i}{d} k l \right)}, \\
(x_{k}^{(r)})_l & = \frac{1}{\sqrt{d}} \exp{ \left( \frac{2 \pi i}{d} r (k + l - 1)^2 \right)}, \quad r \in \{ 1, \ldots, d - 1\}, \\
(x_{k}^{(d)})_l & = \delta_{kl},
\end{align}
</math>}}
kde <math>k, l = 0, 1, \ldots, d-1</math>, přičemž <math>d</math> je dimenze rovná prvočíslu. Není obtížné ověřit, že takto definované vektory skutečně tvoří [[ortonormální báze]]. Pro důkaz, že jsou tyto báze vůči sobě MUB, lze pak využít [[zobecněná kvadratická Gaussova suma|zobecněné kvadratické Gaussovy sumy]].{{Poznámka|[[Zobecněná kvadratická Gaussova suma]]<!--  (viz [[:en:Quadratic_Gauss_sum#Generalized quadratic Gauss sums]]) --> je pro <math>a \not\equiv 0 \, \mathrm{mod} \, d</math> rovna
:<math>\sum_{l=0}^{d-1} \omega^{a l^2 + b l} = \epsilon_{d} \sqrt{d} \left( \frac{a}{d} \right) e^{-2 \pi i \frac{\psi(a) b^2}{d}},</math>
kde <math>\psi(a)</math> je nějaké číslo splňující <math>4 a \, \psi(a) \equiv 1 \, \mathrm{mod} \, d</math>, přičemž
:<math>\epsilon_d = \left\{
\begin{array}{rl}
1 & \text{pokud } d \equiv 1 \, \mathrm{mod} \, 4,\\
i & \text{pokud } d \equiv 3 \, \mathrm{mod} \, 4,
\end{array}
\right.</math>
a kde závorka značí [[Legendreův symbol]], pro nějž
:<math>\left(\frac{a}{d}\right) = \left\{
\begin{array}{rl}
1 & \text{pokud } a \not\equiv 0 \, \mathrm{mod} \, d \ \text{a existuje } \\
 & x \in \mathbb{Z} \, \text{tak, že } a \equiv x^2 \pmod{d},\\
-1 & \text{pokud } a \not\equiv 0 \, \mathrm{mod} \, d \\
 & \text{a takové } x \, \text{neexistuje.}
\end{array}
\right.</math>
Absolutní hodnota výrazu na pravé straně rovnice je tak zjevně rovna <math>\sqrt{d}</math>.}}

==== Woottersova-Fieldsova konstrukce ====

Wootters a Fields zelegantnili Ivanovičovu konstrukci do následující podoby:<ref name="Wootters" />
:{{Rovnice v rámečku|<math>
\begin{align}
(x_{k}^{(r)})_l & = \frac{1}{\sqrt{d}} \exp{ \left( \frac{2 \pi i}{d} (r l^2 + k l) \right)}, \quad r \in \{ 0, \ldots, d-1 \}, \\
(x_{k}^{(d)})_l & = \delta_{kl}.
\end{align}
</math>}}
Ověřit, že se jedná skutečně o ortonormální báze, jež jsou vzájemně MUB, lze obdobně jako pro Ivanovičovu konstrukci. Tuto konstrukci lze navíc zobecnit pro dimenze, jež jsou rovny mocninám prvočísel, jak je rozebráno v oddílech [[#Konstrukce pro mocniny dvojky|"Konstrukce pro mocniny dvojky"]] a [[#Konstrukce pro mocniny lichého prvočísla|"Konstrukce pro mocniny lichého prvočísla"]].

==== Konstrukce pomocí Pauliho operátorů ====

Maximální sadu <math>d + 1</math> MUB bází pro prvočíselnou dimenzi <math>d</math> lze též sestrojit jako sadu [[vlastní báze|vlastních bází]] operátorů následujícího tvaru:<ref name="new_proof">{{Citace periodika
| příjmení = Bandyopadhyay
| jméno = Somshubhro
| příjmení2 = Boykin
| jméno2 = P. Oscar
| příjmení3 = Roychowdhury
| jméno3 = Vwani
| titul = A New Proof for the Existence of Mutually Unbiased Bases
| periodikum = Algorithmica
| datum vydání = 2002-11-08
| ročník = 34
| číslo = 4
| strany = 512–528
| issn = 0178-4617
| doi = 10.1007/s00453-002-0980-7
| url = http://link.springer.com/10.1007/s00453-002-0980-7
| datum přístupu = 2022-12-24
}}</ref>
:{{Rovnice v rámečku|<math>
X, X \cdot Z, X \cdot Z^2, \ldots, X \cdot Z^{d-1}, Z,
</math>}}
kde <math>X</math> a <math>Z</math> jsou <math>d</math>-rozměrné [[Pauliho operátor]]y, definované vztahy
:<math>
Z | k \rangle = \omega^k | k \rangle, \quad X | k \rangle = | k + 1 \rangle,
</math>
kde <math>\omega = \exp \left( 2 \pi i/d \right)</math> a kde je součet nutno chápat [[modulo]] <math>d</math>, to jest <math>X | d - 1 \rangle = | 0 \rangle</math>. Tento postup lze zobecnit i na dimenze, jež jsou rovny mocninám prvočísel.<ref name="new_proof" /> Lze ukázat, že vlastní vektory operátoru <math>X Z^r</math> a tedy vektory <math>r</math>-té MUB báze jsou tvaru:<ref name="new_proof" />
:{{Rovnice v rámečku|<math>
| x_{k}^{(r)} \rangle = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{l = 0}^{d-1} (\omega^k)^{d - l} (\omega^{-r})^{s_l} | l \rangle, \quad k = 0, \ldots, d - 1
</math>}}
kde je definováno <math>s_l = l + \ldots + (d - 1)</math>. Platí, že <math>X Z^r | x_{k}^{(r)} \rangle = \omega^k | x_{k}^{(r)} \rangle</math>.

