Zobrazení zdroje stránky Kriging

{{Upravit|p5eklad}}
{{Ověřit|pochybny preklad, viz historie-Jvs}}
[[Soubor:Example of kriging interpolation in 1D.png|náhled|Aproximace pomocí krigingu]]
'''Kriging''' či počeštěně '''krigování''' je ve [[statistika|statistice]] (původně v [[geostatistika|geostatistice]]) metoda [[interpolace]], kde jsou interpolované hodnoty modelovány gaussovským procesem podle [[apriorní]]ch [[Kovariance|kovariancí]]. Za vhodných předpokladů dává kriging nejlepší lineární nestrannou předpověď [[Střední hodnota|střední hodnoty]]. Interpolační metody založené na jiných kritériích, jako je například hladkost, nemusejí přinést nejpravděpodobnější střední hodnoty. Tato metoda se běžně používá v oblasti prostorové analýzy a počítačových experimentů. Technika je také známá jako Kolmogorova-Wienerova predikce.

V roce 1960 teoretický základ metody vypracoval francouzský matematik [[Georges Matheron]] na základě diplomové práce [[Danie G. Krige|Danieho G. Krigeho]], průkopníka ve vykreslování vzdáleností vážených průměrných hodnot zlata v útesovém komplexu [[Witwatersrand]] v [[Jihoafrická republika|Jihoarfické republice]]. Krige se snažil odhadnout nejpravděpodobnější rozložení zlata na základě vzorků z několika vrtů.

== Hlavní zásady ==

=== Související pojmy a techniky ===
Jednoduchá myšlenka je předpoklad funkční hodnoty daného bodu vypočítaného váženého průměru známých funkčních hodnot sousedních bodů. Metoda je matematicky úzce související s regresní analýzou. Obě teorie odvozují nejlepší lineární nestranný odhad, založený na předpokladu kovariance. Využitím gauss-Markovy teorie dokážeme nezávislost odhadů a omylů a využívá velmi podobné vzorce. Nicméně jsou použitelné rozdílné rámce: kriging je dělaný pro odhad jednu realizaci z náhodných polí, zatímco regresní model je založen na základě pozorování vícerozměrné datové sady.

Odhad krigingu může být také viděn jako křivka v reprodukujícím se jádra Hilbertova prostoru s reprodukujícím jádrem dané kovarianční funkce. Na rozdíl od klasického krigingu je provedena interpretace: zatímco křivka je motivována minimální normou interpolací založenou na Hilbertově prostorové struktuře, kriging je motivován očekávanou kvadratickou chybou na základě stochastického modelu.

Kriging s polynomiálním trendem ploch je matematicky identický jako zobecněný polygon nejmenších čtverců křivky.

Kriging může být známý jako forma Bayesianova závěru. Kriging začíná s základním rozšířením přes funkce. Tento základ bere formu gausova procesu. N vzorků z funkce která má [[normální rozdělení]] a kovariance mezi dvěma vzorky je kovariance funkce (nebo jádra) gausova procesu hodnoceny prostorovým rozmístěním dvou bodů. Sada hodnot je pak pozorována, každá hodnota souvisí s prostorovým rozmístěním. Takže nová hodnota může být předpovězena v nějakém novém prostorovém rozmístění, kombinací základní gausovskou funkcí s gausovskou věrohodnostní funkcí pro každou pozorovanou hodnotu. Výsledná distribuce pozadí je také Gaussian s průměrnou hodnotou a kovariancí, která může být snadno vypočítána z pozorovaných hodnot, jejich rozdílnosti a jádra matic odvozených od předchozích.

