Zobrazení zdroje stránky Grupa

{{různé významy|tento=[[matematika|matematice]]|druhý=[[chemie|chemii]]|stránka=Skupina (periodická tabulka)}}
[[Soubor:Rubik's cube.svg|náhled|vpravo|Všechny povolené transformace [[Rubikova kostka|Rubikovy kostky]] tvoří grupu]]
'''Grupa''' je v&nbsp;[[matematika|matematice]] [[algebraická struktura]] tvořená [[množina|množinou]] spolu s&nbsp;[[binární operace|binární operací]], která je [[asociativita|asociativní]], má [[neutrální prvek]] a každý prvek má svou [[inverzní prvek|inverzi]]. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá [[teorie grup]]. Příkladem grup jsou [[celé číslo|celá čísla]] s operací [[sčítání]], nenulová [[racionální číslo|racionální čísla]] s&nbsp;operací [[násobení]], [[symetrie]] pravidelných [[geometrický útvar|geometrických útvarů]], množiny [[regulární matice|regulárních matic]] a [[automorfismus|automorfismy]] různých [[algebraická struktura|algebraických struktur]].

[[Teorie grup]] vznikla počátkem 19. století. U&nbsp;jejího zrodu stál matematik [[Évariste Galois]], který pomocí grup podal elegantní důkaz, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v&nbsp;[[geometrie|geometrii]], [[teorie čísel|teorii čísel]], [[algebraická topologie|algebraické topologii]] a&nbsp;dalších matematických oborech. [[Klasifikace jednoduchých konečných grup]] byla dokončena koncem 20.&nbsp;století a&nbsp;patří k největším výsledkům matematiky vůbec.

Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a&nbsp;má významné uplatnění i&nbsp;v&nbsp;příbuzných oborech – ve [[fyzika|fyzice]], [[informatika|informatice]] a&nbsp;[[chemie|chemii]]. [[Reprezentace (grupa)|Reprezentace grup]] hrají důležitou úlohu v&nbsp;teoriích jako jsou [[Fyzika částic|částicová fyzika]], [[kvantová teorie pole]] anebo [[teorie strun]]. V&nbsp;informatice se grupy vyskytují například v&nbsp;[[kryptografie|kryptografii]], [[kódování]] anebo [[zpracování obrazu]], chemie používá grupy pro popis symetrií [[molekula|molekul]] a&nbsp;[[Krystalová mřížka|krystalových mřížek]] v&nbsp;[[krystalografie|krystalografii]].

== Definice grupy ==
[[Soubor:Magma to group4 cz.svg|náhled|Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).]]

Grupou nazýváme [[množina|množinu]] <math>G</math> spolu s&nbsp;[[binární operace|binární operací]] na ní, která se nazývá '''grupová operace'''. Tato operace libovolným dvěma prvkům grupy <math>a, b</math> přiřazuje prvek téže grupy <math>c</math>. Značení grupové operace se v literatuře liší. Obvykle se značí jako násobení <math>c=a\cdot b</math>, resp. jenom <math>c=ab</math>, v [[Abelova grupa|Abelových grupách]] často jako sčítání <math>c=a+b</math>, a někdy také pomocí dalších symbolů (<math>a\circ b</math>, resp. <math>a*b</math>). Podle kontextu říkáme, že <math>c</math> je ''složení'', resp. ''součin'', resp. ''součet'' prvků <math>a</math> a&nbsp;<math>b</math>. Dále se v&nbsp;definici grupy požaduje, aby grupová operace splňovala určité vlastnosti, které se nazývají [[axiom]]y grupy.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Ramond
 | jméno=Pierre  
 | titul=Group Theory: A Physicist's Survey
 | url=https://archive.org/details/grouptheoryphysi00ramo_629
 | vydavatel=Cambridge University Press
 | isbn=9780521896030
 | počet stran= 310
 | strany=[https://archive.org/details/grouptheoryphysi00ramo_629/page/n16 5]
 | rok=2010
 | jazyk=anglicky}}</ref>

;[[Operace (matematika)#Uzavřenost množiny na operaci|Uzavřenost]]

:Pro všechny prvky <math>a, b</math> v&nbsp;<math>G</math> je i&nbsp;složení <math>a\cdot b</math> prvkem <math>G</math>.<ref group="pozn">Tento axiom je implicitně obsažen v&nbsp;tom, že <math>\cdot</math> je [[binární operace]] na <math>G</math> a&nbsp;někdy se proto vynechává.</ref>

;[[Asociativita]]

:Pro všechny prvky <math>a, b, c</math> grupy <math>G</math> platí <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>, tj.&nbsp;výsledek složení tří prvků nezávisí na umístění závorek.<ref group="pozn">Výsledek složení více než dvou prvků grupy tedy nezávisí na pořadí, v kterém opakující se binární operaci vyhodnocujeme. Výraz <math>(a\cdot b)\cdot c</math> znamená, že nejdříve spočítáme <math>a\cdot b</math> a tento výsledek vynásobíme zprava <math>c</math>. Výraz <math>a\cdot (b\cdot c)</math> znamená, že nejdříve spočítáme <math>b\cdot c</math> a tento výsledek vynásobíme zleva <math>a</math>.</ref> Díky tomu má smysl psát složení tří a více prvků <math>a\cdot b\cdot c</math> i&nbsp;bez závorek.

;Existence [[neutrální prvek|neutrálního prvku]]

:Existuje prvek <math>e\in G</math> takový, že pro všechna <math>a\in G</math> platí <math>a\cdot e=e\cdot a=a</math>. Tento prvek se nazývá ''neutrální prvek'' anebo ''jednotkový prvek'' a&nbsp;značí se také <math>1</math>, resp. <math>1_G</math>.<ref group="pozn">Často používané písmeno <math>e</math> je odvozeno z&nbsp;německého ''Einheit'', viz [http://mathworld.wolfram.com/IdentityElement.html Identity Element] na Wolfram mathword.</ref>

;Existence [[inverzní prvek|inverzního prvku]]

:Pro každý prvek grupy <math>a</math> existuje prvek <math>b</math> takový, že <math>a\cdot b=b\cdot a=e</math>, tj.&nbsp;jejich složení v&nbsp;libovolném pořadí je rovno neutrálnímu prvku <math>e</math>. Prvek <math>b</math> se také nazývá inverzní prvek k&nbsp;<math>a</math> a&nbsp;značí se <math>a^{-1}</math>. Lze ukázat, že neutrální prvek je v&nbsp;grupě jenom jeden a&nbsp;že inverzní prvek k&nbsp;<math>a</math> je dán jednoznačně.

V&nbsp;grupách obecně záleží na pořadí, ve kterém prvky skládáme, tj.&nbsp;obecně nemusí platit <math>a\cdot b=b\cdot a</math>. Grupa, ve které tato rovnost platí pro všechna <math>a, b</math>, se nazývá ''komutativní grupa'' nebo také ''[[Abelova grupa]]''.

[[Množina]] <math>G</math> z&nbsp;této definice se označuje jako '''nosič''' nebo [[nosná množina]] grupy. Označíme-li operaci jako sčítání <math>(+)</math>, mluvíme o&nbsp;''aditivní grupě'' a&nbsp;píšeme <math>(G, +)</math>. Obvykle se používá aditivní notace pro grupy [[Abelova grupa|Abelovy]] a&nbsp;neutrální prvek se pak zapisuje jako <math>0</math>. Označíme-li operaci jako násobení <math>(\cdot)</math>, hovoříme o&nbsp;''multiplikativní grupě'' a&nbsp;píšeme <math>(G, \cdot)</math>. V&nbsp;takovém případě se často znak <math>\cdot</math> nepíše a&nbsp;součin prvků <math>a, b</math> se značí jako <math>ab</math>. Neutrální prvek multiplikativní grupy se obvykle značí jako <math>1</math>.

=== Definice pomocí tří operací ===
Ekvivalentně lze grupu definovat pomocí
* nulární operace (tj. konstanty) <math>e</math> představující neutrální prvek,
* [[Unární operace|unární]] operace <sup>−1</sup>, která každému prvku přiřadí prvek k&nbsp;němu inverzní, a
* [[binární operace]],
které splňují axiomy uvedené výše. Místo označení „''grupa <math>(\Z,+) \,\! </math>''“ se pak používá označení „''grupa <math>(\Z,+,0,-) \,\! </math>''“. Axiomy grupy lze pak přepsat do [[výrok (logika)|výroků]], které neobsahují [[existenční kvantifikátor]]y. Třída všech grup proto je [[Varieta algeber|varieta]],<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Plotkin
 | jméno=Boris Isaakovich 
 | titul=Universal algebra, algebraic logic, and databases
 | url=https://archive.org/details/universalalgebra00plot
 | vydavatel=Springer
 | isbn=9780792326656
 | počet stran= 438
 | strany=[https://archive.org/details/universalalgebra00plot/page/n58 48]
 | rok=1994
 | jazyk=anglicky}}</ref> a&nbsp;tak lze na grupy vztáhnout mnohé výsledky dokázané v&nbsp;[[Univerzální algebra|univerzální algebře]].

== Ilustrativní příklady ==
=== Celá čísla ===
Známým příkladem grupy je množina [[celé číslo|celých čísel]] spolu s&nbsp;operací [[sčítání]].<ref name="Rosicky_s9">{{Citace monografie
 | příjmení = Rosický
 | jméno = Jiří
 | titul = Algebra
 | vydavatel = Masarykova univerzita
 | místo = Brno
 | rok = 2005
 | vydání = 4 (1.dotisk)
 | počet stran = 133
 | kapitola = 1
 | strany = 9
 | isbn = 80-210-2964-1
 | jazyk = cs
}}</ref><ref name="Prochazka_s100">{{Citace monografie
 | příjmení = Procházka
 | jméno = Ladislav
 | spoluautoři = a kol.
 | titul = Algebra
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 1990
 | počet stran = 560
 | kapitola = III.
 | strany = 100
 | isbn = 80-200-0301-0
 | jazyk = cs
}}</ref>
 
* Operace sčítání je na této množině binární operace, protože součtem dvou celých čísel je opět celé číslo.
* Sčítání je asociativní, <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>
* Nula je neutrální prvek, protože pro každé celé číslo a&nbsp;platí <math>a+0=0+a=a</math>
* Pro každé celé číslo <math>a</math> existuje opačné číslo <math>-a</math>, <math>a+(-a)=(-a)+a=0</math>.
[[Axiom]]y jsou tedy splněny. Tato grupa se obvykle značí <math>(\Z,+)</math>.

=== Dihedrální grupa D<sub>4</sub> ===

[[Symetrie]] čtverce jsou definovány jako [[Otočení|rotace]], [[Osová souměrnost|zrcadlení]] resp. jejich složení, které převádí čtverec sám na sebe. Množina všech takových symetrií tvoří grupu, která má osm prvků a značí se D<sub>4</sub>.<ref name="Prochazka_s100" /><ref name="Valvoda">{{Citace monografie
 | příjmení = Valvoda
 | jméno = Václav
 | příjmení2 = Polcarová
 | jméno2 = Milena
 | příjmení3 = Lukáč
 | jméno3 = Pavel
 | titul = Základy strukturní analýzy
 | vydání = 1
 | vydavatel = Karolinum
 | místo = Praha
 | rok = 1992
 | počet stran = 489
 | strany = <!--knihu momentálně fyzicky nemám, ale je to hned někde ze začátku-->
 | isbn = 80-7066-648-X
 | jazyk = cs
}}</ref> Následuje popis těchto symetrií:
{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Soubor:group D8 id.svg|140px]] <br /> id (identita)  || [[Soubor:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotace o 90° doprava) || [[Soubor:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotace o 180° doprava) || [[Soubor:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotace o 270° doprava)
|-
| [[Soubor:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (vertikální překlopení) || [[Soubor:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (horizontální překlopení)|| [[Soubor:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (diagonální překlopení) || [[Soubor:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (anti-diagonální překlopení)
|-
|style="text-align:left" colspan=4 | Prvky grupy symetrií čtverce (D<sub>4</sub>). Vrcholy jsou očíslovány a obarveny jenom za účelem vizualizace operací.
|}
{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ Násobení v grupě D<sub>4</sub>
|-
!width="12%" style="background:#FDD; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| •
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| id
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>1</sub>
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>2</sub>
!style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>3</sub>
! width="11%"| f<sub>v</sub> !!width="11%"| f<sub>h</sub> !!width="11%"| f<sub>d</sub> !!width="11%"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | id
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>3</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>d</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| id || f<sub>c</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>v</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>h</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>1</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>c</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>d</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| id
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>2</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>c</sub>
|| f<sub>h</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| f<sub>v</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>v</sub>
| f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub>|| id || r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>h</sub>
| f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> ||style="background:#DDF;border:solid black 2px;"| f<sub>d</sub> || r<sub>2</sub> || id || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>d</sub>
| f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub> || id || r<sub>2</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>v</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>d</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | f<sub>h</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>2</sub> || id
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Prvky id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> a r<sub>3</sub> tvoří [[podgrupa|podgrupu]], zvýrazněnou červeně (levá horní oblast). Prvek levé a pravé třídy rozkladu podle této podgrupy je zvýrazněna zelenou (v posledním řádku) a žlutou (v posledním sloupci).
|}
* Identita (id) nechává čtverec nezměněn
* Rotace čtverce o 90°, 180°, a 270° doprava (<math>r_1, r_2</math> a <math>r_3</math>)
* Překlopení (také reflexe nebo [[Osová souměrnost|zrcadlení]]) kolem vertikální a horizontální střední úsečky (<math>f_h</math> a&nbsp;<math>f_v</math>), a&nbsp;kolem dvou diagonál (<math>f_d</math> a&nbsp;<math>f_c</math>).

Binární operaci v této grupě definujeme jako [[skládání zobrazení]]: osm symetrií jsou zobrazení ze&nbsp;čtverce na čtverec a&nbsp;dvě symetrie se dají složit do&nbsp;nové symetrie. Je zřejmé, že výsledek bude opět symetrie čtverce. Výsledek operace „nejdříve <math>a</math> a&nbsp;pak <math>b</math>“ se obvykle značí zprava doleva jako <math>b\cdot a</math>. Podobné značení se totiž používá pro skládání zobrazení. Například <math>r_1\cdot r_1=r_2</math>.

