Zobrazení zdroje stránky Kategorie (matematika)

{{Různé významy|tento=hlavním pojmu [[Matematika|matematické]] [[teorie kategorií]]|stránka=Kategorie}}
[[Soubor:Category_SVG.svg|náhled|Kategorie s kolekcí objektů A, B, C a kolekcí morfismů f, g, {{nowrap|g ∘ f}}; smyčky jsou šipky identity. Tato kategorie se obvykle označuje polootučným '''3'''.]]
'''Kategorie''' (též '''abstraktní kategorie''' pro rozlišení od [[konkrétní kategorie]]) je v [[Matematika|matematice]] kolekce „objektů“, které jsou propojeny „šipkami“. Kategorie má dvě základní vlastnosti: schopnost skládat šipky [[Asociativita|asociativně]] a existenci identické šipky pro každý objekt. Jednoduchým příkladem je [[kategorie množin]] '''Set''', jejímiž objekty jsou [[Množina|množiny]] a jejímiž šipkami jsou [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] (funkce).

''[[Teorie kategorií]]'' je obor matematiky, který se snaží zobecnit veškerou matematiku v termínech kategorií, nezávisle na tom, co jejich objekty a šipky představují. Prakticky každé odvětví moderní matematiky lze popsat v termínech kategorií, což často odhaluje hluboké poznatky a podobnosti mezi zdánlivě odlišnými oblastmi matematiky. Teorie kategorií poskytuje základ matematiky, který je alternativou k [[Teorie množin|teorii množin]] a jiným navrhovaným axiomatickým základům. Obecně platí, že objekty a šipky mohou být abstraktními entitami libovolného druhu a pojem kategorie poskytuje základní a abstraktní způsob popisu matematických entit a jejich vztahů.

Kromě formalizace matematiky se teorie kategorií používá také k formalizaci mnoha jiných systémů v matematické informatice, např. [[Sémantika programovacích jazyků|sémantiky programovacích jazyků]].

Klasickým a stále často používaným textem o teorii kategorií je kniha „''[[Categories for the Working Mathematician]]''“ [[Saunders Mac Lane|Saunderse Mac Lanea]]. Další literatura je uvedena na konci článku v části [[#Reference|Reference]]. Základní definice z tohoto článku jsou obsaženy v prvních několika kapitolách libovolné z těchto knih.

Za speciální druh kategorie lze považovat libovolný [[monoid]] (kategorie má jediný objekt tvořený nosičem monoidu, a morfismy představují prvky monoidu); podobně lze za speciální druh kategorie považovat libovolné [[uspořádání]].

== Definice ==
{{Podrobně|Teorie kategorií}}

Je mnoho ekvivalentních definic kategorie.{{Sfn|Barr|Wells|2005|loc=Chapter 1}} Často používanou definicí je tato:

'''Kategorie''' ''C'' sestává z
* [[Třída (matematika)|třídy]] ob(''C'') '''[[Entita (matematika)|objektů]]''',
* třída mor(''C'') '''[[Morfismus|morfismů]]''' neboli '''šipek''',
* '''domény''' nebo '''výchozí''' třídové funkce dom: mor(C) → ob(C),
* '''cílové množiny''' nebo '''cílové''' třídové funkce cod: mor(C) → ob(C),
* z binární operace pro každé tři objekty ''a'', ''b'' a ''c'' hom(''a'', ''b'') × hom(''b'', ''c'') → hom(''a'', ''c'') nazývané '''skládání morfismů'''. Zde hom(''a'', ''b'') označuje podtřídu morfismů ''f'' z mor(''C'') takovou, že dom(f) = ''a'' a cod(f) = ''b''. Morfismy v této podtřídě zapisujeme ''f'' : ''a'' → ''b'', a složení morfismů ''f'' : ''a'' → ''b'' a ''g'' : ''b'' → ''c'' se obvykle zapisuje ''g'' ∘ ''f'' nebo ''gf''.
takových, že platí následující axiomy:
* ''[[Asociativita|asociativní zákon]]'':, pokud ''f'' : ''a'' → ''b'', ''g'' : ''b'' → ''c'' a ''h'' : ''c'' → ''d'' pak ''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'') = (''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f'', a
* '''([[Identita (matematika)|existence levé a pravé jednotky]])''': pro každý objekt ''x'' existuje morfismus 1<sub>''x''</sub> : ''x'' → ''x'' (někteří autoři používají značení ''id''<sub>''x''</sub>) nazývaný ''identický morfismus pro x'', takový, že každý morfismus ''f'' : ''a'' → ''x'' vyhovuje 1<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' = ''f'', a každý morfismus ''g'' : ''x'' → ''b'' vyhovuje ''g'' ∘ 1<sub>''x''</sub> = ''g''.