=== Geostatistický odhad ===
V geostatistickém modelu jsou některá data interpretována jako výsledky náhodného procesu. Skutečnost, že tyto modely obsahují nejistotu v jeho konceptualizaci, neznamená, že tento jev – les, zavodnění nebo minerální usazenina – mají výsledky z náhodného procesu ale pouze umožňují vytvořit metodologické základy pro prostorové závěry z množství nevypozorovaných lokalit a kvantifikovat nejistoty spojené s odhadem.
[[Stochastika|Stochastický]] proces je v rámci tohoto modelu, způsob jak přistupovat k souboru údajů shromážděných ze vzorků. První krok v geostatistických modulacích je vytvoření náhodného procesu, který nejlépe popisuje sadu experimentálních pozorovaných dat.
Hodnota prostorově umístěná v <math>x_1</math> (obecné označení datové sady s geografickým souřadnicovým systémem) je interpretovaná jako realizace <math>z(x_1)</math> náhodné proměnné <math>Z(x_1)</math>. V prostoru <math>A</math>, kde datová sada vzorků je rozptýlená, existuje <math>N</math> realizace těchto náhodných veličin<math>Z(x_1), Z(x_2), \cdots, Z(x_N)</math>, korelujících mezi sebou.
Datová sada náhodných veličin, představuje náhodnou funkci pouze u těch u kterých je známá pouze jedna realizace <math>z(x_i)</math> - soubor experimentálních dat. S pouze jednou realizací každé náhodné proměnné, je teoreticky možné určit všechny statistické parametry jednotlivých proměnných nebo funkcí.
:Navrhované řešení geostatistických formalismů spočívá v předpokladu různých stupňů stacionarity v náhodné funkci, aby bylo možné se domnívat závěru některých statistických hodnot.

Například, jestliže skupina vědců předpokládá odpovídající, je vhodné na základě homogenity vzorků v oblasti <math>A</math>, kde je distribuována proměnná, hypotetizovat, že první část je stacionární (všechny náhodné proměnné mají stejný průměr), z čehož vyplývá, že průměr může být odhadnut [[Aritmetický průměr|aritmetickým průměrem]] vybraných hodnot. Soudě hypotézu jako je tato, tak v případě potřeby dostatečně ověřte homogenitu vzorových hodnot, jestli jsou reprezentativní.

Hypotéza stacionarity týkající se druhé části je definována následujícím způsobem: korelace mezi dvěma náhodnými proměnnými závisí pouze na prostorové vzdálenosti, která je odděluje a je závislá na jeho poloze:
 
<math>C(Z(x_1),Z(x_2)) = C(Z(x_i),Z(x_i+\mathbf{h})) = C(\mathbf{h})</math>

<math> \gamma(Z(x_1),Z(x_2)) = \gamma(Z(x_i),Z(x_i+\mathbf{h})) = \gamma(\mathbf{h}) </math>

kde <math>\mathbf{h} = (x_1,x_2) = (x_i,x_i+\mathbf{h})</math>

Tato hypotéza umožňuje odvozovat kroky - variogram a kovariogram - na základě <math>N</math> vzorků:

<math> \gamma(\mathbf{h})=\frac{1}{2N(\mathbf{h})}\sum^{N(\mathbf{h})}_{i=1}\left(Z(x_i)-Z(x_i+\mathbf{h})\right)^2</math>

<math>C(\mathbf{h})=\frac{1}{N(\mathbf{h})}\sum^{N(\mathbf{h})}_{i=1}\left(Z(x_i)Z(x_i+\mathbf{h})\right)-m(x_i)m(x_i+\mathbf{h}) </math>

kde <math>m(x_i)=\frac{1}{N(\mathbf{h})}\sum^{N(\mathbf{h})}_{i=1}Z(x_i)</math>

=== Lineární odhad ===
Prostorový závěr nebo odhad kvantity<math>Z: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}</math> na neurčeném místě <math>x_0</math> je vypočítán z lineární kombinace pozorovaných hodnot<math>z_i=Z(x_i)</math> a vah <math>w_i(x_0),\;i=1,\ldots,N</math>:

<math>\hat{Z}(x_0) = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 & \cdots & w_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ \vdots\\ z_N \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n w_i(x_0) \times Z(x_i)</math>

Váhy <math>w_i</math>jsou určeny ke shrnutí dvou extrémně důležitých procedur v závěru prostorového procesu:
* odrážet strukturální "blízkost" vzorků odhadovaného umístění, <math>x_0</math>
* ve stejnou dobu by měli mít degradující efekt, aby se předešlo zkreslení případnými ''shluky''

Když vypočítáváme váhy <math> w_i</math>, tak jsou v geostatistice dva závěry: ''nestranný'' a ''minimální odchylka odhadu''.