Tabulka vpravo znázorňuje výsledky všech možných složení. Například výsledek složení rotace o 270° doprava (<math>r_3</math>) a&nbsp;horizontálního překlopení (<math>f_h</math>) je stejný jako překlopení kolem diagonály (<math>f_d</math>). Formálně,
:<math>f_h \cdot  r_3 = f_d</math>
což je v&nbsp;tabulce zvýrazněno modrou barvou. Vidíme také, že grupa není komutativní, neboť například
:<math>f_v\cdot r_1=f_d\neq f_c=r_1\cdot f_v.</math>

== Dějiny ==
[[Soubor:Evariste galois.jpg|náhled|vpravo|[[Évariste Galois]] ve&nbsp;věku 15 let. Přestože zemřel dvacetiletý, je považován za jednoho ze zakladatelů [[teorie grup]]]]
Koncept grupy se vyvinul z různých oblastí matematiky.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Wussing 
 | jméno=Hans
 | titul=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory
 | url=https://archive.org/details/genesisofabstrac0000wuss
 | vydavatel=Dover Publications
 | místo=New York
 | isbn=978-0-486-45868-7
 | rok=2007
 | jazyk=anglicky}}</ref><ref>{{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey  | mr=863090 | year=1986 | journal=Mathematics Magazine   | volume=59 | issue=4 | pages=195–215}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Smith
 | jméno=David Eugene
 | titul=History of Modern Mathematics
 | url=http://www.gutenberg.org/etext/8746
 | série=Mathematical Monographs, No. 1
 | rok=1906
 |jazyk=anglicky}}</ref> Původní motivace pro teorii grup byla snaha řešit [[polynomiální rovnice]] stupně vyššího než&nbsp;4. [[Kvadratická rovnice|Kvadratické rovnice]] uměli lidé řešit už v&nbsp;[[starověk]]ých civilizacích.<ref>[http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A2982567 The History Behind The Quadratic Formula]</ref> [[Lodovico Ferrari]] uměl řešit polynomiální rovnice stupně 3 a&nbsp;4 kolem roku 1540,<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferrari.html Lodovico Ferrari], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ MacTutor History of Mathematics archive], University of St Andrews.</ref> řešení publikoval spolu s&nbsp;[[Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardanem]] v&nbsp;knize ''Ars Magna'' v&nbsp;roce 1545. Pro polynomiální rovnice vyššího stupně však obecně nelze řešení vyjádřit vzorcem obsahujícím pouze konečný počet sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin. Historickou terminologií se jedná o nalezení řešení pomocí ''radikálů'', moderní terminologie mluví o ''algebraicky řešitelné'' rovnici.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Havlíček
 | jméno = Karel
 | rok = 1976
 | titul = Cesty moderní matematiky
 | vydavatel = Horizont
 | místo = Praha
 | stránky = 62
}}</ref> Počátkem 19.&nbsp;století francouzský matematik [[Évariste Galois]], navazuje na starší práce [[Paolo Ruffini|Ruffiniho]] a&nbsp;[[Joseph Louis Lagrange|Lagrangeho]], nalezl kritérium pro algebraickou řešitelnost polynomiálních rovnic. Existence takového řešení závisí na&nbsp;grupě symetrií [[Kořen (matematika)|kořenů]] daného polynomu. Tato grupa se dnes nazývá [[Galoisova grupa]] a&nbsp;její prvky jsou jisté [[permutace]] kořenů.

Galoisovy myšlenky byly jeho současníky odmítnuty a&nbsp;publikovány až posmrtně.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Galois
 | jméno=Évariste
 | odkaz na autora=Évariste Galois
 | titul=Manuscrits de Évariste Galois 
 | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280
 | vydavatel=Gauthier-Villars
 | místo=Paris
 | rok=1908
 | jazyk=francouzsky}} (Galoisovo dílo bylo prvně publikováno [[Joseph Liouville|Josephem Liouvillem]] v roce 1843)</ref><ref>Kleiner, str. 202</ref> Obecnější [[symetrická grupa|permutační grupy]] byly zkoumány [[Augustin Louis Cauchy|Augustinem Cauchym]]. První definici konečné grupy a&nbsp;také název „grupa“ zavedl [[Arthur Cayley]] v&nbsp;publikaci ''On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup> = 1'' (1854).

[[Geometrie]] byla druhou oblastí, ve které byly grupy systematicky využívány, hlavně grupy symetrií geometrických prostorů zavedené [[Felix Christian Klein|Felixem Kleinem]] v&nbsp;[[Erlangenský program|Erlangenském programu]] v&nbsp;roce 1872.<ref>Wussig, §III.2</ref> Klein využil teorii grup pro popis a&nbsp;kategorizaci nově se&nbsp;objevivších geometrií jako [[hyperbolická geometrie]], [[projektivní geometrie]] a&nbsp;starší [[Eukleidovská geometrie|Eukleidova geometrie]]. Dále tento koncept rozvinul [[Sophus Lie]], který zavedl [[Lieova grupa|Lieovy grupy]] v&nbsp;roce 1884.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Lie
 | jméno=Sophus
 | odkaz na autora=Sophus Lie
 | titul=Gesammelte Abhandlungen, Band 1
 | vydavatel=Johnson Reprint Corp.
 | místo=New York
 | mr=0392459
 | rok=1973
 | jazyk=německy}}.</ref>

Třetí oblast, která přispěla ke&nbsp;vzniku a&nbsp;rozšíření [[teorie grup]], byla [[teorie čísel]]. Jisté struktury odpovídající [[Abelova grupa|Abelovým grupám]] byly implicitně použity v&nbsp;[[Carl Friedrich Gauss|Gaussově]] číselně teoretickém díle ''Disquisitiones Arithmeticae'' a&nbsp;explicitněji je používal i&nbsp;[[Leopold Kronecker]].<ref>Kleiner, str. 204</ref> V&nbsp;roce 1847 [[Ernst Eduard Kummer|Ernst Kummer]] v&nbsp;raných pokusech dokázat [[Velká Fermatova věta|Velkou Fermatovu větu]] zavedl grupy popisující faktorizaci na [[prvočíslo|prvočísla]].<ref>Wussig, §I.3.4</ref>

Spojování těchto přístupů do&nbsp;jednotné teorie grup začalo [[Camille Jordan|Jordanovou]] publikací ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' (1870).<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Jordan
 | jméno=Camille
 | odkaz na autora=Camille Jordan
 | titul=Traité des substitutions et des équations algébriques 
 | url=https://archive.org/details/traitdessubstit01jordgoog
 | vydavatel=Gauthier-Villars
 | místo=Paris
 | rok=1870
 | jazyk=francouzsky}}</ref> [[Walther von Dyck]] (1882) zavedl první moderní definici grupy.<ref>{{Citation | last1=von Dyck | year=1882|first1=Walther | title=Gruppentheoretische Studien | doi=10.1007/BF01443322 | journal=Mathematische Annalen   | volume=20 | issue=1 | pages=1–44}}</ref>

Počátkem 20.&nbsp;století získaly grupy široké přijetí díky práci [[Ferdinand Georg Frobenius|Ferdinanda Frobenia]] a [[William Burnside|Williama Burnsidea]], kteří pracovali na [[reprezentace (grupa)|teorii reprezentací]] konečných grup, a&nbsp;také díky článkům [[Richard Brauer|Richarda Brauera]] (modulární teorie reprezentací) a&nbsp;[[Issai Schur|Issaie Schura]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Curtis
 | jméno=Charles W.
 | titul=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer
 | url=https://archive.org/details/pioneersofrepres0015curt
 | vydavatel=American Mathematical Society
 | místo=Providence, R.I.
 | série=History of Mathematics
 | isbn=978-0-8218-2677-5
 | rok=2003
 | jazyk=anglicky}}.</ref> Teorie Lieových grup a obecněji lokálně kompaktních grup byla publikována [[Hermann Weyl|Hermannem Weylem]], [[Élie Cartan]]em a&nbsp;mnoha dalšími.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Mackey
 | jméno=George Whitelaw
 | titul=The theory of unitary group representations
 | url=https://archive.org/details/theoryofunitaryg0000mack
 | vydavatel=University of Chicago Press
 | rok=1976
 |jazyk=anglicky}}</ref> Její algebraický protějšek, teorie [[algebraická grupa|algebraických grup]], byla prvně popsána [[Claude Chevalley|Chevalleyem]] (koncem 30. let) a později [[Armand Borel|Armandem Borelem]] a [[Jacques Tits|Jacquesem Titsem]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Borel
 | jméno=Armand
 | titul=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups
 | vydavatel=[[American Mathematical Society]]
 | místo=Providence, R.I.
 | isbn=978-0-8218-0288-5
 | rok=2001
 | jazyk=anglicky}}</ref>

V&nbsp;letech 1960–61 zorganizovala Univerzita v Chicagu ''Rok teorie grup'' a&nbsp;teoretici jako [[Daniel Gorenstein]], [[John G. Thompson]] a&nbsp;[[Walter Feit]] založili spolupráci, která s&nbsp;přispěním mnohých jiných matematiků vedla ke&nbsp;[[klasifikace jednoduchých konečných grup|klasifikaci jednoduchých konečných grup]] v&nbsp;roce 1982. Tento projekt předčil svým rozsahem předchozí matematické spolupráce, a&nbsp;to jak délkou [[matematický důkaz|důkazů]], tak počtem zapojených matematiků. Ačkoliv je klasifikace hotova, výzkum pokračuje s cílem zjednodušit důkaz této klasifikace.<ref>{{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf |format=PDF| year=2004 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=51 | issue=7 | pages=736–740}}</ref> I v&nbsp;současnosti je [[teorie grup]] rozvíjející se oblast matematiky, která ovlivňuje řadu souvisejících teorií.

== Základní pojmy ==
V&nbsp;této kapitole budeme pro grupovou operaci používat symbol pro součin (<math>\cdot</math>), složení prvků <math>a</math> a&nbsp;<math>b</math> budeme značit <math>a\cdot b</math>. V případě Abelových grup budeme používat symbol pro součet (<math>+</math>) a psát <math>a+b</math>.

=== Řád prvku a grupy ===
''Řádem grupy'' <math>G</math> se nazývá [[mohutnost]] <math>|G|</math> její nosné množiny.

[[Řád prvku|''Řádem prvku'']] <math>g</math> se nazývá nejmenší přirozené číslo <math>n</math> takové, že <math>g^n=g\cdot g\cdot\ldots\cdot g=e</math> (součin <math>n</math> krát prvku <math>g</math>) anebo <math>\infty</math>, pokud takové <math>n</math> neexistuje.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Landin
 | jméno = Joseph
 | titul = An introduction to algebraic structures
 | vydavatel = Courier Dover Publications
 | rok = 1989
 | počet stran = 247
 | isbn = 9780486659404
 | strany = 68, definice 8
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/introductiontoal00land
 }}</ref>

=== Cyklická grupa ===
[[Soubor:Cyclic group.svg|vpravo|náhled|220px|Množina [[komplexní číslo|komplexních]] šestých odmocnin z&nbsp;jednotky tvoří šestiprvkovou cyklickou grupu. Například <math>z=e^{2\pi/6}</math> je její generátor, ale <math>z^2</math> není, neboť liché mocniny <math>z</math> nejsou mocniny <math>z^2</math>.]]
{{Podrobně|Cyklická grupa}}

Grupa <math>G</math> se nazývá cyklická, pokud je generována jedním prvkem. To znamená, že existuje prvek <math>x\in G</math> takový, že každý prvek <math>g\in G</math> lze napsat jako <math>g=x^n</math> pro nějaké celé číslo <math>n</math>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Lang
 | jméno=Serge
 | titul=Undergraduate Algebra
 | url=https://archive.org/details/undergraduatealg00lang_077
 | vydavatel=Springer
 | místo=Berlin, New York 
 | rok=2005
 | kapitola=§II.1
 | strany=[https://archive.org/details/undergraduatealg00lang_077/page/n32 22]
 | isbn=978-0-387-22025-3 
 | jazyk=anglicky}}</ref>
Výraz <math>x^n=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x</math> znamená, že prvek <math>x</math> je vynásoben sám se sebou <math>n</math>&nbsp;krát, a <math>x^{-n}=x^{-1}\cdot x^{-1}\cdot\ldots\cdot x^{-1}</math> znamená, že je prvek <math>x^{-1}</math> vynásoben sám se sebou <math>n</math>&nbsp;krát pro nějaké [[přirozené číslo]]&nbsp;<math>n</math>. Konečnou cyklickou grupu řádu <math>n</math> lze reprezentovat množinou řešení rovnice <math>z^n=1</math> v&nbsp;[[komplexní rovina|komplexní rovině]], což je pro <math>n=6</math> znázorněno na obrázku. Grupové násobení je pak obyčejné násobení [[komplexní číslo|komplexních čísel]]. Jinou reprezentaci představuje množina zbytkových tříd <math>\Z_n</math> spolu se sčítáním [[zbytek po dělení|modulo]] <math>n</math>.

Pokud je cyklická grupa nekonečná, je izomorfní grupě celých čísel <math>(\Z,+)</math>. Pokud je konečná a&nbsp;má <math>n</math> prvků, je izomorfní množině zbytkových tříd <math>(\Z_n,+)</math>.<ref>
{{Citace monografie
 | příjmení = Mac Lane
 | jméno = S.
 | příjmení2 = Birkhoff
 | jméno2 = G.
 | titul = Algebra
 | vydavatel = Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry 
 | rok = 1974
 | místo = Bratislava 
 | kapitola = III (grupy)
 | strany =106, Veta 4,5
 | jazyk=slovensky}}
</ref>

=== Abelova grupa ===
{{Viz též|Abelova grupa}}
Grupu <math>(G, +)</math> nazýváme ''[[Abelova grupa|Abelovou]]'' (také [[Komutativita|komutativní]]), platí-li <math>a + b = b + a</math> pro všechna <math>a,\, b\in G</math>. Pojmenování je po norském matematikovi [[Niels Henrik Abel|Henrikovi Abelovi]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Jacobson
 | jméno=Nathan
 | titul=Basic algebra
 | vydavatel=[[American Mathematical Society]]
 | isbn=978-0-486-47189-1
 | rok=2009
 | strany=41
 | jazyk=anglicky}}</ref> Příklady Abelových grup jsou [[celé číslo|celá čísla]] spolu s&nbsp;operací sčítání <math>(\Z,+)</math>, [[reálné číslo|reálná čísla]] se&nbsp;sčítáním <math>(\R,+)</math>, [[množina zbytkových tříd|množiny zbytkových tříd]] se sčítáním <math>(\Z_n,+)</math>, [[vektorový prostor|vektorové prostory]] se sčítáním, anebo nenulová reálná čísla spolu s&nbsp;operací násobení <math>(\R\backslash\{0\},\cdot)</math>. Každá Abelova grupa se dá chápat jako [[modul (matematika)|modul]] nad [[okruh (algebra)|okruhem]] celých čísel a&nbsp;naopak, modul nad okruhem celých čísel je Abelova grupa.