Zapisujeme ''f'': ''a'' → ''b'', a říkáme „''f'' je morfismus z ''a'' do ''b''“. Zapisujeme hom(''a'', ''b'') (nebo hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b''), když by mohlo dojít k nedorozumění, které kategorii se zápis hom(''a'', ''b'') týká) pro označení '''hom-třídy''' všech morfismů z ''a'' do ''b''.<ref>Někteří autoři používají značení Mor(''a'', ''b'') nebo jednoduše ''C''(''a'', ''b'').</ref>

Někteří autoři zapisují skládání morfismů v „diagramatickém pořadí“, tj. ''f;g'' nebo ''fg'' místo ''g'' ∘ ''f''.

Z těchto axiomů lze dokázat, že pro každý objekt existuje právě jeden identický morfismus. Zobrazení přiřazující každému objektu jeho identický morfismus se často považuje za zvláštní část struktury kategorie, jmenovitě třídovou funkci i: ob(C) → mor(C).
Někteří autoři používají poněkud odlišnou definici, ve které je každý objekt identifikovaný s odpovídajícím identickým morfismem. Pramení to z myšlenky, že základními daty kategorie jsou morfismy, a ne objekty. Kategorie lze ve skutečnosti definovat bez jakékoli zmínky o objektech pro všechna použitím částečný binární operace s přidanými vlastnostmi.

== Malé a velké kategorie ==

Kategorie ''C'' se nazývá '''malá''', pokud ob(''C'') i hom(''C'') jsou [[Množina|množiny]] a ne [[Třída (matematika)|vlastní třídy]], a '''velká''' jinak. '''Lokálně malá kategorie''' je taková kategorie, že pro všechny objekty ''a'' a ''b'' je hom-třída hom(''a'', ''b'') množinou nazývanou '''homset'''. Mnoho důležitých kategorií v matematice (např. kategorie množin) sice nejsou malé, ale jsou alespoň lokálně malé. Protože objekty v malých kategoriích tvoří množinu, lze malé kategorie chápat jako [[Algebraická struktura|algebraickou strukturu]] podobnou [[monoid]]u, ale bez vyžadování [[Uzávěr (matematika)|uzávěrových]] vlastností. A obráceně, velké kategorie lze použít pro vytvoření „struktur“ algebraických struktur.

== Příklady ==
{{Grupové struktury}}
[[Třída (matematika)|Třída]] všech množin (jako objektů) spolu se všemi [[Funkce (matematika)|funkcemi]] mezi nimi (jako morfismů), kde skládání morfismů je obvyklé [[skládání zobrazení]], tvoří velkou kategorii, '''[[Kategorie množin|Set]]'''. '''Set''' je nejzákladnější a nejčastěji používanou kategorií v matematice. Kategorie '''[[Kategorie relací|Rel]]''' sestává ze všech [[Množina|množin]] (jako objektů) s [[Binární relace|binárními relacemi]] mezi nimi (jako morfismy). Abstrahujeme-li od [[Relace (matematika)|relací]] místo funkcí, získáme speciální třídu kategorií zvaných [[alegorie (teorie kategorií)|alegorie]].

Libovolnou třídu lze chápat jako kategorii, jejímiž jedinými morfismy jsou identické morfismy. Takové kategorie se nazývají [[diskrétní kategorie|diskrétní]]. Pro libovolnou danou [[Množina|množinu]] ''I'', ''diskrétní kategorie na I'' je malá kategorie, která má prvky ''I'' jako objekty a jediné identické morfismy jako morfismy. Diskrétní kategorie jsou nejjednodušší druh kategorie.

Libovolná [[Kvaziuspořádání|(částečně) uspořádaná množina]] (''P'', ≤) tvoří malou kategorii, jejímiž objekty jsou prvky ''P'' a morfismy jsou šipky ukazující z ''x'' do ''y'', pokud ''x'' ≤ ''y''. Pokud ''≤'' je [[antisymetrická relace]], může mezi libovolnými dvěma objekty existovat nejvýše jeden morfismus. Existence identit a morfismů je zaručena díky [[Reflexivní relace|reflexivitě]] a [[Tranzitivní relace|tranzitivitě]] uspořádání. Podle stejného argumentu libovolná [[uspořádaná množina]] a libovolná [[ekvivalence (matematika)|ekvivalence]] lze považovat za malé kategorie. Libovolné [[ordinální číslo]] lze považovat za kategorii, když je chápeme jako [[Lineární uspořádání|uspořádanou množinu]].