=== Konstrukce pro mocniny dvojky ===

Pro mocniny dvojky tvaru <math>d = 2^n</math>, kde <math>n</math> je jisté [[přirozené číslo]], lze použít následující konstrukci vyvinutou Woottersem a Fieldsem<ref name="Wootters" />. Pro zjednodušení zápisu je místo indexování pomocí [[celé číslo|celých čísel]] od 0 do <math>d-1</math> použito indexování pomocí jejich [[binární soustava|binárních zápisů]]. A tedy <math>l</math>-tá složka <math>k</math>-tého vektoru <math>r</math>-té báze je indexována pomocí <math>n</math>-tic <math>\mathbf{l}</math>, <math>\mathbf{k}</math> a <math>\mathbf{r}</math>, z nichž každá obsahuje binární zápis odpovídajícího indexu.{{Poznámka|Tak například pro <math>n = 3</math> je index <math>l</math> reprezentován [[multiindex]]em <math>\mathbf{l} = (l_1, l_2, l_3)</math>, což v konkrétním případě <math>l = 5</math> vede k <math>\mathbf{l} = (1,1,0)</math>.}} V této reprezentaci lze MUB báze pro dimenzi <math>d = 2^n</math> zvolit jako
:{{Rovnice v rámečku|<math>
\begin{align}
(x_{\mathbf{k}}^{(\mathbf{r})})_{\mathbf{l}} & = \frac{1}{\sqrt{d}} (-1)^{\mathbf{k} \cdot \mathbf{l}} \, i^{\mathbf{l} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{\alpha}) \mathbf{l}^T}, \\
(x_{\mathbf{k}}^{(d)})_{\mathbf{l}} & = \delta_{\mathbf{k} \mathbf{l}},
\end{align}
</math>}}
kde <math>\mathbf{k}</math>, <math>\mathbf{l}</math> a <math>\mathbf{r}</math> jsou vektory o <math>n</math> složkách nabývajících pouze hodnot 0 a 1, a kde <math>\mathbf{\alpha} = (\alpha^{(1)}, \ldots, \alpha^{(n)})</math> je <math>n</math>-tice [[symetrická matice|symetrických]] [[singulární matice|nesingulárních]] <math>n \times n</math> matic <math>\alpha^{(m)}</math>, jejichž složky mohou též nabývat pouze hodnot 0 či 1.{{Poznámka|Tyto matice jsou definovány vztahy
:<math>
\begin{align}
f_j f_k & = \sum_{m=1}^{n} (\alpha^{(m)})_{jk} f_m,
\end{align}
</math>
kde <math>f_m</math> jsou [[bazický vektor|bazické vektory]] konečného [[číselné těleso|číselného tělesa]] <math>\mathbb{F}_{2^n}</math> o <math>2^n</math> prvcích. Jak je však zmíněno v <ref name="new_proof" /> lze za matice <math>\alpha^{(m)}</math> brát takové symetrické nesingulární matice, aby pro libovolný nenulový vektor <math>\mathbf{r}</math> byla [[lineární kombinace]] <math>{\textstyle \sum_{m=1}^{n}} r_m \alpha^{(m)}</math> nesingulární maticí. V <ref name="new_proof" /> lze najít doplňující informace.}} Součin <math>\mathbf{r} \cdot \mathbf{\alpha}</math> je přitom nutno chápat jako <math>\mathbf{r} \cdot \mathbf{\alpha} = {\textstyle \sum_{m=1}^{n}} r_m \alpha^{(m)}</math>. Poznamenejme, že [[aritmetika]] čísel v [[Umocňování|exponentu]] [[imaginární jednotka|imaginární jednotky]] ve vzorci výše je efektivně prováděna [[modulo]] 4.

