Zobrazení zdroje stránky Kramersovy–Kronigovy relace

'''Kramersovy–Kronigovy relace''' umožňují spočítat reálnou část [[Odezva|odezvy]] lineárního pasivního systému, známe-li imaginární části odezvy při všech [[Frekvence|frekvencích]] (nebo naopak určit imaginární část ze znalosti části reálné). Při analýze optických konstant hrají důležitou roli a jsou hojně využívány, protože platí např. pro elektrickou vodivost σ (vystupující v [[Ohmův zákon|ohmově zákoně]] '''j'''(ω)=σ(ω)'''E'''(ω).
Abychom mohli Kramers–Kronigovu analýzu provést, musí funkce odezvy α(ω)=α<sub>1</sub>(ω)+iα<sub>2</sub>(ω) splňovat:
# Póly α(ω) jsou všechny pod reálnou osou
# Při integraci přes nekonečně velkou polokružnici v horní polorovině komplexní roviny, je integrál z α(ω)/ω roven nule
# Pro <math>\omega\in\mathbb{R}</math> je α<sub>1</sub>(ω) sudá a α<sub>2</sub>(ω) lichá

Potom platí:
:<math>\alpha_1(\omega) = {2 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\! \int \limits_{0}^{\infty} {s \alpha_2(s) \over s^2 - \omega^2}\,\mathrm{d}s.</math>

a

:<math>\alpha_2(\omega) = -{2 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\! \int \limits_{0}^{\infty} {\omega \alpha_1(s) \over s^2 - \omega^2}\,\mathrm{d}s = -{2 \omega \over \pi} \mathcal{P}\!\!\! \int \limits_{0}^{\infty} {\alpha_1(s) \over s^2 - \omega^2}\, \mathrm{d}s.</math>

<math>\mathcal{P}</math> značí [[Hlavní hodnota integrálu|hlavní hodnotu integrálu]].

{{pahýl}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Komplexní analýza]]