Libovolný [[monoid]] (libovolná [[algebraická struktura]] s jedinou [[Asociativita|asociativní]] [[Binární operace|binární operací]] a [[Neutrální prvek|neutrálním prvkem]]) tvoří malou kategorii s jediným objektem ''x''. (''x'' je zde libovolná pevná množina.) Morfismy z ''x'' do ''x'' jsou právě prvky monoidu, identický morfismus ''x'' je identita monoidů, a kategorické skládání morfismů popisuje vztah monoid operace. Několik definic a vět o monoidech lze zobecnit na kategorie.

Podobně lze libovolnou [[Grupa|grupu]] chápat jako kategorii s jediným objektem, v níž každý morfismus je ''invertovatelný'', což znamená, že pro každý morfismus ''f'' existuje morfismus ''g'', které je jeho [[Morfismus|levou i pravou inverzí]] při skládání. Morfismus, který je v tomto smyslu invertovatelný, se nazývá [[izomorfismus]].

[[Grupoid (teorie kategorií)|Grupoid]] je kategorie, v níž každý morfismus je izomorfismem. Groupoidy jsou zobecněním grup, [[Akce grupy na množině|akcí grup na množině]] a [[Ekvivalence (matematika)|relací ekvivalence]]. Z hlediska kategorií je vlastně jediným rozdílem mezi groupoidem a grupou, že groupoid může mít více než jeden objekt, zatímco grupa musí mít pouze jeden. Uvažujme topologický prostor ''X'' a určitý bázový bod <math>x_0</math> ''X'', pak <math>\pi_1(X,x_0)</math> je [[fundamentální grupa]] topologického prostoru ''X'' a bázového bodu <math>x_0</math>, a jako množina má strukturu grupy; pokud pak necháme bázový bod <math>x_0</math> procházet všemi body ''X'', a vezmeme sjednocení všech <math>\pi_1(X,x_0)</math>, pak množina, kterou takto dostaneme, má pouze strukturu groupoidu (který nazýváme [[Fundamentální groupoid|fundamentálním groupoidem]] prostoru ''X''): dvě smyčky (s relací ekvivalence homotopie) nemusí mít stejný bázový bod, takže se nemohou navzájem násobit. V jazyce kategorií to znamená, že dva morfismy nemusí mít stejný výchozí objekt (nebo cílový objekt, protože v tomto případě pro libovolný morfismus je výchozí objekt a cílový objekt stejný: bázový bod), takže je nelze vzájemně skládat.

[[Soubor:Directed.svg|125px|náhled|Orientovaný graf.]]
Libovolný [[orientovaný graf]] [[Generování množiny|generuje]] malou kategorii: objekty jsou [[Vrchol (graf)|vrcholy]] grafu, a morfismy jsou cesty v grafu (rozšířeném o [[Smyčka (teorie grafů)|smyčky]] pokud je potřeba) a skládání morfismů je zřetězením cest. Taková kategorie se nazývá ''[[volná kategorie]]'' generovaná grafem.

Třída všech (částečně) uspořádaných množin s funkcemi zachovávajícími pořadí (tj. monotonně rostoucími funkcemi) jako morfismy tvoří kategorii '''[[Kategorie uspořádaných množiny|Ord]]'''. '''Ord''' je [[konkrétní kategorie]], tj. kategorie získaná přidáním nějakého typu struktury ke kategorii '''Set''', s požadavkem, aby morfismy byly funkce, které zachovávají tuto přidanou strukturu.

Třída všech grup s [[Grupový homomorfismus|grupovými homomorfismy]] jako [[Morfismus|morfismy]] a [[Skládání zobrazení|skládáním zobrazení]] jako skládáním operací tvoří velkou kategorii '''[[Kategorie grup|Grp]]'''. Stejně jako '''Ord''' je '''Grp''' konkrétní kategorie. Kategorie '''[[Kategorie abelovských grup|Ab]]''', sestávající ze všech [[Abelova grupa|abelovských grup]] a jejich grupových homomorfismů, je [[Úplná podkategorie|úplnou podkategorií]] kategorie '''Grp''' a prototypem [[Abelova kategorie|Abelovy kategorie]].

