Zobrazení zdroje stránky Limita (teorie kategorií)

{{Různé významy|tento=matematickém pojmu z [[teorie kategorií]]|druhý=konceptu z [[Matematická analýza|matematické analýzy]]|stránka=Limita}}

'''Limita''' je pojem v [[teorie kategorií|teorii kategorií]], což je odvětví [[Matematika|matematiky]] zkoumající vztahy mezi [[Matematická struktura|matematickými strukturami]], které lze popsat pouze pomocí pojmů „objekt“, „morfismus“, „skládání“ a „identický morfismus“.

Je-li v kategorii <math>\mathbb{K}</math> dán '''diagram''' <math>\mathbb{D}</math>, tedy množina některých objektů a některých morfismů z <math>\mathbb{K}</math>, pak objekt <math>L</math> z <math>\mathbb{K}</math> (který obvykle není prvkem diagramu) spolu se sadou morfismů <math>\pi</math> zvaných '''projekce''', z nichž do každého objektu diagramu vede z <math>L</math> právě jeden, nazýváme '''limitou diagramu''', platí-li následující:

# Projekce '''komutují''' se všemi morfismy z <math>\mathbb{D}</math>, tj. pro každé objekty diagramu <math>O, P</math> a morfismus diagramu <math>f: O \to P</math> platí <math>\pi_P = \pi_O \circ f</math>.
# Pro každý jiný objekt <math>R</math> a sadu <math>\rho</math> projekcí z <math>R</math> do všech objekt diagramu, které takto komutují s morfismy diagramu, existuje právě jeden morfismus <math>\phi: R \to L</math>, který komutuje s každou projekcí, tj. <math>\pi_O \circ \phi = \rho_O</math> pro všechny objekty diagramu <math>O</math>.

Pro morfismy <math>f: A \to B</math> a <math>g: B \to C</math> značíme složený morfismus z <math>A</math> do <math>C</math> symbolem
<math>g \circ f</math> (oproti méně časté konvenci, která je značí <math>f \circ g</math>). U [[konkrétní kategorie]], kde morfismy jsou zobrazení, takové [[Skládání zobrazení|složené zobrazení]] prvku <math>x\in A</math> přiřadí <math>g(f(x))\in C</math>

Definice '''kolimity''' je duální, tedy obdobná až na obrácení směru šipek. '''Malá limita''' je taková, jejíž diagram <math>\mathbb{D}</math> je množina, nikoli [[vlastní třída]].

Limity a kolimity nemusejí vždy existovat: kategorie, v níž každý diagram má limitu, nazveme '''[[úplná kategorie]]'''. Obdobně existují-li v ní všechny kolimity, nazveme ji koúplná.

Volbou různých diagramů <math>\mathbb{D}</math> lze obdržet různé konstrukce, jako například
* '''Produkty (součiny)''', které v mnoha kategoriích z několika objektů vytvoří jejich [[kartézský součin]] s příslušnou strukturou.
* '''Kosoučiny''', které u komutativních objektů s nulou (např. okruhy, vektorové prostory atd.) často dají direktní součet.
* '''Ekvalizéry''' a '''koekvalizéry'''
* '''Pullbacky''', které většinou definují průnik, a k nim duální '''pushouty''', které často definují sjednocení (nebo nejmenší objekt obsahující toto sjednocení, např. [[lineární obal]] u vektorových prostorů).

== Motivace ==
Pojem limity sjednocuje práci s pojmy z teorie kategorií jako pullback, součin apod.

Např. kategoriální pojem „součin“ je motivován tím, že následující tvrzení platí pro vektorové prostory a jejich homomorfismy, grupy a grupové homomorfismy, okruhy a okruhové homomorfismy a mnoho dalších struktur:

* Direktní součin <math>A \times B</math> je izomorfní s každým objektem <math>C</math>, pro který existuje homomorfismus <math>a: A \to C</math> a <math>b: B \to C</math>, takové, že pro každý objekt <math>D</math> a homomorfismy <math>f: D \to A</math> a <math>g: D \to B</math> existuje právě jeden homomorfismus <math>h: D \to C</math>, který s nimi komutuje, tj. pro složené zobrazení platí <math>a \circ h = f</math> a <math>b \circ h = g</math>.