Konečné Abelovy grupy se dají jednoduše klasifikovat. Každá konečná Abelova grupa je izomorfní [[direktní suma grup|direktní sumě]] [[cyklická grupa|cyklických grup]], jejichž řády jsou mocniny prvočísel. Speciální případ tohoto tvrzení popisuje [[čínská věta o zbytcích]], která byla částečně popsána už v&nbsp;knize ''Sun-c' suan-ťing'' čínského matematika [[Sun-c' (matematik)|Sun-c’]] mezi 3.&nbsp;a&nbsp;5.&nbsp;stoletím.<ref>The MacTutor History of Mathematics archive, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Sun_Zi.html Sun Zi] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Sun_Zi.html |date=20101201162008 }}</ref>

Obecněji, každá ''konečně generovaná'' Abelova grupa je součtem volných Abelových grup (izomorfních <math>\Z_n</math>) a&nbsp;cyklických grup řádů mocnin prvočísel.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Hungerford
 | jméno=Thomas W.  
 | titul=Algebra
 | url=https://archive.org/details/algebra00hung_830
 | vydavatel=Springer
 | isbn=9780387905181 
 | rok=1996
 | kapitola=2, věta 2.2
 | strany=[https://archive.org/details/algebra00hung_830/page/n100 76]
 | počet stran=502
 | jazyk=anglicky}}</ref><ref>Wolf Holzmann, [http://www.cs.uleth.ca/~holzmann/notes/abelian.pdf Classification of Finitely Generated Abelian Groups] (online)</ref> Například [[racionální číslo|racionální čísla]] spolu se&nbsp;sčítáním však nejsou konečně generována.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=La Harpe
 | jméno=Pierre 
 | titul=Topics in geometric group theory
 | vydavatel=AMS
 | isbn=9780226317212 
 | rok=2000
 | strany=46
 | jazyk=anglicky}}</ref>

Dalším důležitým příkladem Abelových grup jsou [[Prüferova grupa|Prüferovy grupy]]. Prüferova grupa <math>\Z(p^\infty)</math> je pro každé [[prvočíslo]] <math>p</math> [[Spočetná množina|spočetná]] Abelova grupa, v&nbsp;které má každý prvek <math>p</math>-tou [[odmocnina|odmocninu]]. Tyto grupy hrají důležitou roli v&nbsp;klasifikaci nekonečných Abelových grup.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Hazewinkel
 | jméno=Michiel  
 | titul=Encyclopaedia of mathematics
 | vydavatel=Springer
 | isbn=9781556080104 
 | počet stran=3748
 | rok=1995
 | strany=13–14
 | jazyk=anglicky}}</ref>

=== Podgrupa ===
[[Soubor:Dih4 subgroups.svg|náhled|vpravo|300px|Znázornění podgrup [[Dihedrální grupa|dihedrální grupy]] D<sub>4</sub> pomocí [[graf (teorie grafů)|grafu]]. Vrchol úplně nahoře obsahuje všech 8&nbsp;prvků grupy, které jsou znázorněny jako transformace písmena '''F''' a&nbsp;představuje celou grupu D<sub>4</sub>. Úplně dole je [[triviální podgrupa]], obsahující pouze neutrální prvek. Pokud jsou dva vrcholy v&nbsp;tomto grafu spojeny [[hrana (graf)|hranou]], představují příslušné vrcholy grupu a&nbsp;její podgrupu.]]
{{Viz též|Podgrupa}}
[[Podgrupa]] grupy <math>G</math> je každá taková podmnožina <math>H\subseteq G</math>, která splňuje<ref>Rosický, definice 5.1</ref>
# Pro libovolné <math>h_1, h_2\in H</math> je i <math>h_1\cdot h_2\in H</math>
# Neutrální prvek <math>e\in H</math>
# Pro každé <math>h\in H</math> je i <math>h^{-1}\in H</math>.

Podgrupa <math>H\subseteq G</math> je tedy sama o&nbsp;sobě grupou<ref group="pozn">Asociativita grupové operace platí, protože grupová operace je asociativní na celém <math>G</math>.</ref> (pojem „podgrupa“ se běžně používá jak pro samotnou množinu, tak pro množinu s operací, tj. grupu).

Samotná grupa <math>G</math> je vždy podgrupou <math>G</math>. Podobně jednoprvková grupa, která obsahuje jenom neutrální prvek, je podgrupou <math>G</math>. Tyto podgrupy se&nbsp;nazývají ''triviální podgrupy''; podgrupy, které nejsou triviální, se&nbsp;pak nazývají ''vlastní podgrupy''. Pokud <math>K</math> je podgrupa <math>H</math> a&nbsp;<math>H</math> je podgrupa <math>G</math>, pak je také <math>K</math> podgrupa <math>G</math>. Znalost struktury podgrup dané grupy je důležitá pro porozumění grupy jako celku, ačkoliv grupa obecně nemusí být jednoznačně určena strukturou svých vlastních podgrup.<ref>{{Citation|last = Suzuki|first= Michio|author-link = Michio Suzuki|title = On the lattice of subgroups of finite groups|journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]| volume = 70| issue = 2| year = 1951| pages = 345–371| doi = 10.2307/1990375|jstor = 1990375}}</ref>

V&nbsp;příkladu dihedrální grupy D<sub>4</sub> popsaném výše identita a&nbsp;otočení tvoří podgrupu <math>R=\{id, r_1, r_2, r_3 \}</math> zvýrazněnou v tabulce násobení v grupě D<sub>4</sub> červenou barvou. Složení libovolných rotací je totiž opět rotace a&nbsp;inverze k rotaci je také rotace. V&nbsp;tabulce podgrup dihedrální grupy je reprezentována rotacemi písmena '''F''' a&nbsp;odpovídá políčku v&nbsp;druhém řádku uprostřed.

Pro libovolnou [[množina|množinu]] <math>S \subseteq G</math> můžeme definovat podgrupu ''generovanou'' <math>S</math>. Je to nejmenší podgrupa <math>G</math>, která obsahuje množinu <math>S</math>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Ledermann
 | jméno=Walter
 | titul=Introduction to group theory
 | vydavatel=Barnes and Noble
 | místo=New York
 | rok=1973
 | kapitola=II.12
 | strany=39
 | jazyk=anglicky}}</ref> Ekvivalentně se dá popsat jako množina všech konečných součinů prvků z&nbsp;<math>S</math> a&nbsp;jejich inverzí.<ref group="pozn">Myslí se součiny libovolného konečného počtu prvků, které se mohou opakovat.</ref> Ve&nbsp;výše uvedeném příkladu podgrupa generovaná <math>r_2</math> a&nbsp;<math>f_v</math> obsahuje kromě těchto dvou prvků také <math>f_v\cdot r_2=f_h</math>. Protože jak <math>r_2</math>, tak <math>f_h</math>, <math>f_v</math> jsou samy k&nbsp;sobě inverzní a&nbsp;libovolný součin těchto prvků je opět prvkem množiny <math>\{id, r_2, f_v, f_h\}</math>, jedná se o podgrupu (na obrázku znázorňujícím podgrupy D<sub>4</sub> odpovídá levému políčku v&nbsp;druhém řádku). Tato podgrupa je komutativní.

=== Homomorfismus a izomorfismus grup ===
Grupový [[homomorfismus]] je zobrazení mezi grupami, které zachovává grupovou strukturu. Explicitně, <math>a: G \to H</math> je homomorfismus mezi <math>(G,\cdot)</math> a&nbsp;<math>(H,*)</math>, pokud pro libovolné 2&nbsp;prvky ''g'', ''k'' z ''G'' platí
:<math>a(g\cdot k) = a(g)*a(k)</math>.

Z&nbsp;této definice se dá ukázat, že grupový homomorfismus zobrazuje neutrální prvek <math>e_G</math> v&nbsp;grupě <math>G</math> na neutrální prvek <math>e_H</math> v&nbsp;grupě <math>H</math> a&nbsp;také inverzní prvek na inverzní:
:<math>a(e_G)=e_H,\quad a(g^{-1})=(a(g))^{-1}.</math>
Homomorfismus tedy zachovává strukturu, která je určena grupovými axiomy.<ref>Lang 2005, kap. §II.3, s. 34</ref>

Dvě grupy <math>G</math> a <math>H</math> se nazývají [[izomorfismus|izomorfní]], pokud existují grupové homomorfismy <math>a: G \to H</math> a <math>b: H \to G</math> takové, že složení <math>a\circ b=id_H</math> a <math>b\circ a=id_G</math> jsou [[identita (matematika)|identity]]. Zobrazení ''a'' se nazývá ''izomorfismus grup''.

Z abstraktního pohledu, izomorfní grupy jsou považovány za objekty reprezentující stejnou strukturu. Například vlastnost <math>g\cdot g=e_G</math> v grupě <math>G</math> je ekvivalentní vlastnosti <math>a(g)*a(g)=e_H</math> v&nbsp;grupě <math>H</math>.

Izomorfismus <math>G \to G</math> se nazývá [[automorfismus]]. Každý prvek <math>g \in G</math> určuje '''vnitřní automorfismus''' <math>f(x)=g^{-1}\cdot x\cdot g</math>. Automorfismus, který není vnitřní, se&nbsp;nazývá '''vnější'''.

=== Rozkladové třídy ===
V&nbsp;mnohých situacích je užitečné považovat dva prvky grupy za [[Ekvivalence (matematika)|ekvivalentní]], pokud se liší jenom o&nbsp;násobek nějaké dané podgrupy. Uvažujme například grupu D<sub>4</sub> popsanou výše a&nbsp;její podgrupu <math>R=\{id, r_1, r_2, r_3\}</math>. Pokud uvažujeme nějaké překlopení čtverce (například f<sub>h</sub>), tak žádnou rotací už nemůžeme docílit zpátky konfiguraci <math>id, r_1, r_2</math> nebo <math>r_3</math>. Složení překlopení a&nbsp;rotace je vždy překlopení. Rotace tedy nehraje roli, pokud si všímáme jenom, zda bylo nebo nebylo aplikováno nějaké překlopení.

Rozkladové třídy formalizují tuto ideu. Podgrupa <math>H</math> grupy <math>G</math> definuje takzvané ''pravé'' a&nbsp;''levé rozkladové třídy'' takto:<ref>Lang 2005, II.4, s. 41</ref>
:<math>gH=\{g\cdot h;\,h\in H\}\quad \text{a}\quad Hg=\{h\cdot g;\,h\in H\}.</math>

Rozkladové třídy pro libovolnou podgrupu <math>H</math> tvoří rozklad <math>G</math> na disjunktní [[Podmnožina|podmnožiny]]. Přesněji, sjednocení všech levých rozkladových tříd je celé <math>G</math> a&nbsp;libovolné dvě levé rozkladové třídy se buď rovnají, anebo jsou [[Disjunktní množiny|disjunktní]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Lang
 | jméno=Serge
 | titul=Algebra
 | url=https://archive.org/details/algebra00slan_986
 | vydavatel=Springer
 | místo=New York 
 | rok=2002
 | kapitola=§I.2
 | strany=[https://archive.org/details/algebra00slan_986/page/n26 12]
 | isbn=978-0-387-95385-4 
 | jazyk=anglicky}}</ref>
První případ <math>g_1 H  = g_2 H</math> nastává právě když <math>g_1^{-1}\cdot g_2\in H</math>, tj.&nbsp;když se příslušné prvky <math>g_1</math>, <math>g_2</math> liší jenom o&nbsp;prvek z&nbsp;<math>H</math>. Analogická tvrzení platí pro pravé rozkladové třídy.

Pravé a&nbsp;levé rozkladové třídy mohou být stejné, ale tato rovnost platit nemusí. Pokud se rovnají, tj.&nbsp;pokud pro všechna <math>g</math> v&nbsp;<math>G</math> platí <math>gH =Hg</math>, pak se podgrupa <math>H</math> nazývá [[normální podgrupa|normální]]. Množina všech levých rozkladových tříd se značí <math>G/H</math> a množina všech pravých rozkladových tříd se značí <math>H\backslash G</math>.

V&nbsp;případě grupy D<sub>4</sub> z&nbsp;úvodu a&nbsp;její podgrupy rotací ''R'', levé rozkladové třídy <math>gR</math> jsou buď množina ''R'' všech rotací (a&nbsp;identita) pokud <math>g</math> je prvkem ''R'', anebo množina <math>F=\{f_h, f_v, f_d, f_c\}</math> všech překlopení (zvýrazněna v&nbsp;tabulce zeleně) pokud <math>g</math> je nějaké překlopení. Levé rozkladové třídy jsou tedy <math>D_4/R=\{R, F\}</math>.

=== Normální podgrupa a faktorová grupa ===
{{Podrobně|Faktorová grupa}}
Podgrupa <math>N</math> se nazývá [[normální podgrupa|normální]] podgrupou grupy <math>G</math>, pokud pro každé <math>g\in G</math> a <math>n\in N</math> existuje <math>n'\in N</math> takové, že <math>g\cdot n=n'\cdot g</math>, tj.&nbsp;levé a&nbsp;pravé rozkladové třídy se pro všechna <math>g</math> rovnají:
:<math>gN=Ng.</math>
Ekvivalentně, <math>H</math> je jádro nějakého homomorfismu grup <math>G\to K</math>.<ref>Lang 2005, §II.4, s. 45</ref> Každá podgrupa Abelovy grupy je normální.

Pokud <math>N</math> je [[normální podgrupa]] <math>G</math>, je možné zavést na množině rozkladových tříd <math>G/N=\{gN, g \in G\}</math> strukturu grupy.<ref>Lang 2005, §II.4, p. 45</ref> Grupová operace na množině <math>G/N</math> je definována vztahem <math>(gN) \cdot  (hN) := (gh)N</math> pro všechny <math>g,h\in G</math>. Tato grupa se nazývá faktorgrupa. Rozkladová třída <math>e N=N</math> je neutrální prvek této grupy a inverze k&nbsp;<math>gN</math> je třída <math>(gN)^{-1}=g^{-1}N</math>. Z&nbsp;toho vidíme, že zobrazení <math>G \to G/N</math>, které prvku <math>g</math> přiřadí jeho rozkladovou třídu <math>gN</math> je homomorfismus grup.<ref>Lang 2005, §II.4, s. 46. Cor. 4.6.</ref>

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
! width="30px" | •
! width="33%" | R
! width="33%" | F
|-
! ''R''
| ''R'' || ''F''
|-
! ''F''
| ''F'' || ''R''
|-
| colspan="3" style="text-align:left" |Tabulka násobení ve faktorové grupě {{nowrap|D<sub>4</sub> / ''R''}}.
|}

V&nbsp;příkladu grupy D<sub>4</sub> je její podgrupa <math>R=\{id, r_1, r_2, r_3\}</math> normální a rozkladové třídy jsou <math>\{R,F\}</math>, kde <math>F</math> je množina všech překlopení.

Grupová operace na faktorové grupě je znázorněna tabulkou vpravo. Například <math>F\cdot F = f_vR \cdot f_v R = (f_v\cdot f_v) R = id R=R</math>.

Podgrupa <math>R</math> je [[Abelova grupa|Abelova]], a faktorová grupa <math>D_4/R</math> je také Abelova, zatímco D<sub>4</sub> není Abelova.

