Zobrazení zdroje stránky Geometrie

[[Soubor:Square root of 2 triangle.svg|náhled|250 px|Ilustrace [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] o pravoúhlých trojúhelnících]]
'''Geometrie''' ({{Vjazyce2|el|γεωμετρία}}, z&nbsp;''gé'' – [[země]] a&nbsp;''metria'' – [[měření]]) je [[Matematika|matematická věda]], která se zabývá otázkami [[tvar]]ů, velikostí, [[proporce|proporcí]] a&nbsp;vzájemných vztahů obrazců a&nbsp;[[geometrický útvar|útvarů]] a&nbsp;vlastnostmi [[prostor (matematika)|prostorů]]. Geometrie bývá považována za jeden z&nbsp;nejstarších [[věda|vědních]] oborů vůbec. V&nbsp;[[Ottův slovník naučný|Ottově slovníku naučném]] heslo ''[[s:Ottův slovník naučný/Geometrie|Geometrie]]'' začíná slovy:<ref>Ottův slovník naučný, ''Geometrie'', svazek 10, str. 34, http://www.archive.org/stream/ottvslovnknauni02ottogoog#page/n34/mode/2up</ref>
{{Citát v rámečku|Geometrie, měřičství, jest nauka o&nbsp;veličinách a&nbsp;útvarech prostorových. Pojmů těchto útvarů nabýváme abstrakcí z&nbsp;předmětů hmotných.}}

Jednoduché geometrické útvary byly známy již v&nbsp;[[paleolit]]u a podrobněji zkoumány ve všech [[starověk]]ých [[civilizace|civilizacích]]. Geometrie sloužila původně pro praktické účely v&nbsp;[[Geodézie|zeměměřičství]] a&nbsp;[[stavebnictví]]. Na vědecké úrovni se jim poprvé věnovali staří [[Starověké Řecko|Řekové]]. K&nbsp;slavným geometrickým problémům patřily otázky o&nbsp;[[Eukleidovská konstrukce|konstruovatelnosti]] některých [[geometrický útvar|geometrických útvarů]] pomocí idealizovaného [[pravítko|pravítka]] a&nbsp;[[kružítko|kružítka]].

Ve [[středověk]]u a&nbsp;raném [[novověk]]u ovlivnilo studium [[astronomie]] rozvoj [[sférická geometrie|sférické geometrie]] a objevení [[perspektiva|perspektivy]] v&nbsp;[[malířství]] vznik [[projektivní geometrie]]. V&nbsp;17. století [[René Descartes]] objevil [[Kartézská soustava souřadnic|souřadnice]], což umožnilo vznik [[analytická geometrie|analytické geometrie]] a zkoumání geometrie [[algebra]]ickými prostředky. V&nbsp;19.&nbsp;století byl významný vznik [[neeukleidovská geometrie|neeukleidovských geometrií]]. Ve 20.&nbsp;století se o&nbsp;rozvoj geometrie zasloužili mj. [[Češi|čeští]] matematikové [[Eduard Čech]], který se zabýval [[Diferenciální geometrie|diferenciální geometrií]], a [[Petr Vopěnka]], který kromě teoretických prací napsal řadu [[Popularizace vědy|popularizačních]] knih o&nbsp;[[Dějiny geometrie|historii geometrie]].

Geometrie má úzkou souvislost s&nbsp;[[algebra|algebrou]] a [[fyzika|fyzikou]]. [[Riemannova geometrie]] popsaná v&nbsp;19.&nbsp;století našla uplatnění jako model [[časoprostor]]u v&nbsp;[[Albert Einstein|Einsteinově]] [[obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]]. V&nbsp;současnosti se geometrie pořád vyvíjí a&nbsp;to jak geometrie praktická (například [[výpočetní geometrie]] a [[počítačová grafika]]), tak teoretická, která má úzkou souvislost s&nbsp;[[teoretická fyzika|teoretickou fyzikou]].

