Zobrazení zdroje stránky Lorentzova grupa

[[Soubor:Hendrik Antoon Lorentz.jpg|300px|vpravo|náhled|[[Hendrik Antoon Lorentz]] (1853–1928), po němž je pojmenována Lorentzova grupa.]]
'''Lorentzova grupa''' je ve [[Fyzika|fyzice]] a [[Matematika|matematice]] [[grupa]] všech [[Lorentzova transformace|Lorentzových transformací]] [[Minkowského prostor]]u, [[klasická teorie pole|klasické]] i [[Kvantová teorie pole|kvantové]] prostředí všech ([[Gravitace|negravitačních]]) [[Fyzika|fyzikálních jevů]]. Lorentzova grupa je pojmenována po [[Nizozemci|nizozemském]] fyzikovi [[Hendrik Antoon Lorentz|Hendriku Antoonu Lorentzovi]].

K zákonům, rovnicím a teoriím, které respektují [[Lorentzova symetrie|Lorentzovy symetrie]], patří např.:
* [[Kinematika|kinematické zákony]] [[speciální teorie relativity]]
* [[Maxwellovy rovnice]] pole v teorii [[Elektromagnetismus|elektromagnetismu]]
* [[Diracova rovnice]] v teorii [[elektron]]u
* [[Standardní model]] [[Fyzika částic|fyziky částic]]

Lorentzova grupa vyjadřuje základní [[Symetrie|symetrii]] prostoru a času všech známých základních [[Vědecký zákon|přírodních zákonů]]. [[Fyzikální zákon|Fyzikální zákony]] jsou ''Lorentzovským invariantem'' také v [[Obecná teorie relativity|relativistické fyzice]] v případech uvažujících dostatečně malé oblasti [[Časoprostor|prostoročasu]], kde jsou gravitační variance zanedbatelné, a ve [[Speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]].

== Základní vlastnosti ==
Lorentzova grupa je [[Podgrupa|podgrupou]] [[Poincarého grupa|Poincarého grupy]] – grupy všech [[Izometrické zobrazení|izometrií]] [[Minkowského prostor]]u. Lorentzovy transformace jsou právě ty izometrie, které ponechávají počátek souřadnicového systému pevný. Lorentzova grupa je tedy [[Akce grupy na množině|podgrupa izotropie]] [[Grupa izometrií|grupy izometrií]] Minkowského prostoročasu. Z tohoto důvodu se Lorentzova grupa někdy nazývá '''homogenní Lorentzova grupa''' zatímco Poincarého grupa je někdy nazývaný ''nehomogenní Lorentzova grupa''. Lorentzovy transformace jsou příklady [[Lineární zobrazení|lineárních transformací]]; obecné izometrie [[Minkowského prostoročas|Minkowského prostoročasu]] jsou [[Afinní zobrazení|afinními zobrazeními]]. Lorentzova grupa může být matematicky popsána jako [[Neurčitá ortogonální grupa]] O(1,3), [[Lieova grupa]], která zachovává [[Kvadratická forma|kvadratickou formu]]
: <math> (t, x, y, z) \mapsto t^2 - x^2 - y^2 - z^2</math>

na '''R'''<sup>4</sup>. Tato kvadratická forma je, když ji převedeme na maticový tvar (viz [[Klasická grupa#O(p, q) a O(n) – ortogonální grupy|klasická ortogonální grupa]]), interpretována ve fyzice jako [[metrický tenzor]] prostoročasu Minkowského.

Lorentzova grupa je šesti[[Dimenze|rozměrná]] [[Kompaktní množina|nekompaktní]] [[Neabelovská grupa|neabelovská]] [[Lieova grupa]], která není [[Souvislá množina|souvislá]]. Čtyři [[Souvislá množina|souvislé komponenty]] nejsou [[Jednoduše souvislá množina|jednoduše souvislé]].{{Sfn|Weinberg|2002}} [[komponenta identity]] (tj. komponenta obsahující identitu) Lorentzovy grupy je sama grupou a často se nazývá '''omezená Lorentzova grupa''' a značí se SO<sup>+</sup>(1,3). Omezená Lorentzova grupa sestává z těch Lorentzových transformací, které zachovávají [[Orientace (matematika)|orientaci]] prostoru a směr času. Jeho [[fundamentální grupa]] má řád 2 a jeho univerzální pokrytí, [[Spinová grupa#Neurčitá signatura|Neurčitá spinová grupa]] Spin(1,3), je izomorfní jak se [[Speciální lineární grupa|speciální lineární grupou]] SL(2, '''C''') tak se [[Symplektická grupa|symplektickou grupou]] Sp(2, '''C'''). Tyto izomorfismy umožňují použití Lorentzovy grupy ve velkém množství matematických struktur důležitých pro fyziku, především pro [[spinor]]y. V [[Relativistická kvantová mechanika|relativistické kvantové mechanice]] a v [[Kvantová teorie pole|kvantové teorii pole]], je obvyklé nazývat SL(2, '''C''') Lorentzovou grupou, s chápat, že SO<sup>+</sup>(1,3) je její vektorová reprezentace. S grupou SL(2, '''C''') jsou také izomorfní [[bikvaternion]]y používané v [[Geometrická algebra|geometrické algebře]], .

Omezená Lorentzova grupa také se objevuje jako [[bodová grupa symetrií]] určité [[Obyčejná diferenciální rovnice|obyčejné diferenciální rovnice]].{{Které?}}

=== Souvislé komponenty ===
[[Soubor:World line.svg|300px|vpravo|náhled|[[Světelný kužel]] ve dvojrozměrném prostoru s jednou časovou dimenzí.]]
Díky tomu, že Lorentzova grupa O(1,3) je [[Lieova grupa|Lieovou grupou]], je jednak grupou a zároveň připouští topologický popis jako [[Hladká varieta|hladké variety]]. Jako varieta má čtyři souvislé komponenty. Intuitivně to znamená, že sestává ze čtyř topologicky oddělených částí.

Čtyři souvislé komponenty lze klasifikovat dvěma transformačními vlastnostmi, které mají jejich prvky mít:
* Některé prvky jsou při Lorentzových transformacích invertujících čas obráceny, například [[Minkowského prostor]] ukazující do budoucnosti je invertován na vektor ukazující do minulosti
* Některé prvky mají obrácenou orientaci kvůli '''nevlastní Lorentzově transformaci''', například určité tetrády ([[vierbein]])

Lorentzovy transformace, které zachovávají směr času, se nazývají '''ortochronní'''{{Kotva|ortochronní}}. Podgrupa ortochronních transformací se často označuje O<sup>+</sup>(1,3). Transformace, které zachovávají orientaci, se nazývají '''vlastní''', a jako lineární transformace mají [[determinant]] +1. (Nevlastní Lorentzovy transformace mají determinant −1.) Podgrupa vlastních Lorentzových transformací se označuje SO(1,3).

Podgrupa všech Lorentzových transformací zachovávajících orientaci i směr času se nazývá '''vlastní, ortochronní Lorentzova grupa''' nebo '''omezená Lorentzova grupa''' a značí se symbolem SO<sup>+</sup>(1, 3). (Někteří autoři používají označení SO(1,3) nebo dokonce O(1,3) pro SO<sup>+</sup>(1, 3).)

Množinu čtyř souvislých komponent lze považovat za grupu jako [[Faktorová grupa|faktorovou grupu]] O(1,3)/SO<sup>+</sup>(1,3), která je izomorfní s [[Kleinova čtyřgrupa|Kleinovou čtyřgrupou]]. Každý prvek v O(1,3) lze zapsat jako [[semidirektní součin]] vlastní, ortochronní, transformace a prvku [[Diskrétní grupa|diskrétní grupy]]
: {1, ''P'', ''T'', ''PT''}

kde ''P'' a ''T'' jsou operátory [[Narušení P-symetrie|parity]] a [[T-symetrie|obrácení toku času]]:
: ''P'' = diag(1, −1, −1, −1)
: ''T'' = diag(−1, 1, 1, 1).

Libovolnou Lorentzovu transformaci lze tedy zadat jako vlastní, ortochronní, Lorentzovu transformaci spolu s dalšími dvěma bity informace, které vybírají jednu ze čtyř souvislých komponent. Tato struktura je typická pro konečněrozměrné Lieovy grupy.

== Omezená Lorentzova grupa ==
Omezená Lorentzova grupa je [[komponenta identity]] Lorentzovy grupy, což znamená, že sestává ze všech Lorentzových transformací, které lze zapojit do identity [[Spojité zobrazení|spojitou]] křivkou ležící v grupě. Omezená Lorentzova grupa je souvislá [[normální podgrupa]] úplné Lorentzovy grupy se stejným počtem rozměrů, v tomto případě se šesti rozměry.