Jinou konkrétní kategorii tvoří třída všech [[Teorie grafů|grafů]], kde morfismy jsou grafové homomorfismy (tj. zobrazením mezi grafy, která zobrazují vrcholy na vrcholy a hrany na hrany způsobem, který zachovává všechny relace sousednosti - incidence).

Příklady konkrétních kategorií ukazuje následující tabulka:

{| class="wikitable"
!Kategorie
!Objekty
!Morfismy
|-
|'''[[Kategorie množin|Set]]'''
|[[Množina|množiny]]
|[[funkce (matematika)|funkce]]
|-
|'''[[kategorie uspořádaných množin|Ord]]'''
|(částečně) uspořádané množiny
|monotonně rostoucí funkce
|-
|'''[[kategorie monoidů|Mon]]'''
|[[Monoid|monoids]]
|[[Monoid|homomorfismy monoidů]]
|-
|'''[[kategorie grup|Grp]]'''
|[[Grupa|grupy]]
|[[Grupový homomorfismus|grupové homomorfismy]]
|-
|'''[[kategorie grafů|Grph]]'''
|[[Teorie grafů|grafy]]
|grafové homomorfismy
|-
|'''[[kategorie okruhů|Ring]]'''
|[[Okruh (algebra)|okruhy]]
|[[Okruhový homomorfismus|okruhové homomorfismy]]
|-
|'''[[kategorie polí|Field]]'''
|[[Komutativní těleso|tělesa]]
|[[Homomorfismus tělesa|homomorfismy těles]]
|-
|'''[[kategorie modulů|''R''-Mod]]'''
|[[Modul (matematika)|''R''-moduly]], kde ''R'' je okruh
|[[modulový homomorfismus|''R''-modulové homomorfismy]]
|-
|[[K-Vect|'''Vect'''<sub>''K''</sub>]]
|[[Vektorový prostor|vektorové prostory]] nad [[Komutativní těleso|tělesem]] ''K''
|''K''-[[lineární zobrazení]]
|-
|'''[[kategorie metrických prostorů|Met]]'''
|[[Metrický prostor|metrické prostory]]
|[[Krátké zobrazení|krátká zobrazení]]
|-
|'''[[kategorie prostorů s mírou|Meas]]'''
|[[Prostor s mírou|prostory s mírou]]
|[[Měřitelná funkce|měřitelné funkce]]
|-
|'''[[kategorie topologických prostorů|Top]]'''
|[[Topologický prostor|topologické prostory]]
|[[Spojité zobrazení|spojitá zobrazení]]
|-
|[[kategorie variet|'''Man'''<sup>''p''</sup>]]
|[[hladká varieta|hladké variety]]
|''p''-krát [[Diferencovatelnost|spojitě derivovatelná]] zobrazení
|}

[[Fibrovaný prostor|Fibrované bandly]] s [[Bandlové zobrazení|bandlovým zobrazení]] mezi nimi tvoří konkrétní kategorii.

Kategorie '''[[Kategorie malých kategorií|Cat]]''' sestává ze všech malých kategorií s [[funktor]]y mezi nimi jako morfismy.

== Konstrukce nových kategorií ==

=== Duální kategorie ===
Libovolnou kategorii ''C'' lze samotnou považovat za novou kategorii jiným způsobem: objekty jsou stejné jako v původní kategorii, ale šipky jsou oproti původní kategorii obrácené. Taková kategorie se nazývá [[Opačná kategorie|''duální'' nebo ''opačná kategorie'']] a označuje se ''C''<sup>op</sup>.

=== Produkt kategorií ===
Ze dvou kategorií ''C'' a ''D'' lze vytvořit jejich ''produkt'' ''C'' × ''D'': jeho objekty jsou dvojice tvořené jedním objektem z ''C'' a jedním z ''D''; morfismy jsou také dvojice tvořené jedním morfismem z ''C'' a jedním z ''D''. Takové dvojice lze skládat [[Uspořádaná n-tice|po složkách]].

