Zobrazení zdroje stránky Grupa symetrií

[[Soubor:Tetrahedral group 2.svg|náhled|vpravo|300px|[[Čtyřstěn]] je invariantem při 12 různých [[Otáčení|rotacích]] při vynechání symetrií. Rotace jsou znázorněny ve formátu [[Graf cyklů (algebra)|grafu cyklů]], spolu s 180° hranou (modré šipky) a 120° vrcholem (červené šipky) [[Otáčení|rotacemi]], které [[Permutace|permutují]] čtyřstěn pomocí/skrz pozice. 12 rotací tvoří '''grupu rotačních symetrií''' obrázku.]]

'''Grupa symetrií''' ({{Vjazyce|en}} {{Cizojazyčně|en|''symmetry group''}}) geometrického objektu v [[Teorie grup|teorii grup]] je [[grupa]] všech [[Geometrické zobrazení|transformací]], při nichž se objekt [[invariant (matematika)|nemění]] (je invariantem), přičemž grupovou operací je [[skládání zobrazení]]. Taková transformace je invertovatelným zobrazením [[Okolní prostor|okolního prostoru]], které zobrazuje objekt na sebe sama, a které zachovává veškeré relevantní struktury objektu. Grupu všech symetrií objektu ''X'' obvykle značíme Sym(''X'').

Pro objekt v [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] tvoří grupa jeho symetrií [[Podgrupa|podgrupu]] [[Grupa izometrií|grupy izometrií]] okolního prostoru. Tento článek se zabývá především grupami [[Symetrie|symetrií]] v [[Eukleidovská geometrie|Eukleidovské geometrii]], ale tento koncept lze rozšířit na obecnější typy geometrických struktur.

== Úvod ==
„Objekty“, které mají symetrie, si můžeme představit jako geometrické obrazce, obrázky a vzory, jako například [[tapetová grupa|tapetový vzor]]. U symetrií fyzických objektů můžeme považovat také jejich fyzické skládání jako část vzoru. (Vzorek může být formálně zadaný jako [[skalární pole]], funkce polohy s hodnotami z určité množiny barev nebo látek; jako [[vektorové pole]]; nebo jako obecnější funkce na objektu.) Grupa izometrií prostoru indukuje [[Akce grupy na množině|akci grupy]] na jejích objektech; grupa symetrií Sym(''X'') sestává z těch izometrií, které zobrazují množinu ''X'' na sebe samu (stejně jako zobrazení jakéhokoli dalšího vzoru na sebe sama). Říkáme, že ''X'' je ''invariant'' vůči takovému zobrazení, nebo že zobrazení je ''symetrií'' množiny ''X''.

Tato grupa symetrií je někdy nazývá '''plná grupa symetrií''' ({{Vjazyce|en|''full symmetry group''}}) pro zdůraznění, že zahrnuje také izometrie, které obracejí orientaci (symetrie/zrcadlení, [[kluzná symetrie|kluzné symetrie]] a [[nevlastní rotace]]), pokud tyto izometrie zobrazují určitou množinu ''X'' na sebe. [[Podgrupa]] symetrií, které zachovávají orientaci, (translace, rotace a operace tvořené jejich skládáním) se nazývá '''vlastní grupa symetrií''' ({{Vjazyce|en|''proper symmetry group''}}). Objekt je [[Chiralita (matematika)|chirální]] (zrcadlově nesymetrický), pokud nemá žádnou symetrii, která obrací [[Orientace (vektorový prostor)|orientaci]], takže jeho vlastní grupa symetrií je rovna jeho plné grupě symetrií.

Jakoukoli grupu symetrií, jejíž prvky mají společný [[pevný bod]], což je splněno, pokud je grupa konečná nebo obrazec omezený, lze reprezentovat jako [[Podgrupa|podgrupu]] [[Ortogonální grupa|ortogonální grupy]] O(''n'') výběrem počátku jako pevného bodu. Vlastní grupa symetrií je pak podgrupou speciální ortogonální grupy SO(''n''), a nazývá se '''rotační grupa''' obrazce.

V '''[[Diskrétní grupa|diskrétní grupě symetrií]]''' se body symetrické s daným bodem [[Limitní bod|nehromadí]] k limitnímu bodu. To znamená, že každá [[Akce grupy na množině#Orbita prvku|orbita]] grupy (obrazy daného bodu pro všechny prvky grupy) tvoří [[Diskrétní množina|diskrétní množinu]]. Všechny konečné grupy symetrií jsou diskrétní.