=== Jednoduchá a polojednoduchá grupa ===
Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní [[normální podgrupa|normální podgrupy]], je označována jako ''jednoduchá grupa'' (někdy se též používá ''prostá grupa''). Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální [[Abelova grupa|Abelovy]] podgrupy, pak je označována jako ''polojednoduchá grupa'' (také ''poloprostá grupa'').

U&nbsp;[[Lieova grupa|Lieových grup]] se definuje jednoduchá Lieova grupa jako taková, která neobsahuje žádné vlastní normální podgrupy kromě diskrétních.<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Motl
| jméno = Luboš
| příjmení2 = Zahradník
| jméno2 = Miloš
| titul = Pěstujeme lineární algebru
| url = http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node17.html#SECTION02210000000000000000
| vydavatel = Karolinum
| místo = Praha
| kapitola = Grupa
| isbn = 9788071841869
| jazyk = česky
| rok = 1997
| datum přístupu = 2005-03-10
| url archivu = https://web.archive.org/web/20041225000824/http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node17.html#SECTION02210000000000000000
| datum archivace = 2004-12-25
| nedostupné = ano
}} {{Wayback|url=http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node17.html#SECTION02210000000000000000|date=20041225000824}}</ref><ref group="pozn">Obvykle se jednoduchá Lieova grupa definuje abstraktněji jako taková grupa, jejíž [[Lieova algebra]] je [[jednoduchá Lieova algebra]]. Tato definice vylučuje například komutativní Lieovy grupy. Pro přesnou definici, viz např. {{Citace monografie
| příjmení = Helgason
| jméno = Sigurdur
| titul = Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces
| url = https://archive.org/details/differentialgeom00helg_172
| vydavatel = Academic Press
| počet stran = 630
| strany = [https://archive.org/details/differentialgeom00helg_172/page/n145 131]
| isbn = 9780123384607
| jazyk = anglicky
| rok = 1981
}}</ref>

=== Generování a prezentace grupy ===

Faktorové grupy a&nbsp;podgrupy tvoří spolu způsob, kterým je možné každou grupu popsat její ''prezentací''. Každou grupu je možné zadat jako faktor [[volná grupa|volné grupy]] nad nějakou ''generující množinou'' podle normální podgrupy generovanou ''relacemi''.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Bogopolʹskij
 | jméno=Oleg Vladimirovič 
 | titul=Introduction to group theory
 | url=https://archive.org/details/introductiontogr00obog
 | vydavatel=European Mathematical Society
 | rok=2008
 | kapitola=5
 | strany=[https://archive.org/details/introductiontogr00obog/page/n69 58]
 | isbn=9783037190418
 | počet stran=177 
 | jazyk=anglicky}}</ref> Relace jsou výrazy, které se v&nbsp;grupě rovnají neutrálnímu prvku. Grupa zadána generátory a&nbsp;relacemi se zapisuje jako <math>\langle Gen|Rel\rangle</math>, kde <math>Gen</math> je množina generátorů a <math>Rel</math> množina relací.<ref>Bogopolʹskij, s. 59</ref>

Dihedrální grupa D<sub>4</sub> je generována například prvky <math>r_1</math> a <math>f_v</math>, což znamená že každá symetrie čtverce se dá vyjádřit jako složení konečně mnoha těchto dvou symetrií a&nbsp;jejich inverzí. Společně s&nbsp;relacemi <math>r_1^4=f_v^2=(r_1\cdot f_v)^2=1</math>,<ref>Lang, 2002, §I.2, p. 9</ref> je grupa úplně popsána. Tedy
:<math>D_4=\langle r_1,f_v|r_1^4, \,f_v^2, \,(r_1\cdot f_v)^2\rangle</math>.

Prezentace grupy se dá použít pro konstrukci [[Cayleyho graf]]u, který může graficky popsat diskrétní grupy.

=== Řešitelná grupa ===

Grupa ''G'' se nazývá ''řešitelná'', pokud existuje [[posloupnost]] jejich podgrup
:<math>G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset\ldots\supset G_n=\{e\} </math>
takových, že <math>G_{i+1}</math> je [[normální podgrupa]] <math>G_i</math> a&nbsp;[[faktorová grupa]] <math>G_i / G_{i+1}</math> je Abelova pro všechna <math>i</math>, přičemž poslední grupa <math>G_n</math> je grupa triviální.<ref>Lang 2005, §II.4, s. 49</ref>

Například výše diskutovaná grupa D<sub>4</sub> je řešitelná, neboť obsahuje komutativní podgrupu ''R'' a faktor <math>D_4/R</math> je komutativní. Nejmenší grupa, která není řešitelná, je [[alternující grupa]] <math>A_5</math>, která má ''60'' prvků.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Artin
 | jméno=Emil  
 | příjmení2= Blank
 | jméno2=Albert A.   
 | titul=Algebra with Galois theory
 | url=https://archive.org/details/algebrawithgaloi0000arti
 | vydavatel=AMS
 | rok=2007 
 | počet stran = 126
 | strany=[https://archive.org/details/algebrawithgaloi0000arti/page/115 115]
 | isbn=9780821841297
 | jazyk=anglicky}}</ref>

Slovo ''řešitelná'' má historickou souvislost se&nbsp;zkoumáním existence řešení polynomiálních rovnic pomocí radikálů v rámci [[Galoisova teorie|Galoisovy teorie]]. [[Évariste Galois|Galois]] ukázal, že takové řešení existuje právě tehdy, když má grupa symetrií kořenů polynomu (tzv. [[Galoisova grupa]]) výše uvedenou vlastnost.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Edwards
 | jméno=Harold M.
 | titul=Galois theory
 | vydavatel=Springer
 | rok=1984
 | počet stran=152
 | strany=89, (Theorem)
 | isbn=9780387909806
 | jazyk=anglicky
 | url-access=registration
 | url=https://archive.org/details/galoistheory00edwa_0
 }}</ref>

== Příklady a aplikace ==
=== Čísla ===
{{Viz též|Těleso (algebra)|Modulární aritmetika}}

Mnohé systémy [[číslo|čísel]], například [[celé číslo|celá]] nebo [[racionální číslo|racionální]] čísla mají přirozenou strukturu grupy. V&nbsp;některých případech, jako například u&nbsp;racionálních čísel, má jak [[sčítání]] tak i&nbsp;[[násobení]] grupovou strukturu. Takové číselné systémy se dají zobecnit na [[algebraická struktura|algebraické struktury]] jako jsou [[okruh (algebra)|okruhy]], [[těleso (algebra)|tělesa]], [[Modul (matematika)|moduly]], [[vektorový prostor|vektorové prostory]] a [[algebra (struktura)|algebry]].

Grupa celých čísel spolu se sčítáním <math>(\Z,+)</math> byla popsána výše. Naproti tomu celá čísla s&nbsp;operací [[násobení]] (<math>\Z,\cdot</math>) netvoří grupu. Asociativita je splněna, jednotkový prvek je číslo <math>1</math>, ale k&nbsp;číslům obecně neexistují inverzní prvky (už pro celé číslo <math>a = 2</math> rovnice <math>ax=1</math> nemá řešení <math>x</math> v&nbsp;oboru celých čísel).

Pokud chceme, aby k&nbsp;nenulovým číslům existovaly inverzní prvky, musíme zavést [[zlomek|zlomky]] <math>a/b</math>. Zlomky celých čísel se nazývají [[racionální číslo|racionální čísla]] a&nbsp;množina racionálních čísel se značí <math>\Q</math>. Množina nenulových racionálních čísel spolu s&nbsp;operací násobení <math>(\Q\backslash\{0\}, \cdot )</math> je opět grupa. Součin dvou nenulových racionálních čísel je nenulové racionální číslo, neutrální prvek je <math>1</math> a&nbsp;inverzní prvek k&nbsp;nenulovému číslu <math>a/b</math> je nenulové číslo <math>b/a</math>. Racionální čísla (s&nbsp;nulou) tvoří také grupu vzhledem ke&nbsp;sčítání.

Obecněji, množina všech prvků [[těleso (algebra)|tělesa]] tvoří vždy grupu vzhledem ke sčítání a&nbsp;množina všech ''nenulových'' prvků tělesa tvoří grupu vzhledem k&nbsp;násobení.
{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
| •
| '''1''' 
| '''2''' 
| '''3''' 
| '''4'''
|-
| '''1''' 
| ''1'' 
| ''2'' 
| ''3'' 
| ''4''
|-
| '''2''' 
| ''2'' 
| ''4'' 
| ''1'' 
| ''3''
|-
| '''3''' 
| ''3'' 
| ''1'' 
| ''4'' 
| ''2''
|-
| '''4''' 
| ''4'' 
| ''3'' 
| ''2'' 
| ''1''
|-
|colspan=5 style="text-align:left"|Tabulka násobení v&nbsp;multiplikativní grupě <math>\Z_5\backslash\{0\}</math>.
|}
Pro libovolné [[prvočíslo]] <math>p</math> můžeme [[modulární aritmetika|modulární aritmetikou]] zavést na [[množina zbytkových tříd|množině zbytkových tříd]] <math>\Z_p</math> násobení a&nbsp;<math>(\Z_p\backslash\{0\},\cdot)</math> je pak grupa.<ref>Lang 2005, Kap. VII</ref> Její prvky se dají reprezentovat jako [[třída ekvivalence|třídy ekvivalence]] celých čísel s&nbsp;ekvivalencí <math>n \sim m</math> [[Ekvivalence (logika)|právě když]] <math>p</math> [[Dělitelnost#Obecně|dělí]] <math>m-n</math>. Množina zbytkových tříd spolu se&nbsp;sčítáním a&nbsp;násobením <math>(\Z_p, +, \cdot)</math> je speciálním případem [[Galoisovo těleso|konečného tělesa]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Wan
 | jméno=Zhe-Xian 
 | titul=Lectures on finite fields and galois rings
 | url=https://archive.org/details/lecturesonfinite00zhex
 | vydavatel=World Scientific
 | rok=2003
 | počet stran = 342
 | strany=[https://archive.org/details/lecturesonfinite00zhex/page/n109 103]
 | isbn= 9789812385703
 | jazyk=anglicky}}</ref> Dá se ukázat, že každá multiplikativní grupa nenulových prvků konečného tělesa je cyklická.<ref>Wan, str. 115, Theorem 6.3</ref> Tyto grupy se používají v&nbsp;[[Asymetrická kryptografie|asymetrické kryptografii]].

Tabulka vpravo znázorňuje multiplikativní grupu nenulových zbytkových tříd modulo <math>5</math>. Rovnost <math>3\cdot 2=1</math> například znázorňuje fakt, že <math>3\cdot 2 \,\rm{mod}\, 5=6 \,\rm{mod}\, 5=1</math>. Vidíme, že každý prvek má inverzní prvek (<math>2^{-1}=3, \, 4^{-1}=4</math>) a&nbsp;grupa je cyklická (například prvek <math>2</math> generuje celou grupu, neboť <math>2^1=2</math>, <math>2^2=4</math>, <math>2^3=3</math> a&nbsp;<math>2^4=1</math>).

Další grupy tvořené čísly popisují následující příklady.
* Množina [[Gaussovo číslo|Gaussových čísel]] <math>(\Z[i],+)</math>, zobecňuje celá čísla do komplexní roviny.
* Množina invertibilních prvků v&nbsp;obecné množině zbytkových tříd <math>\Z_n</math> tvoří vzhledem k&nbsp;násobení grupu (viz též [[grupa jednotek]]).
* Množina komplexních čísel [[Absolutní hodnota#Absolutn.C3.AD hodnota komplexn.C3.ADch .C4.8D.C3.ADsel|absolutní hodnoty]] <math>1</math> spolu s&nbsp;násobením tvoří grupu (značí se <math>S^1</math>).
* Množina [[kvaternion]]ů [[Norma (matematika)|normy]] <math>1</math> spolu s&nbsp;násobením tvoří grupu (značí se <math>S^3</math>).
* [[Kvaternionová grupa]] je podgrupa o&nbsp;osmi prvcích, generována prvky <math>\{1,i,j,k\}</math> v&nbsp;grupě nenulových kvaternionů.

=== Grupy symetrií ===
[[Soubor:Wallpaper group-cm-6.jpg|náhled|vpravo|200px|Periodický vzor zadává jistou grupu symetrií [[rovina|roviny]].]]
''Grupa symetrií'' je grupa, jejíž prvky jsou [[symetrie]] daného matematického objektu, ať už [[geometrie|geometrického]] (jako grupa symetrií čtverce v úvodu) anebo algebraického, například [[kořen (matematika)|kořeny]] [[polynom]]u.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Weyl
 | jméno=Hermann 
 | odkaz na autora=Hermann Weyl
 | titul=Symmetry 
 | vydavatel=Princeton University Press
 | rok=1983
 | počet stran = 342
 | strany=103 
 | isbn= 978-0-691-02374-8
 | jazyk=anglicky}}</ref> [[Teorie grup]] může být chápana jako studium symetrií. Dá se například dokázat, že každá grupa je grupou symetrie nějakého [[Graf (teorie grafů)|grafu]].<ref>{{Citation | authorlink=R. Frucht | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | volume=6 | pages=239–50 | access-date=13-05-2008 | archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archive-date=01-12-2008 | dead-url=ano | df= | archiveurl=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archivedate=01-12-2008 | titul=Archivovaná kopie | datum přístupu=04-06-2011 | url archivu=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | datum archivace=01-12-2008 }}.</ref> Symetrie v matematice často zjednodušuje studium [[geometrie|geometrických]], [[matematická analýza|analytických]] anebo [[fyzika|fyzikálních]] objektů. O&nbsp;grupě se říká, že má [[akce grupy na množině|akci]] na objektu ''X'' pokud každý prvek grupy provede s&nbsp;objektem operaci kompatibilní s&nbsp;grupovou strukturou. Symetrie objektu je pak podgrupa všech takových prvků, které nechávají ''X'' nezměněn.

