Zobrazení zdroje stránky Gibbsův jev

[[Soubor:Gibbs phenomenon 10.svg|náhled|200px|vpravo|Aproximace obdélníkového průběhu pomocí 5 harmonických]]
[[Soubor:Gibbs phenomenon 50.svg|náhled|200px|vpravo|Aproximace obdélníkového průběhu pomocí 25 harmonických]]
[[Soubor:Gibbs phenomenon 250.svg|náhled|200px|vpravo|Aproximace obdélníkového průběhu pomocí 125 harmonických]]
'''Gibbsův jev''' je problém, který se objevuje při [[zpracování signálu]] a v dalších odvětvích techniky, fyziky a matematiky: při [[Aproximace|aproximaci]] [[Periodická funkce|periodické funkce]] [[Fourierova řada|Fourierovou řadou]] se v místě [[Skoková diskontinuita|skokové diskontinuity]] aproximované funkce objeví [[Překmit (elektronika)|překmit]], jehož velikost se při zvětšování počtu členů Fourierovy řady nezmenšuje. Jev pozorovaný experimentálními fyziky, kteří se domnívali, že je způsoben nedokonalostí měřicích přístrojů, vysvětlil v roce 1848 Henry Wilbraham<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Wilbraham
 | jméno = Henry
 | rok = 1848
 | titul = On a certain periodic function
 | periodikum = The Cambridge and Dublin Mathematical Journal
 | číslo = 3
 | strana = 198–201
}}</ref><ref name="Hewitt 1979 129–160">{{Citace periodika
 | příjmení = Hewitt
 | jméno = Edwin
 | author2 = Hewitt, Robert E.
 | titul = The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in Fourier analysis
 | periodikum = Archive for History of Exact Sciences
 | rok = 1979
 | volume = 21
 | issue = 2
 | pages = 129–160
 | doi = 10.1007/BF00330404
 | url = http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/hewitt-hewitt1979.pdf
 | url archivu = https://web.archive.org/web/20160304104811/http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/hewitt-hewitt1979.pdf
 | datum = 2016-03-04
 }} {{Wayback|url=http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/hewitt-hewitt1979.pdf |date=20160304104811 }}</ref> <!-- National Chiao Tung University:  Open Course Ware:  Hewitt & Hewitt, 1979. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304104811/http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/hewitt-hewitt1979.pdf |date=2016-03-04 }} --> a v roce 1899 znovuobjevil Willard Gibbs.<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Gibbs
 | jméno = J. Willard
 | rok 1899
 | titul = Fourier's Series
 | periodikum = Nature
 | ročník = 59
 | číslo = 1539
 | strana = 606
 | doi = 10.1038/059606a0
 | issn = 0028-0836
}}</ref><ref name=dimarogonas>{{Citace monografie
 | titul = Vibration for engineers
 | jméno = Andrew
 | příjmení = Dimarogonas
 | isbn = 978-0-13-462938-4
 | rok = 1996
}}</ref>

Projevem Gibbsova jevu při [[zpracování signálu]] jsou prstencové artefakty ({{Vjazyce2|en|''ringing artifacts''}}).

== Popis ==
Gibbsův jev se dotýká jak faktu, že Fourierův součet vykazuje překmit v místě [[skoková diskontinuita|skokové diskontinuity]] aproximované funkce, tak faktu, že tento překmit přidáváním dalších členů nezmizí.

Obrázky vpravo ukazují Gibbsův jev pro [[obdélníkový průběh]] (s amplitudou <math>\pi/4</math>), jehož Fourierův rozvoj je

:<math> \sin(x)+\frac{1}{3}\sin(3x)+\frac{1}{5}\sin(5x)+\dotsb.</math>

Přesněji je to funkce ''f'', která se rovná <math>\pi/4</math> mezi <math>2n\pi</math> a <math>(2n+1)\pi</math> a <math>-\pi/4</math> mezi <math>(2n+1)\pi</math> a <math>(2n+2)\pi</math> pro každé [[celé číslo]] ''n''; tento obdélníkový průběh má skokové diskontinuity velikosti <math>\pi/2</math> v celočíselných násobcích <math>\pi</math>.