Pojem „direktní součin“ umožňuje jednotně pracovat se všemi strukturami, které toto splňují (včetně např. kartézského součinu v [[Kategorie množin|kategorii množin]]) a zkoumat, které vlastnosti mají společné.

Za podobným účelem vznikly pojmy „kosoučin“, „ekvalizér“, „pullback“ apod. Významná část v jejich definicích je společná: ''„... takové, že pro každý objekt s touž vlastností existuje právě jeden morfismus, který komutuje s projekcemi.“''

Tuto podobnost vystihuje pojem limity, který umožňuje pracovat s nimi všemi jednotně a zkoumat jejich společné vlastnosti.

=== Příklad ===
V [[Kategorie množin|kategorii množin]] '''Set''', kde objekty jsou všechny množiny a morfismy jsou všechna [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] mezi nimi, limity vhodných typů diagramů odpovídají [[průnik]]ům:

Bez dodatečné informace nelze průnik definovat jazykem teorie kategorií: v každé takové definici by průnik např. <math>\{1, 2, 3\}\cap\{2, 3, 4\}</math> byl [[Izomorfismus|izomorfní]] s průnikem <math>\{11, 12, 13\} \cap \{22, 23, 24\}</math>, jelikož všechny tříprvkové množiny jsou izomorfní – v kategorii '''Set''' jsou izomorfismy právě všechny [[bijekce]].

Diagram <math>\mathbb{D}</math>, jehož limitou je průnik, bude proto tvořen třemi objekty <math>A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}, C=\{1,2,3,4,5\}</math>, a dvěma morfismy <math>a \in A \to C,  b \in B \to C</math> takovými, že <math>a(x)=x, b(x)=x</math>, tj. které jsou v množinovém (byť ne kategoriálním) smyslu [[Identita (matematika)|identickým zobrazením]].

Limita takového diagramu (který se skládá ze dvou morfismů vedoucích do téhož objektu) se nazývá '''pullback'''. V tomto případě je limitou množina <math>L=\{2, 3\}</math> spolu s identickými projekcemi <math>\pi_A, \pi_B, \pi_C</math> z <math>L</math> do <math>A, B, C</math> – a samozřejmě všechny objekty s ní izomorfní.

První podmínka v definici limity (že projekce musí komutovat s každým morfismem v <math>\mathbb{D}</math>) je splněna: například složením
<math>\pi_B: L\to B</math> se zobrazením <math>b: B\to C</math> získáme právě <math>\pi_C: L\to C</math>. Tuto podmínku však splňuje i množina <math>R=\{2\}</math> s identickými projekcemi <math>\rho</math>, která limitou <math>\mathbb{D}</math> není.

Zobrazení <math>\phi</math> z <math>R</math> do <math>L</math> vyžadované druhou podmínkou existuje: je jím identické zobrazení. To se všemi projekcemi komutuje, tj. platí <math>\pi_A\circ \phi = \rho_A</math> a podobně i pro <math>B</math> a <math>C</math>, neboť na obou stranách je zobrazení, které dvojce přiřadí dvojku. <math>L</math> je tedy limitou diagramu <math>\mathbb{D}</math>, protože pro každé <math>R</math> s projekcemi, které komutují s morfismy v <math>\mathbb{D}</math>, existuje právě jedno zobrazení <math>\phi</math> komutující s těmito projekcemi.

Uvedená jednoprvková množina <math>R</math> ovšem limitou <math>\mathbb{D}</math> není. K důkazu lze použít libovolný objekt s projekcemi; právě dvouprvková <math>L</math> je vhodnou volbou, protože neexistuje <math>\phi: L \to R</math>, které by komutovalo s projekcemi. Muselo by platit např. <math>\pi_A = \rho_A\circ \phi</math>, ovšem na pravé straně by vždy bylo zobrazení s jednoprvkovým [[Obor hodnot|oborem hodnot]], zatímco na levé nikoli.

