Zobrazení zdroje stránky Křivka

{{Různé významy|tento=geometrickém útvaru}}
'''Křivka''' je v [[matematika|matematice]] [[geometrie|geometrický]] jednorozměrný objekt, případně zobrazení z [[Přímka|přímky]] do nějakého prostoru (tzv. parametrizovaná křivka). Jednoduché příklady křivek jsou [[přímka]] nebo [[kružnice]].

== Formální definice ==
Je-li ''M'' nějaký matematický prostor (například [[Eukleidovský prostor]], [[varieta (matematika)|varieta]], [[topologický prostor]]) a ''I'' [[Interval (matematika)|interval]] [[Reálné číslo|reálných čísel]], pak křivkou <math>k</math> rozumíme [[spojitost|spojité]] [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] ''I'' do ''M''. Toto se někdy také nazývá '''parametrické vyjádření křivky'''. Pokud má smysl mluvit o [[derivace|derivaci]] ''k'' (tj. pokud cílový prostor je [[Eukleidovský prostor]] nebo [[varieta (matematika)|hladká varieta]] a [[derivace]] existuje v každém [[Bod|bodě]]), nazývá se křivka '''hladká''' nebo '''diferencovatelná'''. Hladká křivka je '''regulární''', pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá '''uzavřená''', pokud ''I'' je uzavřený [[Interval (matematika)|interval]] ''[a,b]'' a <math>k(a)=k(b)</math>. Množina <math>\{k(x);\,x\in I\}</math> se nazývá '''(geometrický) obraz křivky'''. Mají-li složky <math>k_i</math> křivky ''k'' na otevřeném [[interval (matematika)|intervalu]] <math>(a,b)</math> spojité derivace až do <math>r</math>-tého řádu, pak říkáme, že se jedná o ''křivku <math>r</math>-té třídy''. Má-li křivka všechny derivace, říkáme někdy, že je třídy [[nekonečno]], neboli nekonečně diferencovatelná.

Někdy se slovem ''křivka'' myslí jenom její [[Zobrazení (matematika)|obraz]] křivky (v dřívější definici), tj. [[množina]] bodů <math>\{[(x(t), y(t), z(t)];\, t\in<\alpha,\beta>\}</math>. Ta se někdy také nazývá '''neparametrická křivka'''.

== Rovinná křivka ==
'''Rovinnou křivkou''' rozumíme [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] intervalu reálných čísel ''I'' do (euklidovské) [[Rovina|roviny]]
:<math>x = \phi(t)</math>
:<math>y = \psi(t)</math>
pro <math>t \in I</math>, kde <math>\phi</math> a <math>\psi</math> jsou spojité funkce.

Předpokládáme obvykle, že [[funkce (matematika)|funkce]] <math>\phi(t), \psi(t)</math> jsou na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle\alpha,\beta\rangle</math> [[spojitá funkce|spojité]] a mají na tomto intervalu po částech spojité [[derivace]] <math>\phi^\prime(t), \psi^\prime(t)</math>. Někdy se předpokládá, že funkce <math>\phi, \psi</math> jsou pouze spojité, pak se ale překvapivě může stát, že obrazem křivky je např. celý [[čtverec]].

Křivka je ''regulární'', pokud pro žádné <math>t</math> nejsou derivace <math>\phi^\prime(t), \psi^\prime(t)</math> současně [[nula|nulové]]. Křivku, která (kromě krajních bodů) neprotíná sama sebe (tj. je prostá uvnitř definičního intervalu) označujeme jako '''jednoduchou'''. Pokud platí současně <math>\phi(\alpha)=\phi(\beta), \psi(\alpha)=\psi(\beta)</math>, tzn. počáteční bod křivky splývá s bodem koncovým, pak křivku označíme jako '''uzavřenou'''.

Rovnici obrazu rovinné křivky lze často (ale ne vždy) vyjádřit ve formě funkční závislosti kartézských [[proměnná|proměnných]] <math>x, y</math>, tzn.
:<math>y=f(x)</math>,
popř. implicitně
:<math>F(x,y)=0</math>.

Křivku označíme jako '''rektifikovatelnou''', pokud má konečnou [[délka|délku]], kterou lze vyjádřit jako
:<math>l = \int_\alpha^\beta \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t</math>

=== Jordanova křivka ===
Jednoduchou uzavřenou rovinnou křivku označujeme jako '''Jordanovu křivku'''. Jordanova křivka je [[Homeomorfismus|homeomorfním]] obrazem [[kružnice]]. Rozděluje rovinu na dvě souvislé oblasti. Tu, která je [[Omezená množina|omezená]] a jednoduše souvislá označujeme jako '''vnitřek křivky''' (nebo '''lépe vnitřní, Jordanovu oblast'''), zbytek roviny pak jako '''vnějšek křivky''' ('''vnější oblast''').

=== Orientace křivky ===
Na neparametrické hladké křivce můžeme zvolit dvě [[Orientace (matematika)|orientace]]. Formálně to je volba [[Báze (lineární algebra)|báze]] jejího (jednorozměrného) tečného prostoru v každém bodě. Tvoří-li uzavřená křivka hranici určité oblasti <math>\Omega</math>, pak řekneme, že je ''kladně orientovaná'' vzhledem k <math>\Omega</math>, pokud oblast <math>\Omega</math> zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). Formálněji, křivka je kladně orientována, pokud normálový vektor k oblasti <math>\Omega</math> a tečný vektor ke křivce určen její orientací tvoří kladnou bázi tečného prostoru (souřadnice těchto vektorů napsány ve sloupcích vedle sebe tvoří [[matice|matici]], která má kladný [[determinant]]). V opačném případě se jedná o ''záporně orientovanou křivku''.

