Zobrazení zdroje stránky Lineární diferenciální rovnice

'''Lineární diferenciální rovnice''' je [[diferenciální rovnice]] tvaru

:<math>y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x)\,</math>

kde
* ''y'' je neznámá (hledaná) funkce proměnné ''x'',
* ''y<sup>(k)</sup>'' je ''k''-tá [[derivace]] funkce ''y(x)'',
* ''n'' představuje [[řád diferenciální rovnice]],
* ''x'' je nezávislá [[proměnná]],
* ''a<sub>k</sub>(x)'' jsou koeficienty, které obecně mohou být funkcemi proměnné ''x''. Jsou-li koeficienty ''a<sub>k</sub>'' [[konstanta|konstanty]], jedná se o ''[[Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty|lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty]]''.
* ''f(x)'' představuje ''pravou stranu'' diferenciální rovnice. Pokud ''f(x) = 0'', potom se jedná o [[Homogenní diferenciální rovnice|''homogenní'' diferenciální rovnici]] (''bez pravé strany'').

V lineární diferenciální rovnici se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně a nikde se nevyskytují součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce.

Lineární diferenciální rovnice mohou být obyčejné (s jednou nezávislou proměnnou) i parciální (s více nezávislými proměnnými). Řešení [[lineární rovnice]] tvoří (na rozdíl od řešení nelineárních diferenciálních rovnic) [[vektorový prostor]].

== Úvod ==
Nejstručněji lze lineární diferenciální rovnici zapsat pomocí [[diferenciální operátor|diferenciálního operátoru]] ''L'':

: <math> Ly = f</math>

operátor musí být [[lineární operátor|lineární]], ''y'' je neznámá funkce (například funkce času ''y''(''t'')) a [[pravá strana]] ''f'' je funkce stejné povahy jako ''y''. Rovnici můžeme zapsat i s uvedením nezávislé proměnné ''t'':

: <math> L y(t) = f(t)</math>

nebo ještě přesněji s uzávorkováním

: <math> L [y(t)] = f(t)</math>

Můžeme předpokládat, že lineární operátor ''L'' má tvar<ref>Gershenfeld 1999, p.9</ref>

: <math>L_n(y) \equiv \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}t^n} + A_1(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}t^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + A_n(t)y </math>

Podmínka linearity ''L'' vylučuje takové operace jako provedení druhé mocniny na [[derivace|derivaci]] funkce ''y'', ale dovoluje například provedení druhé derivace funkce ''y''.
Rovnici lze pohodlně přepsat v operátorovém tvaru

: <math> L_n(y) \equiv \left[\,D^n  + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D  + A_n(t)\right] y</math>

kde ''D'' je diferenciální operátor ''d/dt'' (tj. ''Dy = y' '', ''D''<sup>2</sup>''y = y",... '') a ''A<sub>n</sub>'' jsou dané funkce.
<!-- a předpokládáme, že pravá strana je funkcí času ƒ(''t'').-->

'''Řád''' rovnice ''n'' je index nejvyšší derivace funkce ''y'', která se v rovnici skutečně vyskytuje. <!-- (V mnoha případech potřebujeme dělit koeficientem a_n nejvyššího řádu, proto vyžadujeme, aby byl nenulový. Pokud by byl nulový, museli bychom pro analýzu rovnice uvažovat různé případy odděleně.)-->

Typickým jednoduchým příkladem je lineární diferenciální rovnice používaná k modelování radioaktivního rozpadu<ref>Robinson 2004, p.5</ref>. Označíme ''N''(''t'') počet radioaktivních atomů v nějakém vzorku materiálu<ref>Robinson 2004, p.7</ref> v čase ''t''. Pak lze pro určitou konstantu ''k'' > 0 modelovat rychlost rozpadu radioaktivních atomů vztahem

:<math> \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -k N</math>

Jestliže ''y'' je funkce pouze jedné proměnné, mluvíme o [[obyčejné diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnicích]], jinak musíme derivace a jejich koeficienty chápat jako ([[tenzorová kontrakce|kontrahované]]) vektory, matice nebo [[tenzor]]y vyššího řádu, a jedná se o (lineární) [[parciální diferenciální rovnice]].

Rovnice, u kterých je ''f'' = 0, se nazývají '''homogenní rovnice''' a jejich řešení se nazývají '''komplementární funkce'''. Jsou velmi důležité pro řešení obecné lineární diferenciální rovnice, protože když libovolnou komplementární funkci přičteme k řešení nehomogenní rovnice, dostaneme jiné řešení (metodou tradičně nazývanou ''partikulární integrál a komplementární funkce'').