==== Symetrie dláždění roviny ====
Rovinné krystalografické grupy (anglicky ''Wallpaper groups'') popisují symetrie periodických [[dláždění]] [[rovina|roviny]]. V&nbsp;příkladu na obrázku je vzorek tvořen květinou, která se periodicky opakuje. Grupa symetrií tohoto vzoru obsahuje všechny spojité transformace roviny, které převádějí vzor sám na sebe. Tato grupa se skládá jenom s&nbsp;[[translace (souřadnice)|translací]] a&nbsp;neobsahuje žádné [[Otočení (geometrie)|rotace]] ani [[Osová souměrnost|zrcadlení]]. Jiná periodická dláždění (například nekonečný čtverečkový papír) mají grupu symetrií, která obsahuje kromě [[translace (souřadnice)|translací]] roviny i&nbsp;různé rotace, zrcadlení a&nbsp;jejich [[skládání zobrazení|složení]]. Různých neizomorfních rovinných krystalografických grup existuje celkem 17. Tyto vzory můžeme najít často v&nbsp;[[islámská architektura|islámské architektuře]], většina z&nbsp;nich se vyskytuje například v&nbsp;paláci [[Alhambra]].<ref>Branko Grünbaum, [http://www.ams.org/notices/200606/comm-grunbaum.pdf What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra?], ''notices of AMS'', vol. 53, n. 6</ref> Důkaz, že rovinných krystalografických grup je právě 17, publikoval poprvé E. Fedorov v&nbsp;roce 1891.<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Fjodorov
 | jméno = J. V
 | titul = Симметрия на плоскоcти [Simmetrija na ploskosti]
 | periodikum = Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества [Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva]
 | rok = 1891
 | měsíc = 
 | ročník = 28
 | typ ročníku = svazek
 | číslo = 2
 | strany =
}}</ref> Kromě těchto dláždění roviny existují i&nbsp;neperiodická dláždění, jejichž grupa symetrií neobsahuje žádnou [[translace (souřadnice)|translaci]]. Příkladem je slavné [[Penroseovo dláždění|Penroseho pokrytí]], což je neperiodické dláždění roviny pomocí konečného počtu typů dlaždiček. Jeho grupa symetrií obsahuje například [[Otočení (geometrie)|otočení]] o&nbsp;pětinu kruhu kolem nějakého bodu.<ref>David Austin, [http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-penrose Penrose Tiles Talk Across Miles], Math Samplings (AMS)</ref>
[[Soubor:Uniform tiling 73-t2 colored.png|náhled|vpravo|200px|Trojúhelníková grupa (2,3,7) je hyperbolická grupa, která má [[akce grupy na množině|akci]] na tomto [[dláždění]] [[hyperbolická geometrie|hyperbolické]] roviny.]]

Podobná periodická dláždění a&nbsp;jejich grupy symetrií můžeme studovat i&nbsp;v&nbsp;[[neeukleidovská geometrie|neeukleidovských geometriích]]. Například [[Hyperbolická geometrie|hyperbolickou rovinu]] lze pravidelně pokrýt rovnostrannými trojúhelníky takovým způsobem, že každý vrchol je společný 7 trojúhelníkům. Příslušná grupa symetrie je tvořena všemi symetriemi této roviny, které převádějí toto pokrytí samo na sebe. Na obrázku je znázorněno jedno z takových pokrytí. Příslušná grupa se nazývá ''trojúhelníková grupa (2,3,7)''. Pro libovolný vrchol nějakého trojúhelníka pak existuje v dané grupě prvek řádu 7, který „otočí“ rovinu kolem daného bodu o&nbsp;<math>1/7</math> kruhu takovým způsobem, že převede dláždění samo na sebe.

==== Symetrie v krystalografii ====
V&nbsp;[[chemie|chemických]] oborech jako [[krystalografie]] popisují ''prostorová grupa'' a&nbsp;''bodová grupa'' [[molekulární symetrie]] a&nbsp;symetrie [[krystal]]ů. Tyto symetrie určují chemické a&nbsp;fyzikální vlastnosti těchto systémů a&nbsp;teorie grup v&nbsp;mnohých případech usnadňuje [[kvantová mechanika|kvantově mechanickou]] analýzu těchto vlastností.<ref>{{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | title=On three-dimensional space groups | arxiv=math.MG/9911185 | mr=1865535 | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Bishop 
 | jméno=avid H. L. 
 | titul=Group theory and chemistry  
 | vydavatel=Dover Publications
 | místo=New York
 | rok=1993
 | isbn= 978-0-486-67355-4
 | jazyk=anglicky}}</ref> Například teorie grup ukazuje, že některé přechody mezi kvantovými stavy nemohou nastat jenom z&nbsp;důvodu symetrií daných stavů.

Nejenom že jsou grupy užitečné na popis symetrií molekul, ale překvapivě dokáží i&nbsp;predikovat, jak molekuly mohou svoji symetrii změnit. [[Jahn-Tellerův jev]] je deformace molekuly s vysokou mírou symetrie, která nabude určitý stav, jehož symetrie je z&nbsp;množiny nižších symetrií, které jsou ale vzájemně příbuzné a&nbsp;souvisejí se symetrií původní.<ref name="Bersuker">{{Citace monografie |příjmení = Bersuker
 |jméno      = Isaac
 |titul       = The Jahn-Teller Effect
 |vydavatel   = Cambridge University Press
 |strany      = 2
 |rok         = 2006
 |isbn        = 0-521-82212-2
 |jazyk       = anglicky
 |url-access  = registration
 |url         = https://archive.org/details/jahntellereffect0000bers
}}</ref><ref>{{Citation | last1 = Jahn | first1=H.| author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller| title = Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy | year = 1937 | journal = [[Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (1934–1990)]] | volume = 161 | issue = 905 | pages = 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142}}</ref> Podobně může teorie grup být použita pro popis změn fyzikálních vlastností, které se dějí během [[fázový přechod|fázového přechodu]], například při změně typu [[Krystalová mřížka|mřížky]].<ref group="pozn">
Analogické spontánní [[narušení symetrie]] se využívá v&nbsp;[[kvantová teorie pole|kvantové teorii pole]] k teoretickému vysvětlení vzájemných interakcí [[částice|částic]], např. v&nbsp;teorii [[elektroslabá interakce|elektroslabé interakce]], viz např. {{Citace monografie
 | příjmení=Kilian
 | jméno=Wolfgang   
 | titul=Electroweak Symmetry Breaking: The Bottom-Up Approach  
 | url=https://archive.org/details/electroweaksymme0000kili
 | vydavatel=Springer
 | rok=2003
 | isbn= 9780387400976
 | jazyk=anglicky}}</ref>

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=25%| [[Soubor:C60a.png|125px]]
|width=25%| [[Soubor:Ammonia-3D-balls-A.png|125px]]
|width=25%| [[Soubor:Cubane-3D-balls.png|125px]]
|width=25%| [[Soubor:Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png|125px]]
|-
| [[Molekula]] [[buckminsterfulleren]]u C<sub>60</sub> má <br /> symetrie [[Dvacetistěn|ikosaedru]] (dvacetistěnu).
| [[Amoniak]] NH<sub>3</sub>. Jeho grupa symetrie má řád 6 a&nbsp;je generována [[Otočení (geometrie)|rotací]] o&nbsp;120° a zrcadlením.
| [[Molekula]] [[kuban]]u C<sub>8</sub>H<sub>8</sub> vykazuje <br /> symetrii [[Osmistěn|oktaedru]] (osmistěnu).
| [[Komplexní sloučenina|komplexní kation]] hexaaquaměďnatý, Cu[(OH<sub>2</sub>)<sub>6</sub>]<sup>2+</sup>. 
Ve srovnání s&nbsp;úplně symetrickým tvarem, molekula je vertikálně odkloněna o&nbsp;asi 22&nbsp;% ([[Jahn-Tellerův jev]]).
|}

==== Transformační grupy v geometrii ====
Geometrické vlastnosti, které [[akce grupy na množině|akce grupy]] nemění, studuje geometrická [[teorie invariantů]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Mumford 
 | jméno=David 
 | příjmení2=Fogarty 
 | jméno2=J.
 | příjmení3=Kirwan 
 | jméno3=F.
 | titul=Geometric invariant theory   
 | vydavatel=Springer-Verlag
 | místo=Berlin, New York
 | edice=3
 | rok=1994 
 | isbn=978-3-540-56963-3
 | jazyk=anglicky}}</ref> [[Felix Klein]] ve&nbsp;slavné přednášce v [[Erlangen]] v roce [1872] ''definoval'' [[geometrie|geometrii]] takto:<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Galarza
 | jméno = A.I.R.
 | příjmení2 = Seade
 | jméno2 = J.
 | titul = Introduction to Classical Geometries 
 | url = https://archive.org/details/introductiontocl00gala
 | vydavatel = Birkhäuser Basel
 | rok = 2007
 | isbn = 978-3764375171
 | jazyk = anglicky
 | strany = [https://archive.org/details/introductiontocl00gala/page/n25 16]
}}, dostupné [https://web.archive.org/web/20120118214544/http://bib.tiera.ru/ShiZ/Great%20Science%20TextBooks/Great%20Science%20Textbooks%20DVD%20Library%202007%20-%20Supplement%20Two/Algebra%20%26%20Trigonometry/Geometry/Introduction%20to%20Classical%20Geometries%20-%20A.%20Galarza%2C%20J.%20Seade%20%28Birkhauser%2C%202002%29%20WW.pdf online]</ref>
{{Citát|Geometrie je studium invariantů vůči grupě transformací.}}

Grupa symetrie nějaké geometrie je množina všech transformací, které zachovávají příslušnou geometrickou strukturu. Například pro [[Eukleidovská geometrie|Eukleidovu geometrii]] je to takzvaná [[Eukleidova grupa]] ''Euc(n)'', která se skládá se všech [[Translace (souřadnice)|translací]], [[Otočení|rotací]] a&nbsp;[[Zrcadlení (matematika)|zrcadlení]] ''n''-rozměrného Eukleidova prostoru. Akce této grupy zachovává vzdálenosti [[bod]]ů, a velikosti a&nbsp;[[úhel|úhly]] [[vektor]]ů. Podobně pro [[projektivní geometrie|projektivní geometrii]] pozůstává příslušná grupa symetrie ze všech kolineací, které zachovávají projektivní invarianty (převádí [[projektivní přímka|projektivní přímky]] na projektivní přímky a zachovává [[dvoupoměr]]).

Tyto grupy symetrií nějaké geometrie se nazývají ''transformační grupy'' a pro běžné geometrie jsou to tzv.&nbsp;[[Lieova grupa|Lieovy grupy]]. Pokud je Lieova grupa <math>G</math> transformační grupa nějakého geometrického prostoru <math>X</math> a&nbsp;<math>G</math> má na <math>X</math> [[Akce grupy na množině#Tranzitivní akce a homogenní prostor|tranzitivní akci]], můžeme definovat podgrupu <math>H\subseteq G</math> všech transformací, které zachovávají jistý bod <math>x\in X</math>. Prostor <math>X</math> pak můžeme ztotožnit s&nbsp;prostorem rozkladových tříd
:<math>X\simeq G/H.</math>

Tento popis geometrie se nazývá [[Kleinova geometrie]].<ref name="sharpe">
{{Citace monografie
 | příjmení = Sharpe
 | jméno = R.W.
 | titul = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program 
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1997
 | isbn = 978-0387947327
 | jazyk = anglicky
}} Transformace známých geometrií jsou popisovány pomocí [[Lieova grupa|Lieových grup]] a&nbsp;naopak, studium Lieových grup vedlo k&nbsp;popisu nových geometrických struktur.
</ref> Speciální volba grup ''G'' a ''H'' vede na [[Eukleidovská geometrie|Eukleidovskou]], afinní a&nbsp;[[projektivní geometrie|projektivní]] geometrii. Následuje tabulka, která popisuje některé geometrické struktury a&nbsp;jejich příslušnou transformační grupu <math>G</math>.

{| class="wikitable" border="1"; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
| 
| '''Podkladový prostor'''
| '''Transformační grupa ''G'''''
| '''Invarianty'''
|-
! ''[[Eukleidovská geometrie|Eukleidova geometrie]]''
|  [[Eukleidovský prostor]] <math>\R^n</math> || [[Eukleidova grupa]] <math>Euc(n)\simeq O(n)\rtimes \R^n</math> || Vzdálenosti [[bod]]ů, [[úhel|úhly]] [[vektor]]ů
|-
! ''[[Sférická geometrie]]''
| [[Sféra (matematika)|Sféra]] <math>S^n</math> || [[Ortogonální grupa]] <math>O(n+1)</math> || Vzdálenosti bodů, úhly vektorů
|-
! ''[[Konformní geometrie]] na sféře''
| [[Sféra (matematika)|Sféra]] <math>S^n</math> || [[Lorentzova grupa]] <math>n+2</math> dimenzionálního prostoru <math>O(n+1,1)</math> || Úhly vektorů 
|-
! ''[[Projektivní geometrie]]''
| [[Projektivní prostor]] <math>\mathbb{RP}^n</math> || [[Projektivní grupa]] <math>PGL(n+1)</math>|| [[Projektivní přímka|Projektivní přímky]], [[dvoupoměr]] 
|-
! ''[[Afinní geometrie]]''
| [[Afinní prostor]] <math>\R^n</math> || [[Afinní grupa]] <math>Aff(n)\simeq GL(n)\rtimes \R^n</math> || Přímky, [[poměr]]y obsahů [[geometrický útvar|geometrických útvarů]], [[těžiště]] [[trojúhelník]]ů.
|-
|colspan=4 style="text-align:left"|Popis některých geometrií pomocí jejich transformačních grup.
|}

Zobecnění těchto idejí na širší třídu geometrií zahrnujících zakřivené prostory v&nbsp;[[Riemannova geometrie|Riemannově geometrii]] rozpracoval [[Élie Cartan]].

=== Obecná lineární grupa a teorie reprezentací ===
{{Viz též|Lineární grupa|Reprezentace (grupa)}}

[[Soubor:Matrix multiplication.svg|náhled|250px|Dva [[vektor]]y na levém obrázku jsou vynásobeny maticí (prostřední a pravý obrázek). Prostřední obrázek reprezentuje [[Otočení (geometrie)|rotaci]] o&nbsp;90° ve&nbsp;směru hodinových ručiček, na pravém obrázku se navíc zvětšila ''x''-ová souřadnice vektorů na dvojnásobek.]]

[[Lineární grupa|Maticové grupy]] jsou grupy, které se skládají z&nbsp;[[matice|matic]] a&nbsp;grupová operace je [[násobení matic|maticové násobení]]. Obecná lineární grupa <math>GL(n, \R)</math> se skládá ze všech [[regulární matice|regulárních]] reálných čtvercových matic dimenze <math>n</math>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Rees
 | jméno = Elmer G.
 | titul = Notes on geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1988
 | isbn = 9783540120537
 | strany = 3
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/notesongeometry0000rees
 }}</ref> Její podgrupy se nazývají ''maticové grupy'' anebo ''lineární grupy''. Dihedrální grupa v&nbsp;úvodu se dá reprezentovat jako maticová grupa (symetrie čtverce jako otočení nebo překlopení můžeme reprezentovat maticí). Jiná důležitá maticová grupa je [[ortogonální grupa|speciální ortogonální grupa]] <math>SO(n)</math>. Popisuje všechny možné rotace v&nbsp;<math>n</math> rozměrném [[Eukleidovský prostor|Eukleidově prostoru]].