Omezená Lorentzova grupa je generovaná obyčejnými [[Otočení|prostorovými rotacemi]] a [[Lorentzova transformace|Lorentzovými transformacemi]] (které jsou rotacemi v hyperbolickém prostoru, který obsahuje časupodobný směr <ref>Varićak V 1910 „Teorie relativity a Lobačevského geometrie“,Phys Z 1910 §3 'Lorentz-Einstein transformace jako překlad/translace'. Engl.tr v Wikipedia</ref>). Protože každou vlastní, ortochronní Lorentzovu transformaci lze zapsat jako součin rotací (daných [[charts on SO(3)|třemi reálnými parametery]]) a boost (také daných třemi reálnými parametry), je třeba 6 reálných parametrů pro zadání libovolné vlastní ortochronní Lorentzovy transformace. To je jeden z důvodů, proč je omezená Lorentzova grupa šestirozměrná. (Viz také [[#Lieova_algebra|Lieova algebra Lorentzových grup]].)

Množina všech rotací vytváří [[Lieova grupa|Lieovu grupu]] izomorfní s obyčejnou [[rotační grupa SO(3)|rotační grupou SO(3)]]. Množina všech boostů však ''ne''tvoří podgrupu, protože složení dvou boostů obecně nevede k jinému boostu. (Místo toho je dvojice nekolineárních boostů ekvivalentní s boostem a rotací a toto se týká [[Thomasova rotace|Thomasovy rotace]].) Boost v nějakém směru nebo rotace kolem nějaké osy, generuje [[Jednoparametrická podgrupa|jednoparametrickou podgrupu]].

=== Povrchy tranzitivity ===
{{Více obrázků
 | zarovnání = right
 | obrázek1 = HyperboloidOfOneSheet.png
 | velikost obrázku1 = 150px
 | popisek1 = Hyperboloid s jedním povrchem
 | obrázek2 = DoubleCone.png
 | velikost obrázku2 = 178px
 | popisek2 = Společný kuželovitý povrch
 | obrázek3 = HyperboloidOfTwoSheets.png
 | velikost obrázku3 = 150px
 | popisek3 = Hyperboloid se dvěma povrchy
}}Pokud grupa {{math|''G''}} působí na prostor {{math|''V''}}, pak povrch {{math|''S'' ⊂ ''V''}} je '''povrch tranzitivity''', pokud {{math|''S''}} je invariantní při {{math|''G''}}, tj. {{math|∀''g'' ∈ ''G'', ∀''s'' ∈ ''S'': ''gs'' ∈ ''S'' }} a pro jakýkoli dva body {{math|''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub> ∈ ''S''}} existuje {{math|''g'' ∈ ''G''}} tak, že {{math|''gs''<sub>1</sub>{{=}} ''s''<sub>2</sub>}}. Podle definice Lorentzovy grupy zachovává kvadratickou formu
:<math>Q(x) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2.</math>

Povrchy tranzitivity ortochronní Lorentzovy grupy {{math|''O''<sup>+</sup>(1, 3)}}, {{math|''Q''(''x'') {{=}} const.}} prostoročasu jsou následující:{{Sfn|Gelfand|Minlos|Shapiro|1963}}
* {{math|''Q''(''x'') > 0, x<sub>0</sub> > 0}} je horní část [[hyperboloid]]u se dvěma povrchy. Body na této části jsou od počátku souřadnicového systému odděleny budoucím [[časoprostor]]ovým vektorem.
* {{math|''Q''(''x'') > 0, x<sub>0</sub> < 0}} je spodní část tohoto hyperboloidu. Body na této části jsou minulé [[časoprostor]]ové vektory.
* {{math|''Q''(''x'') {{=}} 0, x<sub>0</sub> > 0}} je horní část [[Světelný kužel|světelného kužele]], budoucí světelný kužel.
* {{math|''Q''(''x'') {{=}} 0, x<sub>0</sub> < 0}} je spodní část světelného kužele, minulý světelný kužel.
* {{math|''Q''(''x'') < 0}} je hyperboloid tvořený jedním povrchem. Body na této ploše jsou [[časoprostor]]ově odděleny od počátku souřadnicového systému.
* Počátek souřadnicového systému {{math|x<sub>0</sub>{{=}} x<sub>1</sub>{{=}} x<sub>2</sub>{{=}} x<sub>3</sub>{{=}} 0}}.

Tyto povrchy jsou [[Trojrozměrnost|trojrozměrné]], takže obrázky nejsou věrné, ale věrně odpovídají faktům o {{math|''O''<sup>+</sup>(1, 2)}}. Pro úplnou Lorentzovu grupu jsou povrchy tranzitivity pouze čtyři, protože transformace {{math|''T''}} změní horní část hyperboloidu (kuželu) na dolní a naopak.

Tato pozorování představují dobrý počátek pro hledání všech [[Reprezentační teorie Lorentzových grup#Nekonečnědimenzionální reprezentace|nekonečnědimenzionálních unitárních reprezentací]] Lorentzovy grupy, respektive Poincarého grupy, pomocí metody [[indukovaná reprezentace|indukované reprezentace]].{{Sfn|Wigner|1939}} Začneme se „standardním vektorem“, jeden pro každý povrch tranzitivity a pak se práme, která podgrupa zachovává tyto vektory. Tyto podgrupy fyzikové nazývají [[akce grupy na množině]]. Problém pak je v zásadě redukovaný na snazší problém hledání reprezentací malých grup. Například standardní vektor v jednom z ramen hyperboly lze vhodně zvolit jako {{math|(''m'', 0, 0, 0)}}. Pro každé {{math|''m'' ≠ 0}} prochází vektor právě jednou částí (plochou). V tomto případě je malá grupa {{math|SO(3)}}, [[ortogonální grupa]], jejíž všechny reprezentace jsou známy. Přesná nekonečněrozměrná unitární reprezentace, při které transformace částic jsou částí své klasifikace. Ne všechny reprezentace mohou odpovídat fyzikálním částicím (pokud víme). Standardní vektory na hyperbolách s jednou částí by odpovídaly [[tachyon]]ům. Částice na světelném kuželu jsou [[foton]]y a hypotetické [[graviton]]y. „Částicí“ odpovídající počátku souřadnicového systému je vakuum.

== Homomorfismy a izomorfismy ==
<!--
{{Group theory sidebar |top/lie}}
{{see also|Algebra fyzikálního prostoru}} -->

Omezená Lorentzova grupa SO<sup>+</sup>(1, 3) je homomorfní nebo izomorfní s několika dalšími grupami. Tyto homomorfismy hrají klíčovou roli v objasňování různých jevů ve fyzice.

* [[Speciální lineární grupa]] SL(2,'''C''') je [[Pokrytí|dvojitým pokrytím]] Lorentzovy grupy. Tento vztah je velmi používaný pro vyjadření [[Lorentzovská kovariance|Lorentzovské kovariance]] [[Diracova rovnice|Diracovy rovnice]] a kovariance [[spinor]]ů.
* [[Symplektická grupa]] Sp(2,'''C''') je izomorfní s SL(2,'''C'''); používá se pro konstrukci [[Weylův spinor|Weylových spinorů]], i pro vysvětlení, jak mohou mít spinory hmotnost.
* [[Spinová grupa]] Spin(1,3) je izomorfní s SL(2,'''C'''); používá se pro vysvětlení spinu a spinorů v pojmech [[Cliffordova algebra|Cliffordovy algebry]], tedy objasnění, jak zobecnit Lorentzovu grupu na obecný případy v [[Riemannova geometrie|Riemannově geometrii]], včetně teorie [[supergravitace]] a [[teorie strun]].
* Omezená Lorentzova grupa je [[Izomorfismus|izomorfní]] s [[Projektivní grupa|projektivní grupou]] PSL(2,'''C'''), která je zase izomorfní s [[Möbiova grupa|Möbiovou grupou]], což je [[grupa symetrií]] [[konformní geometrie]] na [[Riemannova sféra|Riemannově sféře]]. Tento vztah je klíčový pro klasifikaci podgrup Lorentzovy grupy podle staršího klasifikačního schématu vyvinutého pro Möbiovu grupu.

=== Weylova reprezentace ===
'''Weylova reprezentace''' nebo [[Reprezentační teorie Lorentzovy grup#Pokrývací grupa SL(2, C)|'''spinorové zobrazení''']] je dvojice [[Zobrazení na|surjektivních]] [[Homomorfismus|homomorfismů]] SL(2,'''C''') na SO<sup>+</sup>(1,3), které při transformacích [[Narušení P-symetrie|parity]] tvoří srovnaný pár, odpovídající levému a pravému [[Chiralita|chirálnímu]] spinoru.

