Zobrazení zdroje stránky Lagrangeova věta (teorie grup)

'''Lagrangeova věta''' je základní tvrzení z teorie [[grupa|grup]], jehož důsledkem je, že [[řád prvku|řád]] každého prvku či [[Podgrupa|podgrupy]] dělí [[řád grupy]]. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného [[matematik]]a, [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louise Lagrange]].

== Přesné znění ==
Pro grupu ''G'' a její podgrupu ''H'' platí:

: <math>|G|=[G:H]\cdot |H|</math>, kde |''X''| značí řád grupy ''X'' a [''G'':''H''] [[index grupy]] (počet [[Coset|levých cosetů]] ''H'' v ''G'').

== Důkaz ==
Nejprve ukážeme, že levé cosety <math>gH=\{gh;\;h\in H\}</math> tvoří dohromady pro <math>\forall g \in G</math> [[rozklad množiny]] G. Protože <math>x\cdot e=x\in xH</math>, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky ''G''. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak <math>xH \cap yH\ne\emptyset</math> pro nějaké <math>x,y\in G</math>. Jinými slovy pro nějaká <math>h_1,h_2\in H</math> musí být <math>x\cdot h_1 = y\cdot h_2</math>. Vynásobením na pravé straně prvkem <math>h_2^{-1}</math> dostaneme
<math>x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y</math>. Pro jednoduchost provedeme substituci <math>t=h_1\cdot h_2^{-1}</math>. Vzhledem k definici podgrupy <math>t\in H</math>, a proto

<math>yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}</math>.

<math>yH\subset xH</math>, neboť rovněž <math>(th)\in H</math>, a tudíž každý prvek v ''yH'' je obsažen v ''xH''. Symetrickým postupem bychom získali <math>xH\subset yH</math>, a proto <math>yH=xH</math>.
Z čehož plyne, že cosety ''gH'' tvoří rozklad ''G''.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme [[Bijekce|bijektivní zobrazení]] ''f'' z ''H'' na ''xH'' pro <math>\forall x \in G</math>. Definujme f rovnicí

<math>f(h)=xh</math>

* Důkaz [[Prosté zobrazení|injektivity]]: Předpokládejme <math>f(h_1)=f(h_2)</math>.

<math>x\cdot h_1=x\cdot h_2</math>. Obě strany vynásobíme zleva prvkem <math>x^{-1}</math>

<math>x^{-1}\cdot x\cdot h_1=x^{-1}\cdot x\cdot h_2</math>

<math>h_1=h_2</math>

* [[Zobrazení na|Surjektivita]] je zřejmá z definice.

Nechť <math>[G/H]</math> značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny ''G'' a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne <math>|G|=[G/H]\cdot |H|</math>.

QED.

== Důsledky ==
Řád každého prvku <math> a\in G </math>, neboli nejnižší přirozené číslo ''n'', pro které <math>a^n=e</math>, je řád cyklické grupy generované prvkem ''a'', a proto podle Lagrangeovy věty ''n'' dělí řád grupy ''G''.
Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než [[Eulerova věta (teorie čísel)|Eulerova-Fermatova věta]]. Dá se ukázat, že množina [[Zbytek po dělení|zbytků modulo n]], které jsou s ''n'' nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je ''e'' = 1; existence inverzního prvku je důsledek [[Bézoutova rovnost|Bézoutovy rovnosti]] pro ''gcd(g,n)'' = 1; asociativita vyplývá z vlastností [[Modulární aritmetika|modulární aritmetiky]]; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s ''n'' je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo ''n''. Řád takové grupy je právě <math>\varphi (n)</math>, což je [[Eulerova funkce]]. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek ''g'' nějaký řád ''k'', který je dělitelem čísla <math>\varphi (n)</math>. Odtud plyne

<math>\varphi (n)=kd</math>, kde <math>d\in\mathbb{Z}</math>

<math>g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e</math>

což je ekvivalentí zápisu

<math>g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>.

== Příbuzná tvrzení ==
Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak [[Sylowovy věty]] na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

== Související články ==
* [[Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu]] – také známa jako [[Lagrangeova věta o střední hodnotě|Lagrangeova věta]]
* [[Sylowovy věty]]
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Teorie grup]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]