Diskrétní grupy symetrií jsou tří typů:
# konečné '''[[Bodová grupa|bodové grupy]]''', kam patří pouze rotace, symetrie/zrcadlení, inverze a nevlastní rotace – tj. konečné podgrupy O(''n'');
# nekonečné '''[[Bodová mříž|mřížové]] grupy''' ({{Vjazyce|en|''lattice groups''}}), kam patří pouze translace; a
# nekonečné '''[[Prostorová grupa|prostorové grupy]]''' ({{Vjazyce|en|''space groups''}}) obsahující prvky obou předchozích typů a snad také zvláštní transformace jako [[Šroubový posun|šroubové posuny]] (??) a [[Kluzná symetrie|kluzné symetrie]].
Existují také grupy [[Spojitá symetrie|spojitých symetrií]] ([[Lieova grupa|Lieových grup]]), které obsahují rotace o libovolně malé úhly nebo translace o libovolně malé vzdálenosti. Příkladem je [[ortogonální grupa|O(3)]], grupa symetrií koule. Grupy symetrií Eukleidovských objektů je možné úplně klasifikovat jako [[Eukleidovská grupa#Podgrupy|podgrupy Eukleidovské grupy]] E(''n'') (grupa izometrií '''R'''<sup>''n''</sup>).

Dva geometrické obrazce mají stejný ''typ symetrie'', když jejich grupy symetrií jsou ''[[Třída konjugace#Konjugace podgrup a obecných podmnožin|konjugované]]'' podgrupy Eukleidovské grupy; neboli pokud podgrupy ''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub> jsou příbuzné {{nowrap|1=''H''<sub>1</sub> = ''g''<sup>−1</sup>''H''<sub>2</sub>''g''}} pro nějaké ''g'' v E(''n''). Například:

* dva 3D obrazce mají zrcadlovou symetrii, ale s různými rovinami symetrie.
* dva 3D obrazce mají trojnásobnou [[rotační symetrie]], ale s jinými osami.
* dva 2D vzory mají translační symetrii, každý v jednom směru; oba translační vektory mají stejnou délku ale jiný směr.

V následující části budeme uvažovat pouze ty grupy izometrií, jejichž [[Akce grupy na množině#Orbita prvku|orbity]] jsou [[Uzavřená množina|topologicky uzavřené]], včetně všech diskrétních a spojitých grup izometrií. To však vylučuje například 1D grupu translací o [[racionální číslo]]; takový neuzavřený obrazec nemůže být nakreslen s dostatečnou přesností, protože má libovolně jemné detaily.

== Jednorozměrný prostor ==
Grupy izometrií v jednorozměrném prostoru jsou:

* triviální [[cyklická grupa]] C<sub>1</sub>
* grupy se dvěma prvky generovanými symetrií/zrcadlením; jsou izomorfní s C<sub>2</sub>
* nekonečné diskrétní grupy generované translací; jsou izomorfní s aditivní grupou [[Celé číslo|celých čísel]], '''Z'''
* nekonečné diskrétní grupy generované translací a symetrie/zrcadlení; jsou izomorfní s [[Dihedrální grupa#Zobecnění|zobecněnou dihedrální grupou]] '''Z''', Dih('''Z'''), také značenou D<sub>∞</sub> (což je [[semidirektní součin]] '''Z''' a C<sub>2</sub>).
* grupa generovaná všemi translacemi (izomorfní s aditivní grupou reálných čísel '''R'''); tato grupa nemůže být grupou symetrií eukleidovského obrazce, i když je opatřen vzorem: takový vzor by byl homogenní, tedy mohl by také být zrcadlen. Ale konstantní jednorozměrné vektorové pole tuto grupu symetrií má.
* grupa generovaná všemi translacemi a symetriemi v bodech; jsou izomorfní s [[Dihedrální grupa#Zobecnění|zobecněnou dihedrální grupou]] Dih('''R''').

Viz také [[grupa symetrií v jednorozměrném prostoru]].

== Dvourozměrný prostor ==
[[Až na]] konjugaci jsou diskrétní bodové grupy v dvourozměrném prostoru následujících tříd:

* [[Cyklická grupa|Cyklické grupy]] C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub>, C<sub>4</sub>, ... kde C<sub>''n''</sub> sestává ze všech rotací okolo pevného bodu o násobky úhlu 360°/''n''
* [[Dihedrální grupa|Dihedrální grupy]] D<sub>1</sub>, D<sub>2</sub>, [[Dihedrální grupa řádu 6|D<sub>3</sub>]], [[Příklady grup#Grupa symetrií|D<sub>4</sub>]], ..., kde D<sub>''n''</sub> (řádu 2''n'') sestává z rotací v C<sub>''n''</sub> spolu s symetriemi v ''n'' osách, které procházejí pevným bodem.