=== Konstrukce pro mocniny lichého prvočísla ===

Níže je podána lehce upravená konstrukce podle Wootterse a Fieldse<ref name="Wootters" />, která zobecňuje konstrukci ze sekce [[#Woottersova-Fieldsova konstrukce|"Woottersova-Fieldsova konstrukce"]] a využívá vlastností konečných [[číselné těleso|číselných těles]]. Číselné těleso o <math>d</math> prvcích si označíme <math>\mathbb{F}_{d}</math>, kde nyní <math>d = p^n</math> pro jisté liché [[prvočíslo]] <math>p</math> a [[přirozené číslo]] <math>n</math>. Báze lze zvolit následujícím způsobem:{{Poznámka|Zdá se, že v původním článku <ref name="Wootters" /> je omylem vyňata hodnota <math>r = 0</math> z rozsahu v prvním vzorci. Při ponechání původního znění, viz rovnici (14) v <ref name="Wootters" />, lze takto vygenerovat pouze <math>d - 1</math> bází, což by společně se standardní bází vedlo k sadě <math>d</math> MUB bází, ne <math>d + 1</math>, jak požadujeme.}}
:{{Rovnice v rámečku|<math>
\begin{align}
(x_k^{(r)})_l & = \frac{1}{\sqrt{d}} \exp{ \left( \frac{2 \pi i}{p} \mathrm{Tr}(k \, l + r \, l^2) \right)}, \quad r \in \{ 0, \ldots, d-1 \}, \\
(x_k^{(d)})_l & = \delta_{k l},
\end{align}
</math>}}
kde <math>r, k, l \in \mathbb{F}_{d}</math> a kde <math>\mathrm{Tr}</math> je operace stopy ve smyslu číselných těles, která je pro libovolný prvek tělesa <math>\alpha</math> definována jako

:<math>\mathrm{Tr} \, \alpha = \alpha + \alpha^p + \alpha^{p^2} + \ldots + \alpha^{p^{n-1}}.</math>

Tento vysoce abstraktní zápis lze převést do více explicitní podoby využitím multiindexů. Zcela analogicky jako v sekci [[#Konstrukce pro mocniny dvojky|"Konstrukce pro mocniny dvojky"]] můžeme místo celých čísel <math>r</math>, <math>k</math> a <math>l</math> pro indexaci bází, vektorů a jejich složek použít <math>n</math>-tice čísel, které představují odpovídající <math>p</math>-ární zápis. To jest, místo <math>r</math> je použito <math>n</math>-tice <math>\mathbf{r} = (r_1, r_2, \ldots, r_n)</math> atd., což například pro <math>n = 2</math>, <math>p = 3</math> a <math>r = 5</math> vede na <math>\mathbf{r} = (1,2)</math>. Báze lze posléze volit způsobem:
:{{Rovnice v rámečku|<math>
\begin{align}
(x_{\mathbf{k}}^{(\mathbf{r})})_{\mathbf{l}} & = \frac{1}{\sqrt{d}} \exp{ \left( \frac{2 \pi i}{p} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{l} + \mathbf{l} (\mathbf{r} \cdot \alpha) \mathbf{l}^T) \right)}, \\
(x_{\mathbf{k}}^{(d)})_{\mathbf{l}} & = \delta_{\mathbf{k} \mathbf{l}},
\end{align}
</math>}}
kde <math>r, k, l \in (\mathbb{F}_{p})^n</math> jsou <math>n</math>-složkové multiindexy, jejichž složky leží v <math>\mathbb{F}_{p}</math>. Dále, <math>\mathbf{\alpha}</math> je <math>n</math>-tice [[symetrická matice|symetrických]] [[singulární matice|nesingulárních]] <math>n \times n</math> matic s prvky v tělese <math>\mathbb{F}_p</math> tak, že <math>\mathbf{\alpha} = (\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \ldots, \alpha^{(n)})</math>, přičemž součin <math>\mathbf{r} \cdot \mathbf{\alpha}</math> je nutno chápat ve smyslu <math>\mathbf{r} \cdot \mathbf{\alpha} = {\textstyle \sum_{m=1}^n} r_m \alpha^{(m)}</math> a tento součin musí odpovídat [[singulární matice|nesingulární matici]] pro všechny nenulové vektory <math>\mathbf{r}</math>, viz poznámku v sekci [[#Konstrukce pro mocniny dvojky|"Konstrukce pro mocniny dvojky"]]. Aritmetika v [[exponenciela|exponenciele]] je prováděna [[modulo]] <math>p</math>.

== Použití ==

=== Kvantová kryptografie ===

V [[kvantová kryptografie|kvantových kryptografických protokolech]] je MUB bází využito pro zajištění neodposlouchávatelnosti přenášených zpráv. Zprávy je nejprve nutno zašifrovat pomocí tajného [[Klíč (kryptografie)|klíče]], který musí být znám jak příjemci tak odesílateli, aniž by jeho hodnotu znala třetí osoba. To lze provést následovně: Původce zprávy, Alice, vygeneruje dlouhý tajný klíč a ten posléze posílá [[bit]] po bitu k příjemci, Bobovi. Každý bit je zakódován do kvantové částice, [[qubit]]u, jejíž [[kvantový stav]] je připraven jako jeden ze stavů buď standardní báze anebo báze k ní MUB. Chce-li Alice poslat bit o hodnotě 0 má dvě možnosti: buď tuto hodnotu zakódovat jako stav <math>| 0 \rangle</math> ve standardní bází, anebo jako stav <math>| y_0 \rangle</math> v MUB bázi. Podobně, hodnotu 1 lze zakódovat buď jako stav <math>| 1 \rangle</math> ve standardní bázi, anebo jako stav <math>| y_1 \rangle</math> v MUB bázi. Po přenosu má Bob opět dvě možnosti, jak dorazivší částici změřit — buď ve standardní bázi anebo v MUB bázi. Bob přitom neví, v jaké bázi Alice připravila posílaný qubit. Bob může svou měřicí bázi zvolit náhodně a tak zhruba v polovině případů se trefí do báze, kterou si zvolila Alice.

