Zobrazení zdroje stránky Lorentzova transformace

'''Lorentzova transformace''' je soustava rovnic umožňující pomocí souřadnic ''x'', ''y'', ''z'', ''t'' nějaké události ''U'' v [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavě]] ''S'' vyjádřit souřadnice ''x' '', ''y' '', ''z' '', ''t' '' téže události v jiné inerciální vztažné soustavě ''S<nowiki>'</nowiki>'', která se vzhledem k původní soustavě ''S'' pohybuje rychlostí ''v''. Podle týchž pravidel jako události se transformují i všechny ostatní [[čtyřvektor]]y.

Rovnici prvně užil [[Woldemar Voigt]] roku [[1887]]. [[Kontrakce délek]] postuloval prvně [[George Francis FitzGerald]] roku [[1889]]. Obecněji je pak užil nizozemský fyzik [[Hendrik Antoon Lorentz]]. Ukázalo se, že základní rovnice [[elektromagnetismus|elektromagnetismu]] jsou stejné ve všech vztažných soustavách, které se vůči sobě pohybují neměnnou rychlostí, právě při použití těchto transformačních vztahů.

== Odvození ==
[[Soubor:Vztazna_soustava.png|vpravo|250px|náhled|Nákres vzájemné polohy vztažných soustav ''S'' a ''S<nowiki>'</nowiki>'']]
Při hledání vhodné transformace, která odpovídá přechodu od jedné inerciální soustavy ke druhé, se vychází z dvou základních [[postulát]]ů [[speciální teorie relativity]]:
: '''1. postulát:''' ''Všechny fyzikální zákony lze vyjádřit rovnicemi, jež mají stejný tvar ve všech vztažných soustavách pohybujících se navzájem konstantní [[rychlost]]í.''
: '''2. postulát:''' ''[[Rychlost světla]] ve vakuu má pro všechny pozorovatele stejnou hodnotu, bez ohledu na jejich pohybový stav.''
Zároveň se bere v úvahu fakt, že pro malé rychlosti je skutečnost dobře vystižena [[Galileovy transformace|Galileovými transformacemi]]. Proto musí mít hledané transformační formule takový tvar, aby pro vzájemné rychlosti <math>v \ll c</math> přešly v Galileovy transformace.
Pokud vezmeme v úvahu tyto požadavky, jeví se jako nejvhodnější předpokládat transformační vzorce ve tvaru:
: '''(1)''' <math>x^\prime = k(x - vt)</math>
Protože budeme pro jednoduchost předpokládat pohyb ve směru osy ''x'', budou transformační vzorce pro souřadnice ''y'' a ''z'' následující:
: '''(2)''' <math>y^\prime = y</math>
: '''(3)''' <math>z^\prime = z</math>
Jelikož fyzikální rovnice musí mít stejný tvar v soustavě ''S'' i ''S' '', stačí k napsání obrácené závislosti ''x'' na ''x' '' a ''t' '' jen změnit znaménko u rychlosti ''v'' (tím se bere v úvahu odlišnost ve směru relativního pohybu).
: '''(4)''' <math>x = k(x^\prime + vt^\prime)</math>
Faktor ''k'' musí být v obou vztažných soustavách stejný, protože soustavy ''S'' a ''S' '' se až na znaménko u ''v'' v ničem neliší.