Jestliže mračno reálných hodnot<math> Z(x_0)</math>je vykresleno proti odhadovaným hodnotám <math>\hat{Z}(x_0)</math>tak kritérium pro souhrnnou nestrannost, vnitřní stacionarita nebo široký smysl stacionarity oboru, znamená, že průměr odhadů musí být roven průměru skutečných hodnot.

Druhé kritérium říká, že průměrná kvadratická odchylka<math>(\hat{Z}(x)-Z(x))</math> musí být minimální, což znamená, že když se mračno odhadovaných hodnot oproti mraku skutečných hodnot více rozptýlí, odhad je více nepřesný.

== Metody ==
V závislosti na stochastických vlastnostech náhodného pole a různým stupněm předpokládané stacionarity, mohou vzniknout různé metody pro výpočet hmotnosti. Klasické metody jsou:

* ''Běžný kriging'' předpokládá stacionaritu prvního momentu všech náhodných veličin: <math>E\{Z(x_i)\}=E\{Z(x_0)\}=m</math>, kde <math>m</math> je neznámé.
* ''Jednoduchý kriging'' předpokládá známý stacionární průměr: <math>E\{Z(x)\}=m</math>, kde <math>m</math> je známé.
* ''Univerzální kriging'' počítá s obecným polynomickým modelem trendu, např. lineární model trendu <math>E\{Z(x)\}=\sum_{k=0}^p \beta_k f_k(x)</math>.
* ''IRFk-kriging'' předpokládá, že <math>E\{Z(x)\}</math> je polynomická neznámá v <math>x</math>.
* ''Indikační kriging'' používá indikační funkce namísto samotného procesu, aby bylo možné odhadnout pravděpodobnosti přechodů.
* ''Více-indikační kriging'' je verze indikačního krigingu pracující s rodinou ukazatelů. Nicméně, V-IK přestal v posledních letech vyhovovat jako interpolační technika. K tomu došlo hlavně díky problémům spojeným s provozem a validací modelu. Podmíněná simulace se v tomto oboru rychle stává uznávanou náhradní technikou.
* ''Disjunktivní kriging'' je nelineární zobecnění krigingu.
* ''Logaritmicko-normální kriging'' interpoluje pozitivní data pomocí logaritmů.

=== Běžný kriging ===
Neznámá hodnota <math>Z(x_0)</math> je interpretována jako náhodná proměnná nacházející se v <math>x_0</math>, jakož i hodnoty sousedních vzorků <math>Z(x_i),  i=1,\cdots ,N</math>. Odhad <math>\hat{Z}(x_0)</math> je také interpretován jako náhodná proměnná nacházející se v <math>x_0</math>, výsledek lineární kombinace proměnných.

Aby bylo možné vyvodit krigovací systém pro předpoklad modelu, následující chyba při odhadování <math>Z(x)</math> v <math>x_0</math> je deklarována:

:<math>\epsilon(x_0) = \hat{Z}(x_0) - Z(x_0) =
\begin{bmatrix}W^T&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}Z(x_i)&\cdots&Z(x_N)&Z(x_0)\end{bmatrix}^T =
\sum^{N}_{i=1}w_i(x_0) \times Z(x_i) - Z(x_0)</math>

Obě kritéria kvality uvedená dříve mohou nyní být vyjádřena z hlediska střední hodnoty a rozptylu nové náhodné proměnné <math>\epsilon(x_0)</math>:

'''Objektivnost'''

Vzhledem k tomu, že náhodná funkce je stacionární <math>E(Z(x_i))=E(Z(x_0))=m</math>, uvádí se následující omezení:

:<math>E\left(\epsilon(x_0)\right)=0 \Leftrightarrow \sum^{N}_{i=1}w_i(x_0) \times E(Z(x_i)) - E(Z(x_0))=0 \Leftrightarrow</math>
:
:<math>\Leftrightarrow m\sum^{N}_{i=1}w_i(x_0) - m=0 \Leftrightarrow \sum^{N}_{i=1}w_i(x_0) = 1 \Leftrightarrow \mathbf{1}^T \cdot W = 1</math>

Aby se zajistilo, že model je objektivní, součet vah musí být jedna.

'''Minimální variance''': minimalizuje <math>E\left(\epsilon(x_0)^2\right)</math>

Dva odhady mohou mít <math>\epsilon(x_0)=0</math>, ale disperze kolem jejich střední hodnoty určí rozdíl mezi kvalitou odhadů.

:<math>\begin{array}{rl}
Var(\epsilon(x_0)) &= Var\left(\begin{bmatrix}W^T&-1\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}Z(x_i)&\cdots&Z(x_N)&Z(x_0)\end{bmatrix}^T\right) =\\
&\overset{*}{=} \begin{bmatrix}W^T&-1\end{bmatrix} \cdot
Var\left(\begin{bmatrix}Z(x_i)&\cdots&Z(x_N)&Z(x_0)\end{bmatrix}^T\right) \cdot
\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}
\end{array}</math>

'''*''' navštivte [[Covariance matrix#As a linear operator|covariance matrix]] pro detailní vysvětlení (v angličtině)

:<math>Var(\epsilon(x_0)) \overset{*}{=} \begin{bmatrix}W^T&-1\end{bmatrix} \cdot 
\begin{bmatrix}Var_{x_i}& Cov_{x_ix_0}\\Cov_{x_ix_0}^T & Var_{x_0}\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}</math>

'''*''' kde literály představují <math>\left\{Var_{x_i}, Var_{x_0}, Cov_{x_ix_0}\right\}</math> stand for <math>
\left\{Var\left(\begin{bmatrix}Z(x_1)&\cdots&Z(x_N)\end{bmatrix}^T\right),
Var\left(Z(x_0)\right),
Cov\left(\begin{bmatrix}Z(x_1)&\cdots&Z(x_N)\end{bmatrix}^T,Z(x_0)\right)\right\}</math>.

Jednou definovaná kovariance modelu nebo variogram, <math>C(\mathbf{h})</math> nebo <math>\gamma(\mathbf{h})</math>, platné ve všech oblastech analýzy <math>Z(x)</math>, pak můžeme definovat vztah pro odhad rozptylu libovolného odhadu v závislosti na kovarianci mezi vzorky:

:<math>\left\{\begin{array}{l}
Var(\epsilon(x_0)) = W^T \cdot Var_{x_i} \cdot W - Cov_{x_ix_0}^T \cdot W - W^T \cdot Cov_{x_ix_0} + Var_{x_0}\\
Var(\epsilon(x_0)) = Cov(0) + \sum_{i}\sum_{j}w_iw_jCov(x_i,x_j) - 2 \sum_iw_iC(x_i,x_0)\end{array} \right.</math>

Některé závěry mohou být z těchto výrazů stanoveny. Rozptyl odhadu:

* není kvantifikovatelný na kterýkoliv lineární odhad, jakmile se předpokládá stacionarita průměru a prostorových kovariancí nebo variogramy.
* roste, když se kovariance mezi vzorky a místem pro odhad snižuje. To znamená, že když vzorky jsou daleko od <math>x_0</math>, nejhorší je odhad.
* roste zároveň s "prioritním" rozptylem <math>C(0)</math> proměnné <math>Z(x)</math>. Pokud je proměnná méně rozptýlená, rozptyl je nižší v každém bodě prostoru <math>A</math>.
* nezávisí na hodnotách vzorků. To znamená, že stejné prostorové uspořádání (se stejnými geometrickými vztahy mezi vzorky a body odhadu) vždy reprodukuje stejný odhad rozptylu v jakékoli části areálu <math>A</math>. Tímto způsobem rozptyl neměří nejistotu odhadu produkovanou místní proměnnou.

