Zobrazení zdroje stránky Komutativní diagram

[[Soubor:5 lemma.svg|350px|náhled|Komutativní diagram použitý při důkazu [[Lemma pěti|lemmatu pěti]]]]
'''Komutativní diagram''' je v [[Matematika|matematice]] zvláště v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]] [[Diagram (teorie kategorií)|diagram]], ve kterém všechny orientované cesty se stejným počátečním a koncovým bodem vedou ke stejnému výsledku.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = http://mathworld.wolfram.com/CommutativeDiagram.html
 | titul = Commutative Diagram
 | příjmení = Weisstein
 | jméno = Eric W.
 | vydavatel = mathworld.wolfram.com
 | jazyk = en
 | datum přístupu = 2019-11-25
 | ref = harv
}}</ref> Komutativní diagramy hrají v teorii kategorií stejnou roli, jakou hrají [[rovnice]] v [[Algebra|algebře]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Mazzola
 | jméno = Guerino
 | příjmení2 = Milmeister
 | jméno2 = Gérard
 | příjmení3 = Weissmann
 | jméno3 = Jody
 | doi = 10.1007/b138337
 | isbn = 978-3-540-26937-3
 | strany = 140
 | vydavatel = Springer
 | titul = Comprehensive Mathematics for Computer Scientists 2
 | rok = 2005
 | ref = harv
}}</ref>

Příkladem pravidel vyjádřitelných komutativním diagramem je třeba [[asociativita]] skládání [[funktor]]ů nebo [[přirozená transformace|přirozenost transformací]] mezi funktory. Komutativní diagramy lze použít i k popisu chování [[bifunktor]]ů, jako například [[Hom funktor]]u. Jako první je ve svých pracích týkajících se [[topologie]] používal [[Witold Hurewicz]].

== Popis ==
Komutativní diagram obvykle sestává ze tří složek:
* [[Objekt (teorie kategorií)|objektů]] reprezentovaných ''vrcholy''
* [[Morfismus|morfismů]] reprezentovaných ''šipkami'' nebo ''hranami''
* cest nebo kompozic

=== Symboly šipek ===
V textech o algebře se typ morfismu někdy označuje různými druhy šipek:
* [[Monomorfismus]] bývá značen <math>\hookrightarrow</math><ref name=":0">{{Citace elektronické monografie
 | url = https://www.euclideanspace.com/maths/discrete/category/principles/arrow/index.htm
 | titul = Maths - Category Theory - Arrow - Martin Baker
 | vydavatel = www.euclideanspace.com
 | datum přístupu = 2019-11-25
 | ref = harv
}}</ref> nebo <math>\rightarrowtail</math>.<ref name="Riehl 2016">{{Citace monografie
 | příjmení = Riehl
 | jméno = Emily
 | odkaz na autora = Emily Riehl
 | datum = 2016-11-17
 | titul = Category Theory in Context
 | kapitola = 1
 | strany = 11
 | vydavatel = Dover Publications
 | url = https://math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf
 | ref = harv
}}</ref>
* [[Epimorfismus]] bývá značen <math>\twoheadrightarrow</math>.
* [[Izomorfismus]] bývá značen <math>\overset{\sim}{\rightarrow}</math>.
* Čárkovaná šipka typicky vyjadřuje tvrzení, že uvedený morfismus existuje (když platí zbytek diagramu); šipka může být volitelně označeny symbolem <math>\exists</math>.
** Pokud je morfismus navíc jediný, může být čárkovaná šipka označena symbolem <math>!</math> nebo <math>\exists!</math>.

Významy různých šipek nejsou úplně standardizované: šipky používané pro monomorfismy, epimorfismy a izomorfismy se také používají pro [[Prosté zobrazení|prostá zobrazení]], [[Surjekce|surjektivní zobrazení]] a [[bijekce]], stejně jako kofibrace, fibrace a slabé ekvivalence v [[Kategorie modelů|kategorii modelů]].

=== Ověřování komutativity ===
Komutativita dává smysl pro [[mnohoúhelník]] s libovolným konečným počtem stran (případně i s 1 nebo 2 stranami), a diagram je komutativní, pokud je každý mnohoúhelníkovitý subdiagram komutativní.

