Zobrazení zdroje stránky Jehlan

[[Soubor:Pyramid (geometry).png|náhled|Jehlan]]
'''Jehlan''' je [[3D|trojrozměrné]] [[Geometrický útvar|těleso]]. Jeho '''základnu''' (nebo také '''podstavu''') tvoří [[mnohoúhelník]]. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním [[bod]]em mimo [[rovina|rovinu]] základny – tento bod se obvykle nazývá '''(hlavní)''' '''vrchol jehlanu'''.

[[Ortogonalita|Kolmá]] [[vzdálenost]] vrcholu od roviny podstavy se nazývá ''výška jehlanu''.

== Obecné vlastnosti ==

=== Objem a povrch ===
[[Objem]] jehlanu se vypočítá jako
:<math>V=\frac{S_p.v}{3} \,\!</math>,
kde <math>S_p \,\!</math> je obsah podstavy a <math>v \,\!</math> výška.

[[Povrch]] jehlanu se vypočítává jako [[součet]] [[obsah]]u základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.
:<math>S = P + Q \,</math>,
kde <math>P</math> je obsah podstavy a <math>Q</math> je obsah pláště.

Z výše uvedených vzorců vyplývá, že se posunováním vrcholu jehlanu v rovině [[rovnoběžné roviny|rovnoběžné]] s rovinou základny nemění objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch – ten může při posouvání vrcholu v dané rovině do velké vzdálenosti od podstavy růst nade všechny meze.

=== Souměrnost ===
Jehlan nemůže nikdy být [[středová souměrnost|středově souměrný]].

Jehlan je [[osová souměrnost|osově souměrný]] pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.).
Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být [[rovinová souměrnost|rovinově souměrný]] pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.)
Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

=== Další vlastnosti ===
Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o <math> n \,\! </math> stranách, má jehlan:
* celkem <math> n + 1 \,\! </math> vrcholů
* celkem <math> 2 \cdot n \,\! </math> hran
* celkem <math> n + 1 \,\! </math> stěn
Jehlan nemá tělesové [[Úhlopříčka|úhlopříčky]], stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3).
Jehlan je [[konvexní množina|konvexní]] jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

== Speciální případy ==
Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takový '''jehlan kolmý'''. Pokud tomu tak není, nazýváme jej '''kosý'''.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o '''pravidelném jehlanu'''. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Výpočet údajů v pravidelném <math> n </math>-bokém jehlanu určeném délkou podstavné hrany <math> a </math>a jeho výškou <math> v </math>:
[[Soubor:Jehlan.jpg|alt=pyramid|náhled|Pravidelný kolmý jehlan]]
<br />

* Výška boční stěny:

::<math> v_s = \frac{1}{2}\sqrt{4v^2+\left( a \cdot{\cot\frac{\pi}{n}}\right)^2} </math>

* Délka boční hrany:

::<math> s = \frac{1}{2}\sqrt{4v^2+\left( \frac{a}{\sin\frac{\pi}{n}}\right)^2} </math>

* Povrch:

::<math> S = \frac{1}{4}na^2\cot\frac{\pi}{n}\left( 1+\sqrt{1+ 4\left( \frac{v}{a}\tan\frac{\pi}{n} \right)^2} \right) </math>

* Objem:

::<math> V = \frac{1}{12}n a^2 v \cdot \cot\frac{\pi}{n} </math>

* Sklon boční hrany:

::<math> \alpha = \arctan \left( 2\frac{v}{a}\sin\frac{\pi}{n}\right) </math>

* Sklon boční stěny:

::<math> \beta = \arctan \left( 2\frac{v}{a}\tan\frac{\pi}{n} \right) </math>

* Odchylka bočních hran:

::<math> \gamma= 2\arctan \frac{a}{\sqrt{4v^2+a^2\cot^2\frac{\pi}{n}}}  </math>

* Odchylka boční a podstavné hrany:

::<math> \delta= \arctan {\sqrt{4\left( \frac{v}{a} \right)^2+\cot^2\frac{\pi}{n}}} </math>

* Odchylka bočních stěn:

::<math> \varepsilon = 2\arcsin \sqrt{\frac{4v^2\sin^2 \frac{\pi}{n}+a^2}{4v^2\tan^2 \frac{\pi}{n}+a^2}} </math>, speciálně pro <math> n=4 </math> je <math> \varepsilon = 2\arcsin \sqrt{\frac{2v^2+a^2}{4v^2+a^2}} </math>

=== Pravidelný čtyřstěn ===
[[Soubor:tetrahedron.gif|vpravo|Pravidelný čtyřstěn.]]
Pravidelný [[čtyřstěn]] je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou [[rovnostranný trojúhelník|rovnostranné trojúhelníky]]. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z [[platónské těleso|platónských těles]].