Na Minkowského prostoročasu můžeme definovat akci SL(2,'''C''') tak, že bod prostoročasu vyjádříme [[Hermitovská matice|hermitovskou maticí]] 2×2 ve tvaru
: <math> \overline{X} = \begin{pmatrix} ct + z & x - iy \\ x + iy & ct - z \end{pmatrix}
  = ct 1\!\!1 +x\sigma_x +y\sigma_y +z\sigma_z
  = ct 1\!\!1 + \vec{x} \cdot \vec{\sigma}
 </math>
pomocí [[Pauliho matice|Pauliho matic]].
Tato Weylova prezentace vyhovuje vztahu
: <math> \det \, \overline{X} = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2. </math>

Proto máme identifikovaný prostor Hermitovské matice (který je čtyřrozměrný, stejně jako ''reálný'' vektorový prostor) s prostoročasem Minkowského takovým způsobem, že [[determinant]] Hermitovské matice je [[druhá mocnina]] délky odpovídajícího vektoru v Minkowského prostoročasu. Prvek <math>S\in SL(2,\mathbb{C})</math> působí na prostoru Hermitovských matic přes
: <math> \overline{X} \mapsto S \overline{X} S^\dagger ~,</math>
kde <math>S^\dagger</math> je [[Sdružený operátor|Hermitovská transpozice]] <math>S</math>. Tato akce zachovává determinant, a proto SL(2,'''C''') působí na Minkowského prostoročasu jako (lineární) izometrie. Tvar s obrácenou paritou je
: <math> X = ct 1\!\!1 - \vec{x} \cdot \vec{\sigma}</math>
který se transformuje jako
: <math> X \mapsto (S^{-1})^\dagger X S^{-1}</math>
Že jde o korektní transformaci, vyplývá z toho, že
:<math>\overline{X} X = (c^2t^2 - \vec{x}\cdot\vec{x}) 1\!\!1 = (c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2) 1\!\!1</math>
zůstává invariantní vůči výše uvedené dvojici transformací.

Tato zobrazení jsou [[Zobrazení na|surjektivní]] a [[Jádro matice|jádro]] každého z nich je dvouprvková podgrupa ±''I''. Díky [[Věta o isomorfismu#První věta o isomorfismu|první větě o isomorfismu]] je podílová grupa PSL(2,'''C''') = SL(2,'''C''') / {±''I''} izomorfní s SO<sup>+</sup>(1,3).

Zobrazení parity tato dvě pokrytí prohazuje. To znamená, že Hermitovská konjugace je automorfismus <math>SL(2,\mathbb{C}).</math> Tyto dvě různá pokrytí odpovídají dvěma různým [[Chiralita|chiralitním]] akcím Lorentzovy grupy na [[spinor]]ech. Tvar bez pruhu odpovídá pravostranné spinorové transformaci <math>\psi_R\mapsto S\psi_R~,</math> zatímco tvar s pruhem odpovídá levostranné spinorové transformaci <math>\psi_L\mapsto (S^\dagger)^{-1} \psi_L~.</math>{{Poznámka|Explicitní odvození jsou v článku [[Weylova rovnice]].}}

Je důležité si všimnout, že tento pár pokrytí ''ne''ní zachován při kvantizaci; což vede ke zvláštnímu jevu [[chirální anomálie]]. Kvantizace porušuje klasické (''tj. nekvantizované) symetrie Lorentzovy grupy; to říká [[Atiyahova–Singerova indexová věta]].

=== Konvence značení ===
V fyzice se Lorentzova transformace obvykle značí <math>\Lambda\in SO^+(1,3)</math> jako <math>{\Lambda^\mu}_\nu~,</math> tedy používat matici s prostoročasovými indexy <math>\mu,\nu=0,1,2,3.</math> Čtyřvektor lze z Pauliho matice vytvořit dvěma způsoby: jako <math>\sigma^\mu = (I,\vec\sigma)</math> a jako <math>{\overline \sigma}^\mu = (I,-\vec\sigma)~,</math> které se vztahují k [[Narušení P-symetrie|paritní transformaci]]. Pamatujte, že <math>{\overline \sigma}_\mu=\sigma^\mu~.</math>

Je-li dána Lorentzova transformace <math>x^\mu \mapsto x^{\prime\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu ~,</math> pak dvojité pokrytí ortochronní Lorentzovy grupy <math>S\in SL(2,\mathbb{C})</math> uvedené výše lze zapsat jako
:<math>x^{\prime\mu}{\overline\sigma}_\mu = {\overline \sigma}_\mu {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu= S x^\nu {\overline \sigma}_\nu S^\dagger</math>

Zanedbáním <math>x^\mu</math> dostaneme tvar
:<math>{\overline \sigma}_\mu {\Lambda^\mu}_\nu = S {\overline \sigma}_\nu S^\dagger</math>

Paritně konjugovaný tvar je
:<math>\sigma_\mu {\Lambda^\mu}_\nu = (S^{-1})^\dagger \sigma_\nu S^{-1}</math>

=== Důkaz ===
Není okamžitě zjevné, že výše uvedený tvar je správným tvarem indexované notace. Částečně protože při práci v indexované notaci je docela snadné si náhodně plést Lorentzovu transformaci s její inverzí nebo její transpozicí. Tato nedorozumění se objevují způsobené identity <math>\eta\Lambda^T\eta=\Lambda^{-1}</math> se obtížně rozpoznává, pokud je napsané v indexovaném tvaru. Lorentzovy transformace ''ne''jsou tensory při Lorentzově transformaci! Tedy přímý důkaz této identity je užitečný, pro vytvoření jeho korektnost. To lze ukázat, když začneme identitou

:<math>\omega \sigma^k \omega^{-1} = -(\sigma^k)^T = -(\sigma^k)^*</math>
kde <math>k=1,2,3</math> , takže výše uvedené jsou pouze obvyklé Pauliho matice a <math>(\cdot)^T</math> je matice transpozice a <math>(\cdot)^*</math> je komplexní konjugace. Matice <math>\omega</math> je

:<math>\omega = i\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>

Napsaný jako čtyřvektor, vztah je

:<math>\sigma^T_\mu = \sigma^*_\mu =\omega \overline{\sigma}_\mu \omega^{-1}</math>

Tento transformace jako
:<math>\begin{align}
 \sigma^T_\mu {\Lambda^\mu}_\nu
 &= \omega \overline{\sigma}_\mu \omega^{-1} {\Lambda^\mu}_\nu \\
 &= \omega S \;\overline{\sigma}_\nu \,S^\dagger \omega^{-1} \\
 &= (\omega S \omega^{-1}) \,(\omega \overline{\sigma}_\nu \omega^{-1}) \,(\omega S^\dagger \omega^{-1}) \\
 &= (S^{-1})^T\, \sigma^T_\nu \,(S^{-1})^*
\end{align}
</math>
Pokud vezmeme o jednu transpozici více, dostaneme

:<math>\sigma_\mu {\Lambda^\mu}_\nu = (S^{-1})^\dagger \sigma_\nu S^{-1}</math>

=== Symplektická grupa ===
[[Symplektická grupa]] Sp(2,'''C''') je izomorfní s SL(2,'''C'''). Tento izomorfismus je zkonstruován tak, aby zachovával [[symplektický vektorový prostor]] na <math>\mathbb{C}^2,</math> tj. ponechal tvar invariantní při Lorentzově transformaci. To můžeme vyjádřit takto. Symplektická grupa je definována jako

:<math>Sp(2,\mathbb{C}) = \{S\in GL(2,\mathbb{C}) : S^T \omega S=\omega \}</math>
kde
:<math>\omega = i\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>
Jiné běžné notace jsou <math>\omega=\varepsilon</math> pro tento prvek; někdy <math>J</math> se používá, ale toto způsobuje nedorozumění s myšlenkou [[Téměř komplexní struktura|téměř komplexních struktur]], které nejsou stejné, protože se transformují odlišně.

Je-li dána dvojice Weylových spinorů (které mají dvě složky)
:<math>u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ~,\quad v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}</math>
invariantní bilineární tvar se tradičně zapisuje

:<math>\langle u,v\rangle = - \langle v,u\rangle = u_1 v_2 - u_2 v_1 = u^T\omega v</math>

Tento tvar je invariantem v Lorentzově grupě, takže pro <math>S\in SL(2,\mathbb{C})</math> máme

:<math>\langle Su, Sv\rangle = \langle u,v\rangle </math>

Tento vztah definuje určitý druh „skalárního součinu“ spinorů a často se používá pro definici Lorentzova invariantu [[hmotnost]]ního členu v [[Lagrangeova funkce|Lagrangiánech]]. Existují několik významných vlastností, které je třeba připomenout, protože jsou důležité pro fyziku. Jedním je, že <math>\omega^2=-1</math> a tak <math>\omega^{-1}=\omega^T=\omega^\dagger = -\omega</math>

Definiční relaci lze zapsat jako
:<math>\omega S^T \omega^{-1} = S^{-1}</math>
což se blízce podobá definici relace pro Lorentzova grupa
:<math>\eta \Lambda^T \eta^{-1} = \Lambda^{-1}</math>
kde <math>\eta = \mathrm{diag} (+1, -1, -1, -1)</math> je [[metrický tenzor]] pro [[Minkowského prostor]] a samozřejmě, <math>\Lambda\in SO(1,3)</math> stejně jako výše.