Poté, co Bob přijme všechny Alicí vyslané qubity a zaznamená si výsledky všech měření, pošle Alice Bobovi seznam v němž stojí, v jaké bázi připravila své qubity. Tento seznam může Alice Bobovi bez obav poslat, protože znalost báze ještě neříká nic o tom, jaká konkrétní hodnota byla poslána. Bob po přijmutí seznamu vybere jen ty naměřené výsledky, jež byly získány v případech, kdy Bob zrovna zvolit bázi, jež se shodovala s bází Aliciinou. Tyto naměřené výsledky pak tvoří kratší tajný klíč, který je shodný pro Alici a Boba a oba je tak mohou využít pro zařifrování přenášených zpráv. Protože třetí osoba, která by se snažila přenášené qubity klíče odposlouchávat, neví, v jaké bázi byl stav qubitu připraven, musí, podobně jako Bob, volit své měřicí báze náhodně. To ale vede k náhodným výsledkům a navíc je toto narušení zjistitelné Bobem. Lze ukázat, že při použití dodatečných technik je výše uvedená metoda přenosu tajného klíče skutečně bezpečná. První komunikační protokol založený na této myšlence vynalezl [[Stephen Wiesner]]<ref name="wiesner" /> a byl posléze rozpracován [[Charles H. Bennett|Charlesem Bennettem]] a dalšími<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Bennett
| jméno = Charles H.
| příjmení2 = Brassard
| jméno2 = Gilles
| titul = Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing
| periodikum = Theoretical Computer Science
| datum vydání = 2014-12
| ročník = 560
| strany = 7–11
| doi = 10.1016/j.tcs.2014.05.025
| jazyk = en
| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0304397514004241
| datum přístupu = 2022-12-28
}}</ref>. Ačkoli byl příklad výše znázorněn pro dvourozměrné stavy, qubity, lze stejnou techniku zobecnit i pro vyšší dimenze.<ref name="Cerf">{{Citace periodika
| příjmení = Cerf
| jméno = Nicolas J.
| příjmení2 = Bourennane
| jméno2 = Mohamed
| příjmení3 = Karlsson
| jméno3 = Anders
| titul = Security of Quantum Key Distribution Using d -Level Systems
| periodikum = Physical Review Letters
| datum vydání = 2002-03-08
| ročník = 88
| číslo = 12
| strany = 127902
| issn = 0031-9007
| doi = 10.1103/PhysRevLett.88.127902
| jazyk = en
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.88.127902
| datum přístupu = 2023-01-10
}}</ref>

=== Rekonstrukce kvantových stavů ===

MUB bází lze též užít k rekonstrukci kvantových stavů. [[Kvantový stav]] daného [[fyzikální systém|fyzikálního systému]] je matematicky představován [[matice hustoty|maticí hustoty]]. Provedením různých kvantových měření na velkém [[statistický soubor|statistickém souboru]] fyzikálních systémů v témže počátečním stavu lze obdržet dostatek informací na to, aby šlo zrekonstruovat tvar odpovídající [[matice hustoty]]. Pro jednoznačnou rekonstrukci kvantového stavu je přitom nutno provést alespoň <math>d + 1</math> různých kvantových měření.<ref name="Wootters" />{{Poznámka|Prostor všech matic hustoty v dimenzi <math>d</math> má dimenzi <math>d^2 - 1</math>. Každé měření obecně přinese znalost <math>d-1</math> parametrů. To lze vidět z toho, že výsledkem každého měření je <math>d</math> pravděpodobností. Kvůli normalizační podmínce je ale poslední pravděpodobnost spočitatelná z těch předchozích, což vede k <math>d-1</math> nezávislým parametrům. Minimální počet měření nutných k rekonstrukci stavu je tak roven celkové dimenzi, <math>d^2 - 1</math>, vydělené počtem parametrů určených jedním měřením, <math>d-1</math>, což dává <math>(d^2 - 1)/(d -1) = d + 1</math>.}} Ivanovič ukázal, že <math>d+1</math> měření v MUB bázích navíc postačuje pro tuto rekonstrukci.<ref name="Ivanovic" /> Wootters a Fields dále ukázali, že více než <math>d + 1</math> MUB v daném prostoru ani být nemůže a že měření pomocí MUB bází je optimální v tom smyslu, že je statistická chyba získané matice hustoty minimální.<ref name="Wootters" /> Měření odpovídající různým MUB bázích jsou v jistém smyslu tak odlišná jak jen mohou být a tak každé nové měření přinese tolik nové informace jak jen to je možné. Rekonstrukce využívající MUB bází tak vyžaduje minimální počet měření.<ref name="new_proof" />{{Poznámka|Pro dimenzi <math>d=2</math> lze ale pro rekonstrukci použít prakticky libovolné trojice měřicích operátorů.<ref name="Wootters" />}}