Je patrné, že s rostoucím počtem členů se chyba aproximace snižuje co do šířky a energie, ale konverguje k pevné výšce. Výpočet pro obdélníkový průběh (viz Zygmund, kap. 8.5, nebo výpočty na konci tohoto článku) dává explicitní vzorec pro limitu velikosti chyby. Ukazuje se, že Fourierova řada převyšuje výšku <math>\pi/4</math> obdélníkového průběhu o

:<math>\frac{1}{2}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\, dt - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\cdot (0.089489872236\dots)</math>(<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://oeis.org/A243268
 | web = The on-line encyclopedia of integer sequences
 | titul = Decimal expansion of 1/2-G/Pi, the lowest limiting trough of a square wave Fourier series, where G is the Gibbs-Wilbraham constant
 | datum přístupu = 2020-04-10
}}</ref>)

tj. přibližně 9 % velikosti skoku. Obecněji, pro jakýkoli skok velikosti ''a'' funkce po částech spojitě derivovatelné, bude ''n''-tý částečný součet Fourierovy řady (pro velmi velké ''n'') vykazovat překmit velikosti přibližně <math>a \cdot (0.089489872236\dots)</math> na jedná straně a podkmit o stejnou hodnotu na opačná straně; to znamená, že „skok“ částečného součtu Fourierovy řady bude o 18% větší než skok původní funkce. V místě samotné diskontinuity bude částečný součet Fourierovy řady konvergovat k průměru hodnot funkce na obou stranách skoku (bez ohledu na to, jaká je skutečná hodnota původní funkce v tomto bodě). Hodnota
:<math>\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ dt = (1.851937051982\dots) = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (0.089489872236\dots)</math>(<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://oeis.org/A036792
 | web = The on-line encyclopedia of integer sequences
 | titul = Numbers that are not the sum of 3 pentagonal numbers
 | datum přístupu = 2020-04-10
}}</ref>)
se někdy nazývá ''[[Henry Wilbraham|Wilbrahamova]]–Gibbsova konstanta''.