Když ''A<sub>i</sub>'' jsou čísla nezávisející na ''x'', pak o rovnici říkáme, že má ''[[Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty|konstantní koeficienty]]''.

== Homogenní rovnice s konstantními koeficienty ==
{{Viz též|Charakteristická rovnice}}
První metodu řešení lineárních homogenních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty vyvinul [[Leonhard Euler]], který zjistil, že řešení má tvar ''e<sup>zx</sup>'' pro jisté hodnoty ''z'' (které mohou být i [[komplexní číslo|komplexní]]). [[Exponenciální funkce]] je jednou z funkcí, které si zachovávají tvar při derivaci, což dovoluje, aby se součet několika jejích derivací vyrušil a dával nulu, jak vyžaduje rovnice. Pro konstantní hodnoty ''A''<sub>1</sub>,..., ''A''<sub>n</sub> se tedy má řešit

:<math>y^{(n)} + A_{1}y^{(n-1)} + \cdots + A_{n}y = 0\,,</math>

pokud položíme ''y'' = ''e<sup>zx</sup>'', dostaneme

:<math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.</math>

Po vydělení výrazem ''e<sup>zx</sup>'' dostaneme polynom ''n''-tého stupně:

:<math>F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,</math>

Tato algebraická rovnice ''F''(''z'') = 0 je [[Charakteristická rovnice|charakteristickou rovnicí]], kterou později studoval [[Gaspard Monge]] a [[Augustin Louis Cauchy]].

Formálně jsou termy

:<math>y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math>

původní diferenciální rovnice nahrazeny ''z<sup>k</sup>''. [[Hledání kořenů#Hledání kořenů polynomu|Řešením]] rovnice dostaneme ''n'' kořenů ''z'', ''z''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''z<sub>n</sub>''. Substituce libovolného z těchto kořenů za ''z'' do ''e<sup>zx</sup>'' dává řešení ''e<sup>z<sub>i</sub>x</sup>''. Protože pro homogenní lineární diferenciální rovnice platí [[princip superpozice]], libovolná [[lineární kombinace]] těchto funkcí také vyhovuje diferenciální rovnici.

Jsou-li tyto kořeny navzájem [[různé kořeny|různé]], máme ''n'' různých řešení diferenciální rovnice. Aplikací [[Vandermondova matice|Vandermondova determinantu]] lze ukázat, že jsou [[lineární nezávislost|lineárně nezávislá]], a že spolu vytváří [[Báze (lineární algebra)|bázi]] prostoru všech řešení diferenciální rovnice.

{{Rámeček s textem|35%|#ffffaa|right|Příklad|
Diferenciální rovnice
:<math>y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0</math>
má charakteristickou rovnici

: <math>z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0,</math>

která má kořeny ''i'', −''i'' a 1 (s násobností 2). Báze řešení je tedy

: <math>e^{ix} ,\, e^{-ix} ,\, e^x ,\, xe^x.</math>

To odpovídá bázi reálných řešení

: <math>\cos x ,\, \sin x ,\, e^x ,\, xe^x \,.</math>}}

Výše uvedená úvaha dává řešení v případě, kdy všechny kořeny jsou navzájem různé, tj. každý má [[Násobnost kořene|násobnost]] 1. V obecném případě pokud ''z'' je (možná komplexní) [[kořen funkce]] ''F''(''z'') s násobností ''m'', pak pro <math>k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,</math>, je řešením obyčejné diferenciální rovnice <math>y=x^ke^{zx}</math>. Použitím tohoto postupu na všechny kořeny dává sadu ''n'' různých lineárně nezávislých funkcí, kde ''n'' je stupeň polynomu ''F''(''z''). Jako v předchozím příkladě, tyto funkce vytvářejí bázi prostoru řešení.

Jestliže koeficienty ''A<sub>i</sub>'' diferenciální rovnice jsou reálné, pak reálná řešení jsou obecně vhodnější. Kořeny ''z'', které nejsou reálné, se pak vyskytují v [[Komplexně sdružené číslo|komplexně sdružených]] párech, tak do jejich odpovídajícím bázové funkce {{Nowrap|''x''<sup>''k''</sup>e<sup>''zx''</sup>}} a požadovaný výsledek získáme nahrazením každé dvojice jejich reálnou [[lineární kombinace|lineární kombinací]] [[reálná část|Re(''y'')]] a [[imaginární část|Im(''y'')]], kde ''y'' je jedním z dvojice.

