Zobrazení zdroje stránky Lebesgueova míra

'''Lebesgueova míra''' je v [[teorie míry|teorii míry]] standardní způsob přiřazení [[míra (matematika)|míry]] [[podmnožina|podmnožinám]] ''n''-rozměrného [[eukleidovský prostor|eukleidovského prostoru]]. Pro ''n'' = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardním pojmem [[délka|délky]], [[plocha|plochy]] nebo [[objem]]u. Obecně se nazývá '''''n''-rozměrný objem''', '''''n''-objem''' nebo jednoduše '''objem'''<ref group="pozn.">Termín ''[[objem]]'' se častěji používá ve speciálnějším významu jako [[synonymum]] 3rozměrného objemu</ref>. Lebesgueova míra se používá v [[analýza v reálném oboru|analýze v reálném oboru]] především pro definici [[Lebesgueův integrál|Lebesgueova integrálu]]. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají '''Lebesgueovsky měřitelné'''; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny ''A'' se v tomto článku označuje λ(''A'').

'''Lebesgueova míra''' je pojmenovaná po [[Francie|francouzském]] matematikovi [[Henri Lebesgue]]ovi, který ji popsal v roce 1901. V roce 1902 vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902<ref>{{Citace monografie | jméno = Henri | příjmení = Lebesgue |titul = Intégrale, longueur, aire |rok=1902 | místo = Paříž | vydavatel = Université de Paris }}</ref>.

Lebesgueova míra se často značí ''dx''; toto označení nesmíme zaměňovat se stejně značenou [[Objemová forma|objemovou formou]] [[Varieta (matematika)|variety]].

== Definice ==
Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) [[Interval (matematika)|intervalu]] <math>I = \langle a,b\rangle</math> označíme <math>\ell(I)=b - a</math>, pak pro libovolnou podmnožinu <math>E\subseteq\mathbb{R}</math> definujeme její Lebesgueovu [[#Vnější míra|vnější míru]]<ref name="Royden" /> <math>\lambda^*(E)</math> jako

:<math>\lambda^*(E) = \operatorname{inf} \left\{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ je posloupnost otevřených intervalů takových, že } E\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}</math>.

Lebesgueova míra je definovaná na Lebesgueově [[Sigma algebra|sigma algebře]], která je kolekcí všech množin E splňujících „Carathéodoryovo kritérium“. Toto kritérium požaduje, aby pro každé <math> A\subseteq \mathbb{R}</math>

:<math>\lambda^*(A) = \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c) </math>.

Pro libovolnou množinu v Lebesgueově sigma algebře se Lebesgueova míra rovná její Lebesgueově vnější míře <math>\lambda(E)=\lambda^*(E)</math>.

Množiny, která nepatří do Lebesgueovy sigma algebry, nejsou Lebesgueovsky měřitelné. Takové množiny existují, tj. Lebesgueova sigma algebra je vlastní podmnožinou [[Potenční množina|potenční množiny]] <math> \mathbb{R}</math>.

== Intuice ==
První část definice říká, že podmnožina <math>E</math> reálných čísel je omezena na svou vnější míru pokrytím množinami otevřených intervalů. Každá z těchto množin intervalů <math>I</math> pokrývá <math>E</math> v tom smyslu, že sjednocení intervalů obsahuje <math>E</math>. Celková velikost libovolné množiny intervalů pokrytí může být klidně větší než míra <math>E</math>, protože <math>E</math> je podmnožinou sjednocení intervalů, a intervaly tedy mohou obsahovat i body, které v <math>E</math> nejsou. Lebesgueova vnější míra je [[Infimum|největší dolní závora (infimum)]] velikostí všech možných takových množin. Intuitivně je to celková velikost takové množiny intervalů, které se vejdou do <math>E</math> co nejtěsněji a nepřekrývají se.