== Historie ==
=== Starověk ===
{{Viz též|Dějiny matematiky}}
[[Soubor:Newgrange Entrance Stone.jpg|náhled|vlevo|Neolitické umění: kámen zdobený geometrickými motivy (Newgrange, Irsko)]]

Geometrické útvary patří vedle [[číslo|čísel]] k&nbsp;nejstarším zkoumaným předmětům [[matematika|matematiky]], jednoduchou představu o&nbsp;některých z nich měli lidé zřejmě již v&nbsp;paleolitu, starší době kamenné.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Šalát
 | jméno = Tibor
 | odkaz na autora = Tibor Šalát
 | titul = Malá encyklopédia matematiky
 | vydavatel = Obzor
 | místo = Bratislava
 | rok = 1981
 | počet stran = 
 | kapitola = 
 | strany = 7
 | isbn = 
 | jazyk = slovensky
}}</ref> V&nbsp;[[neolit]]u se pak různé útvary staly základem geometrické [[ornament]]iky na více místech světa.<ref name="šalát8">Šalát, s. 8</ref> Další rozvoj přišel s&nbsp;nástupem prvních států v&nbsp;[[Mezopotámie|Mezopotámii]] a&nbsp;[[Starověký Egypt|Egyptě]], kde se poznatky o&nbsp;útvarech využívaly v&nbsp;zeměměřičství a [[stavebnictví]]. [[Babylón|Babylóňané]] již znali zvláštní případy [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] a&nbsp;egyptští geometři uměli počítat obsah [[trojúhelník]]a i&nbsp;[[kruh]]u, přičemž jejich odhad čísla [[pí (číslo)|pí]] byl asi 3,1605.<ref name="šalát8"/> K&nbsp;řadě poznatků se dospělo také ve starověké [[Starověk#Indie|Indii]] a [[Starověk#Čína|Číně]].<ref>Šalát, s. 9</ref>
[[Soubor:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|náhled|300 px|
[[Oxyrhynchos|Oxyrhynský]] [[papyrus]] s&nbsp;[[Úlomek|fragmentem]] [[Eukleidés|Eukleidových]] [[Eukleidovy Základy|Základů]]]]
Na vědeckou úroveň povznesli matematiku [[Starověké Řecko|staří Řekové]]. Filozof, matematik a&nbsp;astronom [[Thalés z Milétu]] jako jeden z&nbsp;prvních zkoumal geometrické útvary pomocí [[dedukce]] a&nbsp;[[abstrakce|abstraktních]] úvah. Dokázal například změřit vzdálenost lodě na moři pomocí její relativní velikosti a předpověděl [[zatmění Slunce]] v&nbsp;roku 585 př. n. l.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Mlodinow
 | jméno = Leonard
 | titul = Euclid's window
 | url = https://archive.org/details/euclidswindow0000leon
 | vydavatel = Penguin UK
 | rok = 2003
 | isbn = 978-0141009094
 | počet stran = 320
 | strany = [https://archive.org/details/euclidswindow0000leon/page/n26 13]
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Další známou postavou se stal [[Pythagoras]], který žil v&nbsp;6.&nbsp;století př. n. l. Působil na jihu Itálie a&nbsp;založil tam školu, která byla přístupná mužům i&nbsp;ženám. Na škole měl neomezenou autoritu. Z&nbsp;této doby pochází pravděpodobně [[matematický důkaz|formální důkaz]] [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]], ačkoliv nejstarší zachovalý formální důkaz známe až od Eucleida.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Aaboe
 | jméno = Asger
 | titul = Episodes from the early history of mathematics
 | vydavatel = Mathematical Association of America
 | rok = 1997
 | isbn = 0883856131
 | strany = 51
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

[[Eukleidés|Eukleida]] dnes považujeme za nejvýznamnějšího geometra starověku.<ref>{{Citace elektronické monografie|titul=Euclid (Greek mathematician)| url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid |datum přístupu=2011-05-26|vydavatel=Encyclopædia Britannica, Inc}}</ref> Jeho kniha zvaná ''[[Eukleidovy Základy|Základy]]'' (Στοιχεῖα) se stala na dlouhou dobu základní učebnicí geometrie.<ref>{{MacTutor Biography|id=Euclid|title=Euclid of Alexandria}}</ref> Eukleides&nbsp;v této knize zachytil abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí [[definice|definic]], [[axiom]]ů a&nbsp;[[postulát]]ů. Geometrie vycházející z&nbsp;těchto postulátů se nazývá ''[[Eukleidovská geometrie]]'' a v&nbsp;moderní formě se dnes učí na základních i&nbsp;středních školách.