Jeho objem <math> V \,\! </math> a obsah <math> S \,\! </math> lze vypočítat z délky jeho hrany:<br />
* <math>S=a^2\sqrt{3} \,\!</math>
* <math>V=\begin{matrix}{\sqrt{2}\over12}\end{matrix}a^3 \,\!</math>

Jeho výšku lze vypočítat jako <math>v=(a/3) \sqrt{6}</math> .

=== Pravidelný čtyřboký jehlan ===
[[Soubor:Prav4bokjeh.png|náhled|Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch.]]
Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o '''pravidelném čtyřbokém jehlanu'''.

Jeho objem <math> V \,\! </math> a povrch <math> S \,\! </math> lze vypočítat z délky strany základny <math> a \,\! </math> a výšky <math> v \,\! </math>:<br />
* <math> V = \frac{1}{3} a^2v\,\! </math>
* <math> S = a \left( a+\sqrt{4v^2+a^2} \right) </math>

{| class="wikitable"
|+ Vícerozměrná geometrická tělesa
|-
| d=2 || [[trojúhelník]] || [[čtverec]] || [[šestiúhelník]] || [[pětiúhelník]]
|-
| d=3 || jehlan || [[krychle]], [[Osmistěn|oktaedr]]  || [[krychloktaedr]], [[kosočtverečný dvanáctistěn]] || [[dvanáctistěn]], [[dvacetistěn]]
|-
| d=4 || [[5nadstěn]] || [[teserakt]], [[16nadstěn]]  || [[24nadstěn]] || [[120nadstěn]],[[600nadstěn]]
|-
| d=5 || [[5simplex]] || [[penterakt]], [[5ortoplex]] || colspan="2" rowspan="16" | 
|-
| d=6 || [[6simplex]] || [[hexerakt]], [[6ortoplex]] 
|-
| d=7 || [[7simplex]] || [[hepterakt]], [[7ortoplex]]
|-
| d=8 || [[8simplex]] || [[okterakt]], [[8ortoplex]]
|-
| d=9 || [[9simplex]] || [[ennerakt]], [[9ortoplex]]
|-
| d=10 || [[10simplex]] || [[dekerakt]], [[10ortoplex]]
|-
| d=11 || [[11simplex]] || [[hendekerakt]], [[11ortoplex]]
|-
| d=12 || [[12simplex]] || [[dodekerakt]], [[12ortoplex]]
|-
| d=13 || [[13simplex]] || [[triskaidekerakt]], [[13ortoplex]]
|-
| d=14 || [[14simplex]] || [[tetradekerakt]], [[14ortoplex]]
|-
| d=15 || [[15simplex]] || [[pentadekerakt]], [[15ortoplex]]
|-
| d=16 || [[16simplex]] || [[hexadekerakt]], [[16ortoplex]]
|-
| d=17 || [[17simplex]] || [[heptadekerakt]], [[17ortoplex]]
|-
| d=18 || [[18simplex]] || [[oktadekerakt]], [[18ortoplex]]
|-
| d=19 || [[19simplex]] || [[ennedekerakt]], [[19ortoplex]]
|-
| d=20 || [[20simplex]] || [[ikosarakt]], [[20ortoplex]]
|}

== Literatura ==
* [[Karel Rektorys]] a kolektiv: ''Přehled užité matematiky I'', Prometheus, Praha 1995, {{ISBN|80-85849-92-5}}, str. 104-106
* Marcela Palková a kolektiv: ''Průvodce matematikou 2'', Didaktis, Brno 2007, {{ISBN|978-80-7358-083-4}}, str. 117-120

== Související články ==
* [[Geometrický útvar]]
* [[Mnohostěn]]
* [[Komolý jehlan]]
* [[Válec]]
* [[Platónské těleso|Platónská tělesa]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=jehlan}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Mnohostěny]]