Případ, ve kterém se vyskytují komplexní kořeny, lze řešit pomocí [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]].

=== Příklady ===
Je dána diferenciální rovnice <math>y''-4y'+5y=0</math>. Charakteristická rovnice je <math>z^2-4z+5=0</math>, a její kořeny jsou 2±''i''. Báze řešení je tedy <math>\{y_1,y_2\} = \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}</math>. Funkce ''y'' je řešením právě tehdy, když <math>y=c_1y_1+c_2y_2</math> pro libovolné konstanty <math>c_1,c_2\in\mathbf{C}</math>.

Protože koeficienty původní rovnice jsou reálné,
* pravděpodobně nás nezajímají komplexní řešení
* prvky báze vycházejí z komplexně sdružených hodnot
Lineární kombinace

:<math>u_1=\mbox{Re}(y_1)=\tfrac{1}{2} (y_1+y_2) =e^{2x}\cos(x),</math>
:<math>u_2=\mbox{Im}(y_1)=\tfrac{1}{2i} (y_1-y_2) =e^{2x}\sin(x),</math>

jsou reálnou bází <math>\{u_1,u_2\}</math>.

==== Jednoduchý harmonický oscilátor ====
Diferenciální rovnici druhého řádu

:<math> D^2 y = -k^2 y, </math>

která reprezentuje jednoduchý [[harmonický oscilátor]], lze zapsat jako

:<math> (D^2 + k^2) y = 0. </math>

Výraz v závorkách lze rozložit:

:<math> (D + i k) (D - i k) y = 0,</math>

z čehož je vidět dvojice lineárně nezávislých řešení:

:<math> (D - i k) y = 0 </math>
:<math> (D + i k) y = 0. </math>

Řešení jsou po řadě

:<math> y_0 = A_0 e^{i k x} </math>

a

:<math> y_1 = A_1 e^{-i k x}. </math>

Tato řešení tvoří bázi dvourozměrného [[vektorový prostor|prostoru řešení]] diferenciální rovnice druhého řádu: to znamená, že lineární kombinace těchto řešení bude také řešením. Konkrétně lze zkonstruovat následující řešení

:<math> y_{0'} = {C_0 e^{i k x} + C_0 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x) </math>

a

:<math> y_{1'} = {C_1 e^{i k x} - C_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x). </math>

Tato poslední dvě trigonometrická řešení jsou lineárně nezávislá, takže mohou sloužit jako jiná báze prostoru řešení, což dává následující reálné obecné řešení:

:<math> y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x). </math>

==== Tlumený harmonický oscilátor ====
Rovnice pro tlumený [[harmonický oscilátor]] má tvar:

:<math> \left(D^2 + \frac{b}{m} D + \omega_0^2\right)  y =  0, </math>

Výraz v závorkách můžeme rozložit: nejdříve získáme charakteristickou rovnici nahrazením ''D'' za λ. Tato rovnice musí být splněna pro všechna ''y'', tedy:

:<math> \lambda^2 + \frac{b}{m} \lambda + \omega_0^2 = 0. </math>

Řešíme pomocí vzorce pro kořeny [[Kvadratická rovnice#Řešení rovnice|kvadratické rovnice]]:

:<math> \lambda = \tfrac{1}{2} \left (-\frac{b}{m} \pm \sqrt{\frac{b^2}{m^2} - 4 \omega_0^2} \right ). </math>

A výsledek použijeme pro [[faktorizace|faktorizaci]] původní diferenciální rovnice:

:<math>\left(D + \frac{b}{2m} - \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2} \right) \left(D + \frac{b}{2m} + \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0. </math>

Což dává dvojici rovnic:

:<math> \left(D + \frac{b}{2m} - \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2} \right) y = 0 </math>
:<math> \left(D + \frac{b}{2m} + \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0 </math>

s řešeními po řadě

:<math> y_0 = A_0 e^{-\omega x + \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_0 e^{-\omega x} e^{\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} </math>
:<math> y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} </math>

kde ω = ''b''/2''m''. Z této lineárně nezávislé dvojice řešení můžeme zkonstruovat jinou lineárně nezávislou dvojici, která tedy slouží jako báze pro dvourozměrný prostor řešení:

:<math> y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \left (\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x \right ) + A_1 \cosh \left ( \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x \right ) \right) e^{-\omega x}. </math>

Ale pro |ω| < |ω<sub>0</sub>| je vhodnější se zbavit imaginárních složek a obecné řešení vyjádřit jako

:<math> y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sin \left(\sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x \right ) + A_1 \cos \left (\sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x \right ) \right) e^{-\omega x}. </math>

Toto druhé řešení odpovídá podkritickému tlumení, při kterém dochází k tlumenému [[kmitání]], zatímco první řešení odpovídá tlumení nadkritickému, kterému již odpovídá pouze aperiodický pohyb.

== Nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty ==
Pro získání řešení '''nehomogenní rovnice''' hledáme partikulární integrál ''y<sub>P</sub>''(''x'') buď [[metoda neurčitých koeficientů|metodou neurčitých koeficientů]] nebo metodou [[variace konstant]]; obecné řešení lineární diferenciální rovnice je součtem obecného řešení přidružené homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Pokud jsou zadány počáteční podmínky, lze použít [[Laplaceova transformace|Laplaceovu transformaci]] pro získání partikulárního řešení přímo.

Předpokládejme, že máme řešit rovnici

:<math>\frac {\mathrm{d}^{n}y(x)} {\mathrm{d}x^{n}} + A_{1}\frac {\mathrm{d}^{n-1}y(x)} {\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + A_{n}y(x) = f(x).</math>

Definujeme charakteristický polynom

:<math>P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n.</math>

A najdeme bázi řešení <math>\{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\}</math> přidružené homogenní (''f''(''x'') = 0) rovnice. Pak hledáme '''partikulární řešení''' ''y<sub>p</sub>''(''x'') nehomogenní rovnice metodou '''variace konstant''': Nechť koeficienty lineární kombinace jsou funkcemi proměnné ''x'':

:<math>y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) + \cdots + u_n(x) y_n(x).</math>

Pro zjednodušení zápisu nebudeme zapisovat závislost na ''x'' (ze zápisu vypustíme všechna ''(x)''). Při použití operátorového zápisu ''D'' = ''d/dx'' lze diferenciální rovnici jednoduše zapsat ''P''(''D'')''y'' = ''f''. Pak

:<math>f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n).</math>

S omezeními

:<math>0=u'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n</math>
:<math>0=u'_1y'_1+u'_2y'_2+\cdots+u'_ny'_n</math>
:<math> \cdots</math>
:<math>0=u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n</math>

se rovnice zjednoduší:

:<math>f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.</math>

Ale protože ''P''(''D'')''y<sub>j</sub>'' = 0, dostáváme

:<math>f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.</math>

Což s omezeními dává lineární soustavu pro ''u′<sub>j</sub>''. Tu můžeme vždy řešit; kombinací [[Cramerovo pravidlo|Cramerova pravidla]] s [[Wronskián]]em dostáváme

:<math>u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.</math> <!-- caution: kontrolovat my sign -->

Zápis použitý výše znamená, že máme vzít minor (i,n) matice W a znásobit jej f. Kvůli tomu dostaneme záporné znaménko. Případně se nemusíme zabývat znaménkem minus a pouze spočítáme determinant matice získané nahrazením ''j''-tého sloupce matice W vektorem (0, 0, ..., f).

Zbytek získáme integrací ''u′<sub>j</sub>''.

Partikulární integrál není jednoznačný; <math>y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n</math> také vyhovuje obyčejné diferenciální rovnici pro libovolnou množinu konstant ''c<sub>j</sub>''.

=== Příklad ===
Řešíme rovnici <math>y''-4y'+5y=\sin(kx)</math>. Vezměme bázi řešení nalezenou výše <math>\{e^{(2+i)x}=y_1(x),e^{(2-i)x}=y_2(x)\}</math>.

:<math>\begin{align}
W &= \begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x} \\ (2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x} \end{vmatrix} = e^{4x}\begin{vmatrix}1&1\\ 2+i&2-i\end{vmatrix} =-2ie^{4x}\\
u'_1 &=\frac{1}{W}\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\ \sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix} = -\tfrac{i}{2} \sin(kx)e^{(-2-i)x}\\
u'_2 &=\frac{1}{W}\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\ (2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix} =\tfrac{i}{2} \sin(kx)e^{(-2+i)x}.
\end{align}</math>

Použitím [[seznam integrálů exponenciálních funkcí|seznamu integrálů exponenciálních funkcí]]

:<math>u_1=-\tfrac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2-i)x}\,\mathrm{d}x =\frac{ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)</math>
:<math>u_2=\tfrac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2+i)x}\,\mathrm{d}x=\frac{ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).</math>

odtud
:<math>\begin{align}
y_p &= u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) = \frac{i}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right) +\frac{i}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right) \\
&=\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}.
\end{align}</math>

(Všimněte si, že ''u''<sub>1</sub> a ''u''<sub>2</sub> mají faktory, které vyruší ''y''<sub>1</sub> a ''y''<sub>2</sub>, což je typické.)