V roce [[212 př. n. l.|212 př.&nbsp;n.&nbsp;l.]] změřil zakladatel [[geografie]] [[Eratosthenés z Kyrény]] poloměr [[Země]]koule porovnáním velikosti stínů ve dvou městech ve stejném čase.<ref>Mlodinow, str. 41</ref> [[Aristarchos ze Samu]] podobným způsobem pomocí [[trigonometrie]] změřil vzdálenost a&nbsp;velikost [[Měsíc]]e.<ref>Mlodinow, str. 42</ref>

Další geometrické konstrukce známé již ve starověku jsou [[Platónské těleso|platónská tělesa]] ([[Platón]] je popsal a&nbsp;uvažoval o jejich hlubším smyslu, zatímco Eukleides dokázal, že žádná další takto pravidelná tělesa již neexistují), [[Zénón z Eleje|Zénónovy]] [[Zenónovy paradoxy|paradoxy]] o&nbsp;nekonečném dělení úsečky nebo [[Archimédés|Archimédovy]] myšlenky o&nbsp;výpočtu [[objem|objemu těles]], předjímající pozdější [[integrální počet]].<ref>Šalát, s. 10–11</ref> Geometrie se týkají také [[Tři klasické problémy antické matematiky|tři slavné problémy]], které starověká matematika zanechala nevyřešené: [[trisekce úhlu]], [[zdvojení krychle]] a [[kvadratura kruhu]].<ref>Šalát, s. 10</ref>

=== Středověk ===
[[Soubor:Isfahan 1210695 nevit.jpg|Dláždění [[girih]] ve městě [[Isfahán]], [[Írán]]u|náhled]]
Ve [[středověk]]u rozvíjeli geometrii především [[Arabové]]. Vznikly [[trigonometrie|trigonometrické]] tabulky a&nbsp;díky arabskému [[astronomie|astronomovi]] [[al-Battání]]mu se objevily první poznatky [[sférická trigonometrie|sférické trigonometrie]].<ref>Šalát, s. 12</ref> Arabský [[filozof]] a&nbsp;[[matematik]] [[Thabit ibn Qurra]] v&nbsp;9.&nbsp;století mimo jiné odvodil vzorec pro zobecněnou [[Pythagorova věta|Pythagorovu větu]], zahrnující i&nbsp;nepravoúhlé [[trojúhelník]]y.<ref>{{cite journal
 | author = Aydin Sayili
 | year = 1960
 | title = Thabit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem
 | journal = Isis
 | volume = 51
 | pages = 35–37
}}</ref>

Mnohé zajímavé [[Geometrický útvar|geometrické útvary]] možno najít ve středověké islámské [[architektura|architektuře]]. Jako [[ornament|dekorace]] některých [[stavba|staveb]] se například používala [[dláždění]] skládající se z&nbsp;pěti typů dlaždiček (tzv. girih dlaždičky), z&nbsp;kterých je podle novějších výzkumů možné sestrojit i&nbsp;neperiodická [[dláždění]].<ref>{{cite journal
 |author           = Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt
 |year             = 2007
 |title            = Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture
 |journal          = [[Science]]
 |volume           = 315
 |pages            = 1106–1110
 |url              = http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf
 |doi              = 10.1126/science.1135491
 |pmid             = 17322056
 |issue            = 5815
 |access-date      = 10-12-2013
 |archive-url      = https://web.archive.org/web/20091007024019/http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf
 |archive-date     = 07-10-2009
 |dead-url         = ano
 |df               = 
 |accessdate       = 27-03-2011
 |titul            = Archivovaná kopie
 |datum přístupu = 27-03-2011
 |url archivu      = https://web.archive.org/web/20190107051144/http://users.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf
 |datum archivace  = 07-01-2019
}} {{Citace elektronického periodika |titul=Archivovaná kopie |url=http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf |datum přístupu=2011-03-27 |url archivu=https://web.archive.org/web/20091007024019/http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf }}</ref>
Arabští matematici také uměli algebraicky řešit jisté [[kubická rovnice|kubické rovnice]] a&nbsp;interpretovat výsledky geometricky.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Kline
 | jméno = Morris
 | titul = Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
 | url = https://archive.org/details/mathematicalthou00klin
 | vydavatel = Oxford University Press
 | počet stran = 390
 | rok = 1990
 | isbn = 978-0195061352
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

V&nbsp;[[Evropa|Evropě]] se v&nbsp;té době na většinu starověkých znalostí zapomnělo a&nbsp;na nově zakládaných evropských [[vysoká škola|univerzitách]] pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematických
spisů z&nbsp;[[arabština|arabštiny]] do [[latina|latiny]], v&nbsp;geometrii hlavně Eukleidových ''Elementů''.<ref>Miroslav Lávicka, ''Syntetická geometrie'', Pomocný ucební text, ZČU Plzeň, str. 9, [http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/SG/texty/sg_text.pdf dostupné online] {{Wayback|url=http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/SG/texty/sg_text.pdf |date=20091229074639 }}</ref>