== Pokrývací grupy ==
Protože {{nowrap|SL(2,'''C''')}} je [[Jednoduše souvislá množina|jednoduše souvislá]], jde o [[univerzální pokrytí|univerzální pokrývací grupu]] omezené Lorentzovy grupy {{nowrap|SO<sup>+</sup>(1, 3)}}. Kvůli omezení existuje homomorfismus {{nowrap|SU(2) → SO(3)}}. [[Speciální unitární grupa]] SU(2), která je izomorfní s grupou [[kvaternion]]ů s jednotkovou [[Norma (matematika)|normou]], je také [[Jednoduše souvislá množina|jednoduše souvislá]], takže jde o pokrývací grupu grupy rotací SO(3). Každé z těchto [[Pokrývací zobrazení|pokrývacích zobrazení]] jsou dvojitým pokrytím v tom smyslu, že na každý prvek kvocientu se zobrazí právě dva prvky z pokrývací grupy. Často říkáme, že omezená Lorentzova grupa a rotační grupa jsou '''dvojitě souvislé'''. To znamená, že jejich [[fundamentální grupa]] je [[Izomorfismus|izomorfní]] s dvouprvkovou [[Cyklická grupa|cyklickou grupou]] Z<sub>2</sub>.

Dvojitá pokrytí jsou charakteristická pro [[Spinová grupa|spinové grupy]]. Opravdu spolu s dvojitým pokrytím
: Spin<sup>+</sup>(1, 3) = SL(2, '''C''') → SO<sup>+</sup>(1, 3)
: Spin(3) = SU(2) → SO(3)
máme dvojité pokrytí
: [[pinová grupa|Pin(1, 3)]] → O(1, 3)
: Spin(1, 3) → SO(1, 3)
: Spin<sup>+</sup>(1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)

Tato spinoriální [[Grupa se svým pokrytím|dvojí pokrytí]] jsou zkonstruována z [[Cliffordova algebra|Cliffordových algeber]].

== Topologie ==
Levé a pravé grupy v dvojitém pokrytí
: SU(2) → SO(3)
jsou [[deformační retrakt]]y levých a pravých grup (v tomto pořadí) v dvojitém pokrytí
: SL(2,'''C''') → SO<sup>+</sup>(1,3).
Ale homogenní prostor SO<sup>+</sup>(1,3)/SO(3) je [[homeomorfismus|homeomorfní]] s [[hyperbolický 3-prostor|hyperbolickým 3-prostorem]] H<sup>3</sup>, takže máme vyjádřenou omezenou Lorentzovu grupu jako [[Fibrovaný prostor#Hlavní fibrovaný prostor|hlavní fibrovaný prostor]] s fibry SO(3) a bází H<sup>3</sup>. Protože druhý je homeomorfní s '''R'''<sup>3</sup>, zatímco SO(3) je homeomorfní s trojrozměrným [[Reálný projektivní prostor|reálným projektivním prostorem]] '''R'''P<sup>3</sup>, vidíme, že omezená Lorentzova grupa je ''lokálně'' homeomorfní se součinem '''R'''P<sup>3</sup> a '''R'''<sup>3</sup>. Protože báze prostoru je kontraktibilní, lze ji rozšířit na globální homeomorfismus.{{clarify|datum=December 2020|reason=Can this be extended to a diffeomorphism? If not, why not? Any references for this?}}

== Generátory boostů a rotací ==
Na Lorentzovu grupu lze pohlížet jako na podgrupu [[Difeomorfismus|grupa difeomorfismů]] '''R'''<sup>4</sup>, a proto lze její Lieovu algebru identifikovat s vektorovým polem na '''R'''<sup>4</sup>. Konkrétně vektory, které generují izometrie na prostoru jsou jeho [[Killingův vektor|Killingovy vektory]], které poskytují pohodlnou alternativu k [[Maurerův–Cartanův tvar#Intrinsic construction|levému invariantu vektorového pole]] pro výpočet Lieovy algebry. Můžeme zapsat sadu šesti generátorů:
* Vektorové pole na '''R'''<sup>4</sup> generuje tři rotace ''i'' '''''J''''',
*: <math>-y \partial_x + x \partial_y \equiv i J_z ~, \qquad -z \partial_y + y \partial_z \equiv iJ_x~, \qquad -x \partial_z + z \partial_x \equiv iJ_y ~;</math>
* Vektorové pole na '''R'''<sup>4</sup> generuje tři boosty ''i'' '''''K''''',
*: <math>x \partial_t + t \partial_x\equiv iK_x ~, \qquad y \partial_t + t \partial_y \equiv iK_y ~, \qquad z \partial_t + t \partial_z\equiv iK_z.</math>

Může být užitečné zde stručně připomenout, jak získat jednoparametrickou grupu z [[Vektorové pole|vektorového pole]] zapsaného ve tvaru [[Lineární operátor|lineárního]] [[Diferenciální operátor|diferenciálního operátoru]] prvního řádu jako například
: <math> -y \partial_x + x \partial_y. </math>

Odpovídající počáteční úloha je
: <math> \frac{\partial x}{\partial \lambda} = -y, \; \frac{\partial y}{\partial \lambda} = x, \; x(0) = x_0, \; y(0) = y_0. </math>

Řešení lze zapsat
: <math> x(\lambda) = x_0 \cos(\lambda) - y_0 \sin(\lambda), \; y(\lambda) = x_0 \sin(\lambda) + y_0 \cos(\lambda) </math>

nebo
: <math> \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0             &  0             & 0 \\
    0 & \cos(\lambda) & -\sin(\lambda) & 0 \\
    0 & \sin(\lambda) &  \cos(\lambda) & 0 \\
    0 & 0             &  0             & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix} t_0 \\ x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}
</math>

v čemž snadno rozpoznáváme jednoparametrickou maticovou grupu rotací exp(''i λ J<sub>z</sub>'') kolem osy z.

Derivováním podle grupového parametru {{mvar|λ}} a položením ''λ''=0 v tomto výsledku získáme standardní matici,
: <math>iJ_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ~,</math>

která odpovídá vektorovému poli, se kterým jsme začali. To ukazuje, jak přecházet mezi maticovou a vektorovou reprezentací pole prvků Lieovy algebry. Tuto speciální roli hraje [[Exponenciální zobrazení (Lieova teorie)|exponenciální zobrazení]] nejen pro Lorentzovu grupu ale pro Lieovy grupy obecně.

Obrácením postupu v předchozí části zjistíme, že Möbiovy transformace, které odpovídají našim šesti generátorům, vznikají z uplatnění exponenciálního zobrazení postupně ''η''/2 (pro tři boosty) nebo (''iθ''/2)krát (pro tři rotace) tři [[Pauliho matice]]
: <math>
  \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 &  1 \\ 1 &  0 \end{pmatrix}, \;\;
  \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i &  0 \end{pmatrix}, \;\;
  \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 &  0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
</math>

== Třídy konjugace ==
Protože omezená Lorentzova grupa SO<sup>+</sup>(1, 3) je izomorfní s Möbiovou grupou PSL(2,'''C'''), její [[Třída konjugace|třídy konjugace]] se také rozpadají do pěti tříd:
* '''Eliptické''' transformace
* '''Hyperbolické''' transformace
* '''Loxodromické''' transformace
* '''Parabolické''' transformace
* Triviální '''identické''' transformace

V článku o [[Möbiova transformace|Möbiových transformacích]] je vysvětleno, jak se k těmto klasifikacím dospěje uvažováním [[Pevný bod|pevných bodů]] Möbiových transformací v jejich akce na Riemannově sféře, která zde odpovídá [[nulový vektor|nulovým]] [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastním prostorům]] omezené Lorentzovy transformace v jejich akci na Minkowského prostoročasu.

Příklad každého typu je uveden v jednotlivých podčástech níže spolu s vlivem [[jednoparameterická podgrupa|jednoparameterické podgrupy]], kterou generuje (například na vzhled noční oblohy).

Möbiovy transformace jsou [[konformní zobrazení]] Riemannovy sféry (neboli nebeské sféry). Pak konjugace s libovolným prvkem SL(2,'''C''') postupně dávají následující příklady libovolné eliptické, hyperbolické, loxodromické a parabolické (omezené) Lorentzovy transformace. Vliv na '''linie toku''' odpovídajících jednoparametrických podgrup je transformovat vzorek viděný v příklady nějakou konformní transformací. Například eliptické Lorentzovy transformace mohou mít jakékoli dva různé pevné body na nebeské sféře, ale body stále tečou po kruhových obloucích z jednoho pevného bodu k druhému. Ostatní případy jsou podobné.

