Zobrazení zdroje stránky Integrace použitím Eulerova vzorce

'''[[Eulerův vzorec]]''' pro [[Komplexní číslo|komplexní čísla]] lze v [[integrální počet|integrálním počtu]] použít pro vyhodnocení [[integrál]]ů, které obsahují [[Goniometrická funkce|goniometrické funkce]]. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní [[Exponenciální funkce|exponenciální funkci]] obsahující <math>e^{ix}</math> a <math>e^{-ix}</math> a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití [[Trigonometrické identity|trigonometrických identit]] nebo [[integrace per partes]], a je dostatečně silná pro integraci libovolné [[racionální funkce]] obsahující trigonometrické funkce.

== Eulerův vzorec ==
[[Eulerův vzorec]]:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html Weisstein, Eric W. (June 14 2017)]</ref>
:<math>e^{ix} = \cos x + i\,\sin x.</math>
Substitucí <math>-x</math> za <math>x</math> dostaneme rovnici
:<math>e^{-ix} = \cos x - i\,\sin x,</math>
protože funkce kosinus je [[sudá funkce]] a sinus [[Lichá funkce|lichá]]. Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus:
:<math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\quad\text{a}\quad\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.</math>

== Příklady ==

=== První příklad ===
Uvažujme integrál
:<math>\int \cos^2 x \, dx.</math>
Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít [[vzorec pro poloviční úhel]] pro zjednodušení integrandu. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:
:<math>\begin{align}
\int \cos^2 x \, dx \,&=\, \int \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2 dx \\[6pt]
&=\, \frac14\int \left( e^{2ix} + 2 +e^{-2ix} \right) dx
\end{align}</math>
Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce {{Math|''e''<sup>2''ix''</sup> + ''e''<sup>−2''ix''</sup> {{=}} 2 cos 2''x''}}. Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet:
:<math>\begin{align}
\frac14\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx 
&= \frac14\left(\frac{e^{2ix}}{2i} + 2x - \frac{e^{-2ix}}{2i}\right)+C \\[6pt]
&= \frac14\left(2x + \sin 2x\right) +C.
\end{align}</math>

=== Druhý příklad ===
Uvažujme integrál
:<math>\int \sin^2 x \cos 4x \, dx.</math>
Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché:
:<math>\begin{align}
\int \sin^2 x \cos 4x \, dx 
&= \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right) dx \\[6pt]
&= -\frac18\int \left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right) dx \\[6pt]
&= -\frac18\int \left(e^{6ix} - 2e^{4ix} + e^{2ix} + e^{-2ix} - 2e^{-4ix} + e^{-6ix}\right) dx.
\end{align}</math>
Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu {{Math|2 cos 6''x'' − 4 cos 4''x'' + 2 cos 2''x''}}.
Obě metody dávají
:<math>\int \sin^2 x \cos 4x \, dx = -\frac{1}{24} \sin 6x + \frac18\sin 4x - \frac18 \sin 2x + C.</math>

== Použití reálných částí ==
Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít [[Reálná část|reálné části]] komplexních výrazů. Pokud máme například integrál
:<math>\int e^x \cos x \, dx.</math>
Protože {{Math|cos ''x''}} je reálná část {{Math|''e''<sup>''ix''</sup>}}, víme, že
:<math>\int e^x \cos x \, dx = \operatorname{Re}\int e^x e^{ix}\, dx.</math>
Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat:
:<math>\int e^x e^{ix} \, dx = \int e^{(1+i)x}\,dx = \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} + C.</math>
Odtud postupně dostaneme
:<math>\begin{align}
\int e^x \cos x \, dx &= \operatorname{Re}\left(\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right) + C \\[6pt]
&= e^x\operatorname{Re}\left(\frac{e^{ix}}{1+i}\right) +C \\[6pt]
&= e^x\operatorname{Re}\left(\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right) +C \\[6pt]
&= e^x \frac{\cos x + \sin x}{2} +C.
\end{align}</math>

== Zlomky ==
Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu
:<math>\int \frac{1+\cos^2 x}{\cos x + \cos 3x} \, dx</math>
dostaneme použitím Eulerovy identity
:<math>\frac12 \int \frac{12 + e^{2ix} + e^{-2ix} }{e^{ix} + e^{-ix} + e^{3ix} + e^{-3ix}} \, dx.</math>
Pokud nyní provedeme [[Substituční metoda (integrování)|substituci]] {{Math|''u'' {{=}} ''e''<sup>''ix''</sup>}}, výsledek je integrál [[racionální funkce]]:
:<math>-\frac{i}{2}\int \frac{1+12u^2 + u^4}{1 + u^2 + u^4 + u^6}\,du,</math>
který můžeme řešit pomocí [[Rozklad na parciální zlomky|rozkladu na parciální zlomky]].

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Integration using Euler's formula|949347502}}<references />

=== Související články ===
* [[Trigonometrická substituce]]
* [[Weierstrassova substituce]]
* [[Eulerova substituce]]
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Integrální počet]]