C<sub>1</sub> je [[triviální grupa]] obsahující pouze identitu, který se uplatňuje u asymetrických obrazců, jako je například písmeno „F“. C<sub>2</sub> je grupa symetrií písmene „Z“, C<sub>3</sub> je grupa symetrií [[triskelion]]u, C<sub>4</sub> [[Svastika|svastiky]] a C<sub>5</sub>, C<sub>6</sub>, atd. jsou grupy symetrií obrazců podobných svastice s pěti, šesti, atd. rameny místo čtyř.

D<sub>1</sub> je dvouprvková grupa obsahující operaci identity a jednu osovou symetrii, která existuje, pokud má obrazec pouze jednu osu [[osová symetrie|symetrie]], jako je tomu u např. u písmene „A“.

D<sub>2</sub>, izomorfní s [[Kleinova čtyřgrupa|Kleinovou čtyřgrupou]], je grupa symetrií obdélníka s nestejně dlouhými stranami. Tento obrazec má čtyři operace symetrie: identitu, jednu dvojnásobnou osu rotace a dvě symetrie podle dvou různých rovin.

D<sub>3</sub>, D<sub>4</sub> atd. jsou grupy symetrií [[Pravidelný mnohoúhelník|pravidelných mnohoúhelníků]].

V rámci každého z uvedených typů symetrie existují dva [[Stupeň volnosti|stupně volnosti]] pro střed rotace, a v případě dihedrální grupy jeden další stupeň volnosti pro pozici zrcadla.

Zbývající grupy izometrií v dvourozměrném prostoru s pevným bodem jsou:
* speciální [[ortogonální grupa]] SO(2) sestávající ze všech rotací okolo pevného bodu; nazývá se také [[grupa kružnice]] S<sup>1</sup>, je to multiplikativní grupa [[Komplexní číslo|komplexních čísel]], jejichž [[absolutní hodnota]] je 1; je to ''vlastní'' grupa symetrií kružnice a spojitá obdoba grupy C<sub>''n''</sub>. Neexistuje žádný geometrický obrazec, jehož grupa symetrií je grupa kružnice, ale může se uplatnit pro vektorové pole (viz trojrozměrný případ níže).
* ortogonální grupa O(2) sestávající ze všech rotací okolo pevného bodu a symetrie/zrcadlení podle jakékoli osy vedené tímto pevným bodem. To je grupa symetrií kružnice. je také nazývaný Dih(S<sup>1</sup>) jako je [[dihedrální grupa|zobecněný dihedrální grupa]] S<sup>1</sup>.

Neomezené obrazce mohou mít grupy izometrií včetně translací; skládají se z:
* 7 [[Vlysová grupa|vlysových grup]]
* 17 [[Tapetová grupa|tapetových grup]]
* z kombinace všech symetrií v grupě symetrií v jednorozměrném prostoru v jednom směru a grupy všech translací ve směru kolmém
* totéž také se symetrií v přímce v prvním směru.

== Trojrozměrný prostor ==
{{Viz též|Bodové grupy v trojrozměrném prostoru}}

Množina trojrozměrných bodových grup sestává ([[až na]] konjugaci) ze 7 nekonečných řad a 7 dalších jednotlivých grupy. V krystalografii se pracuje pouze s těmi bodovými grupami, který zachovávají nějakou krystalovou mřížku (takže jejich rotace mohou mít řád pouze 1, 2, 3, 4 nebo 6). Toto [[Věta o krystalografickém omezení|krystalografické omezení]] nekonečné rodiny obecných bodových grup dává 32 krystalografických bodových grup (27 jednotlivých grup ze 7 řad a 5 ze 7 dalších jednotlivých).