V&nbsp;raném novověku rozvoj [[mechanika|mechaniky]] podnítil zájem např. o&nbsp;výpočet [[těžiště]].<ref>Šalát, s. 13</ref>

=== Novověk a současnost ===
V&nbsp;17.&nbsp;století zavedl [[René Descartes]] do geometrie [[Kartézská soustava souřadnic|souřadnice]], čímž položil základy ''[[analytická geometrie|analytické geometrie]]''. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím [[rovnice|rovnic]], a&nbsp;řešit geometrické problémy [[algebra]]ickou a [[matematická analýza|analytickou]] cestou.<ref>Šalát, s. 14</ref> Také to umožnilo zobecnění geometrických úvah na n-rozměrné [[Eukleidovský prostor|Eukleidovské prostory]] i&nbsp;pro ''n>3''.

Ke zkoumání geometrických problémů tak bylo možno použít [[diferenciální počet|diferenciální]] a&nbsp;[[integrální počet]], které vznikly díky [[Isaac Newton|Isaacu Newtonovi]] a [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfriedu Leibnizovi]].

Paralelní směr vývoje vedl úsilím geometrů jako [[Gérard Desargues]], [[Jean-Victor Poncelet]], [[August Ferdinand Möbius]] či [[Arthur Cayley]] k&nbsp;vytvoření ''[[projektivní geometrie]]'', původně motivované teorií [[perspektiva|perspektivy]] v&nbsp;[[malířství]]. Tato geometrie abstrahuje od pojmu [[Metrický tenzor|metriky]] (měření vzdáleností) a&nbsp;stojí pouze na [[axiom]]ech o&nbsp;[[bod]]ech a&nbsp;[[přímka|přímkách]], které se od Eukleidovské geometrie mírně liší (víc odpovídá [[malířské plátno|malířskému plátnu]], kde se [[rovnoběžky]] "protnou" v nekonečnu).

[[Soubor:Euclidian and non euclidian geometry.png|náhled|350 px|Na [[sféra (matematika)|sféře]] (2) nemůžeme vést daným bodem rovnoběžku, přímky se vždy protnou. Na [[hyperboloid]]u (3) naopak můžeme vést více rovnoběžek.]]
V&nbsp;19.&nbsp;století se objevila řada nových proudů a&nbsp;poznatků. [[Leonhard Euler]] a&nbsp;[[Carl Friedrich Gauss]], [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]] a&nbsp;[[Bernhard Riemann]] popsali první [[Neeukleidovská geometrie|neeukleidovské geometrie]], tj.&nbsp;geometrie, ve kterých nemusí existovat právě jedna [[rovnoběžky|rovnoběžka]] s danou přímkou procházející daným bodem.
Tyto konstrukce zároveň ukázaly, že Eukleidův pátý postulát je nezávislý na zbylých čtyřech postulátech (nedá se z nich dokázat ani vyvrátit), což byl v předchozích staletích slavný nevyřešený problém. [[Riemannova geometrie]] našla později uplatnění v&nbsp;[[obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]] [[Albert Einstein|Alberta Einsteina]], kde se fyzikální čas a [[časoprostor]] popisuje jako (pseudo) [[Riemannův prostor|Riemannovská varieta]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Schutz
 | jméno = Bernard
 | titul = A first course in general relativity
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 1985
 | isbn = 0-521-27703-5
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

[[Évariste Galois]] popsal počátkem 19. století [[symetrie|symetrii]] [[polynom]]ů v&nbsp;jedné proměnné a&nbsp;ukázal, že polynom pátého a&nbsp;vyššího stupně není možné obecně řešit pomocí [[radikál (algebra)|radikálů]]. Jeho ideje vedly přímo k&nbsp;[[teorie grup|teorii grup]] popsané [[Niels Henrik Abel|Nielsem Henrikem Abelem]]. Teorie grup umožňuje analyzovat symetrie abstraktním způsobem a&nbsp;práce [[Évariste Galois|Évarista Galoise]] vedla k&nbsp;vyřešení starověkých problémů trisekce úhlu, zdvojení krychle a kvadratury kruhu. Ukázalo se, že tyto konstrukce obecně nelze vytvořit jenom za pomocí [[pravítko|pravítka]] a&nbsp;[[kružítko|kružítka]].
<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Rotman
 | jméno = Joseph
 | titul = Galois Theory
 | url = https://archive.org/details/galoistheory00jrot
 | vydavatel = Springer
 | vydání = 2
 | rok = 1998
 | počet stran = 157
 | kapitola = Appendix C
 | strany = [https://archive.org/details/galoistheory00jrot/page/n142 129]-137
 | isbn = 0-387-98541-7
 | jazyk = anglicky
}}</ref><ref>Radek Erben, ''Slavné matematické problémy starověku'', stručný důkaz nemožnosti starověkých konstrukcí [http://mks.mff.cuni.cz/library/ProblemyStarovekuRE/ProblemyStarovekuRE.pdf online]</ref>