Diagram může být nekomutativní, tj. kompozice různých cest v diagramu nemusí dávat stejný výsledek.

== Příklady ==

=== Příklad 1 ===
V diagramu vlevo, který vyjadřuje [[Věta o izomorfismu#První věta o izomorfismu|první větu o izomorfismu]], komutativita trojúhelníka znamená, že <math>f = \tilde{f} \circ \pi</math>. Komutativita čtverce v pravém diagramu znamená, že <math>h \circ f = k \circ g</math>.
{| style="width: 65%; margin: 1em auto 1em auto;"
|-
| [[Soubor:First isomorphism theorem (plain).svg|175px|třída=skin-invert]]
| [[Soubor:Commutative square.svg|150px|třída=skin-invert]]
|}

=== Příklad 2 ===
Aby níže uvedený diagram komutoval, musejí být splněny tři rovnosti:

# <math>r \circ h \circ g = H \circ G \circ l</math>
# <math>m \circ g = G \circ l</math>
# <math>r \circ h = H \circ m</math>

V tomto případě, protože první rovnost vyplývá z dalších dvou, stačí ukázat, že je splněné (2) a (3), aby diagram komutoval. Protože však rovnost (3) obecně nevyplývá z ostatních dvou, nestačí obecně platnost rovností (1) a (2), pokud chceme dokázat, že diagram komutuje.

{| style="margin: 1em auto 1em auto;"
|-
| [[Soubor:CommutativeDiagramExample.svg|třída=skin-invert]]
|}

== Diagramatické nahánění ==
'''Diagramatické nahánění''' ({{Vjazyce2|en|''Diagram chasing''}}) je metoda [[Matematický důkaz|matematického důkazu]] používaná zejména v [[Homologická algebra|homologické algebře]], při níž se zjišťuje vlastnost nějakého morfismu sledováním prvků komutativního diagramu. Důkaz pomocí diagramatického nahánění obvykle zahrnuje formální využití vlastností diagramu, jako jsou [[Prosté zobrazení|injektivní]] nebo [[Surjekce|surjektivní]] zobrazení nebo [[exaktní posloupnost]]i.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = http://mathworld.wolfram.com/DiagramChasing.html
 | titul = Diagram Chasing
 | příjmení = Weisstein
 | jméno = Eric W.
 | vydavatel = mathworld.wolfram.com
 | jazyk = en
 | datum přístupu = 2019-11-25
 | ref = harv
}}</ref> Konstruuje se [[sylogismus]], pro nějž je grafické znázornění diagramu pouze vizuální pomůckou. To znamená, že se „sledují“ prvky okolo diagram, dokud ne požadovaný prvek nebo výsledek je zkonstruovaný nebo ověřený.

K důkazům využívajícím diagramatické nahánění patří obvyklé důkazy [[Lemma pěti|lemmatu pěti]], [[Hadí lemma|hadího lemmatu]], [[cikcak lemma]]tu a [[Lemma devíti|lemmatu devíti]].

== Ve vyšší teorii kategorií ==
{{Podrobně|Vyšší teorie kategorií}}
Ve vyšší teorii kategorií, uvažujeme nejen objekty a šipky, ale také šipky mezi šipkami, šipky mezi šipkami mezi šipkami, atd. [[ad infinitum]]. Například kategorie malých kategorií '''Cat''' patří přirozeně mezi 2-kategorie, jejímiž šipkami jsou [[funktor]]y a šipkami mezi funktory [[Přirozená transformace|přirozené transformace]]. V tomto prostředí mohou komutativní diagramy obsahovat i tyto vyšší šipky, které se často zobrazují následujícím stylem: <math>\Rightarrow</math>. Například následující (celkem triviální) diagram zobrazuje dvě kategorie '''{{var|C}}''' a '''{{var|D}}''', spolu s dvěma funktory {{var|F}}, {{var|G}} : '''{{var|C}}''' → '''{{var|D}}''' a přirozenou transformaci {{var|α}} : {{var|F}} ⇒ {{var|G}}:

:[[Soubor:2-commutative-diagram.svg|200px|třída=skin-invert]]

Ve 2-kategorii existují dva druhy kompozice ('''vertikální kompozice''' a '''horizontální kompozice'''), které lze také znázornit pomocí [[Vkládací diagram|vkládacích diagramů]] (příklady viz [[2-kategorie#Definice|definice v článku 2-kategorie]]).

