Zobrazení zdroje stránky Kvantil

[[Soubor:Quantile.svg|náhled|upright=1.4|Příklad distribuční funkce s vyznačenými kvantily ''Q''<sub>0,2</sub>, ''Q''<sub>0,4</sub>, ''Q''<sub>0,6</sub>, ''Q''<sub>0,8</sub>]]
'''Kvantil''' (z [[latina|lat.]] ''quantilis'', jak malý/velký?{{zdroj?}}) je ve [[Statistika|statistice]] charakteristika datového souboru [[Reálné číslo|reálných čísel]] nebo [[Rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[Náhodná veličina|náhodné proměnné]] udávající hodnotu, kterou stanovená část ''p'' (uváděná jako číslo z intervalu <math>\langle 0; 1 \rangle</math> nebo v [[Procento|procentech]] v rozmezí 0–100 %) hodnot nepřesahuje. Je také možné říct, že kvantily jsou hodnoty, které dělí soubor seřazených (například naměřených) hodnot na několik zhruba stejně velkých částí. Příklad: výrok, že 90 % účastníků závodu mělo čas pod 2 hodiny, vlastně konstatuje, že 90. percentil (nebo devátý decil) dosažených časů je 2 hodiny. Výrok, že [[medián]] hrubé měsíční nominální mzdy je 34360 Kč, znamená, že polovina osob, které pobírají mzdu, má hrubou měsíční nominální mzdu nejvýše 34360 Kč, druhá polovina má mzdu vyšší.

Protože pro daný datový soubor nebo rozdělení pravděpodobnosti závisí hodnota kvantilu na velikosti stanovené části ''p'', je možné kvantil chápat jako [[Binární relace|binární relaci]] (za [[Inverzní zobrazení|určitých podmínek]] [[Funkce (matematika)|funkci]]) mezi ''p'' a množinou hodnot určitého (přinejmenším pořadového) statistického [[Znak (statistika)|znaku]] nebo [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]]. Pokud funkce, která udává vztah mezi ''p'' a ''Q<sub>p</sub>'', existuje, nazýváme ji [[kvantilová funkce]]. Jde o inverzní funkci k [[Distribuční funkce|distribuční funkci]].

Kvantil je [[míra polohy]] [[rozdělení pravděpodobnosti]] [[náhodná veličina|náhodné veličiny]]. Popisují body, ve kterých [[distribuční funkce]] [[náhodná proměnná|náhodné proměnné]] prochází danou hodnotou.

== Definice ==
Kvantily tvoří vlastně [[Inverzní zobrazení|inverzní funkci]] k funkci distribuční. V případě [[spojité rozdělení|spojitého rozdělení]] s distribuční funkcí ''F''(''x'') je kvantil ''Q<sub>p</sub>'' takové číslo, pro které platí:
:''P''(''X'' ≤ ''Q<sub>p</sub>'') = ''p'', tedy ''F''(''Q<sub>p</sub>'') = ''p''.
Pokud je distribuční funkce [[rostoucí funkce|rostoucí]] (tedy i [[prostá funkce|prostá]]), lze kvantil psát přímo jako inverzní funkci:
:''Q<sub>p</sub>'' = ''F''<sup>−1</sup>(''p'').

Distribuční funkce však nemusí být prostá (byť je vždy [[neklesající funkce|neklesající]]), takže tuto definici nelze použít vždy. U [[diskrétní rozdělení|diskrétních rozdělení]] pak ani vždy nemusí existovat bod, kde by distribuční funkce dosahovala přesně požadované hodnoty. Obecněji se proto kvantil ''Q<sub>p</sub>'' definuje jako takové číslo, pro které platí, že:
:''P''(''X'' ≤ ''Q<sub>p</sub>'') ≥ ''p'' a zároveň ''P''(''X'' < ''Q<sub>p</sub>'') ≤ ''p'',
distribuční funkcí to lze vyjádřit jako:
:''F(''Q<sub>p</sub>''+) = ''F(''Q<sub>p</sub>'') ≥ ''p'' a zároveň ''F(''Q<sub>p</sub>''−) ≤ ''p''.

Ani tato obecná definice však přesně neurčuje kvantil v případě, že distribuční funkce není prostá. V takovém případě může jedné hodnotě ''p'' odpovídat několik čísel ''Q<sub>p</sub>'', která tuto definici splňují. To se zpravidla nepovažuje za problém, někdy se definice doplňuje o způsob výběru jednoznačné hodnoty, např. největší (příp. nejmenší) z těchto čísel, jejich průměr apod., jedná se však jen o konvence bez nějakého hlubšího matematického významu.