Ani žádná tříprvková množina není limitou <math>\mathbb{D}</math>, protože tam takových zobrazení existuje naopak více, zatímco podmínka 2 vyžaduje právě jedno. Např. pro množinu {11,12,13} s projekcemi, které zobrazí 11 a 12 na 2 a 13 na 3, budou komutující zobrazení do dvouprvkové <math>L</math> existovat dvě: obě zobrazí 3 na 13, ale číslo 2 je možno zobrazit na 11 nebo 12.

Limitou diagramu <math>\mathbb{D}</math> je proto průnik <math>A \cap B</math> s identickými projekcemi.

=== Méně formální definice ===
Řečeno méně formálně, v mnoha běžných kategoriích je limitou obecného diagramu <math>\mathbb{D}</math>
„nejmenší“ objekt mezi takovými,
* z nichž lze do objektů <math>\mathbb{D}</math> vést „šipky“ (tj. morfismy zvané „projekce“), které „nekolidují“ (tj. komutují) s morfismy <math>\mathbb{D}</math>,
* a které „nedegenerují“ svým skládáním projekce jiných objektů s komutujícími projekcemi.

V předchozím příkladu byla jednoprvková množina „příliš malá“, protože z projekcí dvouprvkové množiny skládáním vytvořila "degenerovaná" zobrazení s nedostatečně velkým oborem hodnot. Naproti tomu tříprvková nebyla „nejmenším“ takovým objektem, protože stačí množina dvouprvková. Tříprvková proto měla zbytečnou „volnost“ v tom, jak se zobrazit na dvouprvkovou.

Tato neformální definice platí i pro limity jiných diagramů. Např. již zmíněný součin je limitou diagramu, který neobsahuje morfismy. Charakter výsledného objektu (limity) silně závisí na charakteru diagramu – součin dvojrozměrného a třírozměrného vektorového prostoru bude prostor pětirozměrný – ovšem neformální definice zůstane v platnosti: čtyřrozměrný prostor je příliš malý, protože by "degeneroval" obor hodnot projekcí na pětirozměrný prostor. A šestirozměrný by měl nenulovou „volnost“ v tom, jak se zobrazit na pětirozměrný. Druhá podmínka limity vyžaduje, aby právě jeden morfismus existoval pro ''každé'' <math>R</math>, proto pro důkaz, že není splněna, lze zvolit např. pětirozměrné <math>R</math>.

== Definice ==
Je-li v kategorii <math>\mathbb{K}</math> dán diagram <math>\mathbb{D}</math>, tj. množina objektů <math>Ob_{\mathbb{D}}</math> a morfismů z <math>\mathbb{K}</math>, pak objekt <math>L \in Ob_{\mathbb{K}}</math> spolu s množinou morfismů <math>\{\pi_O \in \text{Hom}(L, O)\}_{O \in Ob_{\mathbb{D}}}</math> se nazývá limitou diagramu <math>\mathbb{D}</math>, pokud platí následující dvě podmínky:

# Pro každou dvojici objektů <math>O, P \in Ob_{\mathbb{D}}</math> a každý morfismus <math>f: O \to P</math> z diagramu <math>\mathbb{D}</math> je splněna rovnost <math>\pi_P = \pi_O \circ f</math>. Říkáme , že každá projekce <math>\pi_O</math> '''komutuje''' s odpovídajícími morfismy z diagramu.
# Pro každý objekt <math>R</math> a sadu morfismů <math>\{\rho_O \in \text{Hom}(R, O)\}_{O \in Ob_{\mathbb{D}}}</math>, které splňují podmínku 1 (tj. komutují s morfismy z <math>\mathbb{D}</math>), existuje právě jeden morfismus <math>\phi \in \text{Hom}(R, L)</math> takový, že pro každé <math>O \in Ob_{\mathbb{D}}</math> platí <math>\pi_O \circ \phi = \rho_O</math>.