Paralelně s&nbsp;tímto vývojem se od konce 19. století objevují různá axiomatická zavedení geometrie ([[David Hilbert]], [[Alfred Tarski]], [[George David Birkhoff]]), z&nbsp;nichž nejznámější je [[Hilbertova axiomatizace]].<ref>HILBERT, David, The Foundations of Geometry, The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1950, s. 2–15, [http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf on-line]</ref> V&nbsp;těchto pojetích se definují základní objekty (obvykle [[bod]], [[přímka]] a prostor), relace (například relace ''bod je mezi dvěma jinými body'' apod.) a soustava [[axiom]]ů, ze kterých se dokazují všechna další tvrzení.

Další významné nové myšlenky do geometrie přinesl [[Felix Christian Klein|Felix Klein]] ve vlivném [[Erlangenský program|Erlangenském programu]] v&nbsp;roce [[1872]]. Popsal geometrii pomocí [[grupa|grupy]] symetrií, které zachovávají nějakou strukturu. Pro [[Eukleidovská geometrie|Eukleidovskou geometrii]] je to grupa všech [[Posunutí (geometrie)|posunutí]], [[otočení]] a&nbsp;[[Osová souměrnost|zrcadlení]], která zachovává vzdálenosti bodů a&nbsp;úhly vektorů. Podle Kleinova přístupu byla každá ze známých geometrií plně charakterizována grupou zachovávající strukturu, která je příslušné geometrii vlastní. Tento přístup vedl ke studiu tzv. [[Lieova grupa|Lieových grup]], ke kterému výrazně přispěli [[Sophus Lie]] a&nbsp;[[Élie Cartan]], který zavedl velmi obecnou definici geometrie, zahrnující všechny tehdy známé geometrické struktury.
 
Ve 20. století se geometrie nadále vyvíjela více paralelními směry. Geometrie jsou obvykle popisovány jako matematický prostor (hladká [[varieta (matematika)|varieta]] nebo [[topologický prostor]]) a&nbsp;nějaká další struktura na něm. Převádění těchto struktur, které se často objevují v&nbsp;moderní [[fyzika|fyzice]], na univerzální Cartanovu definici geometrie, řeší tzv. ''problém ekvivalence'', který se v&nbsp;různých podobách objevuje po celé dvacáté století. Od 50.&nbsp;let je populární podobor geometrie tzv. [[algebraická geometrie]] (významnými představiteli jsou například [[Jean-Pierre Serre]] a [[Alexander Grothendieck]]), která studuje vlastnosti [[algebraická varieta|algebraických variet]].

Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V&nbsp;roce [[1995]] dokázal [[Andrew Wiles]] slavnou [[Velká Fermatova věta|velkou Fermatovu větu]] pomocí teorie [[eliptická křivka|eliptických křivek]], což je jeden se současných geometrických oborů. Od konce 70.&nbsp;let je v&nbsp;matematice populární ''Langlandsův program'', což je řada hypotéz, které dávají do souvislostí problémy [[Teorie čísel]] a&nbsp;[[reprezentace (grupa)|reprezentace]] jistých [[grupa|grup]]. Geometrická reformulace tohoto programu byla navržena Gérarddem Laumonem a Vladimirem Drinfeldem.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Bump & kol.
 | jméno = Daniel
 | titul = An introduction to the Langlands program
 | vydavatel = Birkhäuser
 | počet stran = 283
 | rok = 2003
 | isbn = 3764332115
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Studium geometrických struktur má také úzkou souvislost s řešením [[parciální diferenciální rovnice|parciálních diferenciálních rovnic]]&nbsp;a problém existence a&nbsp;počtu řešení takových soustav se dá studovat pomocí geometrických metod.
<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Ivey
 | jméno = Thomas Andrew
 | příjmení2 = Landsberg
 | jméno2 = Joseph M.
 | titul = Cartan for beginners
 | vydavatel = AMS Bookstore
 | rok = 2003
 | isbn = 0-8218-3375-8
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Od 80.&nbsp;let 20. století se objevují pokusy studovat problémy [[pravděpodobnost]]i a&nbsp;[[matematická statistika|matematické statistiky]] pomocí metod [[diferenciální geometrie]], což vedlo k&nbsp;zavedení pojmu ''informační geometrie''.
<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hiroshi
 | jméno = Nagaoka
 | příjmení2 = Shun-Ichi
 | jméno2 = Amari
 | titul = Methods of Information Geometry
 | vydavatel = AMS Bookstore
 | rok = 2007
 | isbn = 0-8218-0531-2
 | jazyk = anglicky
}}</ref> V&nbsp;současnosti je také studována tzv. ''Finslerova geometrie'', což je jisté zobecnění [[Riemannova geometrie|Riemannovy geometrie]] (umíme měřit vzdálenosti, ale úhly vektorů nikoliv).
<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Bao
 | jméno = David Dai-Wai
 | příjmení2 = Chern
 | jméno2 = Shiing-Shen
 | příjmení3 = Shen
 | jméno3 = Zhongmin
 | titul = An introduction to Riemann-Finsler geometry
 | počet stran = 431
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2000
 | isbn = 0-387-98948-X
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

Na přelomu 20. a&nbsp;21.&nbsp;století definoval [[Clayův matematický ústav|Clayův matematický institut]] sedm tzv. [[Problémy tisíciletí|"problémů tisíciletí"]]. Jeden z nich, [[Hodgeova domněnka]], je (zatím nevyřešený) problém z&nbsp;algebraické geometrie. Jiný, [[Poincarého věta|Poincarého domněnka]], se týká klasifikace jisté třídy třírozměrných [[varieta (matematika)|variet]] a byl (jako zatím jediný) vyřešen v&nbsp;roce [[2002]] ruským židovským matematikem [[Grigorij Perelman|Grigorijem Perelmanem]], který následnou milionovou odměnu i&nbsp;[[Fieldsova medaile|Fieldsovu medaili]] odmítl.<ref>
{{Citace elektronické monografie
| url = http://en.rian.ru/science/20100701/159651544.html
| titul = Russian math genius rejects $1 million Millenium Prize
| vydavatel = [[RIA Novosti]]
| autor = Malcolm Ritter
| datum vydání = 2010-07-01
| datum přístupu = 2010-07-01
}}</ref>

== Členění geometrických oborů ==
Následuje neúplný seznam nejvýznamnějších a&nbsp;nejznámějších konceptů a&nbsp;podoborů, které se v&nbsp;geometrii vyskytují.

=== Eukleidovská geometrie ===
{{Podrobně|Eukleidovská geometrie}}
'''Eukleidovská geometrie''' se zabývá vlastnostmi a&nbsp;vztahy [[geometrický útvar|geometrických útvarů]] v&nbsp;[[Eukleidovský prostor|Eukleidovském prostoru]], tj. v&nbsp;prostoru, ve kterém platí [[Eukleidovy postuláty]]. Jedná se o&nbsp;historicky nejstarší geometrii, která byla důkladně popsána a&nbsp;studována už ve [[Starověké Řecko|starém Řecku]].

V&nbsp;této geometrii jsou definovány [[bod]]y, [[přímka|přímky]], [[úsečka|úsečky]], [[kružnice]], [[vzdálenost]]i bodů a&nbsp;také velikosti a&nbsp;[[úhel|úhly]] [[vektor]]ů. Součet úhlů v&nbsp;každém [[trojúhelník]]u je 180 [[Stupeň (úhel)|stupňů]] a v&nbsp;[[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlých trojúhelnících]] platí [[Pythagorova věta]]. Důležitou částí Eukleidovy geometrie jsou [[konstrukce pravítkem a kružítkem]], které se učí na základních a&nbsp;středních školách.

Eukleidova geometrie se využívá například v&nbsp;[[počítačová grafika|počítačové grafice]] a&nbsp;[[krystalografie|krystalografii]]. Slouží také jako [[fyzika|fyzikální]] model prostoru v&nbsp;[[klasická fyzika|klasické fyzice]] a&nbsp;jako teoretický základ [[deskriptivní geometrie]].