Spojité grupy symetrií s pevným bodem jsou následující:
* válcová symetrie bez roviny symetrie kolmé na osu; uplatňuje se například u pivních lahví
* válcová symetrie s rovinou symetrie kolmou na osu
* sférická symetrie

Pro objekty se vzory [[Skalární pole|skalárního pole]] způsobuje válcová symetrie také vertikální zrcadlovou symetrii. Pro vzory [[Vektorové pole|vektorového pole]] to však není pravda: například ve [[Válcové souřadnice|válcových souřadnicích]] vzhledem k nějaké ose, má vektorové pole
<math>\mathbf{A} = A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z}</math> válcovou symetrie vzhledem k ose, pokud <math>A_\rho, A_\phi,</math> a <math> A_z</math> mají tyto symetrie (nezávisí na <math>\phi</math>); a zrcadlovou symetrii má pouze, pokud <math>A_\phi = 0</math>.

U sférické symetrie žádný takový rozdíl neexistuje: jakýkoli vzorovaný objekt má roviny zrcadlové symetrie.

Spojité grupy symetrií bez pevného bodu zahrnují grupy s [[Osa šroubovice|osou šroubovice]], jako například nekonečná [[šroubovice]]. Viz také [[Eukleidovská grupa#Podgrupy|podgrupy Eukleidovské grupy]].

== Grupy symetrií obecně ==
{{Viz též|Automorfismus|Grupa automorfismů}}
V širším kontextu může být '''grupa symetrií''' ({{Vjazyce2|en|''symmetry group''}}) jakýmkoli druhem '''transformační grupy''' nebo grupy [[Automorfismus|automorfismů]]. Každý typ [[Matematická struktura|matematické struktury]] má [[Bijekce|invertovatelné zobrazení]], které zachovává strukturu. A naopak, popisem grupy symetrií můžeme definovat strukturu nebo alespoň vyjasnit význam geometrické kongruence nebo invariance; jde o jednu z možností, jak nahlížet na [[Erlangenský program]].

Například objekty v hyperbolické [[Neeukleidovská geometrie|neeukleidovské geometrii]] mají [[Fuchsovská grupa|Fuchsovské grupy symetrií]], což jsou diskrétní podgrupy grupy izometrií hyperbolické roviny zachovávající hyperbolickou místo Eukleidovské vzdálenosti. (Některé jsou zobrazeny na kresbách [[M. C. Escher]]a.) Podobně grupy automorfismů [[Konečná geometrie|konečných geometrií]] zachovávají rodiny bodových množin (diskrétní podprostory) místo Eukleidovských podprostorů, vzdáleností nebo skalárních součinů. Stejně jako pro Eukleidovská obrazce, objekty v jakémkoli geometrickém prostoru mají grupy symetrií, které jsou podgrupami symetrií okolního prostoru.

Dalším příkladem grupy symetrií je grupa [[Graf (teorie grafů)|kombinatorického grafu]]: symetrie grafu jsou permutace vrcholů, které zobrazují hrany na hrany. Jakákoli [[Prezentace grupy|konečně prezentovaná grupa]] je grupou symetrií jejího [[Cayleyův graf|Cayleyova grafu]]; [[volná grupa]] je grupa symetrií nekonečného [[Strom (graf)|stromu]].

== Struktura grupy vyjádřená symetriemi ==
[[Cayleyova věta]] říká, že jakákoli abstraktní grupa je podgrupou permutací nějaké množiny ''X'', a proto ji lze považovat za grupu symetrií množiny ''X'' s nějakou zvláštní strukturou. Mnoho abstraktních vlastností grupy (definovaných čistě grupovými operacemi) lze navíc interpretovat pomocí symetrií.

Nechť například ''G'' = Sym(''X'') je konečná grupa symetrií geometrického obrazce ''X'' v eukleidovském prostoru, a nechť ''H'' ⊂ ''G'' je její podgrupa. Pak lze ''H'' interpretovat jako grupu symetrií množiny ''X''<sup>+</sup>, jako „označenou“ verzi množiny ''X''. Takové označení je možné zkonstruovat následujícím způsobem: přidáme nějaké vzory, např. šipky nebo barvy k ''X'', abychom porušili veškerou symetrii, čímž dostaneme obrazec ''X''<sup>#</sup>, jehož Sym(''X''<sup>#</sup>) = {1}, triviální podgrupa; tj. ''gX''<sup>#</sup> ≠ ''X''<sup>#</sup> pro všechny netriviální ''g'' ∈ ''G''. Nyní dostaneme:
:<math>
X^+ \ = \ \bigcup_{h\in H} hX^{\#} \quad\text{vyhovuje}\quad
H = \mathrm{Sym}(X^+).
</math>

V tomto rámci je také možné charakterizovat [[Normální podgrupa|normální podgrupy]].
Grupa symetrií translace ''gX'' <sup>+</sup> je konjugovaná podgrupa ''gHg''<sup>−1</sup>. Tedy ''H'' je normální pokud:
:<math>
\mathrm{Sym}(gX^+) = \mathrm{Sym}(X^+) \ \ \text{pro všechny} \ g\in G;
</math>
tj. když označení ''X''<sup>+</sup> může být vybráno v libovolné orientaci, vzhledem k jakékoli straně nebo vlastnosti objektu ''X'', a stále dává stejnou grupu symetrií ''gHg''<sup>−1</sup> = ''H''.