=== Historie ===
Gibbsův jev zpozoroval a ve svém článku z roku 1848 analyzoval [[Henry Wilbraham]].<ref>Wilbraham, Henry (1848) [https://www.google.com/books?id=JrQ4AAAAMAAJ&pg=PA198#v=onepage&q&f=false "On určitý periodical funkce,"] ''Cambridge a Dublin Matematický Journal'', '''3''' ({{Vjazyce2|en|''3''}}) : 198–201.</ref> Článek vzbudil jen malou pozornost až do roku 1914, kdy jej zmínil [[Heinrich Burkhardt]] v přehledu matematické analýzy v [[Klein's encyclopedia]].<ref>{{Citace monografie
 | titul = Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen
 | ročník = Vol II T. 1 H 1
 | rok = 1914
 | vydavatel = Vieweg+Teubner Verlag
 | místo = Wiesbaden
 | strany = 1049
 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN360506208/PPN360506208___LOG_0158.pdf
 | datum přístupu = 2016-09-14
}}</ref> V roce 1898 [[Albert Abraham Michelson]] vyvinul zařízení, které počítalo a resyntetizovalo Fourierovy řady.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hammack
 | jméno = Bill
 | příjmení2 = Kranz
 | jméno2 = Steve
 | příjmení3 = Carpenter
 | jméno3 = Bruce
 | titul = Albert Michelson's Harmonic Analyzer: A Visual Tour of a Nineteenth Century Machine that Performs Fourier Analysis
 | vydavatel = Articulate Noise Books
 | isbn = 9780983966173
 | url = http://www.engineerguy.com/fourier/
 | datum přístupu = 2016-09-14
 | jazyk = en
 | datum = 2014-10-29
}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Wolfram
 | jméno = Stephen
 | titul = A New Kind of Science
 | vydavatel = Wolfram Media, Inc.
 | rok = 2002
 | strany = [https://archive.org/details/newkindofscience00wolf/page/899 899]
 | isbn = 978-1-57955-008-0
 | url-přístup = registrace
 | url = https://archive.org/details/newkindofscience00wolf/page/899
}}</ref> Rozšířený mýtus říká, že když se Fourierovy koeficienty pro obdélníkový průběh zadaly do stroje, v grafu se objevilo kmitání v místech skoků, a protože se jednalo o fyzické zařízení, byl Michelson přesvědčen, že překmit je způsoben chybou stroje. Ve skutečnosti nebyly grafy vytvořené strojem tak dobré, aby se na nich Gibbsův jev jasně projevil, a Michelson si jej pravděpodobně nevšiml, protože se o něm nezmínil ve svém článku<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Michelson
 | jméno = A. A.
 | příjmení2 = Stratton
 | jméno 2 = S. W.
 | rok = 1898
 | titul = A new harmonic analyser
 | periodikum = Philosophical Magazine
 | číslo = 5
 | ročník = 45
 | strany = 85–91
}}</ref> o svém stroji ani ve svých pozdějších dopisech časopisu ''[[Nature (journal)|Nature]]''<ref name="Hewitt 1979 129–160"/>. [[Willard Gibbs|J. Willard Gibbs]] inspirovaný korespondencí v časopisu ''Nature'' mezi Michelsonem a Lovem o konvergenci Fourierových řad funkcí s obdélníkovým průběhem publikoval v roce 1898 krátkou poznámku, ve které se zabýval tím, co dnes nazýváme [[pilovitý průběh]] a ukázal důležité rozdíly mezi limitou grafů částečných součtů Fourierovy řady a grafem funkce, která je limitou těchto částečných součtů. Z jeho prvního dopisu je patrné, že si Gibbsova jevu nevšiml, a že limita, kterou popsal pro grafy částečných součtů, byla nepřesná. Ale v roce 1899 publikoval opravu, ve které popsal překmit v bodě diskontinuity (''Nature'': 27. dubna 1899, strana 606). V roce 1906 [[Maxime Bôcher]] podal podrobnou matematickou analýzu tohoto jevu, v němž použil název „Gibbsův jev“, který se tím dostal do širšího používání.<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Bôcher
 | jméno = Maxime
 | datum = duben 1906
 | url = https://www.jstor.org/stable/1967238?seq=1
 | titul = Introduction to the theory of Fourier's series
 | periodikum = Annals of Mathethematics
 | ročník = druhá řada
 | číslo = 7
 | jazyk = en (3)
 | strany = 81–152
}}.</ref> Gibbsův jev je diskutován na stranách 123–132; Gibbsova role je zmíněna na straně 129.<ref name="Hewitt 1979 129–160"/>

Po publikaci článku [[Henry Wilbraham|Henryho Wilbrahama]] se Gibbsův jev stal šířeji známým, a v roce 1925 [[Horatio Scott Carslaw]] poznamenal: „Můžeme stále nazývat tuto vlastnost Fourierových řad (a určitých jiných řad) Gibbsův jev; ale nemůžeme tvrdit, že Gibbs byl tím, kdo tuto vlastnost objevil.“<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Carslaw
 | jméno = H. S.
 | titul = A historical note on Gibbs' phenomenon in Fourier's series and integrals
 | periodikum = Bulletin of American Matematický Society
 | datum = 1925-10-01
 | ročník = 31
 | číslo = 8
 | strany = 420–424
 | url = https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183486614
 | datum přístupu = 2016-09-14
 | jazyk = en
 | issn = 0002-9904
 | doi = 10.1090/s0002-9904-1925-04081-1
}}</ref>