=== Neeukleidovská geometrie ===
[[Soubor:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png|náhled|vlevo|[[Teselace]] [[hyperbolická geometrie|hyperbolické roviny]]. Všechny znázorněné [[trojúhelník]]y jsou v hyperbolické geometrii stejně velké a vzájemně [[shodnost|shodné]]. Vzdálenosti v tomto modelu nejsou věrné (okraj kruhu je nekonečně daleko), úhly ale ano. Součet [[úhel|úhlů]] v trojúhelníku je vždy menší než 180 stupňů.]]
{{Podrobně|Neeukleidovská geometrie}}

==== Sférická geometrie ====
{{Podrobně|Sférická geometrie}}
'''Sférická geometrie'''<ref>John C. Polking (Rice University), ''The Geometry of the Sphere'' [http://math.rice.edu/~pcmi/sphere online] {{Wayback|url=http://math.rice.edu/~pcmi/sphere |date=20110402035711 }}</ref> popisuje geometrii prostoru, který odpovídá sféře (povrchu [[koule]]). Je to geometrie metrická, dají se na ní definovat přímky a&nbsp;úsečky jako [[křivka|křivky]], které jsou lokálně nejkratší spojnice [[bod]]ů (tzv. [[geodetika|geodetiky]]). Přímky na sféře jsou všechny [[hlavní kružnice]] a&nbsp;libovolné dvě přímky se protnou. Součet úhlů v&nbsp;každém [[trojúhelník]]u je větší než 180 stupňů. Sférická geometrie má aplikace v&nbsp;[[geodézie|geodezii]] a&nbsp;[[astronomie|astronomii]].

==== Lobačevského geometrie ====
'''[[Hyperbolická geometrie|Lobačevského geometrie]]''',<ref>Milnor, John, ''Hyperbolic geometry: The first 150 years'', AMS, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183548588 online]</ref> anebo také ''hyperbolická geometrie'', je [[neeukleidovská geometrie]] zavedená [[János Bolyai|Jánosem Bolyaiem]] a&nbsp;[[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij|Nikolajem Ivanovičem Lobačevským]] počátkem 19.&nbsp;století. Jsou v ní definovány body, úsečky, přímky, úhly a kružnice takovým způsobem, že platí první čtyři [[Eukleidův postulát|Eukleidovy postuláty]], nikoliv ale pátý. Pro [[přímka|přímku]] a&nbsp;[[bod]], který na ní neleží, existuje v&nbsp;Lobačevského geometrii nekonečně mnoho přímek, které prochází daným bodem a&nbsp;přímku neprotínají. Součet [[úhel|úhlů]] v&nbsp;[[trojúhelník]]u je v&nbsp;této geometrii vždy menší než 180 stupňů.

Lobačevského geometrie se dá lokálně modelovat na plochách, které mají konstantní a&nbsp;zápornou [[Gaussova křivost|Gaussovu křivost]]. V&nbsp;třírozměrném Eukleidovském prostoru to splňují [[Pseudosféra|pseudosféry]], které jsou lokálně izometrické hyperbolické rovině. Plocha v&nbsp;třírozměrném Eukleidovském prostoru, která by byla modelem celé hyperbolické roviny ale neexistuje.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Katok
 | jméno = A. B.
 | příjmení2 = Climenhaga
 | jméno2 = Vaughn
 | titul = Lectures on surfaces
 | url = https://archive.org/details/lecturesonsurfac00clim
 | vydavatel = AMS
 | rok = 2008
 | počet stran = 286
 | strany = [https://archive.org/details/lecturesonsurfac00clim/page/n185 185]
 | isbn = 9780821846797
 | jazyk = anglicky
}}</ref>

=== Deskriptivní geometrie ===
[[Soubor:Tower Bridge Vraneon.JPG|náhled|300px|Počítačový model [[Londýn]]skeho [[Tower Bridge]]]]
{{Podrobně|Deskriptivní geometrie}}
'''Deskriptivní geometrie''' je věda o&nbsp;zobrazování prostorových útvarů do [[rovina|roviny]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Pomykalová
 | jméno = E.
 | titul = Deskriptivní geometrie pro střední školy
 | vydavatel = PROMETHEUS
 | rok = 2010
 | isbn = 978-80-7196-400-1
 | jazyk = česky
}}</ref> Jejím obsahem je popis, jak přesně zakreslit různé prostorové [[geometrický útvar|útvary]] na dvourozměrný papír anebo zobrazit na [[monitor (obrazovka)|monitor]].

