Zobrazení zdroje stránky Korelace

{{Neověřeno}}
'''Korelace''' (z [[latina|lat]]. souvztažnost) znamená vzájemný vztah mezi dvěma náhodnými procesy nebo náhodnými veličinami. Pokud se jedna z [[Náhodná veličina|náhodných veličin]] mění, mění se i druhá a naopak. Pokud se mezi dvěma náhodnými procesy identifikuje korelace, je pravděpodobné, že na sobě závisejí. Z korelovanosti náhodných procesů nebo náhodných veličin však nelze usuzovat na příčinný vztah. Tedy jeden z nich nemusí být [[Kauzalita|příčinou]] a druhý [[následek|následkem]]. Toto samotná korelace nedovoluje rozhodnout, jelikož [[korelace neimplikuje kauzalitu]] a ani směr kauzality.<ref>{{Citace monografie
| titul = 13 - Korelace (MAT - Statistika)
| url = https://www.youtube.com/watch?v=CLXb-4nYLeQ
| jazyk = cs-CZ
}}</ref><ref name="Nejmenovaný-20231103185542">{{Citace monografie
| titul = Co je to korelace a kauzalita? - Vědecké kladivo AK 14
| url = https://www.youtube.com/watch?v=mo33sE9v9h8
| jazyk = cs-CZ
}}</ref>

Ve [[Statistika|statistice]] se pojem korelace užívá pro vyjádření lineárního vztahu mezi náhodnými veličinami ''X'' a ''Y''. Sílu korelace pak vyjadřuje korelační koeficient, který nabývá hodnoty −1 až +1.<ref name="Nejmenovaný-20231103185542"/><ref name="Nejmenovaný_2-20231103185542">{{Citace elektronické monografie
| titul = Korelace – co to je korelace a co znamená korelační koeficient
| url = https://exceltown.com/navody/pokrocila-analyza-regrese-korelace/korelace-co-to-vlastne-je/
| datum vydání = 2021-01-03
| datum přístupu = 2023-06-09
| jazyk = cs-CZ
}}</ref>

== Korelace ve statistice ==
[[Soubor:Correlation examples2.svg|náhled|upright=2.1|vpravo|Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x]]
Vztah mezi znaky či náhodnými veličinami ''X'' a ''Y'' může být kladný, pokud (přibližně) platí ''Y'' = ''kX'', nebo záporný (''Y'' = -''kX''). Hodnota korelačního koeficientu −1 značí zcela nepřímou závislost (antikorelaci), tedy čím více se zvětší hodnoty v první skupině znaků, tím více se zmenší hodnoty v druhé skupině znaků, např. vztah mezi uplynulým a zbývajícím časem. Hodnota korelačního koeficientu +1 značí zcela přímou závislost, např. vztah mezi rychlostí bicyklu a frekvencí otáček kola bicyklu. Pokud je korelační koeficient roven 0 (nekorelovanost), pak mezi znaky není žádná statisticky zjistitelná lineární závislost. Je dobré si uvědomit, že i při nulovém korelačním koeficientu na sobě veličiny mohou záviset, pouze tento vztah nelze vyjádřit [[Lineární funkce|lineární funkcí]] (např.<math>Y=X^2</math> ), a to ani přibližně.<ref name="Nejmenovaný-20231103185542"/><ref name="Nejmenovaný_2-20231103185542"/>

=== Pearsonův korelační koeficient ===
Pearsonův korelační koeficient je definován, pokud jsou druhé mocniny náhodných veličin X a Y <math>E(X^2),E(Y^2)</math> konečné a jejich rozptyly nenulové. Vypočte se normováním [[kovariance]] tak, že ji podělíme směrodatnými odchylkami obou proměnných na bezrozměrné číslo nabývající hodnoty -1 až 1:

:<math>\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y}</math>

Jelikož <math> \mu_X = E(X) </math>, <math>\sigma^2_X = E(X^2) - E^2(X)</math> a obdobně pro ''Y'', lze výše uvedený vzorec upravit do přehlednějšího výpočetního tvaru:

:<math>\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}</math>

Korelační koeficient nabývá hodnot z intervalu <math>\langle -1,1\rangle</math>. Při nezávislosti náhodných veličin <math>X</math> a <math>Y</math> je korelační koeficient roven 0. Nulový korelační koeficient však neznamená, že jsou náhodné veličiny <math>X</math> a <math>Y</math> nezávislé. Nulový korelační koeficient má například dvojice náhodných veličin <math>X</math> a <math>Y=X^2</math>.

Tuto míru asociace jako první odvodil anglický psycholog a antropolog sir [[Francis Galton]].

Existují nicméně i jiné koeficienty asociace, například [[Spearmanův koeficient pořadové korelace|Spearmanovo rhó]] či [[Kendallův test|Kendallovo tau]] pro [[Ordinální číslo|ordinální]] (pořadová) data.

== Korelace v teorii signálů ==
: {{Viz též|korelace (zpracování signálu)}}

Zkrácený výraz pro [[korelační funkce|korelační funkci]].

Pro spojité signály <math> f(t) </math> a <math> g(t) </math>:

:<math>(f \star g)(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau) \cdot g(t+\tau)\,{\rm d}\tau</math>

Pro diskrétní signály <math> f_k</math> a <math>g_k</math>:

:<math>(f \star g)_k \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{i=-\infty}^{\infty} f^*_i \ g_{k+i}</math>

U komplexních signálů <math>f^*</math> představuje [[komplexně sdružené číslo]] k <math>f</math>.

Velmi se podobá [[Konvoluce|konvoluci]]. Rozdíl je hlavně v časovém překlopení druhé funkce <math>g</math>.

'''Autokorelací''' se rozumí korelace <math>(f \star f)</math>. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách opakuje.

== Související články ==
* [[Charakteristika náhodné veličiny]]
* [[Korelace neimplikuje kauzalitu]]
* [[Spearmanův koeficient pořadové korelace]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}

{{Pahýl}}

== Reference ==
<references />
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Statistika]]