=== Vysvětlení ===
Neformálně odráží Gibbsův jev potíže vyplývající z podstaty aproximace [[Nespojitá funkce|nespojité funkce]] ''konečnou'' řadou [[Spojitá funkce|spojitých]] funkcí sinus a kosinus. Přitom důraz na slovo ''konečná'' je důležitý, protože i když každý částečný součet Fourierovy řady vykazuje překmit vůči aproximující funkci, limita částečných součtů tento překmit nemá. Hodnota ''x'', ve které se objevuje maximální překmit, se s rostoucím počtem členů posunuje stále blíže k diskontinuitě, takže jakmile překmit přejde přes určitou hodnotu ''x'', ke konvergenci pro tuto hodnotu ''x'' dochází.

Mezi tvrzeními, že překmit konverguje k nenulové hodnotě, a že limita částečných součtů nemá žádný překmit, protože se umístění tohoto překmitu se stále posouvá, není žádný rozpor. Ve druhém pohledu jde o [[bodová konvergence|bodovou konvergenci]], nikoli o [[Stejnoměrná konvergence|stejnoměrnou konvergenci]]. Pro funkci, která je po částech ''C''<sup>1</sup>, Fourierova řada konverguje k funkci v ''každém bodě'', kromě bodu skokové diskontinuity. Přímo v bodě skokové diskontinuity limita konverguje k průměrné hodnotě funkce na obou stranách skoku. To je důsledek [[Dirichletova podmínka|Dirichletovy věty]].<ref name="Pinksky">
{{Citace monografie
| autor = M. Pinsky
| titul = Introduction to Fourier Analysis and Wavelets
| url = https://archive.org/details/introductiontofo00pins_232
| strany = [https://archive.org/details/introductiontofo00pins_232/page/n37 27]
| rok = 2002
| vydavatel = Brooks/Cole
| místo = USA
}}
</ref>

Gibbsův jev je také blízce příbuzný principu, podle kterého je pokles Fourierových koeficientů funkce v nekonečnu ovlivněný hladkostí této funkce; velmi hladké funkce budou mít velmi rychle zanikající Fourierova koeficienty (což vede k velmi rychlé konvergenci Fourierovy řady), zatímco nespojité funkce budou mít velmi pomalu zanikající Fourierova koeficienty (způsobující, že Fourierova řada bude konvergovat velmi pomalu). V případě nespojité obdélníkový vlny popsané výše Fourierovy koeficienty 1,&nbsp;−1/3,&nbsp;1/5,&nbsp;... klesají stejně pomalu jako [[harmonická řada]], která není [[absolutně konvergentní]]; skutečně se ukazuje, že výše uvedená Fourierova řada konverguje pouze podmíněně pro [[skoro všude|téměř každou]] hodnotu&nbsp;''x''. To poskytuje částečné vysvětlení Gibbsova jevu, protože Fourierova řada s absolutně konvergentními Fourierovými koeficienty by podle [[Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence|Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence]] byla [[stejnoměrně konvergentní]] a nemohla by tedy vykazovat výše uvedené oscilační chování. Naopak není možné, aby nespojitá funkce měla absolutně konvergentní Fourierovy koeficienty, protože pak by tato funkce byla stejnoměrnou limitou spojité funkce a proto by musela být spojitá, což je kontradikce. Viz [[Konvergence Fourierovy řady#Absolutní konvergence|více o absolutní konvergenci Fourierovy řady]].