Teorie [[reprezentace (grupa)|reprezentací]] je jak aplikace grupových konceptů, tak i&nbsp;důležitý nástroj pro hlubší porozumění grup.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Fulton
 | jméno = William.
 | příjmení2 = Harris
 | jméno2 = Joe
 | titul = Representation theory. A first course
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1991
 | místo = New York
 | isbn = 978-0-387-97495-8
 | jazyk = anglicky
}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Serre
 | jméno = Jean-Pierre
 | titul = Linear representations of finite groups
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1977
 | místo = New York
 | isbn = 978-0-387-90190-9
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr
 }}</ref> Tato teorie studuje grupy pomocí jejich [[akce grupy na množině|akcí]] na [[vektorový prostor|vektorových prostorech]]. Reprezentace grupy <math>G</math> na vektorovém prostoru ''V'' je grupový homomorfismus
:<math>\rho: G\to GL(V)</math>
grupy <math>G</math> a&nbsp;[[lineární grupa|obecné lineární grupy]] <math>GL(V)</math>. Tímto způsobem se grupová operace na <math>G</math>, která mohla být zadána abstraktním způsobem, převede na skládání [[Lineární zobrazení|lineárních zobrazení]], resp. [[násobení matic]], což umožňuje explicitní počty.<ref group="pozn">Tato věc se byla klíčová pro klasifikaci jednoduchých konečných grup, viz např. Aschbacher, Michael (2004), ''[http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf The Status of the Classification of the Finite Simple Groups]'' (PDF), Notices of the American Mathematical Society '''51''' (7): 736–740.</ref> Grupová akce na nějakém prostoru je tedy prostředkem jak ke&nbsp;zkoumání daného prostoru, tak i&nbsp;ke&nbsp;zkoumání grupy samotné. Teorie reprezentací dává do souvislosti teorii [[konečná grupa|konečných grup]], [[Lieova grupa|Lieových grup]], [[algebraická grupa|algebraických grup]] a&nbsp;[[topologická grupa|topologických grup]], hlavně (lokálně) [[kompaktnost|kompaktních]] grup.<ref>Fulton-Harris</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Rudin
 | jméno = Walter
 | příjmení2 = Harris
 | jméno2 = Joe
 | titul = Fourier Analysis on Groups
 | vydavatel = Wiley Classics, Wiley-Blackwell
 | rok = 1990
 | místo = New York
 | isbn = 0-471-52364-X
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

Reprezentace [[Lieova grupa|Lieových grup]] mají aplikace v&nbsp;[[geometrie|geometrii]] a&nbsp;studium reprezentací grup v&nbsp;prostorech nenulové charakteristiky má aplikace v&nbsp;[[teorie čísel|teorii čísel]].<ref>{{citation|first=Stephen|last=Gelbart|title=An Elementary Introduction to the Langlands Program|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=10|issue=2|year=1984|pages=177–219|url=http://www.ams.org/bull/1984-10-02/S0273-0979-1984-15237-6/home.html|doi=10.1090/S0273-0979-1984-15237-6}}</ref> Některé partie teorie reprezentací jsou zobecněním klasické [[harmonická analýza|harmonické analýzy]] studující funkce prostřednictvím [[Fourierova transformace|Fourierovy transformace]].<ref>Anthony W. Knapp, [http://www.ams.org/notices/199605/knapp-2.pdf Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands, Part II], Notices of the AMS, vol 43 (5), May 1996, 537--549</ref><ref>James Arthur, [http://www.ams.org/notices/200001/fea-arthur.pdf Harmonic Analysis and Group Representations], Notices of the AMS, vol 47 (1), 26--34</ref><ref name="varad">{{Citace monografie
 | příjmení = Varadarajan
 | jméno = V. S. 
 | titul = An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups
 | vydavatel = Cambridge University Press 
 | rok = 1999
 | místo = New York
 | isbn = 978-0521663625
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

=== Galoisova grupa ===
{{Viz též|Galoisova grupa}}
''Galoisova grupa'' byla vynalezena pro popis řešení [[polynom]]ických rovnic. Například řešení [[kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]] <math>x^2 + px + q = 0</math> jsou dány
:<math>x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt {p^2-4q}}{2}.</math>

Podobné vzorce jsou známe pro [[kubická rovnice|kubické]] a&nbsp;[[kvartická rovnice|kvartické]] rovnice, ale neexistují pro rovnice pátého stupně a&nbsp;vyšší.<ref>Lang 2002, Kapitola VI (konkrétní příklady například na str. 273)</ref>

Výměna „<math>+</math>“ a „<math>-</math>“ v&nbsp;tomto výrazu, tj.&nbsp;[[permutace]] obou [[kořen]]ů rovnice se dá chápat jako velmi jednoduchá grupová operace. Kořeny původní rovnice splňují <math>x_1 x_2=q</math>, <math>x_1+x_2=-p</math>. Zároveň výměna kořenů <math>x_1</math> a&nbsp;<math>x_2</math> nemění jejich [[součet]] a [[součin]]. Pro obecný polynom se dá definovat Galoisova grupa jako množina všech takových permutací kořenů, že racionální výrazy kořenů (například <math>x_1+x_2</math> nebo <math>x_1 x_2</math>), které popisují nějaký racionální výraz koeficientů (například <math>-p</math> nebo <math>q</math>), se nemění (<math>x_1+x_2=x_2+x_1</math> a pod).

Abstraktní vlastnosti Galoisovy grupy asociované s polynomem dávají kritérium, zda má polynom všechny své kořeny vyjádřitelné z&nbsp;koeficientů pomocí radikálů, tj.&nbsp;pomocí sčítání, násobení a&nbsp;<math>n</math>-tých odmocnin. Je to právě když příslušná Galoisova grupa je ''řešitelná''.<ref>Lang, 2002, str. 292 (Theorem VI.7.2)</ref> Pro některé polynomy stupně 5 však Galoisova grupa pozůstává se všech permutací pěti kořenů.<ref>Lang 2002, str. 273</ref> Permutační grupa <math>S_5</math> však není řešitelná<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hungerford
 | jméno = Thomas W. 
 | titul = Algebra
 | url = https://archive.org/details/algebra00hung_830
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1996 
 | počet stran=502
 | isbn = 9780387905181
 | jazyk = anglicky
 | strany = [https://archive.org/details/algebra00hung_830/page/n127 103]
}}</ref> a&nbsp;proto obecný vzorec pro rovnice pátého stupně, který by obsahoval pouze sčítání, násobení, dělení a&nbsp;odmocňování, nemůže existovat.

V moderní algebře se Galoisova grupa definuje obecněji pro [[těleso (algebra)|tělesa]] jejich rozšíření. Pokud je <math>E</math> nadtěleso tělesa <math>F</math>, je příslušná Galoisova grupa <math>Gal(E/F)</math> definována jako množina všech [[automorfismus|automorfismů]] tělesa <math>E</math>, které nemění prvky tělesa <math>F</math>. [[Základní věta Galoisovy teorie]] tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům <math>F\subseteq K\subseteq E</math>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Rotman
 | jméno = Joseph J.  
 | titul = Galois theory
 | vydavatel = Birkhäuser
 | rok = 1998
 | počet stran=157
 | isbn = 9780387985411
 | jazyk = anglicky
 | strany = 83–84
}}</ref>

=== Grupy v algebraické topologii ===
{{Viz též|Fundamentální grupa|Homologie (matematika)}}
[[Soubor:Fundamental group.svg|náhled|vpravo|250px|Rovina, z&nbsp;které jsme odstranili jeden bod (znázorněn černě). Oranžová křivka, která jde kolem toho bodu, se nedá stáhnout a&nbsp;reprezentuje netriviální prvek [[fundamentální grupa|fundamentální grupy]].]]

V&nbsp;[[algebraická topologie|algebraické topologii]] se [[topologický prostor|topologickým prostorům]] přiřazují různé grupy, které reflektují jejich vlastnosti. Nejjednodušší je tzv.&nbsp;[[fundamentální grupa]], kterou jako první uvažoval [[Camille Jordan]]<ref>The MacTutor History of Mathematics archive, [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Jordan.html Marie Ennemond Camille Jordan]
</ref> a&nbsp;formálně definoval [[Henri Poincaré]].<ref>{{Citation | last1=Poincaré| first1=Henri | title=Analysis Situs | year=1895 | journal= Journal de l'École Polytechnique ser 2 | issue=1 | pages=1–123}}.</ref>

Prvky fundamentální grupy se dají reprezentovat jako smyčky (uzavřené [[křivka|křivky]]) v&nbsp;daném prostoru. Dvě smyčky reprezentují stejný prvek fundamentální grupy, pokud se dají jedna na druhou převést spojitou deformací. Ilustrativní obrázek ukazuje křivku v&nbsp;rovině bez bodu. Modrá křivka se považuje za triviální a reprezentuje neutrální prvek fundamentální grupy, neboť se dá spojitě stáhnout do&nbsp;jednoho bodu. Naopak oranžová křivka se stáhnout nedá, protože uvnitř ní je díra (chybějící bod). Fundamentální grupa roviny, z&nbsp;které odstraníme jeden bod, je nekonečná cyklická grupa generována oranžovou křivkou.

Podobně se definují vyšší [[homotopická grupa|homotopické grupy]], které mohou odhalit díry různých dimenzí.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hatcher
 | jméno = Allen  
 | titul = Algebraic topology
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2001
 | počet stran=556
 | isbn = 978-0521795401
 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
 | strany=340
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Homotopické grupy jsou topologické a dokonce i homotopické [[Invariant (matematika)|invarianty]], to znamená, že prostory, které jsou topologicky ekvivalentní (homeomorfní) a dokonce i prostory, které jsou [[homotopie|homotopické]] resp. homotopicky ekvivalentní, mají izomorfní homotopické grupy. Spojitá zobrazení topologických prostorů indukují přirozeným způsobem homomorfismy jejich homotopických grup. Homotopické grupy jsou tedy speciálním případem [[funktor|kovariantního funktoru]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Spanier
 | jméno = Edwin Henry  
 | titul = Algebraic topology
 | url = https://archive.org/details/algebraictopolog00span
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1994
 | isbn = 9780387944265
 | strany=[https://archive.org/details/algebraictopolog00span/page/n194 371]
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

Výpočet vyšších homotopických grup je však často velmi složitý. Dodnes nejsou obecně známy ani homotopické grupy [[sféra (matematika)|sfér]], ačkoliv je známo, že jejich výpočet je algoritmicky možný.<ref>{{citation|first=Edgar H.|last=Brown|title=Finite Computability of Postnikov Complexes|journal=The Annals of Mathematics |volume=65|issue=1|year=1957|pages=1–20|url=http://www.jstor.org/pss/1969664}}</ref> Proto se často používají jednodušší [[homologická grupa|homologické]] a&nbsp;[[kohomologická grupa|kohomologické grupy]].<ref>Hatcher, kap. 2,3</ref> Tyto grupy jsou taktéž homotopické invarianty. Homologie <math>n</math> té dimenze <math>H_n</math> je kovariantní funktor z&nbsp;kategorie topologických prostorů do kategorie grup. Podobně <math>H^n</math> je kontravariantní funktor.

Využitím homotopických a&nbsp;homologických grup je možné řešit širokou třídu topologických problému: například dokázat neexistence rozšíření spojitého zobrazení s podprostoru na celý prostor (například identita na sféře se nedá rozšířit na zobrazení celé [[koule]] na sféru),<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hu
 | jméno = Sze-Tsen
 | titul = Homotopy theory
 | vydavatel = Academic Press
 | rok = 1959
 | počet stran = 347
 | isbn = 9780123584502
 | strany = 1–4
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/homotopytheory0000hust
 }}</ref> dokazovat různé věty o&nbsp;pevných bodech (například [[Brouwerova věta o pevném bodu]])<ref>Hu, str. 4</ref>, dokázat [[základní věta algebry|základní větu algebry]],<ref>Hatcher, str. 31</ref> anebo ukázat, že otevřené množiny v Eukleidovských prostorech jsou homeomorfní pouze pokud mají stejnou dimenzi (a tedy dimenze prostoru je topologický invariant).<ref>Hatcher, str. 126</ref>

=== Další využití ===
Existuje řada dalších teoretických i praktických aplikací teorie grup. Konečné grupy symetrií, jako například [[Mathiova grupa|Mathiovy grupy]] se využívají v [[kódování]] a&nbsp;v&nbsp;korekci chyb přenášených dat.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Huffman
 | jméno=William Cary
 | příjmení2=Pless
 | jméno2=Vera
 | titul=Fundamentals of error-correcting codes
 | vydavatel=Cambridge University Press
 | rok=2003
 | isbn=9780521782807
 | počet stran=646
 | jazyk=anglicky
 | url-access=registration
 | url=https://archive.org/details/fundamentalsofer0000huff
 }}</ref> Multiplikativní grupy konečných [[těleso (algebra)|těles]] se využívají v [[Cyklický kód|cyklickém kódování]], které se používá například v&nbsp;[[Kompaktní disk|CD]] přehrávačích.<ref group="pozn">V CD technologii se používá jako ochrana před poškrábáním a chybami tzv. [[Reedovy–Solomonovy kódy|Reedův–Solomonův kód]], viz např. {{Citace monografie
 | příjmení=Wicker, 
 | jméno=Stephen B.  
 | příjmení2=Bhargava
 | jméno2=Vijay K.  
 | titul=Reed-Solomon Codes and Their Applications
 | url=https://archive.org/details/reedsolomoncodes0000step
 | vydavatel=John Wiley and Sons
 | rok=1999
 | isbn=9780780353916
 | strany=[https://archive.org/details/reedsolomoncodes0000step/page/n29 14]
 | jazyk=anglicky}}</ref> [[Diferenciální Galoisova teorie]], zobecňuje klasickou Galoisovu teorii a dává grupově teoretická kritéria pro vlastnosti řešení jistých [[diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Kuga
 | jméno=Michio
 | titul=Galois' dream: group theory and differential equations
 | vydavatel=Birkhäuser Boston
 | místo=Boston
 | rok=1993
 | isbn=978-0-8176-3688-3
 | strany=105–113
 | jazyk=anglicky
 | url-access=registration
 | url=https://archive.org/details/galoisdreamgroup0000kuga
 }}</ref> Grupy se podstatným způsobem využívají v&nbsp;[[algebraická geometrie|algebraické geometrii]] a&nbsp;[[teorie čísel|teorii čísel]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Neukirch
 | jméno=Jürgen 
 | titul=Algebraic Number Theory  
 | url=https://archive.org/details/algebraicnumbert0000neuk
 | vydavatel=Springer
 | místo=Berlin
 | rok=1999
 | kapitola=§I.12, I.13
 | isbn=978-3-540-65399-8
 | jazyk=anglicky}}</ref> [[Kryptografie]] kombinuje přístup abstraktní teorie grup s&nbsp;výpočetní teorií grup implementovanou pro konečné grupy.<ref>{{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An introduction to computational group theory | url=http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | mr=1452069 | year=1997 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=44 | issue=6 | pages=671–679 | access-date=08-02-2007 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070208012642/http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | archive-date=08-02-2007 | dead-url=ano | df= | archiveurl=https://web.archive.org/web/20070208012642/http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | archivedate=08-02-2007 | titul=Archivovaná kopie | datum přístupu=04-06-2011 | url archivu=https://web.archive.org/web/20070208012642/http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | datum archivace=08-02-2007 }}.</ref>

Aplikace teorie grup nejsou omezeny na matematiku a z&nbsp;jejích konceptů také čerpají vědy jako [[chemie]], [[fyzika]] a [[informatika]].