== Typy morfismů ==
[[Morfismus]] ''f'' : ''a'' → ''b'' se nazývá
* ''[[monomorfismus]]'' (nebo ''monic''), pokud je zleva-cancellable, tj. ''fg<sub>1</sub>'' = ''fg<sub>2</sub>'' implikuje ''g<sub>1</sub>'' = ''g<sub>2</sub>'' pro všechny morfismy ''g''<sub>1</sub>, ''g<sub>2</sub>'' : ''x'' → ''a''.
* ''[[epimorfismus]]'' (nebo ''epic''), pokud je zprava-cancellable, tj. ''g<sub>1</sub>f'' = ''g<sub>2</sub>f'' implikuje ''g<sub>1</sub>'' = ''g<sub>2</sub>'' pro všechny morfismy ''g<sub>1</sub>'', ''g<sub>2</sub>'' : ''b'' → ''x''.  Pojem je inspirován [[Zobrazení_(matematika)#Typy_zobrazení|surjektivními]] [[Homomorfismus|homomorfismy]] v [[abstraktní algebra|abstraktní algebře]], ovšem homomorfismus nemusí být surjektivním zobrazením, i když je v kategoriálním smyslu epimorfismem. To dokazuje např. zobrazení <math>f(x)=x</math> z [[monoid]]u celých čísel <math>(\Z, +, 0)</math> do racionálních <math>(\Q, +, 0)</math>.
* ''[[Morfismus|bimorfismus]]'', pokud je zároveň monomorfismem i epimorfismem.
* ''[[retrakce (teorie kategorií)|retrakce]]'', pokud má pravou inverzi, tj. pokud existuje morfismus ''g'' : ''b'' → ''a'' s ''fg'' = 1<sub>''b''</sub>.
* ''[[sekce (teorie kategorií)|sekce]]'', pokud má levou inverzi, tj. pokud existuje morfismus ''g'' : ''b'' → ''a'' s ''gf'' = 1<sub>''a''</sub>.
* ''[[Izomorfismus]]'', pokud má inverzi, tj. pokud existuje morfismus ''g'' : ''b'' → ''a'' s ''fg'' = 1<sub>''b''</sub> a ''gf'' = 1<sub>''a''</sub>.
* ''[[endomorfismus]]'', pokud ''a'' = ''b''. Třída endomorfismů ''a'' se označuje End(''a''). Pro lokálně malou kategorii je End(''a'') ''množina'' a se skládáním morfismů tvoří [[monoid]].
* ''[[automorfismus]]'', pokud ''f'' je zároveň endomorfismem i izomorfismem. Třída automorfismů ''a'' se označuje aut(''a''). Pro lokálně malé kategorie tvoří s operací skládání morfismů [[Grupa|grupu]] nazývanou ''[[grupa automorfismů]]'' ''a''.

Každá retrakce je epimorfismus. Každá sekce je monomorfismus. Následující tři tvrzení jsou ekvivalentní:
* ''f'' je monomorfismus a retrakce;
* ''f'' je epimorfismus a sekce;
* ''f'' je izomorfismus.

Relaci mezi morfismy (např. ''fg'' = ''h'') je možné nejpohodlněji reprezentovat [[Komutativní diagram|komutativními diagramy]], v nichž objekty jsou reprezentovány jako vrcholy a morfismy šipkami.

== Typy kategorií ==
* V mnoha kategoriích, například v '''[[kategorie abelovských grup|Ab]]''' nebo [[K-Vect|'''Vect'''<sub>''K''</sub>]] nejsou hom-množiny hom(''a'', ''b'') pouze množiny, ale skutečně [[Abelova grupa|abelovské grupy]], a skládání morfismů je kompatibilní s těmito grupovými strukturami; tj. je [[Bilineární forma|bilineární]]. Takové kategorie se nazývají [[preaditivní kategorie|preaditivní]]. Pokud má navíc kategorie všechny konečné [[Produkt (teorie kategorií)|produkty]] a [[koprodukt]]y, nazývá se [[aditivní kategorie]]. Pokud všechny morfismy mají [[jádro (teorie kategorií)|jádro]] a [[kokernel]], a všechny epimorfismy jsou kokernely a všechny monomorfismy jsou jádra, pak mluvíme o [[Abelova kategorie|Abelových kategoriých]]. Typický příkladem Abelovy kategorie je kategorie abelovských grup.
* Kategorie se nazývá [[úplná kategorie|úplná]], pokud v ní existují všechny malé [[limita (teorie kategorií)|limity]]. Kategorie množin, abelovských grup a topologických prostorů jsou úplné.
* Kategorie se nazývá [[Kartézsky uzavřené kategorie|kartézsky uzavřená]], pokud má konečné přímé produkty a morfismus definovaný na konečném produktu může být vždy reprezentována morfismem definovaným pouze na jedné ze složek. K příkladům patří '''[[Kategorie množin|Set]]''' a '''CPO''', kategorie [[Úplné částečné uspořádání|úplných částečných uspořádání]] se [[Scottova spojitost|Scottově spojitými funkcemi]].
* [[Topos]] je určitý typ kartézsky uzavřené kategorie, ve které je možné formulovat veškerou matematiku (podobně jako je klasicky veškerá matematika formulována v teorii množin). Toposy je také možné použít pro reprezentaci teorií v logice.