=== Řešení ===
V praxi lze potíže způsobené Gibbsovým jevem omezit použitím hladší metody sumace Fourierových řad, jako je [[Fejérova sumace]] nebo [[Rieszova sumace]] nebo pomocí [[sigma aproximace]]. Při použití spojité [[Vlnková transformace|vlnkové transformace]] vlnkový Gibbsův jev nikdy nepřevyšuje Fourierův Gibbsův jev.<ref>Rasmussen, Henrik O. „Wavelet Gibbs Effect.“ V „''Wavelets, Fractals a Fourierova Transformace''“, Eds [[Marie Farge|M. Farge]] ''et al''., Clarendon Press, Oxford, 1993.</ref> Při použití diskrétní vlnkové transformace s [[Haarova vlnka|Haarovou bázovou funkcí]] se v případě spojitých dat v místě skokové diskontinuity Gibbsův jev vůbec neobjeví,<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Kelly
 | jméno = Susan E.
 | titul = Gibbs Phenomenon for Wavelets
 | periodikum = Applied and Computational Harmonic Analysis
 | číslo = 3
 | rok = 1995
 | url = http://www.uwlax.edu/faculty/kelly/Publications/GibbsJan.pdf
 | datum přístupu = 2012-03-31
 | url-status = mrvý
 | url archivu = https://web.archive.org/web/20130909200315/http://www.uwlax.edu/faculty/kelly/Publications/GibbsJan.pdf
 | archivedate = 2013-09-09
 | datum archivace = 2013-09-09
 | nedostupné = ano
 }} {{Wayback|url=http://www.uwlax.edu/faculty/kelly/Publications/GibbsJan.pdf |date=20130909200315 }}</ref> a v diskrétním případě s velkým počtem změna body je minimální. Ve vlnkové analýze se tento jev obvykle nazývá [[Longoův jev]]. Pro polynomiální interpolaci lze Gibbsův jev zmírnit pomocí S-Gibbsova algoritmu.<ref name="FakeNodes">
{{Citace elektronické monografie
 | jméno = Stefano
 | příjmení = De Marchi
 | jméno2 = Francesco
 | příjmení2 = Marchetti
 | jméno3 = Emma
 | příjmení3 = Perracchione
 | jméno4 = Davide
 | příjmení4 = Poggiali
 | titul = Polynomial interpolation via mapped bases without resampling
 | doi = 10.1016/j.cam.2019.112347
 | periodikum = J. Comput. Appl. Math.
 | ročník = 364
 | rok = 2020
 | issn = 0377-0427
}}
</ref> Implementace tohoto postupu v jazyce [[Python]] jsou na [[GitHub|GitHubu]].<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = pog87/FakeNodes
| url = https://github.com/pog87/FakeNodes
| datum vydání = 2024-05-17
| poznámka = original-date: 2019-02-15T14:04:29Z
| datum přístupu = 2024-06-26
}}</ref>

== Formální matematický popis jevu ==
Nechť <math>f: {\mathbb R} \to {\mathbb R}</math> je po částech spojitě derivovatelná funkce, která je periodická s nějakou periodou <math>L > 0</math>. Předpokládejme, že v nějakém bodě <math>x_0</math> se levá limita <math>f(x_0^-)</math> a pravá limita <math>f(x_0^+)</math> funkce <math>f</math> liší o nenulovou hodnotu <math>a</math>:

: <math> f(x_0^+) - f(x_0^-) = a \neq 0.</math>

Pro každé kladné celé číslo ''N'' ≥ 1 nechť ''S''<sub>''N''</sub>&nbsp;''f'' je ''N''-tý částečný součet Fourierovy řady

: <math> S_N f(x) := \sum_{-N \leq n \leq N} \widehat f(n) e^{\frac{2i\pi  n x}{L}}
= \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^N \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{L}\right) \right),</math>

kde Fourierova koeficienty <math>\widehat f(n), a_n, b_n</math> jsou dané obvyklými vzorci

: <math> \widehat f(n) := \frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-2i\pi  n x/L}\, dx</math>

: <math> a_n := \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)\, dx</math>

: <math> b_n := \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)\, dx.</math>