Tím je definována Lebesgueova vnější míra. Zda je tato vnější míra také Lebesgueovou mírou množiny <math>E</math>, závisí na další podmínce. Tato podmínka se ověřuje pomocí podmnožin reálných čísel <math>A</math>, z nichž každá rozděluje množinu <math>E</math> na dvě části: první část patří do <math>A</math> i do <math>E</math> (tj. průnik <math>A</math> a <math>E</math>), druhá část patří do <math>A</math>, ale nepatří do <math>E</math> (tj. množinový rozdíl <math>A</math> a <math>E</math>). Na tyto dvě části množiny <math>A</math> se aplikuje vnější míra. Pokud součet vnějších měr obou částí je roven vnější míře celé množiny <math>A</math>, a toto platí pro všechny množiny <math>A</math>, které jsou podmnožinou reálných čísel, pak Lebesgueova míra množiny <math>E</math> je rovna její vnější míře. Intuitivně to znamená, že množina <math>E</math> nesmí mít nějaké podivné vlastnosti, které způsobí rozdíl v míře jiné množiny, pokud je množina <math>E</math> použita jako „maska“, která „vyřezává“ z množin <math>A</math> části, pro které Lebesgueova vnější míra nevytváří Lebesgueovu míru. (Takové množiny nejsou Lebesgueovsky měřitelné.)

== Příklady ==
* Jakýkoli [[uzavřený interval]] ⟨''a'', ''b''⟩ [[reálné číslo|reálných čísel]] je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je délka ''b''−''a''. [[Otevřený interval]] (''a'', ''b'') má stejnou míru, protože [[rozdíl množin|rozdíl]] uzavřeného a otevřeného intervalu sestává pouze z koncových bodů ''a'' a ''b'' a má [[nulová množina|míru nula]].
* Jakýkoli [[kartézský součin]] intervalů ⟨''a'', ''b''⟩ a ⟨''c'', ''d''⟩ je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je (''b''−''a'')(''d''−''c''), tj. plocha příslušného [[obdélník]]a.
* Jakákoli [[Borelovská množina]] je Lebesgueovsky měřitelná; existují však Lebesgueovsky měřitelné množiny, které nejsou Borelovské.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://math.stackexchange.com/q/556756
 | titul = What sets are Lebesgue-measurable?
 | vydavatel = math stack exchange
 | datum přístupu = 2019-12-26
 | autor = Asaf Karagila
}}</ref><ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://math.stackexchange.com/q/142385
 | titul = Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?
 | vydavatel = math stack exchange
 | datum přístupu = 2019-12-26
 | autor = Asaf Karagila
}}</ref>
* Libovolná [[spočetná množina]] reálných čísel má Lebesgueovu míru 0.
* Speciálně Lebesgueova míra množiny [[racionální číslo|racionálních čísel]] z libovolného intervalu je 0, i když množina racionálních čísel je v intervalu [[Hustá množina|hustá]].
* [[Cantorova množina]] je příkladem [[nespočetná množina|nespočetné množiny]], která má Lebesgueovu míru nula.
* Pokud platí [[axiom determinovanosti]], pak všechny množiny reálných čísel jsou Lebesgueovsky měřitelné. Avšak axiom determinovanosti je nekompatibilní s [[axiom výběru|axiomem výběru]].
* [[Vitaliho množina|Vitaliho množiny]] jsou příkladem množin, které jsou [[neměřitelná množina|neměřitelné]] pomocí Lebesgueovy míry. Jejich existence závisí na [[axiom výběru|axiomu výběru]].
* [[Osgoodova křivka|Osgoodovy křivky]] jsou jednoduché rovinné [[Křivka|křivky]] s [[kladné číslo|kladnou]] Lebesgueovou mírou<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Osgood
 | jméno = William F.
 | datum = leden 1903
 | titul = A Jordan Curve of Positive Area
 | rok = 1903-01-01
 | url = https://archive.org/details/jstor-1986455
 | periodikum = Transactions of the American Mathematical Society
 | vydavatel = American Mathematical Society
 | ročník = 4
 | číslo = 1
 | strana = 107–112
 | doi = 10.2307/1986455
 | issn = 0002-9947
 | jstor = 1986455
 | datum přístupu = 2019-12-26
}}</ref> (lze dokázat malou úpravou konstrukce [[Peanova křivka|Peanovy křívky]]). [[Dračí křivka]] je dalším neobvyklým příkladem.
* Libovolná přímka v <math>\mathbb{R}^n</math> pro <math>n \geq 2</math> má Lebesgueovu míru nula; obecně každá vlastní [[nadrovina]] má v obklopujícím prostoru Lebesgueovu míru nula.