=== Speciální označení kvantilů ===
Kvantily pro některé význačné hodnoty jsou označovány zvláštními jmény a pro nejdůležitější rozdělení jsou hodnoty základních kvantilů uváděny v tabulkách.

==== Medián ====
{{viz též|Medián}}
Kvantil rozdělující statistický soubor na dvě stejně početné množiny se nazývá [[medián]], tzn. jedná se o kvantil <math>Q_{0,5}</math>.

==== Tercil ====
Dva tercily rozdělují statistický soubor na třetiny. 1/3 prvků má hodnoty menší nebo rovné hodnotě prvního tercilu, 2/3 prvků mají hodnoty menší nebo rovné hodnotě tercilu druhého.

==== Kvartil ====
Tři kvartily rozdělují statistický soubor na čtvrtiny. 25 % prvků má hodnoty menší než ''dolní kvartil'' <math>Q_{0,25}</math> a 75 % prvků hodnoty menší než ''horní kvartil'' <math>Q_{0,75}</math>; někdy se označují <math>Q_1</math> a <math>Q_3</math>.

Kvartilová odchylka je jedna z měr určující variabilitu znaku ve statistickém znaku souboru. Rovná se polovině rozdílu horního a dolního kvartilu.

==== Kvintil ====
Čtyři kvintily dělí statistický soubor na pět stejných dílů. 20 % prvků souboru má hodnoty menší (nebo rovné) hodnotě prvního kvintilu, 80 % hodnoty větší (nebo rovné).

==== Decil ====
Decil dělí statistický soubor na desetiny. Jako <math>k</math>tý decil označujeme <math>Q_{k/10}</math>.

==== Percentil ====
{{Podrobně|Percentil}}Percentil dělí statistický soubor na setiny. Jako <math>k</math>-tý percentil označujeme <math>Q_{k/100}</math>. Používá se například při vyhodnocení testů: Pokud má účastník umístění na 85.&nbsp;percentilu, znamená to, že 85 % účastníků mělo horší výsledek (a 15 % účastníků je lepších nebo stejných jako on [včetně jeho samého] v případě exkluzivního percentilu).<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Co je to percentil?
| periodikum = Odpovedi.cz
| url = https://www.odpovedi.cz/otazky/co-je-to-percentil
| datum přístupu = 2025-03-17
}}</ref>

=== Charakteristiky variability ===
Hodnoty kvantilů představují [[míra polohy|charakteristiky polohy]]. Znalosti kvantilů lze však použít i k určení [[Charakteristika náhodné veličiny|charakteristiky variability]].

==== Mezikvartilové rozpětí ====
Pomocí horního a dolního kvartilu lze zavést mezikvartilové rozpětí, které definujeme jako hodnotu <math>Q_{0,75}-Q_{0,25}</math>.

==== Mezidecilové rozpětí ====
Pomocí decilů lze zavést mezidecilové rozpětí, které je definováno jako <math>Q_{0,9}-Q_{0,1}</math>.

==== Mezipercentilové rozpětí ====
Pomocí percentilů lze zavést mezipercentilové rozpětí, které je definováno jako <math>Q_{0,99}-Q_{0,01}</math>.

== Použití ==
Kvantily lze používat např. pro vyhodnocování přijímacích testů: bodové výsledky všech zájemců tvoří statistický soubor, zatímco příslušné kvantily označují, jaká část zájemců dosáhla daného výsledku. Pokud například kvantil 90 % má hodnotu 150&nbsp;bodů a některý student v testu získal právě 150&nbsp;bodů, ví, že má lepší hodnocení než 90 % všech studentů (je tedy mezi 10 % nejlepších a pokud má být přijato např. 15 % zájemců, měl by se kvalifikovat).

== Příklad ==
U [[normální rozdělení|normálního rozdělení]] s nulovou [[střední hodnota|střední hodnotou]] a jednotkovou [[směrodatná odchylka|směrodatnou odchylkou]] jsou některé kvantily:
{| class="wikitable"
|+ Kvantily standardního normálního rozdělení
| '''''p''''' || 0,5 || 0,9 || 0,95 || 0,975 || 0,99 || 0,995
|-
| '''''Q<sub>p</sub>''''' || 0,0 || 1,2816 || 1,6449 || 1,9600 || 2,3263 || 2,5758
|}
Zde je například vidět, že necelý trojnásobek směrodatné odchylky u tohoto rozdělení pokrývá 99 % hodnot.

== Odkazy ==

=== Reference ===
<references/>

=== Související články ===

* [[Sumární statistika]]
* [[Percentil]]
* [[Decil]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Charakteristiky náhodné veličiny]]
[[Kategorie:Rozdělení pravděpodobnosti]]
[[Kategorie:Popisná statistika]]