=== Příklady rovinných křivek ===
* [[přímka]]
* [[kuželosečka|kuželosečky]]
* [[cykloida]]
* [[Archimédova spirála]]
* [[řetězovka]]

== Prostorová křivka ==
'''Prostorovou křivkou''' rozumíme [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] intervalu reálných čísel ''I'' do (trojrozměrného euklidovského) prostoru
:<math>x = x(t)</math>
:<math>y = y(t)</math>
:<math>z = z(t)</math>
pro <math>t \in I</math>, kde ''x'', ''y'' a ''z'' jsou spojité funkce.

Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve [[vektor]]ovém tvaru
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math>, <math>t \in I</math>,
kde <math>\mathbf{r}</math> představuje [[polohový vektor|rádiusvektor]].

Křivku v prostoru lze také zadat jako [[průnik]] dvou [[plocha|ploch]], např.
:<math>z=f(x,y)</math>
:<math>z=g(x,y)</math>
nebo
:<math>F(x,y,z)=0</math>
:<math>G(x,y,z)=0.</math>

Jsou-li rovnice popisující křivku (v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]]) [[algebraická rovnice|algebraické]], pak křivku označujeme jako '''algebraickou''' (např. přímka nebo kuželosečky). Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je '''transcendentní''' (např. sinusoida nebo řetězovka).

=== Příklady prostorových křivek ===
* [[přímka]]
* [[šroubovice]]

== Délka křivky ==
{{Podrobně|Délka křivky}}
[[Délka křivky]] se v [[Diferenciální geometrie|diferenciální geometrii]] definuje pomocí vhodných [[Parametrizace|parametrizací]] této křivky. Obecně však nemusí být definována, resp. je nekonečná.

== Oblouk křivky{{Doplňte zdroj}} ==
'''Obloukem křivky''' <math>k: \langle a,b\rangle \to \R^n</math> od bodu <math>t_0 \in \langle a,b\rangle</math> do bodu <math>t \in \langle a,b\rangle</math> se nazývá ''délka'' části křivky mezi <math>k(t_0)</math> a <math>k(t)</math>. Pokud je křivka hladká (tj. ''k'' má spojité (1.) derivace), dá se vyjádřit vzorcem
:<math>s(t) = \int_{t_0}^t \sqrt{{\sum_{i=1}^n \left(\frac{\mathrm{d}k_i}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \mathrm{d} t</math>
kde <math>k_i</math> je ''i''-tá složka křivky.

Výhoda oblouku je, že ho lze použít jako parametr pro tzv. '''přirozenou parametrizaci křivky (obloukem)'''.

[[Diferenciální forma|Diferenciál]]
:<math>\mathrm{d}s = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \sqrt{\mathrm{d}\mathbf{k}\cdot\mathrm{d}\mathbf{k}} = \sqrt{\sum_i\mathrm{d}k_i^2}</math>
nazýváme ''diferenciál (prvek, element) oblouku'' nebo ''lineární prvek (element) křivky''{{Doplňte zdroj}}.

== Křivky vyplňující prostor ==
Obrazem křivky mohou být překvapivě i množiny, které mají větší [[topologická dimenze|topologickou dimenzi]] než jedna. Kupříkladu [[Hilbertova křivka]] je [[spojité zobrazení]] [[Úsečka|úsečky]] na čtverec, tj. spojitá křivka, která vyplní celý (dvourozměrný) čtverec.

[[Soubor: Hilbert curve.png|střed]]

Na obrázku je prvních 6 iterací konstrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není [[prostá funkce|prostá]]. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v&nbsp;žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec je [[Sierpińského křivka]].

Klasifikace, který [[topologický prostor]] je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'', řeší [[Hahnova–Mazurkiewiczova věta]]:
* Neprázdný [[Hausdorffův prostor|Hausdorffův]] [[topologický prostor]] ''X'' je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'' právě když je [[kompaktní prostor|kompaktní]], [[souvislý prostor|souvislý]], lokálně souvislý a [[separabilní prostor|separabilní]].
Speciálně tedy každá kompaktní souvislá [[varieta (matematika)|varieta]] se dá „vyplnit“ křivkou.

== Příklady ==
* [[Bézierova křivka]]
* [[Racionální Bézierova křivka]]
* [[B-spline křivka]]

[[Soubor:Krivka explicitne.png]]
[[Soubor:Krivka parametricky.png]]
[[Soubor:Krivka aprox.png]]
[[Soubor:Krivka inter.png]]

== Odkazy ==
=== Literatura ===
* {{Citace monografie | příjmení = Lomtatidze | jméno = Lenka | titul = Historický vývoj pojmu křivka | vydavatel = Akademické nakladatelství CERM | místo = Brno | rok = 2007 | stránky = | poznámka = | url = http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/401091 | isbn = 978-80-7204-492-4 }}
* [[Karel Rektorys|REKTORYS, Karel.]] a spol.: ''Přehled užité matematiky I.'' 7. vyd. Praha : Prometheus, [[2003]]. {{ISBN|80-7196-179-5}}.

=== Související články ===
* [[Lagrangeova interpolace]]
* [[C1 kubická interpolace]]
* [[C2 kubická interpolace]]
* [[Hermitova kubika]]
* [[Algoritmus de Casteljau]]
* [[Algoritmus de Casteljau#Racionální Algoritmus de Casteljau|Racionální Algoritmus de Casteljau]]
* [[Afinní transformace souřadnic]]
* [[Výpočet průsečíku křivek]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=křivka}}
* [http://dagles.klenot.cz/rihova/krivky.pdf Některé rovinné křivky - lemniskáta, Archimédova spirála, atd. (pdf)]
* [http://www.math.muni.cz/~mlc/CD/disert.pdf Historický vývoj pojmu křivka (disertační práce, pdf)]{{Nedostupný zdroj}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Křivky]]