=== Eliptické transformace ===
Eliptický prvek SL(2,'''C''') je
: <math> P_1 = \begin{pmatrix}
  \exp\left(\frac{i}{2}\theta\right) & 0 \\
   0                                 & \exp\left(-\frac{i}{2}\theta\right)
\end{pmatrix} </math>

a jeho pevné body jsou {{mvar|ξ}} = 0, ∞. Pokud zapíšeme akci jako {{math|''X'' ↦ ''P''<sub>1</sub> ''X P''<sub>1</sub><sup>†</sup>}} a shromáždíme členy, spinorové zobrazení jej konvertuje na (omezenou) Lorentzovu transformaci
: <math> Q_1 = \begin{pmatrix}
    1 & 0            & 0             & 0 \\
    0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
    0 & \sin(\theta) &  \cos(\theta) & 0 \\
    0 & 0            & 0             & 1
  \end{pmatrix} =
  \exp \left(\theta
               \begin{pmatrix}
    0 & 0 &  0 & 0 \\
    0 & 0 & -1 & 0 \\
    0 & 1 &  0 & 0 \\
    0 & 0 &  0 & 0
  \end{pmatrix}\right) ~.
</math>

Tato transformace pak reprezentuje rotace kolem osy {{mvar|z}}, exp({{math|''iθJ<sub>z</sub>''}}). Jednoparametrické podgrupa, kterou generuje, lze získat když {{mvar|θ}} nebo konstanta, ale reálná proměnná, rotační úhel.

Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identitu) vesměs sdílejí tytéž dva pevné body, severní a jižní pól. Všechny ostatní body transformace přesunuje po rovnoběžkách, takže při zvětšování {{mvar|θ}} dává tato grupa spojité rotace proti směru hodinových ručiček kolem osy {{mvar|z}}. ''Úhel zdvojnásobení'' zjevný v spinorovém zobrazení je charakteristickou vlastností ''spinorového dvojitého pokrytí''.

=== Hyperbolické transformace ===
Hyperbolický prvek grupy SL(2,'''C''') je
: <math> P_2 = \begin{pmatrix}
 \exp\left(\frac{\eta}{2}\right) & 0 \\
 0                                & \exp\left(-\frac{\eta}{2}\right)
\end{pmatrix} </math>

a má pevné body {{mvar|ξ}} = 0, ∞. Při stereografické projekci z Riemannovy sféry do Eukleidovské roviny působí tato Möbiova transformace dilaci od počátku souřadnicového systému.

Spinorové zobrazení ji konvertuje na Lorentzovu transformaci
: <math> Q_2 = \begin{pmatrix}
    \cosh(\eta) & 0 & 0 & \sinh(\eta) \\
    0            & 1 & 0 & 0 \\
    0            & 0 & 1 & 0 \\
    \sinh(\eta) & 0 & 0 & \cosh(\eta)
  \end{pmatrix} =
  \exp \left( \eta \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}\right)~.
</math>

Tento transformace reprezentuje boost podél osy {{mvar|z}} s [[Rapidita]] {{mvar|η}}. Jednoparametrická podgrupa, kterou generuje, lze získat nahrazením konstanty {{mvar|η}} reálnou proměnnou. Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identitu) vesměs sdílejí stejné pevné body (severní a jižní pól) a přesunují všechny jiné body podél [[Zeměpisná délka|zeměpisných délek]] od jižního pólu k severnímu.

=== Loxodromické transformace ===
Loxodromický prvek SL(2,'''C''') je
: <math> P_3 = P_2 P_1 = P_1 P_2 = \begin{pmatrix}
  \exp \left(\frac{1}{2}(\eta + i\theta)\right) & 0 \\
  0                                              & \exp \left(-\frac{1}{2}(\eta + i\theta)\right)
\end{pmatrix} </math>

a má pevné body {{mvar|ξ}} = 0, ∞. Spinorové zobrazení konvertuje toto na Lorentzovu transformaci
: <math>Q_3 = Q_2 Q_1 = Q_1 Q_2. </math>

Jednoparametrický podgrupa toto generuje je získaný nahrazením ''η+iθ'' s jakýkoli reálný více tohoto komplexní konstanta. (Pokud ''η, θ'' se mění nezávisle, pak získáme ''dvourozměrné'' [[Abelova grupa|abelovské podgrupy]] sestávající ze současné rotace kolem osy {{mvar|z}} a boosty podél osy {{mvar|z}}; naproti tomu ''jednorozměrná'' podgrupa zde diskutovaná sestává z těch prvků této dvourozměrné podgrupy tak, že '''rychlost''' boostu a '''úhel''' rotace mají ''pevný poměr''.)

Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identitu) vesměs sdílejí stejné dva pevné body (severní a jižní pól). Ty přesunují všechny ostatní body od jižního pólu a k severnímu pól (nebo naopak), podél rodiny křivek nazývané [[Loxodroma|'''loxodromy''']]. Každá loxodroma ovíjí nekonečně mnohokrát oba póly.

=== Parabolické transformace ===
Parabolický prvek grupy SL(2,'''C''') je
: <math> P_4 = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>

a má na Riemannově sféře jediný pevný bod {{mvar|ξ}} = ∞. Při stereografické projekci se to projevuje jako obyčejné [[posunutí (geometrie)|posunutí]] podél [[Reálná osa|reálné osy]].

Spinorové zobrazení konvertuje toto na matici (reprezentující Lorentzovu transformaci)
:<math>\begin{align}
   Q_4 &= \begin{pmatrix}
      1 + \frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2 & \operatorname{Re}(\alpha) & \operatorname{Im}(\alpha) & -\frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2  \\
      \operatorname{Re}(\alpha)         & 1                         & 0                         & -\operatorname{Re}(\alpha)      \\
    -\operatorname{Im}(\alpha)          & 0                         & 1                         &  \operatorname{Im}(\alpha)       \\
     \frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2      & \operatorname{Re}(\alpha) & \operatorname{Im}(\alpha) &  1 - \frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2
  \end{pmatrix} \\[6pt]
       &=  \exp \begin{pmatrix}
     0                         & \operatorname{Re}(\alpha) & \operatorname{Im}(\alpha) &  0  \\
     \operatorname{Re}(\alpha) & 0                         & 0                         & -\operatorname{Re}(\alpha)      \\
    -\operatorname{Im}(\alpha) & 0                         & 0                         &  \operatorname{Im}(\alpha)            \\
     0                         & \operatorname{Re}(\alpha) & \operatorname{Im}(\alpha) &  0
  \end{pmatrix} ~.
\end{align}</math>

To generuje dvouparametrickou abelovskou podgrupu, kterou lze získat nahrazením konstanty {{mvar|α}} komplexní proměnnou. Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identickou transformaci) přesunují body podél rodina kružnic, které jsou vesměs tečné k severnímu pólu, na určitou [[Hlavní kružnice|hlavní kružnici]]. Všechny body různé od severního pólu samotného se přesunují podél těchto kružnic.

Parabolické Lorentzovy transformace se často nazývají '''nulové rotace'''. Protože jde pravděpodobně o nejméně známé ze čtyř typů neidentických Lorentzových transformací (eliptické, hyperbolické, loxodromické, parabolické), ukážeme zde, jak určit vliv příkladu parabolické Lorentzovy transformace na prostoročas Minkowského.

Výše uvedená matice dává transformaci
: <math>
  \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \rightarrow
    \begin{pmatrix} t     \\ x     \\ y     \\ z     \end{pmatrix} + \operatorname{Re}(\alpha) \;
    \begin{pmatrix} x     \\ t - z \\ 0     \\ x     \end{pmatrix} + \operatorname{Im}(\alpha) \;
    \begin{pmatrix} y     \\ 0     \\ z - t \\ y     \end{pmatrix} + \frac{\vert\alpha\vert^2}{2} \;
    \begin{pmatrix} t - z \\ 0     \\ 0     \\ t - z \end{pmatrix}.
</math>

Bez ztráty obecnosti nyní položíme {{math|''Im(α)'' {{=}} 0}}. Derivováním této transformace podle nyní reálného grupového parametru {{mvar|α}} a její vyhodnocení pro ''α''=0 dává odpovídající vektorové pole (lineární parciální diferenciální operátor prvního řádu):
: <math> x\, \left( \partial_t + \partial_z \right) + (t - z)\, \partial_x. </math>

Nyní aplikujeme tento vztah na funkci {{math|''f(t, x, y, z)''}} a uplatníme požadavek, aby byla zachována invariance, tj. aby byla touto transformací anihilována. Řešení výsledné lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu lze vyjádřit ve tvaru
: <math>f(t, x, y, z) = F\left(y,\, t - z,\, t^2 - x^2 - z^2\right),</math>

kde {{mvar|F}} je ''libovolná'' hladká funkce. Její argumenty dávají tři ''racionální invarianty'' popisující, jak se body (události) posunují při této parabolické transformaci, když se ony samy nepřesunují,
: <math> y = c_1, ~~~~ t-z = c_2, ~~~~ t^2 - x^2 - z^2 = c_3. </math>

Volba reálných hodnot pro konstanty na pravé straně dává tři podmínky, která definují nějakou křivku v prostoročasu Minkowského. Tato křivka je orbitou transformace.