==== Systém Kriging ====
:<math>\begin{align}
&\underset{W}{\operatorname{minimize}}& & W^T \cdot Var_{x_i} \cdot W - Cov_{x_ix_0}^T \cdot W - W^T \cdot Cov_{x_ix_0} + Var_{x_0} \\
&\operatorname{subject\;to}
& &\mathbf{1}^T \cdot W = 1
\end{align}</math>

Řešení tohoto optimalizačního problému má za následek vznik ''systému kriging'':

:<math>\begin{bmatrix}\hat{W}\\\mu\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
Var_{x_i}& \mathbf{1}\\
\mathbf{1}^T& 0
\end{bmatrix}^{-1}\cdot \begin{bmatrix}Cov_{x_ix_0}\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\gamma(x_1,x_1) & \cdots & \gamma(x_1,x_n) &1 \\
\vdots & \ddots & \vdots  & \vdots \\
\gamma(x_n,x_1) & \cdots & \gamma(x_n,x_n) & 1 \\
1 &\cdots& 1 & 0 
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}\gamma(x_1,x^*) \\ \vdots \\ \gamma(x_n,x^*) \\ 1\end{bmatrix}
</math>

další parametr <math>\mu</math> je Lagrangeův násobič použitý při minimalizaci chyby krigingu <math>\sigma_k^2(x)</math> pro dosažení nestrannosti.

=== Jednoduchý kriging ===
Jednoduchý kriging je matematicky nejjednodušší, ale nejméně obecný. To předpokládá, že očekávaná hodnota náhodného pole je známá, a opírá se o kovarianční funkci. Nicméně, ve většině aplikací nejsou očekávání, ani kovariance známy předem.

Praktické předpoklady pro uplatnění ''jednoduchého krigingu'' jsou:
* Široká stacionarita pole.
* Očekávání je všude nulové: <math>\mu(x)=0</math>.
* Známá kovarianční funkce <math>c(x,y)=\mathrm{Cov}(Z(x),Z(y))</math>

==== Systém Kriging ====
''Krigovací váhy'' ''jednoduchého krigingu'' nemají nestrannou podmínku a jsou dány ''systémem rovnic jednoduchého krigingu'':
:<math>\begin{pmatrix}w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}c(x_1,x_1) & \cdots & c(x_1,x_n) \\
\vdots & \ddots & \vdots  \\
c(x_n,x_1) & \cdots & c(x_n,x_n) 
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}c(x_1,x_0) \\ \vdots \\ c(x_n,x_0) \end{pmatrix}
</math>

Toto je analogické s lineární regresí <math>Z(x_0)</math> na jiném <math>z_1 , \ldots, z_n</math>.

==== Odhad ====
Interpolace pomocí jednoduchého krigingu je dána:
:<math>\hat{Z}(x_0)=\begin{pmatrix}z_1 \\ \vdots \\ z_n  \end{pmatrix}'
\begin{pmatrix}c(x_1,x_1) & \cdots & c(x_1,x_n)  \\
\vdots & \ddots & \vdots   \\
c(x_n,x_1) & \cdots & c(x_n,x_n)   
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}c(x_1,x_0) \\ \vdots \\ c(x_n,x_0)\end{pmatrix}
</math>