Podmínka 2 úzce souvisí s pojmem [[univerzální vlastnost]] a zajišťuje, že každé dvě limity libovolného diagramu jsou navzájem izomorfní, tj. že limita, existuje-li, je určena „jednoznačně až na izomorfismus“.

== Speciální typy limit ==
{{Kotva|Extenze|Koextenze}}

=== Extenze a koextenze ===
{{Pahýl část}}

{{Kotva|Pullback|Pushout}}

=== Pullback a pushout ===
{{Přesměrování|Pullback|Pushout}}
'''Pullback''' je limita diagramu dvou morfismů, které mají stejnou kodoménu, tj. vedou do stejného objektu. Diagram má tedy tři objekty <math>A, B, C</math> a zobrazení <math>a: A \to C, b: B \to C</math>. Duálním pojmem, tj. kolimitou téhož diagramu, je '''pushout'''.

V běžných kategoriích má pullback často charakter průniku a pushout charakter "inteligentního sjednocení", tj. "sjednocení", které neporušuje strukturu dané kategorie.

Pro přehlednost předpokládejme, že <math>A \subseteq C, a(x)=x</math> a rovněž <math>B \subseteq C, b(x)=x</math>; to v běžných kategoriích vždy "platí až na izomorfismus". Pak v [[Kategorie množin|kategorii množin]] je pullback [[průnik]]em <math>A \cap B</math>, jak je podrobně vysvětleno výše, a pushout [[sjednocení]]m <math>A \cup B</math>. V kategorii [[Vektorový prostor|vektorových prostorů]], [[Abelova grupa|komutativních grup]] apod. je pullback opět průnikem, protože takový průnik je vždy vektorovým prostorem, resp. komutativní grupou. Ovšem to neplatí pro sjednocení, a proto pushback není přímo sjednocení, nýbrž nejmenší podprostor/podgrupa <math>C</math>, která toto sjednocení obsahuje, jinými slovy podprostor/podgrupa generovaná množinou <math>A \cap B</math>.

{{Kotva|Produkt|Koprodukt}}

=== Produkty a koprodukty ===
{{Přesměrování|Koprodukt}}
{{Podrobně|Produkt (teorie kategorií)}}

Je-li <math>\mathbb{D}</math> diskrétní, tj. neobsahuje-li žádné morfismy (kromě povinných jednotkových automorfismů), je její limitou kategoriální '''produkt''' neboli '''součin'''. Ten u mnoha struktur odpovídá [[Direktní součin|direktnímu součinu]] objektů z <math>\mathbb{D}</math>.

Kolimitou takového diagramu je pak ''ko'produkt''' neboli '''kosoučin''', který mnohdy odpovídá [[Direktní součet|direktnímu součtu]].

== Odkazy ==

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | jméno = Saunders
 | příjmení = Mac Lane
 | odkaz na autora = Saunders Mac Lane
 | titul = [[Categories for the Working Mathematician]]
 | rok = 1971
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | místo = Berlin, Heidelberg, New York
 | isbn = 0-387-98403-8
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Saunders
 | příjmení = Mac Lane
 | odkaz na autora = Saunders Mac Lane
 | titul = Categories for the Working Mathematician
 | vydání = 2
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1998
 | datum = září 1998
 | místo = New York
 | url = https://books.google.com/books?id=eBvhyc4z8HQC&printsec=frontcover&cad=0#v=onepage&q&f=false
 | isbn = 0-387-98403-8
 | edice = Graduate Texts in Mathematics
 | svazek = 5
 | ref = harv
}}
* {{Citace elektronické monografie
 | url = https://courses.fit.cvut.cz/NI-TKA/kategorie.pdf
 | titul = Úvod do teorie kategorií
 | jméno = Jan
 | příjmení = Starý
 | datum = 2024-04-05
 | rok = 2024
 | datum přístupu = 2024-09-21
 | počet stran = 42
 | ref = harv
}}

=== Související články ===
* [[Produkt (teorie kategorií)]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}
{{Teorie kategorií}}

[[Kategorie:Limity (teorie kategorií)|*]]