Tvar racionálních invariantů ukazuje, že popis těchto proudnic (orbit) je jednoduchý: zanedbáním neesenciální souřadnice {{mvar|y}} bude každá orbita průnikem ''nulové roviny'', {{math| ''t'' {{=}} ''z + c''<sub>2</sub>}}, s ''hyperboloidem'', {{math|''t<sup>2</sup> − x<sup>2</sup> − z<sup>2</sup>'' {{=}} ''c<sub>3</sub>''}}. Pro případ {{mvar|c}}<sub>3</sub> = 0 hyperboloid degeneruje na světelný kužel a orbity přejdou na paraboly ležící v odpovídajících nulových rovinách.

Určitá nulová čára ležící na světelném kuželu je levým ''invariantem''; to jednoznačně odpovídá (dvojitému) pevnému bodu na Riemannově sféře zmíněnému výše. Ostatní nulové čáry procházející počátkem souřadnicového systému jsou transformací „otočeny kolem kuželu“. Sledování pohybu jedné takové nulové čáry při zvětšujícím se {{mvar|α}} odpovídá sledování pohybu bodu podél jedné z kruhových linií toku na nebeské sféře, jak je popsáno výše.

Naopak volba {{math|''Re(α)'' {{=}} 0}} dává podobné orbity, ale s prohozenými rolemi {{mvar|x}} a {{mvar|y}}.

Parabolická transformace vede ke kalibrační symetrii nehmotných částic (jako jsou [[foton]]y) s [[Helicita (částicová fyzika)|helicitou]] |{{mvar|h}}| ≥ 1. Ve výše uvedeném explicitním příkladě není nehmotná částice pohybující se ve směru osy {{mvar|z}}, tedy se čtyřhybností '''''P'''''=(''p'', 0, 0, ''p''), vůbec ovlivněna ani {{mvar|x}}-boostem ani {{mvar|y}}-rotační kombinací {{math|''K<sub>x</sub> − J<sub>y</sub>''}} definovanou níže v „malé grupě“ svého pohybu. To je zjevné z explicitní transformace tohoto zákona: jako jakýkoli světelný vektor je '''''P''''' samotný nyní invariantem, což znamená, že všechny stopy nebo účinky {{mvar|α}} zmizely. {{mvar|c}}<sub>1</sub> = {{mvar|c}}<sub>2</sub> = {{mvar|c}}<sub>3</sub> = 0 ve zvláštním diskutovaném případě. (Jiný podobný generátor, {{math|''K<sub>y</sub>+J<sub>x</sub>''}} stejně jako on a {{mvar|J}}<sub>''z''</sub> tvoří dohromady malou grupu světlupodobných vektorů, izomorfní s {{mvar|E}}(2).)

=== Vzhled noční oblohy ===
Tento izomorfismus má za následek, že Möbiovy transformace Riemannovy sféry představují způsob, jakým Lorentzovy transformace mění vzhled noční oblohy, jak ji vidí pozorovatel pohybující se [[Speciální teorie relativity|relativistickými]] rychlostmi vůči „pevným hvězdám“.

Předpokládejme, že „pevné hvězdy“ se nacházejí v prostoročasu Minkowského a jsou znázorněny body na nebeské sféře. Pak lze každému bodu na nebeské sféře přiřadit komplexní číslo {{math|''ξ {{=}} u + iv''}}, které odpovídá určitému bodu na [[Riemannova sféra|Riemannově sféře]] a lze jej identifikovat s [[Nulový vektor|nulovým vektorem]] (a [[Minkowského prostor|světlupodobným vektorem]]) v prostoru Minkowského
: <math> \begin{pmatrix} u^2 + v^2 + 1 \\ 2u \\ -2v \\ u^2 + v^2 - 1 \end{pmatrix} </math>

nebo ve Weylově reprezentaci (spinorovém zobrazení) hermitovské matici
: <math> N = 2\begin{pmatrix} u^2 + v^2 & u + iv \\ u - iv & 1 \end{pmatrix}. </math>

Množina reálných skalárních násobků tohoto nulového vektoru nazývaná ''nulová čára'' procházející počátkem souřadnicového systému reprezentuje ''přímou viditelnost'' různých vzdálených objektů, jako například hvězd, z místa pozorovatel v určitém místě a čase (libovolnou událost můžeme identifikovat s počátkem souřadnicového systému prostoročasu Minkowského). Pak body [[Nebeská sféra|nebeské sféry]] (nebo ekvivalentně zorné čáry) lze identifikovat určitými hermitovskými maticemi.

== Lieova algebra ==
{{Lieovy grupy|other}}
Jako u jakékoli Lieovy grupy je užitečným způsobem, jak studovat mnoho aspektů Lorentzovy grupy, její [[Lieova algebra]]. Protože Lorentzova grupa SO(1,3) je [[Lieova grupa|maticová Lieova grupa]], její Lieova algebra so(1,3) je algebra matic, které lze počítat podle<ref>{{Harvnb|Hall|2015}} Definice 3.18</ref>
:<math>\mathrm{so}(1,3) = \left\{4\times 4\, \mathrm{matrices}\, X \mid e^{tX} \in \mathrm{SO}(1,3)\,\mathrm{for}\,\mathrm{all}\, t\right\}</math>.

Pokud <math>\eta</math> je diagonální matice s diagonálními položkami <math>(1, -1, -1, -1)</math>, pak se Lieova algebra o(1,3) skládá z matic <math>4\times 4</math> <math>X</math> takových, že<ref>{{Harvnb|Hall|2015}} proposition 3.25</ref>
:<math>\eta X \eta = -X^T</math>.

Konkrétně so(1,3) se skládá z matic <math>4\times 4</math> tvaru
:<math>\begin{pmatrix}
  0 &  a &  b & c \\
  a &  0 &  d & e \\
  b & -d &  0 & f \\
  c & -e & -f & 0
\end{pmatrix}</math>,

kde <math>a, b, c, d, e, f</math> jsou libovolná reálná čísla. Tato Lieova algebra je šestirozměrná. Podalgebra so(1,3) z prvků, v nichž se <math>a</math>, <math>b</math> a <math>c</math> rovnají nule, je se so(3) izomorfní.

Pamatujte, že úplná Lorentzova grupa O(1,3), vlastní Lorentzova grupa SO(1,3) a vlastní ortochronní Lorentzova grupa <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math> všechny mají stejnou Lieovu algebru, která se typicky označuje so(1,3).

Protože komponenta identity Lorentzovy grupy je izomorfní s konečným kvocientem SL(2,C) (viz část výše o spojitosti Lorentzovy grupy s Möbiovou grupou), Lieova algebra Lorentzovy grupy je izomorfní s Lieovou algebrou sl(2,C). Pamatujte, že sl(2,C) je trojrozměrná, pokud je zobrazena jako komplexní Lieova algebra, ale šestirozměrná, pokud na ni pohlížíme jako na reálnou Lieovu algebru.

=== Generátory Möbiovy grupy ===
Další generující množina vznikne izomorfismem na Möbiově grupě. Následující tabulka udává šest generátorů, ve kterých
* První sloupec obsahuje generátor toku při Möbiově akci (po stereografické projekci z Riemannovy sféry) jako ''reálné'' vektorové pole v Eukleidovské rovině.
* Druhý sloupec obsahuje odpovídající jednoparametrickou podgrupu Möbiovy transformace.
* Třetí sloupec obsahuje odpovídající jednoparametrickou podgrupu Lorentzovy transformace (obraz při našem homomorfismu předchozí jednoparametrické podgrupy).
* Čtvrtý sloupec obsahuje odpovídající generátor toku při Lorentzově akci jako reálné vektorové pole na prostoročasu Minkowského.

Všimněte si, že generátory jsou následující
* Dva parabolické (nulové rotace)
* Jeden hyperbolický (boost ve směru ∂<sub>''z''</sub>)
* Tři eliptické (rotace postupně podle os ''x, y, z'')