== Konečné grupy ==
Grupa se nazývá ''konečná'', pokud má konečně mnoho prvků. Počet jejich prvků se nazývá ''řád'' grupy.<ref>Landin, str. 67</ref> Důležitý příklad je grupa <math>S_n</math> [[permutace|permutací]] ''n''-prvkové [[množina|množiny]], která se také nazývá [[symetrická grupa]].<ref>Landin, str. 83</ref> Například symetrickou grupu <math>S_3</math> můžeme reprezentovat jako množinu permutací tří písmen ''ABC''. Grupa pozůstává z&nbsp;prvků ''ABC'', ''ACB'', ..., až po ''CBA'', celkem 6 prvků. Symetrické grupy jsou základním příkladem konečných grupy, neboť každá konečná grupa se dá vyjádřit jako podgrupa symetrické grupy <math>S_n</math> pro vhodné [[přirozené číslo]] <math>n</math> ([[Cayleyho věta]]).<ref>Landin, str. 126</ref> Grupa <math>S_3</math> se dá také interpretovat jako množina symetrií [[rovnostranný trojúhelník|rovnostranného trojúhelníka]], podobně jako dihedrální grupa D<sub>4</sub> v&nbsp;úvodu je grupou symetrií [[čtverec|čtverce]].

Řád prvku <math>a</math> grupy <math>G</math> je nejmenší [[přirozené číslo]] <math>n</math> takové, že <math>a^n</math> (součin <math>n</math> kopií <math>a</math>) je rovno neutrálnímu prvku <math>e</math>. Řád každého prvku konečné grupy je konečný. Grupa je do&nbsp;jisté míry určena svým řádem a&nbsp;strukturou svých podgrup. [[Lagrangeova věta (teorie grup)|Lagrangeova věta]] tvrdí, že pro konečnou grupu <math>G</math> počet prvků její libovolné podgrupy <math>H</math> [[dělitelnost|dělí]] počet prvků grupy <math>G</math>.<ref>Landin, str. 110</ref> [[Sylowovy věty]] dávají část obráceného tvrzení.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Morandi
 | jméno = Patrick 
 | titul = Field and Galois theory
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1996
 | počet stran = 281
 | strany = 247
 | isbn = 9780387947532
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

[[Soubor:Dih4 cycle graph pf.svg|náhled|vpravo|200px|Graf cyklů [[dihedrální grupa|dihedrální grupy]] D<sub>4</sub>. Rotace <math>r_1</math> generuje 4prvkovou cyklickou podgrupu, překlopení generují pouze 2prvkové cyklické podgrupy.]]
[[Dihedrální grupa]] (uvedena výše) je příkladem konečné grupy řádu 8. Řád prvku <math>r_1</math> je 4, stejně jako řád podgrupy <math>R</math> kterou generuje. Řád libovolné reflexe je 2. Oba řády dělí číslo 8, jak tvrdí Lagrangeova věta. Malé grupy se dají částečně popsat grafem cyklů, v&nbsp;kterém vrcholy [[Graf (teorie grafů)|grafu]] odpovídají prvkům grupy a&nbsp;cyklickým podgrupám <math>\{a,a^2,...,a^n=e\}</math> odpovídají hrany od <math>a</math> k&nbsp;<math>a^2</math>, od <math>a^2</math> k&nbsp;<math>a^3</math> a&nbsp;tak dále. Obrázek vpravo znázorňuje graf cyklů Dihedrální grupy D<sub>4</sub>. Pro grupy řádu menšího než 16 určuje graf cyklů grupu jednoznačně.

Další důležité příklady konečných grup jsou multiplikativní grupy [[Galoisovo těleso|konečných těles]] a&nbsp;grupy [[lineární grupa|regulárních]], [[ortogonální matice|ortogonálních]] respektive [[symplektická grupa|symplektických]] matic nad konečnými tělesy.

=== Klasifikace jednoduchých konečných grup ===
{{Viz též|Klasifikace jednoduchých konečných grup}}
Zatím co klasifikace konečných ''Abelových'' grup je jednoduchá, snaha o&nbsp;klasifikaci všech konečných grup vede na hluboké a&nbsp;složité matematické problémy. Podle Lagrangeovy věty, konečné grupy [[prvočíslo|prvočíselného řádu]] <math>p</math> jsou nutně cyklické a&nbsp;tedy izomorfní grupě <math>(\Z_p, +)</math>. O&nbsp;grupách řádu <math>p^2</math> víme že jsou Abelovy, toto tvrzení už ale neplatí pro grupy řádu <math>p^3</math>, jak ukazuje příklad dihedrální grupy D<sub>4</sub> řádu 8&nbsp;=&nbsp;2<sup>3</sup>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Artin
 | jméno = Michael 
 | titul = Algebra
 | url = https://archive.org/details/algebra0000arti_x4a1
 | vydavatel = Prentice Hall
 | rok = 1991
 | kapitola = 6, Theorem 6.1.14
 | počet stran = 618
 | isbn = 9780130047632
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Grupy nízkých řádů se dají popsat i&nbsp;pomocí počítačových programů (např. [[Počítačový algebraický systém|computer algebra system]]). Malé grupy jsou známe až do&nbsp;řádu 2000 a&nbsp;až na izomorfismus jich je kolem 50 [[miliarda|miliard]].<ref>{{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7}}</ref><ref group="pozn">Naprostá většina z nich je řádu 1024.</ref> Klasifikace všech konečných grup však zatím není známa.

Mezistupeň v&nbsp;porozumění konečných grup představuje klasifikace konečných ''[[jednoduchá grupa|jednoduchých grup]]''.<ref group="pozn">Mezera mezi klasifikací jednoduchý group a&nbsp;všech grup spočívá v&nbsp;''problému extenze'', který je příliš obtížný na obecné řešení. Viz např.&nbsp;Aschbacher (2004), [http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf The Status of the Classification of the Finite Simple Groups], str. 737.</ref> Netriviální grupa se jmenuje ''jednoduchá'', pokud jediné její [[normální podgrupa|normální podgrupy]] jsou grupa [[triviální grupa|triviální]] (jednoprvková) a&nbsp;celá grupa. [[Jordan–Hölderova věta]] popisuje jednoduché grupy jako základní prvky pro konstrukci obecných konečných grup.<ref>Lang, 2002, §I. 3, str. 22</ref>

Dokončení seznamu všech konečných jednoduchých grup byl velký úspěch současné teorie grup.
Věta o&nbsp;[[klasifikace jednoduchých konečných grup|klasifikaci jednoduchých konečných grup]] říká, že každá konečná jednoduchá grupa spadá buďto do&nbsp;jedné z 18 nekonečných skupin grup nebo je jednou z&nbsp;26 takzvaných [[sporadická grupa|sporadických grup]].<ref>{{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf |format=PDF| year=2004 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=51 | issue=7 | pages=736–740}}.</ref><ref group="pozn">Největší z&nbsp;nich, tzv.&nbsp;[[monstergrupa]], obsahuje asi <math>10^{54}</math> prvků.</ref> Tato věta plně charakterizuje všechny konečné jednoduché grupy. Kvůli ohromné náročnosti jejího důkazu bývá v&nbsp;[[angličtina|angličtině]] také nazývána „''{{Cizojazyčně|en|Enormous theorem}}''“.

Důkaz této věty nebyl nikdy uveřejněn v celku. Sestává z více než 500 článků od&nbsp;přibližně 100 autorů uveřejněných v&nbsp;nejrůznějších matematických časopisech převážně mezi lety [[1955]] a&nbsp;[[1983]]. Odhaduje se, že celková délka důkazu je 10 000–15 000 stran tištěného textu.<ref name="100proof12">{{Citace monografie
 | příjmení = Garnier
 | jméno = Rowan
 | odkaz na autora = Rowan Garnier
 | příjmení2 = Taylor
 | jméno2 = John
 | odkaz na autora2 = John Taylor
 | rok = 1996
 | titul = 100% Mathematical Proof
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | isbn = 0-471-96198-1
}} str. 12.</ref> Taková rozsáhlost může vyvolat (podobně jako u [[Problém čtyř barev|věty o čtyřech barvách]]) pochybnosti o&nbsp;správnosti důkazu. Žádný matematik totiž pravděpodobně nepřečetl tento důkaz celý. Každá jednotlivá část důkazu publikovaná v&nbsp;průběhu téměř třiceti let však byla mnoha matematiky přečtena a&nbsp;uznána za správnou. Proto je tento důkaz všeobecně považován za správný.

== Grupy s dodatečnou strukturou ==

Mnoho grup jsou současně příklady jiných matematických [[algebraická struktura|struktur]]. V&nbsp;jazyku [[teorie kategorií]] jsou to ''grupové objekty'' nějaké kategorie, tedy objekty a&nbsp;morfismy, které jsou kompatibilní s&nbsp;grupovou strukturou.

=== Topologické grupy ===
[[Soubor:Circle as Lie group2.svg|vpravo|náhled|Jednotková [[kružnice]] v&nbsp;[[komplexní rovina|komplexní rovině]]. Spolu s&nbsp;násobením [[komplexní číslo|komplexních čísel]] tvoří [[topologická grupa|topologickou grupu]], neboť násobení a&nbsp;dělení jednotkových komplexních čísel je [[spojitost|spojité]]. Je to navíc [[varieta (matematika)|varieta]] a&nbsp;tedy i&nbsp;[[Lieova grupa]], protože každé [[okolí (matematika)|okolí]] nějakého bodu, podobně jako červený oblouk na obrázku, je podobný kousku [[Eukleidovský prostor|Eukleidova prostoru]], v&nbsp;tomto případě reálné [[přímka|přímky]] (znázorněno dole).]]
Některé [[topologický prostor|topologické prostory]] mohou být vybaveny grupovým násobením. Abychom takovou grupu nazvali [[topologická grupa|topologickou grupu]], musí být obě operace vzájemně kompatibilní, což znamená že grupové násobení <math>g\cdot h</math> závisí [[spojitost|spojitě]] na <math>g</math> a&nbsp;<math>h</math> a&nbsp;také inverze <math>g^{-1}</math> je spojitou funkcí <math>g</math>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Higgins
 | jméno = Philip J. 
 | titul = Introduction to topological groups
 | url = https://archive.org/details/isbn_0521205271
 | vydavatel = CUP Archive
 | místo = London
 | rok = 1974
 | počet stran = 109
 | kapitola = 2
 | strany = [https://archive.org/details/isbn_0521205271/page/16 16]
 | isbn = 9780521205276
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

Nejzákladnějším příkladem jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] spolu se sčítáním <math>(\R,+)</math>, nenulová reálná čísla s&nbsp;násobením <math>(\R\backslash \{0\},\cdot)</math> a&nbsp;podobně libovolné topologické těleso, jako například [[komplexní číslo|komplexní čísla]] anebo [[p-adická čísla]]. Všechny tyto grupy jsou [[lokálně kompaktní grupa|lokálně kompaktní]], je na nich tedy možné definovat invariantní [[Haarova míra|Haarovu míru]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Husain
 | jméno = Taqdir  
 | titul = Introduction to topological groups
 | url = https://archive.org/details/introductiontoto00husa_934
 | vydavatel = Saunders
 | rok = 1966 
 | počet stran = 218
 | strany = [https://archive.org/details/introductiontoto00husa_934/page/n109 101]
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Díky ní je možné na grupě [[integrál|integrovat]] a&nbsp;studovat vlastnosti grupy pomocí [[harmonická analýza|harmonické analýzy]]. [[Invariance]] v&nbsp;tomto případě znamená, že
: <math>\int_G f(x)\,dx = \int_G f(c\cdot x)\,dx</math>
pro libovolný prvek grupy ''c''.

[[Lineární grupa|Maticové grupy]] nad těmito tělesy jsou také lokálně kompaktní topologické grupy a&nbsp;taktéž [[adély]] a&nbsp;[[adelické algebraické grupy]], které jsou důležité v&nbsp;[[teorie čísel|teorii čísel]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Neukirch
 | jméno = Jürgen 
 | titul = Algebraic Number Theory
 | url = https://archive.org/details/algebraicnumbert0000neuk
 | vydavatel = Springer
 | místo = Berlin
 | rok = 1999
 | počet stran = 571
 | isbn = 978-3-540-65399-8
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

Galoisovy grupy rozšíření těles nekonečného stupně jako například absolutní Galoisova grupa, se dají přirozeně vybavit tzv. [[Krullova topologie|Krullovou topologií]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Shatz 
 | jméno = Stephen S.
 | titul = Profinite groups, arithmetic, and geometry
 | vydavatel = Princeton University Press
 | rok = 1972
 | isbn = 978-0-691-08017-8
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Zobecněním těchto idejí adaptovaným na potřeby [[algebraická geometrie|algebraické geometrie]], je [[etální fundamentální grupa]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Milne
 | jméno = James S.
 | titul = Étale cohomology
 | vydavatel = Princeton University Press
 | rok = 1980
 | isbn = 978-0-691-08238-7
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/etalecohomology00miln
 }}</ref>

=== Lieovy grupy ===
{{Podrobně|Lieova grupa}}
'''Lieovy grupy''' (pojmenovány po [[Sophus Lie|Sophusi Lieovi]]) jsou grupy, které mají současně strukturu hladké [[varieta (matematika)|variety]], tj.&nbsp;jsou lokálně [[difeomorfismus|difeomorfní]] [[Eukleidovský prostor|Eukleidovskému prostoru]] dané [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Warner
 | jméno = Frank Wilson
 | titul = Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
 | url = https://archive.org/details/foundationsdiffe00warn_631
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1971
 | počet stran=272
 | strany = [https://archive.org/details/foundationsdiffe00warn_631/page/n89 82]
 | isbn = 9780387908946
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Struktura variety musí být opět kompatibilní se&nbsp;strukturou grupy, tj.&nbsp;v tomto případě násobení a&nbsp;inverze musí být hladká (tj.&nbsp;[[diferencovatelnost|diferencovatelné]]) zobrazení.