== Vlastnosti ==
[[Soubor:Translation of a set.svg|náhled|300px|Translační invariance: Lebesgueova míra množiny <math>A+t</math> je stejná jako množiny <math>A</math>.]]
Lebesgueova míra na ℝ<sup>''n''</sup> má následující vlastnosti:

# Jestliže ''A'' je [[kartézský součin]] [[interval (matematika)|intervalů]] ''I''<sub>1</sub> × ''I''<sub>2</sub> × ... × ''I''<sub>''n''</sub>, pak ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná a <math>\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|</math>, kde <math>|I|</math> označuje délku intervalu ''I''.
# Jestliže ''A'' je [[disjunktní sjednocení]] [[spočetná množina|spočetně mnoha]] disjunktních Lebesgueovsky měřitelných množin, pak ''A'' je také Lebesgueovsky měřitelná a λ(''A'') se rovná sumě měr příslušných množin.
# Jestliže ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná, pak je měřitelný i její [[Doplněk množiny|doplněk]].
# Pro každou Lebesgueovsky měřitelnou množinu ''A'' je λ(A) ≥ 0.
# Jestliže ''A'' a ''B'' jsou Lebesgueovsky měřitelné a ''A'' je podmnožinou ''B'', pak λ(''A'') ≤ λ(''B''). (Důsledek bodů 2, 3 a 4.)
# Spočetná [[sjednocení]] a [[průnik]]y Lebesgueovsky měřitelných množin jsou Lebesgueovsky měřitelné. (Toto není důsledek bodů 2 a 3, protože systém množin, který je uzavřený na doplňky a disjunktní spočetná sjednocení, nemusí být uzavřený na spočetná sjednocení: <math>\{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}</math>.)
# Jestliže ''A'' je [[otevřená množina|otevřená]] nebo [[uzavřená množina|uzavřená]] podmnožina ℝ<sup>''n''</sup> (nebo dokonce [[borelovská množina]], viz [[metrický prostor]]), pak ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná.
# Jestliže ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná množina, pak je „skoro otevřená“ i „skoro uzavřená“ ve smyslu Lebesgueovy míry (viz [[věta o regularitě pro Lebesgueovu míru]]).
# Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její otevřenou nadmnožinu a uzavřenou podmnožinu. Tato vlastnost se používá jako alternativní definice Lebesgueovské měřitelnosti. Přesněji <math>E\subset \mathbb{R}</math> je Lebesgueovsky měřitelná právě tehdy, když pro každé <math>\varepsilon>0</math> existuje otevřená množina <math>G</math> a uzavřená množina <math>F</math> tak, že <math>F\subset E\subset G</math> a <math>\lambda(G\setminus F)<\varepsilon</math>.<ref>{{Citace monografie
 | titul = Real Analysis
 | příjmení = Carothers
 | jméno = N. L.
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2000
 | isbn = 9780521497565
 | místo = Cambridge
 | počet stran = 293
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293
 | url archivu = https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293}}</ref>
# Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její nadmnožinu [[Množina Gδ|G<sub>''δ''</sub>]] a podmnožinu [[Množina Fσ|F<sub>''σ''</sub>]]. Tj. pokud ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná , pak existuje nějaká [[Množina Gδ|G<sub>''δ''</sub> množina]] ''G'' a nějaká [[Množina Fσ|F<sub>''σ''</sub> množina]] ''F'' taková, že ''G''&nbsp;⊇&nbsp;''A''&nbsp;⊇&nbsp;''F'' a ''λ''(''G''&nbsp;\&nbsp;''A'')&nbsp;=&nbsp;''λ''(''A''&nbsp;\&nbsp;''F'')&nbsp;=&nbsp;0.
# Lebesgueova míra, která je [[Lokálně konečná míra|lokálně konečná]] a [[Vnitřně regulární míra|vnitřně regulární]], je [[Radonova míra]].
# Lebesgueova míra je [[Striktně kladná míra|striktně kladná]] na neprázdných otevřených množinách, takže její [[Nosič (teorie míry)|nosič]] je celé ℝ<sup>''n''</sup>.
# Jestliže ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná [[nulová množina|množina míry nula]], pak každá podmnožina ''A'' je také množina míry nula. Tedy každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná.
# Jestliže ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná a ''x'' je prvek ℝ<sup>''n''</sup>, pak ''translace ''A'' by x'', definovaný by ''A'' + ''x'' = {''a'' + ''x'' : ''a'' ∈ ''A''}, je také Lebesgueovsky měřitelná a má stejnou míru jako ''A''.
# Jestliže ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná a <math>\delta>0</math>, pak ''dilation <math>A</math> o <math>\delta</math>'' definovaná vztahem <math>\delta A =\{\delta x:x\in A\}</math> je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru <math>\delta^{n}\lambda\,(A).</math>
# Obecněji, jestliže ''T'' je [[lineární transformace]] a ''A'' je měřitelná podmnožina ℝ<sup>''n''</sup>, pak ''T''(''A'') je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru <math>|\det(T)|\, \lambda\,(A)</math>.