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:auto;"
! Vektorové pole na '''R'''<sup>2</sup>
! Jednoparametrová podgrupa SL(2,'''C'''),<br />reprezentující Möbiovy transformace
! Jednoparametrová podgrupa SO<sup>+</sup>(1,3),<br />reprezentující Lorentzovy transformace
! Vektorové pole na '''R'''<sup>4</sup>
|-
! colspan="4" style="background-color:#ddddff;" | Parabolické
|-
|  <math>\partial_u\,\!</math>
|  <math>\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
|  <math>\begin{pmatrix}
    1 + \frac{1}{2}\alpha^2 & \alpha & 0 & -\frac{1}{2}\alpha^2     \\
    \alpha                  & 1      & 0 & -\alpha                  \\
    0                       & 0      & 1 &  0                       \\
    \frac{1}{2}\alpha^2     & \alpha & 0 &  1 - \frac{1}{2}\alpha^2
  \end{pmatrix}</math>
|  <math>\begin{align} X_1 ={} &x(\partial_t + \partial_z) +\\ &(t - z)\partial_x \end{align}</math>
|-
|  <math>\partial_v\,\!</math>
|  <math>\begin{pmatrix} 1 & i \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
|  <math>\begin{pmatrix}
    1 + \frac{1}{2}\alpha^2 & 0 & \alpha & -\frac{1}{2}\alpha^2     \\
    0                       & 1 & 0      &  0                       \\
    \alpha                  & 0 & 1      & -\alpha                  \\
    \frac{1}{2}\alpha^2     & 0 & \alpha &  1 - \frac{1}{2}\alpha^2
  \end{pmatrix} </math>
|  <math>\begin{align} X_2 ={} &y(\partial_t + \partial_z) +\\ &(t - z)\partial_y \end{align}</math>
|-
! colspan="4" style="background-color:#ddddff;" | Hyperbolické
|-
|  <math> \frac{1}{2} \left( u \partial_u + v \partial_v \right) </math>
|  <math>\begin{pmatrix}
    \exp \left(\frac{\eta}{2}\right) & 0                                  \\
    0                                 & \exp \left(-\frac{\eta}{2}\right)
  \end{pmatrix} </math>
|  <math> \begin{pmatrix}
    \cosh(\eta) & 0 & 0 & \sinh(\eta) \\
    0            & 1 & 0 & 0            \\
    0            & 0 & 1 & 0            \\
    \sinh(\eta) & 0 & 0 & \cosh(\eta)
  \end{pmatrix} </math>
|  <math>X_3 = z \partial_t + t \partial_z \,\!</math>
|-
! colspan="4" style="background-color:#ddddff;" | Eliptické
|-
|  <math> \frac{1}{2} \left( -v \partial_u + u \partial_v \right) </math>
|  <math>\begin{pmatrix}
  \exp \left( \frac{i \theta}{2} \right) & 0 \\
  0        & \exp \left( \frac{-i \theta}{2} \right)
  \end{pmatrix}</math>
|  <math> \begin{pmatrix}
  1 & 0            &  0            & 0 \\
  0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
  0 & \sin(\theta) &  \cos(\theta) & 0 \\
  0 & 0            &  0            & 1
  \end{pmatrix} </math>
|  <math>X_4 = -y\partial_x + x\partial_y</math>
|-
|  <math> \frac{v^2 - u^2 - 1}{2} \partial_u - u v \, \partial_v </math>
|  <math>\begin{pmatrix}
    \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & -\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \\
    \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &  \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)
  \end{pmatrix}</math>
|  <math> \begin{pmatrix}
    1 &  0            & 0 & 0            \\
    0 &  \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\
    0 &  0            & 1 & 0            \\
    0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)
  \end{pmatrix} </math>
|  <math>X_5 = -x\partial_z + z\partial_x</math>
|-
|  <math> u v \, \partial_u + \frac{1 - u^2 + v^2}{2} \partial_v </math>
|  <math>\begin{pmatrix}
      \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & i \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \\
    i \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &   \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)
 \end{pmatrix}</math>
|  <math> \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0            &  0            \\
    0 & 1 & 0            &  0            \\
    0 & 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
    0 & 0 & \sin(\theta) &  \cos(\theta)
  \end{pmatrix} </math>
|  <math>X_6 = -z\partial_y + y\partial_z</math>
|}

Verifujeme jeden řádek této tabulky. Začneme od
: <math> \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}. </math>

Uplatnění exponenciální funkce:
: <math> \exp \left( \frac{ i \theta}{2} \, \sigma_2 \right) =
  \begin{pmatrix}
    \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\
    \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) &  \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
  \end{pmatrix}.
</math>

Tento prvek SL(2,'''C''') reprezentuje jednoparametrickou podgrupu (eliptických) Möbiových transformací:
:<math> \xi \mapsto
\xi'=\frac{ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \, \xi - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) }{ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \, \xi + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) }. </math>

Nyní
:<math> \left.\frac{d\xi'}{d\theta}\right|_{\theta=0} = -\frac{1 + \xi^2}{2}. </math>

Odpovídající vektorové pole na '''C''' (pohlížíme na něj jako na obraz S<sup>2</sup> při stereografické projekci) je
: <math> -\frac{1 + \xi^2}{2} \, \partial_\xi. </math>

Pokud vyjádříme <math>\xi = u + i v</math>, dostaneme vektorové pole na '''R'''<sup>2</sup>
: <math> -\frac{1 + u^2 - v^2}{2} \, \partial_u - u v \, \partial_v. </math>

Po návratu k našemu prvku SL(2,''C''), zapsáním akce <math> X \mapsto P X P^\dagger </math> a seskupením členů dostaneme, že obrazem spinorového zobrazení je prvek SO<sup>+</sup>(1,3)
: <math> \begin{pmatrix}
    1 &  0            & 0 & 0            \\
    0 &  \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\
    0 &  0            & 1 & 0            \\
    0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)
  \end{pmatrix}.
</math>

Derivování podle {{mvar|θ}} v {{mvar|θ}}=0, dává odpovídající vektorové pole na '''R'''<sup>4</sup>,
: <math> z \partial_x - x \partial_z. \,\!</math>

To je zjevně generátor rotace proti směru hodinových ručiček kolem osy {{mvar|y}}.

== Podgrupy Lorentzovy grupy ==
Až konjugace lze podalgebry Lieovy algebry Lorentzovy grupy vyčíslit, z [[Topologická grupa|topologických grup]] omezené Lorentzovy grupy lze vypsat, až konjugace. (Detaily jsou v knize od Halla citované níže.) To lze ihned vyjádřit pomocí generátorů <math>X_n</math> daných ve výše uvedené tabulce.

Jednorozměrné podalgebry samozřejmě odpovídají čtyřem třídám konjugace prvků Lorentzovy grupy:
* <math>X_1</math> generuje jednoparametrickou podalgebru parabol SO(0,1),
* <math>X_3</math> generuje jednoparametrickou podalgebru boostů SO(1,1),
* <math>X_4</math> generuje jednoparametrickou rotaci SO(2),
* <math>X_3 + a X_4</math> (pro jakýkoli <math>a \neq 0</math>) generuje jednoparametrickou podalgebru loxodromických transformací.
(Přesně řečeno, poslední odpovídá nekonečně mnoha třídám, protože různých <math>a</math> dávají různé/jiný/odlišný třídy.)
Dvourozměrný podalgebry jsou:
* <math>X_1, X_2</math> generují abelovskou podalgebru sestávající výhradně z parabol,
* <math>X_1, X_3</math> generují neabelovskou podalgebru izomorfní s Lieovou algebrou [[Afinní grupa|afinní grupy]] Aff(1),
* <math>X_3, X_4</math> generují abelovskou podalgebru sestávající z boostů, rotací a loxodrom, které vesměs sdílejí stejný pár pevných bodů.
Trojrozměrný podalgebry používá [[Bianchiho klasifikace|Bianchiho klasifikační]] schéma:
* <math>X_1,X_2,X_3</math> generují '''Bianchiho V''' podalgebru, izomorfní s Lieovou algebrou Hom(2), grupa ''eukleidovských homotheties'',
* <math>X_1,X_2,X_4</math> generují '''Bianchiho VII_0''' podalgebru, izomorfní s Lieovou algebrou E(2), [[Eukleidova grupa]],
* <math>X_2,X_2,X_3 + a X_4</math>, kde <math>a \neq 0</math>, generují '''Bianchiho VII_a''' podalgebru,
* <math>X_1,X_3,X_5</math> generují '''Bianchiho VIII''' podalgebru, izomorfní s Lieovou algebrou SL(2,'''R'''), grupa izometrií [[Poincarého model poloroviny|hyperbolické roviny]],
* <math>X_4,X_5,X_6</math> generují '''Bianchiho IX''' podalgebru, izomorfní s Lieovou algebrou SO(3), rotační grupa.
[[Bianchiho klasifikace|Bianchiho typy]] používají klasifikaci trojrozměrné Lieovy algebry italského matematika [[Luigi Bianchi|Luigiho Bianchiho]].
Čtyřrozměrné podalgebry jsou vesměs sdružený/konjugovaná funkce k
* <math>X_1,X_2,X_3,X_4</math> generují podalgebru izomorfní s Lieovou algebrou Sim(2), grupa Eukleidovských [[Podobnost (geometrie)|podobností]].

Podalgebry tvoří svazy (viz obrázek) a každá podalgebra generuje při použití exponenciální funkce [[Topologická grupa|topologické grupy]] omezené Lieovy grupy. Z toho plyne, že všechny podgrupy Lorentzovy grupy (až na konjugaci) lze zkonstruovat násobením jedním z prvků Kleinovy čtyřgrupy.