Ivanovič podal explicitní vzorec umožňující z naměřených dat, získaných měřeními v <math>d + 1</math> MUB bázích, zrekonstruovat původní matici hustoty.<ref name="Ivanovic" /> Je-li <math>\rho^{(r)}</math> stav systému po provedeném [[Kvantové_měření#Selektivní_a_neselektivní_měření|neselektivním kvantovém měření]] v <math>r</math>-té MUB bázi, je operátor hustoty <math>\rho</math> původního stavu roven:

:<math>\rho = \sum_{r = 0}^{d} \rho^{(r)} - \mathbb{I}</math>

kde <math>\mathbb{I}</math> je [[identické zobrazení]]. Operátory <math>\rho^{(r)}</math> jsou přitom tvaru <math>\rho^{(r)} = {\textstyle \sum_{k=0}^{d-1}} p_k^{(r)} P_k^{(r)}</math>, kde <math>p_k^{(r)}</math> jsou [[pravděpodobnost]]i naměření výsledku odpovídajícímu [[Projekce (lineární algebra)|projektoru]] <math>P_k^{(r)}</math> a tento projektor zase odpovídá naměření <math>k</math>-tého vektoru v <math>r</math>-té MUB bázi, to jest <math>P_k^{(r)} = | x_k^{(r)} \rangle \langle x_k^{(r)} |</math>.

=== Nekompatibilita a relace neurčitosti ===

Projektivní [[kvantové měření]] lze zadat buď pomocí sady měřicích [[Projekce (lineární algebra)|projektorů]] a jim přidružených číselných hodnot, anebo ekvivalentně pomocí [[pozorovatelná|pozorovatelné]]. Vztah těchto dvou přístupů je přitom takový, že [[vlastní vektor]] pozorovatelné definuje projektor a odpovídající [[vlastní číslo]] pak definuje výslednou naměřenou hodnotu. Často je důležitý pouze výsledný stav a vlastní čísla tak nehrají velkou roli. Navíc lze z vlastních vektorů sestrojit [[ortonormální báze|ortonormální bázi]]. Tato ekvivalence umožňuje pro jistou bázi definovat pozorovatelnou. Jak je zmíněno v úvodu, je-li [[kvantový stav]] fyzikálního systému zadán pomocí vektoru jedné MUB báze, nepřináší měření tohoto systému v druhé MUB bázi žádnou novou informaci. Nechť první MUB bázi odpovídá pozorovatelná <math>A</math> a druhé MUB bázi pozorovatelná <math>B</math>. Uvažme nyní systém v obecném kvantovém stavu <math>\rho</math> a vystavme tento systém měření v první MUB bázi. Měřením dojde k projekci původního stavu do jednoho ze stavů báze. Tím pádem je zcela určena hodnota pozorovatelné <math>A</math>. Následné měření ve druhé MUB bázi poté vrátí zcela náhodný výsledek a hodnota pozorovatelné <math>B</math> je tedy nanejvýš nejednoznačná.

Nastává tak situace, jež se objevuje v diskuzi o [[relace neurčitosti|relacích neurčitosti]], kde přesná znalost jedné [[veličina|veličiny]] znemožňuje přesně určit nějakou jinou veličinu, jež je s tou první [[nekompatibilní veličiny|nekompatibilní]]. Matematicky lze tuto situaci vyjádřit vzorcem<ref name="Wehner"/>

:<math>\Delta_\psi A \, \Delta_\psi B \geq \frac{1}{2} | \langle \psi | [A, B] | \psi \rangle |,</math>

kde <math>[A, B]</math> je [[Komutátor (algebra)|komutátor]] operátorů <math>A</math> a <math>B</math> a kde <math>\Delta_\psi A = \sqrt{\langle \psi | A^2 | \psi \rangle - \langle \psi | A | \psi \rangle^2}</math> je [[směrodatná odchylka]] měření pozorovatelné <math>A</math> v [[čistý stav|čistém stavu]] <math>| \psi \rangle</math> (a podobně pro <math>B</math>). Komutátor, a tedy jak moc pozorovatelné <math>A</math> a <math>B</math> komutují, udává spodní mez, pod níž se součin směrodatných odchylek měření <math>A</math> a <math>B</math> nemůže dostat. Nenulovost tohoto komutátoru je tak matematickým zachycením toho, že jsou odpovídající operátory nekompatibilní. Lze ukázat, že pozorovatelné odpovídající MUB bázím jsou maximálně nekompatibilní.<ref name="Schwinger" />. Lze-li předpovědět s jistotou výsledek jednoho takového měření, pak všechny ostatní výsledky jakékoholi dalšího MUB měření jsou stejně možné.<ref name="new_proof" /> Ačkoli jsou obyčejně relace neurčitosti vyjádřeny pomocí směrodatných odchylek měření, lze odvodit i obecnější vztahy využívající [[entropie]]<ref name="Wehner">{{Citace periodika
| příjmení = Wehner
| jméno = Stephanie
| příjmení2 = Winter
| jméno2 = Andreas
| titul = Entropic uncertainty relations—a survey
| periodikum = New Journal of Physics
| datum vydání = 2010-02-26
| ročník = 12
| číslo = 2
| strany = 025009
| issn = 1367-2630
| doi = 10.1088/1367-2630/12/2/025009
| url = https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/12/2/025009
| datum přístupu = 2023-01-06
}}</ref>. Ukazuje se přitom, že dvojice pozorovatelných zadaných MUB bázemi vykazují nejvyšší možnou neurčitost.<ref name="Kraus" /><ref name="Maassen">{{Citace periodika
| příjmení = Maassen
| jméno = Hans
| příjmení2 = Uffink
| jméno2 = J. B. M.
| titul = Generalized entropic uncertainty relations
| periodikum = Physical Review Letters
| datum vydání = 1988-03-21
| ročník = 60
| číslo = 12
| strany = 1103–1106
| doi = 10.1103/PhysRevLett.60.1103
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.60.1103
| datum přístupu = 2023-01-06
}}</ref><ref name="Wehner" /> 