Po dosazení vztahu '''(1)''' do vztahu '''(4)'''
: '''(5)'''<math>x = k^2(x - vt) + kvt^\prime</math>
je vidět, že časové souřadnice ''t'' a ''t' '' nejsou stejné:
: '''(6)''' <math>t^\prime = kt + \left( \frac{1 - k^2}{kv} \right)x</math>
Rovnice '''(1)''', '''(2)''', '''(3)''' a '''(6)''' tvoří transformaci souřadnic vyhovující prvnímu postulátu speciální teorie relativity. Druhý postulát umožňuje vypočítat faktor ''k''. Vychází se z předpokladu, že se v okamžiku ''t'' = 0 počátky dvou vztažných soustav ''S'' a ''S' '' nachází v témže bodě, proto i čas ''t' '' = 0. Předpokládejme, že v tomto společném počátku, kdy ''S'' = ''S' '' a v čase ''t'' = ''t' '' = 0 zažehne světlice, a pozorovatelé v obou soustavách měří rychlost, kterou se světlo z místa šíří. Pozorovatelé v obou soustavách musí pro světlo zjistit totožnou rychlost, což v soustavě ''S'' je:
: '''(7)''' <math>x = c \cdot t</math>
a v soustavě ''S' '':
: '''(8)''' <math>x^\prime = c \cdot t^\prime</math>
Dosazením za ''x' '' a ''t' '' do vztahu '''(8)''' s použitím vztahů '''(1)''' a '''(6)''' dává vztah:
: '''(9)''' <math>k(x - vt) = ckt + \left( \frac{1 - k^2}{kv} \right)cx</math>;
přičemž řešení vzhledem k ''x'' je:
: <math>x = \frac{ckt + vkt}{k - \Big[\frac{(1-k^2)}{kv}\Big]c} = ct \Bigg\{{\frac{k + \frac{vk}{c}}{k - \Big[\frac{(1-k^2)}{kv}\Big]c}}\Bigg\} = ct \Bigg[\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - (k^{-2} - 1)\frac{c}{v}}\Bigg]</math>;
Aby byl výraz pro ''x'' shodný se vztahem '''(7)''', musí platit:
: '''(10)''' <math>\Bigg[\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - (k^{-2} - 1)\frac{c}{v}}\Bigg] = 1</math>
Z toho vychází faktor ''k'':
: '''(11)''' <math>k = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
Po dosazení hodnoty ''k'' do vztahů '''(1)''' a '''(6)''' vycházejí pro úplnou transformaci od výsledků měření dané události v ''S'' k odpovídajícím výsledkům měření v ''S' '' rovnice:

== Speciální Lorentzova transformace ==
: <math>x^\prime = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
: <math>y^\prime = y</math>
: <math>z^\prime = z</math>
: <math>t^\prime = \frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>

Pro zjednodušení zápisu se často zavádí [[bezrozměrná rychlost]] <math>\beta</math> a tzv. '''[[Lorentzův faktor]]''' <math>\gamma</math> vztahy:

:<math>\beta \equiv {v\over c} \,,</math>
:<math>\gamma \equiv {1 \over \sqrt{1-\beta^2}} \,.</math>

Počítáme-li navíc v [[přirozená soustava jednotek|přirozených jednotkách]], kde <math>c=1</math>, můžeme speciální Lorentzovu transformaci zapsat stručněji s důrazem na fyzikální význam.

: <math>x^\prime = \gamma\left(x - vt\right)</math>
: <math>y^\prime = y</math>
: <math>z^\prime = z</math>
: <math>t^\prime = \gamma\left(t - vx\right)</math>

== Inverzní speciální Lorentzova transformace ==
Při transformaci výsledků měření z ''S' '' do ''S'' je nutno zaměnit čárkované veličiny nečárkovanými a naopak a dosazení −''v'' za ''v''. Vzniká tak inverzní speciální Lorentzova transformace:
: <math>x = \frac{x^\prime + vt^\prime}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
: <math>y = y^\prime</math>
: <math>z = z^\prime</math>
: <math>t = \frac{t^\prime + \frac{vx^\prime}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>

== Maticový zápis ==
Maticový zápis předchozích rovnic pouze ve směru <math>x</math> vypadá:

:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\ .
</math>

Při přechodu k jiné inerciální soustavě je nutno všechny [[čtyřvektor]]y vynásobit uvedenou maticí, kterou obvykle označujeme <math>\Lambda</math>. [[Determinant]] <math>\Lambda</math> je roven +1, což značí, že jde o [[Rotace souřadnic|rotaci]] ve 4rozměrném [[Minkowského prostor]]u.

Není-li směr pohybu druhé soustavy stejný jako směr osy <math>x</math> v původní soustavě, používáme obecnou verzi Lorentzovy transformace:

:<math>
\begin{bmatrix}
c\,t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\
-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\ .
</math>
kde <math>\beta</math> je bezrozměrná rychlost (resp. <math>\beta_x</math>, <math>\beta_y</math>, <math>\beta_z</math> její složky ve směru původních os) a <math>\gamma</math> je Lorentzův faktor.