Příkladem Lieovy grupy je [[lineární grupa|obecná lineární grupa]], která se skládá ze všech [[regulární matice|regulárních]] reálných nebo komplexních [[matice|matic]] dimenze <math>n\times n</math>.
Je to [[otevřená množina]] v&nbsp;prostoru všech matic <math>n\times n</math>, neboť je určena nerovností
:<math>\det (A)\neq 0</math>
kde <math>A</math> je matice.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Borel 
 | jméno = Armand 
 | titul = Linear algebraic groups
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1991
 | počet stran=288
 | strany = 29
 | isbn = 978-0-387-97370-8
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Kromě obecné lineární grupy existují další série Lieových grup, které se nazývají [[klasické grupy]]. Jsou to [[Speciální lineární grupa]], která pozůstává pouze z&nbsp;matic s&nbsp;[[determinant]]em rovným jedné, [[Ortogonální grupa|ortogonální]] lineární grupy, [[Unitární grupa|unitární grupy]] a&nbsp;[[symplektická grupa|symplektické grupy]].

Lieovy grupy mají úzkou souvislost s&nbsp;[[Lieova algebra|Lieovýma algebrami]]. Lieova algebra Lieovy grupy popisuje lokální vlastnosti grupy.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Harris
 | jméno = Joe 
 | příjmení2 = Fulton, 
 | jméno2 = William  
 | titul = Representation theory: a first course
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1991
 | počet stran=551
 | kapitola = II.8
 | isbn = 9780387974958
 | jazyk = anglicky
}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Cornwel
 | jméno = J. F. 
 | titul = Group theory in physics: an introduction
 | url = https://archive.org/details/grouptheoryphysi00corn_362
 | vydavatel = Academic Press
 | rok = 1997 
 | počet stran=349
 | strany = [https://archive.org/details/grouptheoryphysi00corn_362/page/n145 135]
 | isbn = 9780121898007
 | jazyk = anglicky
}}</ref> [[Wilhelm Killing]] a [[Élie Cartan]] popsali klasifikaci jednoduchých Lieových algeber nad [[komplexní číslo|komplexními čísly]] a&nbsp;reálnými čísly. Každá komplexní jednoduchá Lieova algebra patří do 4 nekonečných sérií anebo je jednou z&nbsp;pěti výjimečných Lieových algeber.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Humphreys
 | jméno = James E.
 | titul = Introduction to Lie algebras and representation theory
 | vydavatel = Birkhäuser
 | rok = 2000
 | počet stran = 172
 | kapitola = III.11
 | isbn = 9780387900537
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/introductiontoli00jame
 }}</ref> Grupy, které k&nbsp;těmto algebrám náleží, jsou (až na nakrytí) [[Speciální lineární grupa|speciální lineární grupy]], [[Ortogonální grupa|ortogonální lineární grupy]] liché a&nbsp;sudé dimenze, [[symplektická grupa|symplektické grupy]] a&nbsp;[[výjimečné Lieovy grupy]] (vše nad komplexními čísly). K&nbsp;těmto komplexním grupám existuje vícero reálných forem (ke každé existuje právě jedna [[kompaktnost|kompaktní]]).<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Onishchik
 | jméno = A. L.   
 | příjmení2 = Vinberg
 | jméno2 = Ėrnest Borisovich   
 | titul = Lie groups and Lie algebras III
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1994
 | počet stran=248
 | kapitola = 4.1, 4.2
 | isbn = 9783540546832
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

Lieovy grupy mají zásadní důležitost ve&nbsp;[[fyzika|fyzice]]: [[teorém Noetherové]] dává do&nbsp;souvislosti symetrie a kvantity, které se [[invariance|zachovávají]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Goldstein 
 | jméno = Herbert 
 | titul = Classical Mechanics
 | url = https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639
 | vydavatel = Addison-Wesley Publishing
 | rok = 1980
 | strany = [https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639/page/n605 588]–596
 | isbn = 0-201-02918-9
 | jazyk = anglicky
}}</ref> [[Otočení|Rotace]], podobně jako [[Posunutí (geometrie)|translace]] v&nbsp;[[prostor (matematika)|prostoru]] a&nbsp;[[čas]]u jsou základní symetrie zákonů klasické [[mechanika|mechaniky]]. Jiný jednoduchý příklad tvoří [[Lorentzova transformace|Lorentzovy transformace]], které dávají do souvislosti měření polohy a&nbsp;času ve [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Weinberg
 | jméno = Steven
 | titul = Gravitation and Cosmology
 | místo = New York
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | rok = 1972
 | strany = 25–29
 | isbn = 978-0-471-92567-5
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0
 }}</ref> Množina všech takových transformací se nazývá [[Lorentzova grupa]] a&nbsp;tvoří rotační symetrie [[Minkowského prostor]]u, který je model [[časoprostor]]u v&nbsp;teorii relativity při absenci [[hmota|hmoty]]. Grupa všech symetrií Minkowského prostoru, která zahrnuje i&nbsp;[[posunutí (geometrie)|translace]], se nazývá [[Poincarého grupa]]. Tato Lieova grupa hraje hlavní roli v&nbsp;speciální teorii relativity a&nbsp;také v [[kvantová teorie pole|kvantové teorii pole]]. Unitární grupy <math>SU(2)</math> a&nbsp;<math>SU(3)</math> vystupují jako grupy symetrií některých částicových teorií a&nbsp;výjimečné Lieovy grupy <math>E_8</math> se vyskytují často v&nbsp;[[teorie strun|teorii strun]] a&nbsp;[[kvantová gravitace|kvantové gravitaci]].<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = El Naschie
 | jméno = M.S. 
 | titul = String theory, exceptional Lie groups hierarchy
and the structural constant of the universe
 | periodikum = Chaos, Solitons & Fractals
 | rok = 2008
 | ročník = 35
 | strany = 7–12
 | url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0960077907007254
}}</ref>

Důležitou součástí studia Lieových grup je studium jejich [[Reprezentace (grupa)|reprezentací]]. Tyto reprezentace mají aplikace v&nbsp;[[geometrie|geometrii]] a&nbsp;díky nim je možné také zobecnit klasickou [[harmonická analýza|harmonickou analýzu]], která studuje [[matematická funkce|funkce]] prostřednictvím jejich [[Fourierova transformace|Fourierovy transformace]], na funkce definované na&nbsp;Lieových grupách.<ref name="varad"/>

== Zobecnění ==
{{Grupové struktury}}
V&nbsp;[[abstraktní algebra|abstraktní algebře]] je možné definovat obecnější struktury vynecháním některých axiomů grupy.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Mac Lane
 | jméno=Saunders 
 | titul=Categories for the Working Mathematician
 | vydavatel=Springer
 | místo=Berlin, New York
 | rok=1998
 | isbn=978-0-387-98403-2
 | jazyk=anglicky}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení=Denecke 
 | jméno=Klaus 
 | příjmení2=Wismath
 | jméno2=Shelly L. 
 | titul=Universal algebra and applications in theoretical computer science
 | url=https://archive.org/details/universalalgebra0000dene
 | vydavatel=CRC Press
 | místo=London
 | rok=2002
 | isbn=978-1-58488-254-1
 | jazyk=anglicky}}</ref> Pokud například vynecháme v&nbsp;definici grupy požadavek, aby ke&nbsp;každému prvku existoval inverzní prvek, výsledná algebraická struktura se nazývá [[monoid]]. [[Množina]] [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] (včetně nuly) spolu se&nbsp;sčítáním tvoří monoid, podobně množina všech celých čísel spolu s&nbsp;operací násobení. Existuje obecná metoda jak formálně přidat inverzní prvky k&nbsp;libovolnému komutativnímu monoidu podobným způsobem jako jsou odvozena racionální čísla <math>(\Q\backslash \{0\},\cdot)</math> od <math>(\Z\backslash \{0\},\cdot)</math> a&nbsp;takto vzniklá grupa se nazývá [[Grothendieckova grupa]]. Dalším příkladem algebraické struktury je [[kvazigrupa]], v které sice neexistuje neutrální prvek, přesto je ale možné [[dělení|dělit]], tj.&nbsp;rovnice <math>a\cdot x=b</math> a&nbsp;<math>x\cdot a=b</math> mají řešení pro každé <math>a</math> a&nbsp;<math>b</math>. Struktura, v&nbsp;které je dána pouze binární operace bez žádných dalších předpokladů o&nbsp;ní, se nazývá [[grupoid]].

Další matematické pojmy zobecňující grupu jsou [[Morfismus|morfismy]] nějaké [[teorie kategorií|kategorie]]. Morfismy se dají skládat, a&nbsp;jejich složení splňuje asociativní zákon, ovšem obecně nemusí existovat inverzní morfismy a&nbsp;také není možné složit libovolné morfismy (jenom prvky <math>Mor(A,B)</math> a&nbsp;<math>Mor(B,C)</math>). Kategorie, v&nbsp;které je každý morfismus izomorfismem, se nazývá [[grupoid (teorie kategorií)|grupoid v&nbsp;teorii kategorií]]. Morfismy tohoto objektu splňují asociativitu, existenci neutrálního i&nbsp;inverzního prvku, ovšem opět je možné skládat jenom takové morfismy, že složení má smysl.

Libovolný z&nbsp;těchto konceptů se dá dále zobecňovat na obecnou <math>n</math>-ární operaci (tj.&nbsp;operace, která má jako vstup <math>n</math> argumentů). Vhodným zobecněním axiomů grupy dostáváme tzv.&nbsp;<math>n</math>-ární grupu.<ref>{{Citation |last=Dudek |first=W.A. |title=On some old problems in n-ary groups |url=http://www.quasigroups.eu/contents/contents8.php?m=trzeci |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages=15–36 |access-date=22-06-2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090714003319/http://www.quasigroups.eu/contents/contents8.php?m=trzeci |archive-date=14-07-2009 |dead-url=ano |df= |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090714003319/http://www.quasigroups.eu/contents/contents8.php?m=trzeci |archivedate=14-07-2009 |titul=Archivovaná kopie |datum přístupu=13-06-2011 |url archivu=https://web.archive.org/web/20090714003319/http://www.quasigroups.eu/contents/contents8.php?m=trzeci |datum archivace=14-07-2009 }}</ref>

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
<references group="pozn"/>

=== Reference ===
{{Překlad|en|Group (mathematics)|425504386}}
<references />

=== Literatura ===
;Česká
* {{Citace monografie
 | příjmení=Alexandrov
 | jméno=Pavel Sergejevič
 | titul=Úvod do teorie grup
 | rok=1985
 | místo = Moskva
 | vydavatel= Mir
 | překladatelé=M. Volf
 | počet stran = 120}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Boček
 | jméno = Leo 
 | příjmení2 = Šedivý
 | jméno2 = Jaroslav
 | titul = Grupy geometrických zobrazení
 | vydavatel = Státní pedagogické nakladatelství
 | místo = Praha
 | rok = 1979
 | počet stran = 213
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení=Drápal
 | jméno=Aleš 
 | titul=Teorie grup (základní aspekty)
 | vydavatel=Karolinum
 | rok=2000
 | místo=Praha
 | počet stran = 207
 | isbn=80-246-0162-1}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Livio
 | jméno = Mario
 | odkaz na autora = Mario Livio
 | titul = Neřešitelná rovnice
 | místo = Praha
 | vydavatel = Argo, Dokořán
 | rok = 2008
 | počet stran = 320
 | isbn = 978-80-7363-150-5
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Litzman
 | jméno = Otto 
 | příjmení2 = Sekanina
 | jméno2 = Milan  
 | titul = Užití grup ve fyzice
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 1982
 | počet stran = 276 
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Procházka
 | jméno = Ladislav
 | spoluautoři = a kol.
 | titul = Algebra
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 1990
 | počet stran = 560
 | kapitola = III
 | isbn = 80-200-0301-0
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Procházka
 | jméno = Ladislav
 | titul = Rozšíření grup a grupy krystalografické
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 2001
 | počet stran = 119
 | isbn = 9788024604060
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Rachůnek,
 | jméno = Jiří 
 | titul = Grupy a okruhy
 | vydavatel = Univerzita Palackého v Olomouci
 | místo = Olomouc
 | rok = 2005
 | počet stran = 106
 | isbn = 9788024409986
}}

;Anglická
* {{Citace monografie
 | příjmení = Cornwell
 | jméno = J. F  
 | titul = Group theory in physics: an introduction
 | vydavatel = Academic Press
 | místo = San Diego
 | rok = 1997
 | počet stran = 349
 | isbn = 9780121898007
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Lesk
 | jméno = Arthur M   
 | titul = Introduction to symmetry and group theory for chemists
 | vydavatel = Kluwer Academic Publishers
 | místo = Dordrecht ; Boston
 | rok = 2004
 | počet stran = 122
 | isbn = 9781402021503
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = McWeeny
 | jméno = Roy 
 | titul = Symmetry: an introduction to group theory and its applications
 | vydavatel = Dover Publications
 | místo = Mineola
 | rok = 2002 
 | počet stran = 248
 | isbn = 9780486421827
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Miller
 | jméno = Willard  
 | titul = Symmetry groups and their applications
 | vydavatel = Academic Press
 | místo = New York
 | rok = 1972
 | počet stran = 432
 | isbn = 9780124974609
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Sternberg
 | jméno = Shlomo
 | titul = Group theory and physics
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | místo = Cambridge
 | rok = 1995
 | počet stran = 444
 | isbn = 9780521558853
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/grouptheoryphysi0000ster
 }}

=== Externí odkazy ===
* {{commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=grupa}}
;České
* Motl L., Zahradník M., [https://web.archive.org/web/20041225000824/http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node17.html Pěstujeme lineární algebru, kapitola Grupa] (skripta)
* Martin Kuřil, [https://kma.ujep.cz/administrace/uploads/afa9832.pdf Základy teorie grup] (učební text)
* Pavel Růžička, [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~ruzicka/ctg/kapitola1.pdf Elementární teorie grup]
* Lucie Horálková, [http://is.muni.cz/th/106253/prif_b/Grupy_symetrii.pdf Grupy symetrií], bakalářská práce
* Jakub „šnEk“ Opršal, [https://prase.cz/library/rubiksgrouptheoryJO/rubiksgrouptheoryJO.pdf Rubikova teorie grup]
* [http://www.xray.cz/kryst/grupa.htm Grupa na stránkách Krystalografické společnosti]

;Anglické
* [http://www.e-booksdirectory.com/listing.php?category=35 Knihy o teorii grup na e-books], volně ke stažení
* Frank W. K. Firk (Yale University), [http://www.physicsforfree.com/intro.html Introduction to Groups, Invariants & Particles], volně ke stažení
* [https://web.archive.org/web/20110615105236/http://www-public.tu-bs.de:8080/%7Ehubesche/small.html The Small Groups library], popis grup malých řádů
* John Jones, [http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Group Tables and Subgroup Diagrams]
* [http://wwwmathlabo.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/ Lie], program na počty související s reprezentacemi [[Lieova grupa|Lieových grup]]
* [https://web.archive.org/web/20111107191217/http://www.opensourcemath.org/gap/small_groups.html Popis malých grup do řádu 30]
* [http://mathworld.wolfram.com/Group.html Grupa na MathWorld ]

{{Portály|Matematika}}
{{Dobrý článek}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie grup]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Symetrie]]