Příkladem je dihedrální grupa ''G'' = ''D''<sub>3</sub> = Sym(''X''), kde ''X'' je rovnostranný trojúhelník. Můžeme jej označit šipkou na jedné hraně, čímž získáme asymetrický obrazec ''X''<sup>#</sup>. Pokud τ ∈ ''G'' bude symetrie označené hrany, složený obrazec ''X''<sup>+</sup> = ''X''<sup>#</sup> ∪ τ''X''<sup>#</sup> bude mít na této hraně obousměrnou šipku a jeho grupa symetrií bude ''H'' = {1, τ}. Tato podgrupa není normální, protože ''gX''<sup>+</sup> může mít obousměrnou šipku na jiné hraně, což dává jinou grupu zrcadlových symetrií.

Pokud však položíme H = {1, ρ, ρ<sup>2</sup>} ⊂ ''D''<sub>3</sub>, bude cyklická podgrupa generovaná rotací; označený obrazec ''X''<sup>+</sup> bude sestávat z 3-cyklu šipek s konzistentní orientací. ''H'' je pak normální, protože nekreslení takového cyklu s libovolnou orientací dává stejnou grupu symetrií ''H''.

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Symmetry group|1008308684}}<references />

=== Související články ===
* [[Krystalografie]]
* [[Krystalografická bodová grupa]]
* [[Krystalografická soustava]]
* [[Izometrie Eukleidovské roviny]]
* [[Pevné body grupy izometrií v eukleidovském prostoru]]
* [[Molekulární symetrie]]
* [[Grupa permutací]]
* [[Bodová grupa]]
* [[Prostorová grupa]]
* [[Symetrická grupa]]
* [[Symetrie]]
* [[Symetrie v kvantové mechanice]]

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | příjmení = Burns
 | jméno = G.
 | příjmení2 = Glazer
 | jméno2 = A. M.
 | rok = 1990
 | titul = Space Groups for Scientists and Engineers
 | vydání = 2
 | místo = Boston
 | vydavatel = Academic Press, Inc
 | isbn = 0-12-145761-3
 | url-přístup = registrace
 | url = https://archive.org/detaily/spacegroupsforso0000burn
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Clegg
 | jméno = W
 | rok = 1998
 | titul = Crystal Structure Determination (Oxford Chemistry Primer)
 | vydavatel = [[Oxford University Press]]
 | místo = Oxford
 | isbn = 0-19-855901-1
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = O'Keeffe
 | jméno = M.
 | příjmení2 = Hyde
 | jméno2 = B. G.
 | rok = 1996
 | titul = Crystal Structures; I. Patterns and Symmetry
 | vydavatel = Mineralogical Society of America, Monograph Series
 | místo = Washington, D.C.
 | isbn = 0-939950-40-5
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Miller
 | jméno = Willard Jr.
 | rok = 1972
 | titul = Symmetry Groups and Their Application
 | vydavatel = Academic Press
 | místo = New York
 | oclc = 589081
 | url = http://www.ima.umn.edu/~miller/symmetrygroups.html
 | datum přístupu = 2009-09-28
 | url-status = mrtvý
 | url archivu = https://WWW.archive.org/WWW/20100217091244/http://www.ima.umn.edu/~miller/symmetrygroups.html
 | datum archivace = 2010-02-17
 | ref = harv
 }} {{Wayback|url=http://www.ima.umn.edu/~miller/symmetrygroups.html |date=20100217091244 }}

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{MathWorld | urlname=SymmetryGroup | titul=Symmetry Group}}
* {{MathWorld | urlname=TetrahedralGroup | titul=Tetrahedral Group}}
* [http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/Solids.html Přehled 32 krystalografických bodových grup] - tvoří první část (až na vynechání ''n''=5) ze 7 nekonečných řad a 5 ze 7 zvláštních 3D bodových grup
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Symetrie]]
[[Kategorie:Teorie grup]]