Všechny výše uvedené body lze stručně shrnout takto:

: Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí [[sigma algebra|σ-algebru]] obsahující všechny součiny intervalů a λ je jednoznačná [[Úplná míra|úplná]] [[translačně invariantní]] [[Míra (matematika)|míra]], na této σ-algebře taková, že <math>\lambda(\langle 0; 1\rangle\times \langle 0; 1\rangle\times \cdots \times \langle 0; 1\rangle)=1.</math>

Lebesgueova míra je také [[σ-konečná míra|σ-konečná]].

== Množiny míry nula ==
Libovolná podmnožina ℝ<sup>''n''</sup> je ''množinou míry nula'', jestliže pro každé ε > 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny ''n'' intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny [[spočetná množina|spočetné]] množiny jsou množinami míry nula.

Každá podmnožina ℝ<sup>''n''</sup> s [[Hausdorffova dimenze|Hausdorffovou dimenzí]] menší než ''n'' má míru nula vzhledem k ''n''-rozměrné Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze je relativní vůči [[Eukleidovská metrika|Eukleidovské metrice]] na ℝ<sup>''n''</sup> (nebo libovolné metrice s ní [[Lipschitzovsky ekvivalentní]]). Naopak množina, která má [[topologická dimenze|topologickou dimenzi]] menší než ''n'', může mít kladnou ''n''-rozměrnou Lebesgueovu míru. Příkladem je [[Smithova-Volterraova-Cantorova množina]], která má topologickou dimenzi 0, ale má kladnou 1rozměrnou Lebesgueovu míru.

Pro důkaz, že daná množina ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná, se obvykle snažíme nalézt „hezčí“ množinu ''B'' která se od ''A'' liší nejvýše o množinu míry nula (tj. [[symetrická diference]] (''A'' − ''B'') <math>\cup</math>(''B'' − ''A'') je množina míry nula), a pak ukázat, že ''B'' lze generovat z otevřených nebo uzavřených množin pomocí spočetných sjednocení a průniků.