Pak máme

: <math> \lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 + \frac{L}{2N}\right) = f(x_0^+) + a\cdot (0.089489872236\dots)</math>

a

: <math> \lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 - \frac{L}{2N}\right) = f(x_0^-) - a\cdot (0.089489872236\dots)</math>

ale

: <math> \lim_{N \to \infty} S_N f(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}.</math>
Obecněji, jestliže <math>x_N</math> je libovolná posloupnost [[Reálné číslo|reálných čísel]], která konverguje k <math>x_0</math> pro <math>N \to \infty</math>, a jestliže velikost skoku ''a'' je kladná, pak
: <math> \limsup_{N \to \infty} S_N f(x_N) \leq f(x_0^+) + a\cdot (0.089489872236\dots)</math>
a
: <math> \liminf_{N \to \infty} S_N f(x_N) \geq f(x_0^-) - a\cdot (0.089489872236\dots).</math>
Pokud je velikost skoku ''a'' záporná, musíme zaměnit [[limes superior]] s [[limes inferior]] a zaměnit symboly ≤ a ≥ ve výše uvedených nerovnostech.

== Vysvětlení pro zpracování signálu ==
[[Soubor:Sinc function (both).svg|náhled|Funkce [[sinc]] je [[impulsní odezva]] ideální [[dolní propust]]i. Škálování funkci zužuje a odpovídajícím způsobem zvyšuje velikost (který zde není uveden), ale neomezuje velikost podkmitu, který je integrálem chvostu (zbytku řady).]]
Z perspektivy [[zpracování signálu]] je Gibbsův jev [[Skoková odezva|skokovou odezvou]] [[dolní propust]]i a oscilacím se říká [[překmit (elektronika)|překmit]] nebo [[Prstencový artefakt|prstencové artefakty]]. Ořezání [[Fourierova transformace|Fourierovy transformace]] signálu na [[Reálná osa|reálné ose]] nebo Fourierovy řady periodického signálu (nebo ekvivalentně signálu na kružnice) odpovídá odfiltrování vyšších frekvencí ideálním dolnopropustným filtrem (horní zádrž). To lze reprezentovat [[konvoluce|konvolucí]] původního signál s [[impulsní odezva|impulsní odezvou]] filtru (nazývané také [[Konvoluční jádro|jádro]]) reprezentovanou je funkce [[sinc]] funkcí sinc. Gibbsův jev lze tedy chápat jako výsledek konvoluce [[Heavisideova funkce]] (pokud nepožadujeme periodičnost) nebo [[obdélníkový průběh|obdélníkového průběhu]] (pro periodický průběh) s funkcí sinc: oscilace funkce sinc způsobuje zvlnění na výstupu.

[[Soubor:Sine integral.svg|náhled|[[Sinusintegrál]] vykazuje Gibbsův jev pro krok funkce na reálné ose.]]
Při konvoluci s Heavisideovou funkcí je výsledná funkce právě integrálem funkce sinc, [[sinusintegrál]]; pro obdélníkový průběh není popis takový, jak je jednoduše uvedeno. Pro krokovou funkci je tedy velikost podkmitu přesně integrálem levého chvostu, když integrujeme k první záporné nule: pro normalizovaný sinc jednotkové vzorkovací periody, to je <math>\int_{-\infty}^{-1} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\,dx.</math> Podle toho má překmit stejnou velikost: [[integrál]] pravého chvostu nebo (což má stejnou velikost), rozdíl mezi integrálem od minus nekonečna k první kladné nule, zmenšený o 1 (hodnota bez překmitu).

Překmit a podkmit lze chápat takto: jádra jsou obecně normalizovaná, aby měla integrál 1, takže vedou k zobrazení konstantní funkce na konstantní funkci – jinak mají [[Zisk (elektronika)|zisk]]. Hodnota konvoluce v bodě je [[lineární kombinace|lineární kombinací]] vstupní signál, s koeficienty (váhy) hodnoty jádra.
Pokud je jádro nezáporné, například pro [[gaussovské jádro]], pak hodnota filtrovaného signálu bude [[konvexní kombinace|konvexní kombinací]] vstupních hodnot (koeficienty (jádro) integrate až 1 a jsou nezáporný) a bude tedy někde mezi minimálním a maximálním vstupním signálem – to nebudou podkmit nebo překmit. Pokud, na druhou stranu, jádro předpokládá záporné hodnoty, jako například funkce sinc, pak hodnota filtrovaného signálu bude místo toho [[affinní kombinace|affinní kombinací]] vstupních hodnot a může padnout mimo rozsah od minimálního po maximální vstupní signál, což způsobí v podkmit a překmit, kvůli Gibbsovu jevu.