Pro zajímavost, fyzickou interpretací této obyčejné diferenciální rovnice je buzený tlumený [[harmonický oscilátor]]; ''y<sub>p</sub>'' reprezentuje stacionární řešení a <math>c_1y_1+c_2y_2</math> obecné.

== Rovnice s proměnnými koeficienty ==
Obyčejná lineární diferenciální rovnice ''n''-tého řádu s proměnnými koeficienty má obecný tvar
:<math>p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).</math>

=== Příklady ===
Jednoduchým příkladem je [[Eulerova rovnice]] často používaná v technice

:<math>x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.</math>

== Rovnice prvního řádu ==
{{Rámeček s textem|35%|#ffffaa|right|Příklad|Řešte rovnici

: <math>y'(x)+3y(x)=2</math>

s počáteční podmínkou

: <math>y(0)=2.</math>

Při použití obecné metody řešení:

: <math>y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, \mathrm{d}x + \kappa\right). \,</math>

Vyřešením neurčitého integrálu dostaneme:

: <math>y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right). \,</math>

Pak se můžeme omezit na:

: <math>y=2/3 + \kappa e^{-3x}. \,</math>

Z počátační podmínky plyne, že
: <math>\kappa = 4/3.\,</math>}}
Lineární obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu s proměnnými koeficienty má obecný tvar

:<math>Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).</math>

kde D je [[diferenciální operátor]]. Rovnice tohoto tvaru můžeme řešit vynásobením [[integrační faktor|integračním faktorem]]

:<math>e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x}</math>

čímž získáme

:<math> Dy(x)e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x}=g(x)e^{\int f(x) \, \mathrm{d}x},</math>

což zjednodušíme použitím [[součinové pravidlo|součinového pravidla]] na

: <math> D\left  (y(x)e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x} \right )=g(x)e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x}</math>

po zintegrování obou stran a vyřešení pro ''y''(''x'') dostaneme:

: <math> y(x) = \frac{\int g(x)e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x} \,\mathrm{d}x+c}{e^{\int f(x)\,\mathrm{d}x}}.</math>

Jinými slovy: Řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu

: <math>y'(x) + f(x) y(x) = g(x),</math>

s koeficienty, které mohou, ale nemusí být funkcí proměnné ''x'', je

:<math>y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, \mathrm{d}x + \kappa\right)</math>

kde κ je integrační konstanta a

: <math>a(x)=\int{f(x)\,\mathrm{d}x}.</math>

Kompaktní tvar obecného řešení je (viz J. Math. Chem. 48 (2010) 175):

: <math> y(x) = \int_a^x \! {[y(a) \delta(t-a)+g(t)] e^{-\int_t^x \!f(u)\mathrm{d}u}\, \mathrm{d}t}\,.</math>

kde δ(''x'') je zobecněná Diracova delta funkce.

=== Příklady ===
Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu s [[Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty|konstantními koeficienty]]:

:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + b y = 1.</math>

Tato rovnice je zvlášť důležitá pro soustavy prvního řádu jako například [[RC článek|RC obvody]] a [[tlumené kmitání]].

V tomto případě, ''f''(''x'') = ''b'', ''g''(''x'') = 1.

Proto její řešení je

:<math>y(x) = e^{-bx} \left( \frac{e^{bx}}{b}+ C \right) = \frac{1}{b} + C e^{-bx} .</math>

== Soustavy lineárních diferenciálních rovnic ==
Libovolnou lineární obyčejnou diferenciální rovnici nebo dokonce soustavu takových rovnic lze převést na soustavu lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu sečtením proměnných pro všechny derivace kromě derivace nejvyššího řádu. [[Soustava lineárních rovnic|Soustavy lineárních rovnic]] můžeme považovat za jedinou rovnici s vektorovou proměnnou. Obecné řešení je podobné jako řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedené výše, ale s komplikacemi pramenícími z nekomutativity [[násobení matic]].