Krigovací chyba ja dána:
:<math>\mathrm{Var}\left(\hat{Z}(x_0)-Z(x_0)\right)=\underbrace{c(x_0,x_0)}_{\mathrm{Var}(Z(x_0))}-
\underbrace{\begin{pmatrix}c(x_1,x_0) \\ \vdots \\ c(x_n,x_0)\end{pmatrix}'
\begin{pmatrix}
c(x_1,x_1) & \cdots & c(x_1,x_n)  \\
\vdots & \ddots & \vdots  \\
c(x_n,x_1) & \cdots & c(x_n,x_n) 
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}c(x_1,x_0) \\ \vdots \\ c(x_n,x_0) \end{pmatrix}}_{\mathrm{Var}(\hat{Z}(x_0))}
</math>
což vede ke generalizované verzi nejmenších čtverců Gauss-Markovova teorému:
:<math>\mathrm{Var}(Z(x_0))=\mathrm{Var}(\hat{Z}(x_0))+\mathrm{Var}\left(\hat{Z}(x_0)-Z(x_0)\right).</math>

=== Vlastnosti ===
* Odhad krigingu je nestranný:: <math>E[\hat{Z}(x_i)]=E[Z(x_i)]</math>
* Odhad krigingu využívá skutečně pozorované hodnoty: <math>\hat{Z}(x_i)=Z(x_i)</math> (za předpokladu, že nevznikla chyba ve měření, při kterém vznikly)
* Odhad krigingu <math>\hat{Z}(x)</math> je nejlepší lineární nestranný odhad pro <math>Z(x)</math> v případě, že předpoklad trvá. Avšak:
** Stejně jako u jiných metod: Pokud předpoklady netrvají, krigování může být špatné.
** Mohou existovat lepší nelineární a/nebo zkreslené metody.
** Vlastnosti nejsou garantovány, pokud je použit nesprávný variogram. Nicméně obvykle je dosaženo ještě "dobré" interpolace.
** Nejlepší nemusí být nutně dobré: např. V případě neprostorové závislosti je krigovací interpolace jen tak dobrá jako aritmetický průměr.
* Kriging používá <math>\sigma_k^2</math> jako měřítko přesnosti. Nicméně toto opatření se opírá o správnost variogramu.

== Aplikace ==
Ačkoli kriging byl původně vyvinut pro použití v geostatistice, je to obecná metoda statistické interpolace, která může být použita v jakékoliv disciplíně na vzorku dat z náhodných polí, které splňují příslušné matematické předpoklady.

K dnešnímu dni se kriging používá v celé řadě oborů, včetně následujících:
* vědy o životním prostředí
* hydrogeologie
* těžba
* přírodní zdroje
* dálkový průzkum
* hodnocení realit

a mnoho dalších.

=== Softwary, které využívají kriging ===
* R packages
# BACCO - Bayesian analysis of computer code software
# tgp - Treed Gaussian processes
# DiceDesign, DiceEval, DiceKriging, DiceOptim - metamodeling packages of the Dice Consortium.

* Matlab/GNU Octave
# [http://mgstat.sourceforge.net/ mGstat] - Geostistics toolbox for Matlab.
# [https://web.archive.org/web/20050604080848/http://www2.imm.dtu.dk/~hbn/dace/ DACE] - Design and Analysis of Computer Experiments. A matlab kriging toolbox.
# GPML - Gaussian Processes for Machine Learning.
# [http://sourceforge.net/projects/kriging STK] - Small (Matlab/GNU Octave) Toolbox for Kriging for design and analysis of computer experiments.
# scalaGAUSS - Matlab kriging toolbox with a focus on large datasets

* Scilab
# DACE-Scilab - Scilab port of the DACE kriging matlab toolbox
# krigeage - Kriging toolbox for Scilab
# KRISP - Kriging based regression and optimization package for Scilab
    
* Python
# scikit-learn - machine learning in Python

== Reference ==
{{Překlad|en|Kriging|583349438}}

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Geostatistika]]