== Konstrukce Lebesgueovy míry ==
Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací [[Carathéodoryova věta o rozšíření|Carathéodoryovy věty o rozšíření]]:

Nechť {{nowrap|''n'' ∈ '''N'''}} pevné. '''kostka''' v ℝ<sup>''n''</sup> je množina tvaru
:<math>B=\prod_{i=1}^n \langle a_i,b_i\rangle \, ,</math>
kde {{nowrap|''b<sub>i</sub>'' ≥ ''a<sub>i</sub>''}} a symbol součinu zde znamená kartézský součin. Objem této kostky je definovaný vztahem
:<math>\operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i) \, .</math>

{{Kotva|Vnější míra}}Pro ''libovolnou'' podmnožinu ''A'' množiny ℝ<sup>''n''</sup>, můžeme definovat její '''vnější míru''' ''λ''*(''A'') takto:

:<math>\lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B) : \mathcal{C}\text{ je spočetná kolekce kostek, jejichž sjednocení pokrývá }A\Bigr\} .</math>

Pak řekneme, že množina ''A'' je '''Lebesgueovsky měřitelná''', jestliže pro každou podmnožinu ''S'' množiny ℝ<sup>''n''</sup>,
:<math>\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S - A) \, .</math>

Tyto Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí [[sigma algebra|σ-algebru]] a Lebesgueova míra je definována vztahem {{nowrap|''λ''(''A'') {{=}} ''λ''*(''A'')}} pro libovolnou Lebesgueovsky měřitelnou množinu ''A''.

Existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, je důsledkem [[axiom výběru|axiomu výběru]], který je nezávislý na mnoha obvyklých systémech axiomů [[teorie množin]]. [[Vitaliho množina|Vitaliho věta]], která vyplývá z axiomu výběru, tvrdí, že existují podmnožiny ℝ, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné. S použitím axiomu výběru lze zkonstruovat různé [[neměřitelná množina|neměřitelné množiny]] s mnoha překvapivými vlastnostmi, např. [[Banachův-Tarského paradox]].

V roce 1970 ukázal [[Robert M. Solovay]], že existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, není dokazatelná v rámci [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin]] bez použití axiomu výběru (viz [[Solovayův model]]).<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Solovay
 | jméno = Robert M.
 | titul = A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable
 | periodikum = Annals of Mathematics
 | jstor = 1970696
 | řada = Second Series
 | svazek = 92
 | rok = 1970
 | vydání = 1
 | strany = 1–56
 | doi = 10.2307/1970696
}}</ref>

== Vztah k jiným mírám ==
[[Borelovská míra]] souhlasí s Lebesgueovou mírou na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není [[úplná míra|úplná]].

[[Haarova míra]] může být definována na libovolné [[lokálně kompaktní]] [[topologická grupa|grupě]] a je zobecněním Lebesgueovy míry (ℝ<sup>''n''</sup> s přídavek je lokálně kompaktní grupa).

[[Hausdorffova míra]] je zobecněním Lebesgueovy míry na jest užitečný pro určení míry podmnožiny ℝ<sup>''n''</sup> nižších dimenzí než ''n'', jako [[podvarieta|podvariety]], například povrchy nebo křivky v ℝ³ a [[fraktál]]ní množiny. Nezaměňujte Hausdorffovu míru s pojetím [[Hausdorffova dimenze|Hausdorffovy dimenze]].

Lze ukázat, že neexistuje [[nekonečněrozměrná Lebesgueova míra]].

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
<references group="pozn." />

=== Reference ===
{{Překlad|en|Lebesgue measure|931475700}}
<references>
<ref name="Royden">{{Citace monografie
 | titul = Real analysis
 | příjmení = Royden
 | jméno = H.L.
 | rok = 1988
 | vydavatel = Macmillan
 | isbn = 978-0024041517
 | vydání = 3
 | místo = New York
 | strana = 56
}}</ref>
</references>

=== Související články ===
* [[Lebesgueova věta o hustotě]]
* [[Duffinova-Schaefferova domněnka]]
* [[Bardochův-Tarského paradox]]
* [[Neměřitelná množina]]
** [[Vitaliho množina]]

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Míry (teorie míry)]]