[[Soubor:Lorentz group subalgebra lattice.png|300px|náhled|vpravo|Svaz podalgeber Lie algebra SO(1,3), až na conjugacy.]]
Jako u jakékoli souvislé Lieovy grupy, coset prostory uzavřené podgrupy omezené Lorentzovy grupy nebo [[Homogenní prostor|homogenního prostoru]] mají významné matematické zájmy. Několik stručných popisů:
* Grupa Sim(2) je stabilizátor ''nulové line'', tj. bodu na Riemannově sféře – tak homogenní prostor SO<sup>+</sup>(1,3)/Sim(2) je [[Kleinovské geometry]], která reprezentuje [[Konformní geometrie|konformní geometrii]] na kouli S<sup>2</sup>.
* (komponenta identity) Eukleidovská grupa SE(2) je stabilizátor [[nulový vektor]], tak homogenní prostor SO<sup>+</sup>(1,3)/SE(2) je [[momentum prostor]] nehmotné částice; geometricky, toto Kleinovská geometrie reprezentuje ''degenerované'' geometrie světelného kužele v Minkowského prostoročasu.
* Rotační grupa SO(3) je stabilizátorem [[Minkowského prostor]]u, takže homogenní prostor SO<sup>+</sup>(1,3)/SO(3) je [[prostor hybnosti]] hmotné částice; geometricky tento prostor není nic jiného než trojrozměrný [[hyperbolický prostor]] H<sup>3</sup>.

== Zobecnění na vyšší rozměry ==
Koncept Lorentzovy grupy má přirozené zobecnění na prostoročas s libovolným počtem rozměrů. Matematicky je Lorentzova grupa ''n''+1-rozměrného prostoru Minkowského [[Neurčitá ortogonální grupa|neurčitou ortogonální grupou]] O(''n'',1) lineární transformace '''R'''<sup>''n''+1</sup>, která zachovává kvadratickou formu
:<math> (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2.</math>

Grupa O(1, ''n'') zachovává kvadratickou formu
:<math> (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_{n+1}^2</math>
a je izomorfní s O(''n'',1) ale v matematické fyzice je oblíbenější, primárně protože algebra [[Diracova rovnice|Diracovy rovnice]] a obecněji, spinorů a Cliffordových algeber, jsou s touto signaturou „přirozenější“.

Mnoho vlastností Lorentzovy grupy v čtyřrozměrném prostoru (kde {{nowrap|1=''n'' = 3}}) lze přímočaře zobecnit pro libovolné ''n''. Například Lorentzova grupa O(''n'',1) má čtyři souvislé komponenty a působí konformními transformacemi na nebeskou (''n''−1)-koule v ''n''+1-rozměrném Minkowského prostoru. Komponenta identity SO<sup>+</sup>(''n'',1) je SO(''n'')-bandl na hyperbolickém ''n''-prostoru H<sup>''n''</sup>.

Případy s nízkým počtem dimenzí {{nowrap|1=''n'' = 1}} a {{nowrap|1=''n'' = 2}} jsou často užitečné jako „hračkové modely“ pro fyzikální případ {{nowrap|1=''n'' = 3}}, zatímco Lorentzovy grupy s více rozměry se používají ve fyzikálních teoriích, například v [[Teorie strun|teorii strun]], která předpokládá existenci skrytých rozměrů. Lorentzova grupa O(''n'',1) je také grupa izometrií ''n''-rozměrného [[De Sitterův prostoročas|De Sitterova prostoročasu]] dS<sub>''n''</sub>, která může být realizována homogenním prostorem O(''n'',1)/O(''n''−1,1). Konkrétně O(4,1) je grupa izometrií [[de Sitterovo univerzum|de Sitterova univerza]] dS<sub>4</sub>, což je kosmologický model.

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Reference ===
{{Překlad|en|Lorentz group|1013192513}}<references />

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | odkaz na autora = Emil Artin
 | autor = Artin, Emil
 | titul = Geometric Algebra
 | url = https://archive.org/details/geometricalgebra033556mbp
 | místo = New York
 | vydavatel = Wiley
 | rok = 1957
 | isbn = 978-0-471-60839-4
 | title-link = Geometric Algebra
 | ref = harv
}} ''Kapitola III'' popisuje ortogonální grupy O(p,q).
* {{Citace monografie
 | autor = Carmeli, Moshe
 | odkaz na autora = Moshe_Carmeli
 | titul = Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field
 | url = https://archive.org/details/grouptheorygener0000carm
 | vydavatel = McGraw-Hill, New York
 | rok = 1977
 | isbn = 978-0-07-009986-9
 | ref = harv
}} Kanonické reference; ''kapitoly 1–6'' popisují reprezentaci Lorentzovy grupy.
* {{Citace monografie
 | autor = Frankel, Theodore
 | titul = The Geometry of Physics
 | vydání = 2
 | místo = Cambridge
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2004
 | isbn = 978-0-521-53927-2
 | ref = harv
}} Vynikající nástroj pro Lieovy teorie, fibrované bandly, spinorial pokrytí a mnoho jiných témat.
* {{Fulton-Harris}} ''Lecture 11'' pro ireducibilní reprezentace SL(2,'''C''').
* {{Citace monografie
 | jméno = I.M.
 | příjmení = Gelfand
 | jméno2 = R.A.
 | příjmení2 = Minlos
 | jméno3 = Z.Ya.
 | příjmení3 = Shapiro
 | titul = Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications
 | vydavatel = Pergamon Press
 | místo = New York
 | rok = 1963
 | odkaz na autora = Israel Gelfand
 | odkaz na autora2 = Robert Adol'fovich Minlos
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Brian C.
 | příjmení = Hall
 | titul = Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
 | vydání = 2
 | edice = Graduate Texts in Mathematics
 | ročník = 222
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2015
 | isbn = 978-3319134666
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | autor = Hall, G. S.
 | titul = Symmetries and Curvature Structure in General Relativity
 | místo = Singapore
 | vydavatel = World Scientific
 | rok = 2004
 | isbn = 978-981-02-1051-9
 | ref = harv
}} ''Kapitola 6'' popisuje podalgebry Lieovy algebry Lorentzovy grupy.
* {{Citace monografie
 | autor = Hatcher, Allen
 | titul = Algebraic topology
 | url = https://archive.org/details/algebraictopolog0000hatc
 | místo = Cambridge
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2002
 | isbn = 978-0-521-79540-1
 | ref = harv
}} ''Viz také'' {{Citace elektronické monografie
 | titul = online version
 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
 | datum přístupu = July 3, 2005
 | ref = harv
}} ''Section 1.3'' pěkně ilustruje diskuzi pokrývající prostory. ''Section 3D'' popisuje topologie rotační grupy.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Misner
 | jméno = Charles
 | odkaz na autora = Charles W. Misner
 | příjmení2 = Thorne
 | jméno2 = Kip S.
 | odkaz na autora2 = Kip Thorne
 | příjmení3 = Wheeler
 | jméno3 = John
 | odkaz na autora3 = John Archibald Wheeler
 | titul = Gravitation
 | url = https://archive.org/details/gravitation0000misn
 | vydavatel = [[W. H. Freeman and Company]]
 | rok = 1973
 | isbn = 978-0-7167-0344-0
 | title-link = Gravitation (book)
 | ref = harv
}} §41.3
* {{Citace monografie
 | autor = Naber, Gregory
 | titul = The Geometry of Minkowski Spacetime
 | url = https://archive.org/details/geometryofminkow0000nabe
 | místo = New York
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | rok = 1992
 | isbn = 978-0486432359
 | ref = harv
}} (Dover reprint vydání.) Vynikající reference na prostoročas Minkowského a Lorentzovy grupy.
* {{Citace monografie
 | autor = Needham, Tristan
 | odkaz na autora = Tristan Needham
 | titul = Visual Complex Analysis
 | url = https://archive.org/details/visualcomplexana0000need
 | místo = Oxford
 | vydavatel = Oxford University Press
 | rok = 1997
 | isbn = 978-0-19-853446-4
 | ref = harv
}} ''Kapitola 3'' pro skvělé znázornění diskuze Möbiovy transformace.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Weinberg
 | jméno = S.
 | rok = 2002
 | titul = The Quantum Theory of Fields
 | ročník = 1
 | isbn = 978-0-521-55001-7
 | odkaz na autora = Steven Weinberg
 | vydavatel = [[Cambridge University Press]]
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev
 | ref = harv
}}
* {{Citace periodika
 | jméno = E. P.
 | příjmení = Wigner
 | odkaz na autora = Eugene Wigner
 | titul = On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group
 | časopis = [[Annals of Mathematics]]
 | číslo = 1
 | ročník = 40
 | strany = 149–204
 | rok = 1939
 | doi = 10.2307/1968551
 | mr = 1503456
 | bibcode = 1939AnMat..40..149W
 | jstor = 1968551
 | ref = harv
}}.

=== Související články ===
{|
|- style="vertical-align:top"
|style="padding-right:2em"|
* [[Lorentzova transformace]]
* [[Reprezentační teorie Lorentzovy grupy]]
* [[Poincarého grupa]]
* [[Möbiova grupa]]
* [[Minkowského prostor]]
* [[Bikvaternion]]y
|
* [[Neurčitá ortogonální grupa]]
* [[Kvaterniony a prostorové rotace]]
* [[Těžiště (relativistické)|Relativistické těžiště]]
* [[Speciální teorie relativity]]
* [[Symetrie v kvantové mechanice]]
|}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie Lieových grup]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Teorie grup]]
[[Kategorie:Hendrik Lorentz|Grupa]]