Pro řešení
:<math>\left\{\begin{array}{rl}\mathbf{y}'(x) &=(x)\mathbf{y}(x)+\mathbf{b}(x)\\\mathbf y(x_0)&=\mathbf y_0\end{array}\right.</math>
(kde <math>\mathbf{y} (x)</math> je vektor nebo matice a <math>A( x )</math> je matice),
nechť <math>U( x )</math> je řešení of <math>\mathbf y'(x) =(x)\mathbf y(x)</math> s <math>U(x_0) = I</math> (jednotková matice). <math>U</math> je fundamentální matice rovnice – sloupce matice <math>U</math> vytváří úplnou lineárně nezávislou množinu řešení homogenní rovnice. Po substitucí <math>\mathbf y(x) = U(x)\mathbf z(x)</math> se rovnice <math>\mathbf y'(x) =(x)\mathbf y(x)+\mathbf b(x)</math> zjednoduší na <math>U(x)\mathbf z'(x) = \mathbf b(x).</math> Tedy
:<math>\mathbf{y}(x) = U(x)\mathbf{y_0} + U(x)\int_{x_0}^x U^{-1}(t)\mathbf{b}(t)\,\mathrm{d}t</math>
Pokud <math>A(x_1)</math> komutuje s <math>A(x_2)</math> pro všechna <math> x_1 </math> a <math>  x_2</math>, pak
:<math>U(x) = e^{\int_{x_0}^x(x)\,\mathrm{d}x}</math>
a tedy
:<math>U^{-1}(x) = e^{-\int_{x_0}^x(x)\,\mathrm{d}x},</math>
ale v obecném případě řešení v uzavřeném tvaru neexistuje. Proto se používají přibližné metody jako například [[Magnusova expanze]]. Všimněte si, že exponenciální funkce jsou [[maticová exponenciální funkce|maticové exponenciální funkce]].

== Reference ==
{{Překlad|en|Linear differential equation|599375753}}<references/>

== Literatura==
* {{Citace monografie
 | autor = Birkhoff, Garrett a Rota, Gian-Carlo
 | rok = 1978
 | titul = Ordinary Differential Equations
 | isbn = 0-471-07411-X
 | vydavatel = John Wiley a Sons, Inc.
 | místo = New York
 | oclc =
}}
* {{Citace monografie
 | autor = Gershenfeld, Neil
 | rok = 1999
 | titul = The Nature of Mathematical Modeling
 | url = https://archive.org/details/natureofmathemat0000gers
 | isbn = 978-0-521-57095-4
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | místo = Cambridge, UK.
 | oclc =
}}
* {{Citace monografie
 | autor = Robinson, James C.
 | rok = 2004
 | titul = An Introduction to Ordinary Differential Equations
 | url = https://archive.org/details/introductiontoor0000robi
 | isbn = 0-521-82650-0
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | místo = Cambridge, UK.
 | oclc =
}}

== Související články ==
* [[Diferenciální rovnice]]
* [[Obyčejné diferenciální rovnice|Obyčejná diferenciální rovnice]]
* [[Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty]]
* [[Parciální diferenciální rovnice#Lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu|Lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu]] a [[Parciální diferenciální rovnice#Lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu|Lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu]] v článku [[Parciální diferenciální rovnice]]
* [[Matice diferenciální rovnice]]
* [[Parciální diferenciální rovnice]]
* [[Spojité-repayment mortgage#Ordinary time differential equation|Spojité-repayment mortgage]]
* [[Fourierova transformace]]
* [[Laplaceova transformace]]
* [[Seznam diferenciálních identit]], část N-té derivace

== Externí odkazy ==
* Lineární diferenciální rovnice - rovnice 1. řádu: http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/Teaching/X01MA2/Prednasky/LDR-metody1r.pdf {{Wayback|url=http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/Teaching/X01MA2/Prednasky/LDR-metody1r.pdf |date=20160304230916 }}
* Lineární diferenciální rovnice – n -tého řádu: http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/Teaching/X01MA2/Prednasky/LDR-metody-Nr.pdf {{Wayback|url=http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/Teaching/X01MA2/Prednasky/LDR-metody-Nr.pdf |date=20160304222014 }}
* Obecná lineární diferenciální rovnice: http://artemis.osu.cz/mmmat/txt/dr/ldro.htm
* http://eqworld.ipmnet.ru/en/řešení/ode.htm{{Nedostupný zdroj}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Diferenciální rovnice]]