=== Ostatní ===

MUB báze hrají důležitou roli při řešení tak zvaného "''problému zlého krále''"<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Vaidman
| jméno = Lev
| příjmení2 = Aharonov
| jméno2 = Yakir
| příjmení3 = Albert
| jméno3 = David Z.
| titul = How to ascertain the values of sigma x , σ y , and σ z of a spin- 1/2 particle
| periodikum = Physical Review Letters
| datum vydání = 1987-04-06
| ročník = 58
| číslo = 14
| strany = 1385–1387
| issn = 0031-9007
| doi = 10.1103/PhysRevLett.58.1385
| jazyk = en
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.58.1385
| datum přístupu = 2023-01-10
}}</ref><ref>{{Citace periodika
| příjmení = Englert
| jméno = Berthold-Georg
| příjmení2 = Aharonov
| jméno2 = Yakir
| titul = The mean king's problem: prime degrees of freedom
| periodikum = Physics Letters A
| datum vydání = 2001-05
| ročník = 284
| číslo = 1
| strany = 1–5
| doi = 10.1016/S0375-9601(01)00271-7
| jazyk = en
| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0375960101002717
| datum přístupu = 2023-01-10
}}</ref><ref>{{Citace periodika
| příjmení = Reimpell
| jméno = Michael
| příjmení2 = Werner
| jméno2 = Reinhard F.
| titul = Meaner king uses biased bases
| periodikum = Physical Review A
| datum vydání = 2007-06-28
| ročník = 75
| číslo = 6
| strany = 062334
| issn = 1050-2947
| doi = 10.1103/PhysRevA.75.062334
| jazyk = en
| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.75.062334
| datum přístupu = 2022-12-28
}}</ref> ({{vjazyce2|en|''Mean King's Problem''}}), při kterém je Alice zlým králem úkolována, aby pomocí vhodně zvoleného počátečního kvantového stavu a konečného měření s jistotou určila hodnotu, kterou královí muži na kvantovém stavu naměřili. Konstrukce MUB bází též souvisí s konstrukcí [[latinský čtverec|latinských čtverců]]. Ortogonální latinské čtverce lze použít pro konstrukci maximální sady MUB bází v daném prostoru.<ref name="Wocjan" />

Problém nalezení MUB bází pro danou dimenzi <math>d</math> se do jisté míry podobá problému nalezení [[SIC POVM]] operátorů pro tutéž dimenzi. SIC POVM operátory tvoří sadu [[kvantové měření|měřicích operátorů]], které vykazují specifický druh [[symetrie]]. Přesněji řečeno, jedná se o operátory tvaru <math>F_i = (1/d) P_i</math>, kde <math>P_i</math> představují množinu <math>d^2</math> [[jednorozměrný projektor|jednorozměrných projektorů]] splňující podmínku:

:<math>\mathrm{Tr}(P_i P_j) = \frac{d \delta_{ij} + 1}{d+1},</math>

kde <math>\delta_{ij}</math> je [[Kroneckerovo delta]]. (Porovnejte tento vzorec s obdobným vzorcem pro MUB báze v sekci [[#Maticové vyjádření|"Maticové vyjádření"]].) Ačkoli není obecné řešení ani v jejich případě známé, podařilo se dosud nalézt explicitní konstrukce takovýchto operátorů pro všechny dimenze přinejmenším až do čísla 151.<ref name="open_problems" /> Jejich konstrukce nicméně není ekvivalentní konstrukci MUB bází a tak třeba pro dimenzi <math>d = 6</math> se zdá, že neexistují více než tři MUB báze, ačkoli v této dimenzi existuje celá sada SIC POVM operátorů.

== Báze pro vyšší dimenze ==

V následujícím jsou explicitně rozvedeny příklady MUB bází pro [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] <math>d = 3</math> až <math>d = 5</math>. Všechny tyto dimenze lze číselně vyjádřit jako [[celé číslo|celočíselné]] [[mocnina|mocniny]] [[prvočíslo|prvočísla]] a lze pro ně tedy zkonstruovat MUB báze způsobem podaným výše. Každé dimenzi odpovídá jedna tabulka, přičemž každý sloupec tabulky představuje jednu bázi, jejíž vektory se nacházejí na jednotlivých řádcích. Ačkoli je níže použita [[Diracova notace|braketová notace]], lze tytéž bazické vektory snadno vyjádřit v souřadnicích, vypíšou-li se jednotlivé koeficienty jako [[n-tice]] čísel. Podotkněme, že v následujících tabulkách je použita jiná konvence pro indexy bází a jejích vektorů než jak tomu je v sekcích výše: standardní báze jsou zmíněny na začátku a indexování začíná, kromě čísel v samotných [[Diracova notace|ketech]], jedničkou.