== Diagramy jako funktory ==
{{Podrobně|Diagram (teorie kategorií)}}
Komutativní diagram v kategorii ''C'' lze interpretovat jako [[funktor]] z indexové kategorie ''J'' do ''C;'' funktoru se říká '''[[diagram (teorie kategorií)|diagram]].'''

Formálněji, komutativní diagram je vizualizací diagramu indexovaného [[Uspořádaná množina|kategorií uspořádaných množin]]. Takový diagram obvykle obsahuje:
* uzel pro každý objekt v indexové kategorii,
* šipku pro generující množinu morfismů (vynecháme-li identická zobrazení a morfismy, které lze vyjádřit jako kompozice),
* komutativitu diagramu (rovnost různých kompozic zobrazení mezi dvěma objekty), odpovídající jednoznačnosti zobrazení mezi dvěma objekty v kategorii uspořádaných množin.

Naopak, je-li dán komutativní diagram, definuje kategorii uspořádaných množin, kde:
* objekty jsou uzly,
* mezi libovolnými dvěma objekty existuje morfismus právě tehdy, když existuje (orientovaná) cesta mezi uzly,
* s tím, že tento morfismus je jedinečný (každá kompozice zobrazení je definována svou [[Definiční obor|doménou]] a cílem: to je axiom komutativity).

Ne každý diagram však komutuje (pojem diagramu striktně zobecňuje komutativní diagram). Jednoduchým příkladem je diagram jediného objektu s endomorfismem (<math>f\colon X \to X</math>) nebo se dvěma rovnoběžnými šipkami (<math>\bullet \rightrightarrows \bullet</math>, tj., <math>f,g\colon X \to Y</math>, někdy nazývaný [[volný quiver]]), jak je použito v definici [[Ekvalizér (matematika)|ekvalizéru]], nemusí komutovat. Diagramy mohou být nepřehledné nebo je nemožné je nakreslit, pokud je počet objektů nebo morfismů příliš velký (nebo dokonce nekonečný).

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Commutative diagram|1245084487}}<references />

== Bibliography ==
{{refbegin}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Adámek
 | jméno = Jiří
 | autor2 = Horst Herrlich
 | autor3 = George E. Strecker
 | rok = 1990
 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
 | titul = Abstract and Concrete Categories
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | isbn = 0-471-60922-6
 | ref = harv
}} Nyní dostupný jako volná online vydání (4.2MB PDF).
* {{Citace monografie
 | příjmení = Barr
 | jméno = Michael
 | odkaz na autora = Michael Barr (mathematician)
 | příjmení2 = Wells
 | jméno2 = Charles
 | odkaz na autora2 = Charles Wells (mathematician)
 | rok = 2002
 | titul = Toposes, Triples and Theories
 | vydavatel = Springer
 | url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf
 | isbn = 0-387-96115-1
 | ref = harv
}} Upravená a opravená volná online verze knihy ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278)'' Springer-Verlag, 1983).
{{refend}}

=== Související články ===
* [[Matematický diagram]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* [http://mathworld.wolfram.com/DiagramChasing.html Diagram Chasing] v [[MathWorld]]
* [http://wildcatsformma.wordpress.com WildCats] je balíček pro teorii kategorií balení pro program [[Mathematica]]. Manipulace a vizualizace objektů, [[Morfismus|morfismů]], [[Kategorie (matematika)|kategorií]], [[funktor]]ů a [[Přirozená transformace|přirozených transformací]].

{{Teorie kategorií}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Homologická algebra]]
[[Kategorie:Teorie kategorií]]
[[Kategorie:Druhy matematických důkazů]]
[[Kategorie:Matematická terminologie]]
[[Kategorie:Diagramy]]