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
<references />

=== Reference ===
{{Překlad|en|Category (mathematics)|1239990175}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Adámek
 | jméno = Jiří
 | příjmení2 = Herrlich
 | jméno2 = Horst
 | příjmení3 = Strecker
 | jméno3 = George E.
 | rok = 1990
 | titul = Abstract and Concrete Categories
 | vydavatel = Wiley
 | isbn = 0-471-60922-6
 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
 | ref = harv
}} (nyní volné online vydání, [[GNU Free Documentation License|GNU FDL]]).
* {{Citace monografie
 | příjmení = Asperti
 | jméno = Andrea
 | příjmení2 = Longo
 | jméno2 = Giuseppe
 | rok = 1991
 | titul = Categories, Types and Structures
 | vydavatel = MIT Press
 | url = https://archive.org/details/categoriestypess00aspe_0
 | isbn = 0-262-01125-5
 |  url-access = registration
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Awodey
 | jméno = Steve
 | rok = 2006
 | titul = Category theory
 | ročník = 49
 | edice = Oxford logic guides
 | vydavatel = Oxford University Press
 | isbn = 978-0-19-856861-2
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Barr
 | jméno = Michael
 | odkaz na autora = Michael Barr (mathematician)
 | příjmení2 = Wells
 | jméno2 = Charles
 | odkaz na autora2 = Charles Wells (mathematician)
 | vydání = revised
 | edice = Reprints in Theory and Applications of Categories
 |  mr  = 2178101
 | titul = Toposes, Triples and Theories
 | url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html
 | ročník = 12
 | rok = 2005
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Borceux
 | jméno = Francis
 | rok = 1994
 | kapitola = Handbook of Categorical Algebra
 | titul = Encyclopedia of Mathematics and its Applications
 | místo = Cambridge
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | ročník = 50–52
 | isbn = 0-521-06119-9
 | ref = harv
}}.
* {{Citace elektronické monografie
 | url = https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Category
 | vydavatel = Springer
 | titul = Category
 | id=p/c020740
 | datum = 2023-03-26
 | datum přístupu = 2024-10-10
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Herrlich
 | jméno = Horst
 | příjmení2 = Strecker
 | jméno2 = George E.
 | rok = 2007
 | titul = Category Theory
 | vydavatel = Heldermann Verlag
 | isbn = 978-3-88538-001-6
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Jacobson
 | jméno = Nathan
 | odkaz na autora = Nathan Jacobson
 | rok = 2009
 | titul = Basic algebra
 | vydání = 2
 | vydavatel = Dover
 | isbn = 978-0-486-47187-7
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Lawvere
 | jméno = William
 | odkaz na autora = William Lawvere
 | příjmení2 = Schanuel
 | jméno2 = Steve
 | rok = 1997
 | titul = Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | isbn = 0-521-47249-0
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Mac Lane
 | jméno = Saunders
 | odkaz na autora = Saunders Mac Lane
 | rok = 1998
 | titul = [[Categories for the Working Mathematician]]
 | vydání = 2
 | edice = Graduate Texts in Mathematics
 | ročník = 5
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | isbn = 0-387-98403-8
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Marquis
 | jméno = Jean-Pierre
 | contribution = Category Theory
 | příjmení editora = Zalta
 | jméno editora = Edward N.
 | titul = [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]
 | rok = 2006
 | contribution-url = http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Sica
 | jméno = Giandomenico
 | rok = 2006
 | titul = What is category theory?
 | ročník = 3
 | edice = Advanced studies in mathematics and logic
 | vydavatel = Polimetrica
 | isbn = 978-88-7699-031-1
 | ref = harv
}}.
* {{Citace elektronické monografie
 | url = https://ncatlab.org/nlab/show/category
 | titul = Category
 | vydavatel = nLab
 | datum = 2023-11-18
 | datum přístupu = 2024-10-10
}}

=== Související články ===
* [[Matematické symboly a značky|Tabulka matematických symbolů]]

=== Externí odkazy ===
* {{springerEOM|title=Category|id=p/c020740|téma=Kategorie}}
* {{nlab|URL=category|popis=Kategorie}}

{{Teorie kategorií}}
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie kategorií|* ]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]