=== Trojrozměrný prostor ===

Číslo tři je nejnižším lichým prvočíslem a lze na něj tedy uplatnit postup představený v oddíle [[#Konstrukce pro prvočíselné dimenze|"Konstrukce pro prvočíselné dimenze"]] výše. Výsledkem je následující tabulka, kde je pro lepší čitelnost položeno <math>\omega = \exp(2 \pi i / 3)</math>. Poznamenejme, že výsledný tvar vektorů je lehce upraven oproti dané metodě tím, že je využito vztahu <math>\omega^3 = 1</math>.

{| class="wikitable"
|+ Dimenze <math>d = 3</math>
! !! Báze 1 !! Báze 2 !! Báze 3 !! Báze 4 
|-
! Vektor 1
| <math>| x^{(1)}_1 \rangle = | 0 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(| 0 \rangle + | 1 \rangle + | 2 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(\omega | 0 \rangle + \omega | 1 \rangle + | 2 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(\omega^2 | 0 \rangle + \omega^2 | 1 \rangle + | 2 \rangle)</math>
|-
! Vektor 2
| <math>| x^{(1)}_2 \rangle = | 1 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(| 0 \rangle + \omega | 1 \rangle + \omega^2 | 2 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(\omega | 0 \rangle + | 1 \rangle + \omega | 2 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(\omega^2 | 0 \rangle + | 1 \rangle + \omega^2 | 2 \rangle)</math>
|-
! Vektor 3
| <math>| x^{(1)}_3 \rangle = | 2 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(| 0 \rangle + \omega^2 | 1 \rangle + \omega | 2 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(| 0 \rangle + \omega | 1 \rangle + \omega | 2 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(| 0 \rangle + \omega^2 | 1 \rangle + \omega^2 | 2 \rangle)</math>
|}

=== Čtyřrozměrný prostor ===

Číslo čtyři je celočíselná mocnina dvojky a lze na něj tedy uplatnit postup představený v oddíle [[#Konstrukce pro mocniny dvojky|"Konstrukce pro mocniny dvojky"]]. Báze níže jsou nicméně zkonstruovány pomocí přístupu založeného na Pauliho operátorech.<ref name="new_proof" />
{| class="wikitable"
|+ Dimenze <math>d = 4</math>
! !! Báze 1 !! Báze 2 !! Báze 3 !! Báze 4 !! Báze 5
|-
! Vektor 1
| <math>| x^{(1)}_1 \rangle = | 0 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_1 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + | 1 \rangle + | 2 \rangle + | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_1 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle + i | 2 \rangle - | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_1 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + | 1 \rangle - i | 2 \rangle + i | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_1 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle + | 2 \rangle + i | 3 \rangle)</math>
|-
! Vektor 2
| <math>| x^{(1)}_2 \rangle = | 1 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_2 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - | 1 \rangle - | 2 \rangle + | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_2 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle - i | 2 \rangle - | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_2 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - | 1 \rangle + i | 2 \rangle + i | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_2 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle - | 2 \rangle + i | 3 \rangle)</math>
|-
! Vektor 3
| <math>| x^{(1)}_3 \rangle = | 2 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_3 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + | 1 \rangle - | 2 \rangle - | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_3 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle - i | 2 \rangle + | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_3 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + | 1 \rangle + i | 2 \rangle - i | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_3 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle + | 2 \rangle - i | 3 \rangle)</math>
|-
! Vektor 4
| <math>| x^{(1)}_4 \rangle = | 3 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_4 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - | 1 \rangle + | 2 \rangle - | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_4 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle + i | 2 \rangle + | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(4)}_4 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - | 1 \rangle - i | 2 \rangle - i | 3 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_4 \rangle = \frac{1}{2}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle - | 2 \rangle - i | 3 \rangle)</math>
|}

=== Pětirozměrný prostor ===

Výčet příkladů uzavřeme dimenzí rovnou číslu pět, kde nyní <math>\omega = \exp(2 \pi i / 5)</math>, přičemž jsou vzorce zjednodušeny využitím vztahu <math>\omega^5 = 1</math>.