Použití delšího rozvoje a ořezání vyšších frekvencí odpovídá ve frekvenční doméně rozšíření pásma ideální dolní propusti, což v časové doméně odpovídá zúžení funkce sinc a zvýšení jeho výšky o stejný faktor, ponechává integrály mezi odpovídajícím body nezměněné. To je obecná vlastnost Fourierovy transformace: rozšíření v jedné doméně odpovídá zúžení a rostoucí výška v druhé. To vede k oscilaci v sinc je užší a vyšší a, ve filtrované funkce (po konvoluce), dává oscilace, které jsou užší a tedy mají menší ''plochu,'' ale ''ne''omezuje ''velikost:'' oříznutí pro jakoukoli konečnou frekvenci vede k funkci sinc, ale úzké, se stejným integrálem chvostu. To vysvětluje přetrvávání překmitu a podkmitu.

<gallery style="align: center" widths="285" heights="285">
Soubor:Gibbs phenomenon 10.svg|Oscilace lze interpretovat jako konvoluci s funkcí sinc.
Soubor:Gibbs phenomenon 50.svg|Použití více členů řady vede k užší ale vyšší funkci sinc, se stejnou velikostí integrálu chvostu, což dává vyšší frekvenci oscilací, ale jejich velikost se nesnižuje.
</gallery>

Vlastnosti Gibbsova jevu jsou interpretovány takto:
* podkmit je způsoben impulsní odezvou, která má záporný integrál chvostu, což je možné, protože funkce nabývá záporných hodnot;
* překmit vyrovnává podkmit díky symetrii (celkový integrál se při filtrování nemění);
* přetrvávání oscilací je způsobeno tím, že zvětšující se ořez zužuje impulsní odezvu, ale neomezuje její integrál – oscilace se tedy přesouvá směrem k diskontinuitě, ale její velikost se nesnižuje.

== Příklad obdélníkového průběhu ==
[[Soubor:squareWave.gif|náhled|450px|vpravo|Animace aditivní syntézy obdélníkové vlny s rostoucím počtem harmonických. Gibbsův jev je dobře viditelný zvláště pro velký počet harmonických.]]

V případě obdélníkového průběhu s periodou ''L'' <math>2\pi</math>, diskontinuita <math>x_0</math> je v bodě nula a skok má velikost <math>\pi/2</math>.
Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze případ, kdy ''N'' je sudé (případ lichého ''N'' je velmi podobný). Pak
máme

:<math>S_N f(x) = \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin((N-1)x).</math>

Substitucí <math>x=0</math> získáme

:<math>S_N f(0) = 0 = \frac{-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2}</math>

jak je vyžadováno výše. Nyní vyjádříme

:<math>S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{N}\right) + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{3\pi}{N}\right)
+ \cdots + \frac{1}{N-1} \sin\left( \frac{(N-1)\pi}{N} \right).</math>

Pokud zavedeme normalizovanou funkci [[sinc]], <math>\operatorname{sinc}(x)\,</math>, můžeme tento vztah přepsat jako

:<math>S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right) = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{2}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{N}\right) + \frac{2}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{3}{N}\right)
+ \cdots + \frac{2}{N} \operatorname{sinc}\left( \frac{(N-1)}{N} \right) \right].</math>

