Zobrazení zdroje stránky Jazyk (logika)

V [[matematická logika|matematické logice]] se pod pojmem '''jazyk''' rozumí pevně zvolená množina symbolů, pomocí nichž se vytvářejí [[formule (logika)|formule]]. Pojem jazyka náleží do oblasti logické syntaxe.

== Definice ==
Každý jazyk se skládá ze [[Matematický symbol|symbol]]ů dvou druhů – logických, které jsou povinně prvky každého jazyka a mimologických, které se mohou pro různé jazyky lišit.

=== Logické symboly jazyka ===
Logické symboly jazyka jsou:
* [[spočetná množina|spočetně]] mnoho symbolů pro proměnné: <math>v_0,v_1, \ldots</math> (V matematické praxi se obvykle proměnné značí písmeny <math>x,y,z, \ldots</math>, vždy to však lze chápat tak, že tato písmena jsou ve skutečnosti nějaká <math>\,v_i</math>.)
* symboly pro [[logické spojky]]: <math>\neg</math>, <math>\Rightarrow</math> (případně ještě <math>\vee</math>, <math>\land</math>, <math>\Leftrightarrow</math>, tyto symboly však lze zavést také definicí)
* symboly pro [[kvantifikátor]]y: <math>\forall</math> (případně <math>\exists</math>, který lze zavést definicí)
* symbol pro [[rovnost (matematika)|rovnost]]: <math>\,=</math> (pokud jde o jazyk [[logika s rovností|logiky s rovností]])
* pomocné symboly – závorky: <math>(</math> a <math>)</math>, popřípadě i další.

=== Mimologické symboly jazyka ===
Mimologické symboly jazyka mohou být libovolné symboly různé od symbolů logických a také vzájemně po dvou různé. Může jich být libovolně (i nekonečně) mnoho. Ke každému mimologickému symbolu je zároveň přiřazen jeho druh a četnost ([[arita]]). Existují tři druhy mimologických symbolů:
* Konstantní symboly
* Funkční symboly
* Predikátové symboly
[[Signatura (logika)|Signatura]] je [[funkce (matematika)|funkce]] <math>\,\sigma</math> definovaná na množině všech mimologických symbolů přiřazující každému mimologickému symbolu ''S'' [[přirozené číslo]] <math>\,\sigma(S)</math> nazývané četnost (arita) symbolu ''S'' tak, že <math>\sigma(c)=0</math> pro každý konstantní symbol ''c''. Funkční resp. predikátový symbol četnosti ''n'' se také nazývá ''n''-ární funkční resp. predikátový symbol.

=== Jazyk ===
Jazykem rozumíme trojici <math>\langle LS,MLS,\sigma \rangle</math>, kde ''LS'' jsou všechny logické symboly jazyka, ''MLS'' mimologické symboly a <math>\,\sigma</math> [[signatura (logika)|signatura]] pro tyto [[Mimologické symbol|mimologické symboly]]. Jazyk se obvykle zadává pouze vypsáním jeho mimologických symbolů a stanovením jejich četností, neboť logické symboly jsou společné pro všechny jazyky.

== Kardinalita jazyka ==
Kardinalita jazyka je maximum z [[mohutnost]]i množiny jeho mimologických symbolů a kardinálu <math>\aleph_0</math> (viz [[funkce alef]]).

== Příklady ==
* Jazyk, který má jediný mimologický symbol <math>\,\in</math>, který je predikátový četnosti 2, se nazývá jazykem [[teorie množin]]. Zapisuje se často jako <math>\,<\in></math>. Symbol <math>\,\in</math> popisuje relaci „být prvkem“.
* Jazyk, který má jeden konstantní symbol: <math>\,0</math>, jeden predikátový symbol: <math>\leq</math> četnosti 2 a tři funkční symboly: <math>\,S</math> četnosti 1, <math>\,+</math> četnosti 2 a <math>\,\cdot</math> četnosti 2, se nazývá jazyk aritmetiky (Symbol <math>\,S</math> označuje operaci následníka (tj. přičtení jedničky), ostatní symboly mají klasické významy).

== Související články ==
* [[Formule (logika)|Formule]]
* [[Model (logika)|Model]]

{{Portály|Matematika}}
[[Kategorie:Matematická logika]]