{| class="wikitable"
|+ Dimenze <math>d = 5</math> (báze 1, 2, 3)
! !! Báze 1 !! Báze 2 !! Báze 3
|-
! Vektor 1
| <math>| x^{(1)}_1 \rangle = | 0 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + | 1 \rangle + | 2 \rangle + | 3 \rangle + | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{} | 0 \rangle + \omega^{4} | 1 \rangle + \omega^{4} | 2 \rangle + \omega^{} | 3 \rangle + | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 2
| <math>| x^{(1)}_2 \rangle = | 1 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega | 1 \rangle + \omega^2 | 2 \rangle + \omega^3 | 3 \rangle + \omega^4 | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{4} | 0 \rangle + \omega^{4} | 1 \rangle + \omega^{} | 2 \rangle + | 3 \rangle + \omega^{} | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 3
| <math>| x^{(1)}_3 \rangle = | 2 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^2 | 1 \rangle + \omega^4 | 2 \rangle + \omega | 3 \rangle + \omega^3 | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{4} | 0 \rangle + \omega^{} | 1 \rangle + | 2 \rangle + \omega^{} | 3 \rangle + \omega^{4} | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 4
| <math>| x^{(1)}_4 \rangle = | 3 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^3 | 1 \rangle + \omega | 2 \rangle + \omega^4 | 3 \rangle + \omega^{2} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{} | 0 \rangle + | 1 \rangle + \omega^{} | 2 \rangle + \omega^{4} | 3 \rangle + \omega^{4} | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 5
| <math>| x^{(1)}_5 \rangle = | 4 \rangle</math>
| <math>| x^{(2)}_5 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^4 | 1 \rangle + \omega^3 | 2 \rangle + \omega^{2} | 3 \rangle + \omega | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(3)}_5 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^{} | 1 \rangle + \omega^{4} | 2 \rangle + \omega^{4} | 3 \rangle + \omega^{} | 4 \rangle)</math>
|}

{| class="wikitable"
|+ Dimenze <math>d = 5</math> (báze 4, 5, 6)
! !! Báze 4 !! Báze 5 !! Báze 6
|-
! Vektor 1
| <math>| x^{(4)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{2} | 0 \rangle + \omega^{3} | 1 \rangle + \omega^{3} | 2 \rangle + \omega^{2} | 3 \rangle + | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{3} | 0 \rangle + \omega^{2} | 1 \rangle + \omega^{2} | 2 \rangle + \omega^{3} | 3 \rangle + | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(6)}_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{4} | 0 \rangle + \omega^{} | 1 \rangle + \omega^{} | 2 \rangle + \omega^{4} | 3 \rangle + | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 2
| <math>| x^{(4)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{3} | 0 \rangle + \omega^{3} | 1 \rangle + \omega^{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle + \omega^{2} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{2} | 0 \rangle + \omega^{2} | 1 \rangle + \omega^{3} | 2 \rangle + | 3 \rangle + \omega^{3} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(6)}_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{} | 0 \rangle + \omega^{} | 1 \rangle + \omega^{4} | 2 \rangle + | 3 \rangle + \omega^{4} | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 3
| <math>| x^{(4)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{3} | 0 \rangle + \omega^{2} | 1 \rangle + | 2 \rangle + \omega^{2} | 3 \rangle + \omega^{3} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{2} | 0 \rangle + \omega^{3} | 1 \rangle + | 2 \rangle + \omega^{3} | 3 \rangle + \omega^{2} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(6)}_3 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{} | 0 \rangle + \omega^{4} | 1 \rangle + | 2 \rangle + \omega^{4} | 3 \rangle + \omega^{} | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 4
| <math>| x^{(4)}_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{2} | 0 \rangle + | 1 \rangle + \omega^{2} | 2 \rangle + \omega^{3} | 3 \rangle + \omega^{3} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{3} | 0 \rangle + | 1 \rangle + \omega^{3} | 2 \rangle + \omega^{2} | 3 \rangle + \omega^{2} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(6)}_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega^{4} | 0 \rangle + | 1 \rangle + \omega^{4} | 2 \rangle + \omega^{} | 3 \rangle + \omega^{} | 4 \rangle)</math>
|-
! Vektor 5
| <math>| x^{(4)}_5 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^{2} | 1 \rangle + \omega^{3} | 2 \rangle + \omega^{3} | 3 \rangle + \omega^{2} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(5)}_5 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^{3} | 1 \rangle + \omega^{2} | 2 \rangle + \omega^{2} | 3 \rangle + \omega^{3} | 4 \rangle)</math>
| <math>| x^{(6)}_5 \rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}(| 0 \rangle + \omega^{4} | 1 \rangle + \omega^{} | 2 \rangle + \omega^{} | 3 \rangle + \omega^{4} | 4 \rangle)</math>
|}

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Reference ===
<references />

=== Literatura ===
* {{Citace periodika
| příjmení = Durt
| jméno = Thomas
| příjmení2 = Englert
| jméno2 = Berthold-Georg
| příjmení3 = Bengtsson
| jméno3 = Ingemar
| titul = On mutually unbiased bases
| periodikum = International Journal of Quantum Information
| datum vydání = 2010-06
| ročník = 08
| číslo = 04
| strany = 535–640
| issn = 0219-7499
| doi = 10.1142/S0219749910006502
| jazyk = en
| url = https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219749910006502
| datum přístupu = 2022-03-01
}}

=== Související články ===
* [[Ortonormální báze]]
* [[Hilbertův prostor]]
* [[SIC POVM]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Fyzika}}

[[Kategorie:Teorie operátorů]]
[[Kategorie:Kvantová fyzika]]
[[Kategorie:Kvantová informatika]]