== Aspekty Lorentzových transformací ==
Měření času i polohy závisí na vztažné soustavě pozorovatele. Tudíž dvě události, které se v jedné vztažné soustavě vyskytují na dvou různých místech současně, nemusí být současné v soustavách jiných (tzv. [[Relativnost současnosti|relativita současnosti]]).

Lorentzovy transformace se za běžných rychlostí (je-li relativní rychlost ''v'' soustav ''S'' a ''S' '' malá ve srovnání s rychlostí světla) redukují na [[Galileova transformace|Galileovy transformace]].

== Pomalá Lorentzova transformace ==
V některých výpočtech se lze omezit na případy, kdy se tělesa pohybují rychlostmi malými ve srovnání s rychlostí světla. V prvním přiblížení uvažujeme [[limita|limitu]] <math>c\to\infty</math>, obdržíme klasickou Galileovu transformaci a zmizí všechny relativistické efekty. Ve druhém přiblížení v Lorentzově transformaci zanedbáme členy řádu <math>\beta^2</math>, ale ponecháme <math>\beta</math>. (Je-li <math>0 < \beta \ll 1</math>, je také <math>\beta^2 \ll \beta</math>.) Znamená to, že tělesa se pohybují rychlostmi, při nichž <math>\gamma\,\dot=\, 1</math>. Taková transformace se nazývá '''pomalá Lorentzova transformace'''.
: <math>x^\prime = x - vt</math>
: <math>y^\prime = y</math>
: <math>z^\prime = z</math>
: <math>t^\prime = t - {vx\over c^2}</math>
Od Galileiho transformace se tato liší jen členem <math>{vx\over c^2}</math> v rovnici pro časovou souřadnici. Stejné vztahy lze zapsat i takto:

: <math>x^\prime = x - \beta ct</math>
: <math>y^\prime = y</math>
: <math>z^\prime = z</math>
: <math>ct^\prime = ct - \beta x \,.</math>

Má-li rychlost <math>\beta</math> jiný směr než osa <math>x</math>, užijeme obecnou verzi transformace, přičemž opět uvažujeme <math>\gamma\dot=1</math>.

:<math>
\begin{bmatrix}
c\,t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&-\beta_x&-\beta_y&-\beta_z\\
-\beta_x&1&0&0\\
-\beta_y&0&1&0\\
-\beta_z&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
</math>

Užitím polohového vektoru <math>{\mathbf r} = \left(x,y,z\right)</math> a vektoru bezrozměrné rychlosti <math>{\boldsymbol\beta} = {\mathbf v}/c = \left(\beta_x,\beta_y,\beta_z\right)</math> lze obecnou pomalou Lorentzovu transformaci zapsat stručně a přehledně.
: <math>{\mathbf r}^\prime = {\mathbf r} - {\boldsymbol\beta} ct</math>
: <math>ct^\prime = ct - {\boldsymbol\beta}{\mathbf r}</math>

Pomalá Lorentzova transformace sice není správná při vysokých rychlostech, ale přesto z ní lze odvodit například vznik [[magnetické pole|magnetického pole]] kolem [[vodič]]e protékaného [[elektrický proud|proudem]]. Stačí transformovat [[elektrické pole]] elektronů dané [[Coulombův zákon|Coulombovým zákonem]] do soustavy, vůči níž se pohybují. [[Drift]]ové rychlosti [[elektron]]ů ve vodičích jsou obvykle v řádu desetin milimetrů za sekundu, a přesto můžeme jejich magnetické pole pozorovat. Z toho je vidět, že za vhodných podmínek lze sledovat relativistické jevy i při malých rychlostech.

== Související články ==
* [[Galileovy transformace]]
* [[Časoprostor]]
* [[Čtyřvektor]]
* [[Speciální teorie relativity]]
* [[Dilatace času]]
* [[Kontrakce délky]]
* [[Lorentzova grupa]]
* [[Lorentzův faktor]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
* {{MathWorld|id=LorentzTransformation}}
* [https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Lorentz_transformations History of Lorentz transformations]

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]