Ale výraz v hranatých závorkách je aproximace integrálu <math>\int_0^1 \operatorname{sinc}(x)\ dx</math> [[Riemannova suma|Riemannovou sumou]] (přesněji jde o aproximaci [[středové pravidlo|středovým pravidlem]] s krokem <math>2/N</math>). Protože funkce sinc je spojitá, tato aproximace konverguje ke skutečnému integrálu
pro <math>N \to \infty</math>. Tedy máme

: <math>
\begin{align}
\lim_{N \to \infty} S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right)
& = \frac{\pi}{2} \int_0^1 \operatorname{sinc}(x)\, dx \\[8pt]
& = \frac{1}{2} \int_{x=0}^1 \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\, d(\pi x) \\[8pt]
& = \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}\ dt \quad = \quad \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \cdot (0.089489872236\dots),
\end{align}
</math>

což bylo vyžadované v předchozí části. Podobný výpočet ukazuje

:<math>\lim_{N \to \infty} S_N f\left(-\frac{2\pi}{2N}\right) = -\frac{\pi}{2} \int_0^1 \operatorname{sinc}(x)\ dx = -\frac{\pi}{4} -
\frac{\pi}{2} \cdot (0.089489872236\dots).</math>

== Důsledky ==
Při zpracování signálu je Gibbsův jev nežádoucí, protože způsobuje nežádoucí efekty, jmenovitě [[Clipping (zvuk)|ořezání]] z překmitu a podkmitu a [[Prstencový artefakt|prstencové artefakty]] z oscilace. U dolní propusti lze tyto jevy redukovat nebo eliminovat pomocí různých dolnopropustných filtrů.

V obrazech získaných [[Magnetická rezonance|magnetickou rezonancí]] způsobuje Gibbsův jev prstencové artefakty poblíž rozhraní oblastí, které se významně liší intenzitou signálu. To je velkým problémem u zobrazování [[Mícha|míchy]], kde se vlivem Gibbsova jevu mohou objevovat útvary podobající se [[syringomyelia|syringomyelii]].

Gibbsův jev se projevuje jako křížový vzorek při [[diskrétní Fourierova transformace|diskrétní Fourierově transformaci]] obrazu,<ref>{{Citace periodika
 | autor = R. Hovden, Y. Jiang, H.L. Xin, L.F. Kourkoutis
 | titul = Periodic Artifact Reduction in Fourier Transforms of Full Field Atomic Resolution Images
 | periodikum = Microscopy and Microanalysis
 | rok = 2015
 | ročník = 21
 | číslo = 2
 | strany = 436–441
 | doi = 10.1017/S1431927614014639
 | url = https://www.cambridge.org/core/journals/microscopy-and-microanalysis/article/div-classtitleperiodic-artifact-reduction-in-fourier-transforms-of-full-field-atomic-resolution-imagesdiv/80D0E226F0B4B16627AA0B6B9BD24F24
 | pmid = 25597865
}}</ref> kde většina obrázků (např. [[Mikrofotografie|mikrofotografií]] nebo fotografií) má ostrý přechod mezi horní a spodní nebo levou a pravou částí obrázku. Pokud jsou ve Fourierově transformaci vynuceny periodické okrajové podmínky, tato skoková diskontinuita je reprezentována kontinuem frekvencí podle os v prostoru převrácených hodnot (tj. křížový vzorek intenzity ve Fourierově transformaci).

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Gibbs phenomenon|939677648}}<references />

=== Související články ===
* [[Sigma aproximace|σ-aproximace]] – úprava Fourierovy sumace, aby se redukoval Gibbsův jev
* [[Pinského jev]]
* Podobný je [[Rungeho jev]] při aproximaci funkcí polynomy
* [[Sinus integrál]]
* [[Machovy proužky]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}

* [https://kam.fit.cvut.cz/deploy/bi-vmm/bi-vmm-prednaska.pdf Vybrané matematické metody] – text k přednášce Tomáše Kalvody a Františka Štampacha z KAM FIT ČVUT
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Reálná analýza]]
[[Kategorie:Fourierovy řady]]
[[Kategorie:Numerické artefakty]]