[[lineární zobrazení|Lineární]] promítací metody byly používány již v [[Chaldea|Chaldeji]] (2300 př. n. l.) a [[Starověký Egypt|starém Egyptě]] (1&nbsp;200&nbsp;př. n. l.).<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Drábek
 | jméno = K.
 | příjmení2 = Harant
 | jméno2 = F.
 | příjmení3 = Setzer
 | jméno3 = O.
 | titul = Deskriptivní geometrie I
 | vydavatel = SNTL
 | rok = 1978
 | isbn = 80-7083-924-4
 | jazyk = česky
 | strany = 9, 10
}}
</ref> Za zakladatele deskriptivní geometrie v dnešním slova smyslu je považován [[Gaspard Monge]] ([[1746]]–[[1818]]), který v&nbsp;díle Géometrie descriptive ([[1799]]) popsal kolmé promítání na dvě kolmé [[průmětna|průmětny]] ([[Mongeovo promítání]]).

Metody [[deskriptivní geometrie]] se používají například v&nbsp;[[strojírenství]], [[architektura|architektuře]], [[stavebnictví]], [[malířství]] a&nbsp;[[kartografie|kartografii]].

[[Soubor:Gerade als Punktmenge.PNG|náhled|300px|Rovnice přímky g a&nbsp;souřadnice bodů P, S v&nbsp;rovině. Bod P leží na přímce, S ne, což se dá zjistit dosazením souřadnic bodů do rovnice přímky.]]
=== Analytická geometrie ===
{{Podrobně|Analytická geometrie}}
Za zakladatele '''analytické geometrie''' je považován [[René Descartes]],<ref>{{citace monografie
 | jméno = Roger
 | příjmení = Cooke
 | titul = The History of Mathematics: A Brief Course
 | vydavatel = Wiley-Interscience
 | rok = 1997
 | kapitola = The Calculus
 | strany = 326
 | isbn = 0471180823
 | jazyk = anglicky
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/historyofmathema0000cook
}}</ref> který publikoval základní metody v&nbsp;roce [[1637]]. Analytická geometrie zkoumá geometrické problémy a&nbsp;geometrické útvary popisem jejich [[Soustava souřadnic|souřadnic]] v&nbsp;pevně zvolené [[soustava souřadnic|soustavě souřadnic]]. Popis problému pomocí [[rovnice|rovnic]] pak umožňuje řešit geometrické problémy [[algebra]]ickými a&nbsp;[[matematická analýza|analytickými]] prostředky.

Geometrické problémy a&nbsp;útvary, které se dají popsat ve vhodně zvolené souřadné soustavě [[lineární funkce|lineární funkcí]], jsou předmětem studia [[lineární algebra|lineární algebry]]. [[Kuželosečka|Kuželosečky]] se v analytické geometrii popisují kvadratickým [[polynom]]em ve více proměnných.

Výuka analytické geometrie je dnes podstatnou součástí výuky matematiky na středních školách.

=== Axiomatické geometrie ===
Axiomatický přístup ke geometrii znamená budovat nějakou teorii z co nejmenšího počtu jednoduchých pravidel ([[axiom]]ů). Tento přístup stojí v&nbsp;protikladu s&nbsp;geometrií analytickou, která reprezentuje objekty jako [[množina|množiny]] bodů. Náznaky se objevily už u&nbsp;[[Eukleidés z Megary|Eukleida]], který formuloval slavných [[Euklidovy postuláty|5 postulátů]]. V&nbsp;průběhu 19. století se v&nbsp;souvislosti s&nbsp;objevením [[neeukleidovská geometrie|neeukleidovkých geometrií]] [[Carl Friedrich Gauss|Gausse]], [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij|Lobačevského]] a&nbsp;[[János Bolyai|Bolyaie]] obnovil zájem o&nbsp;axiomatizaci těchto struktur. [[David Hilbert]] v&nbsp;knize ''Grundlagen der Geometrie'' položil základy '''axiomatické geometrie'''.

Jiný název pro axiomatickou geometrii je '''syntetická geometrie'''.

=== Afinní geometrie ===
'''Afinní geometrie''' je typ geometrie, v&nbsp;které jsou definovány body, vektory a&nbsp;přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti a&nbsp;kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a&nbsp;pátý [[Euklidovy postuláty|Eukleidův postulát]]. Název afinní zavedl [[Leonhard Euler|Leonard Euler]],<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Blaschke
 | jméno = Wilhelm
 | titul = Analytische Geometrie
 | url = https://archive.org/details/analytischegeome0000wilh
 | vydavatel = Birkhäuser
 | rok = 1954
 | isbn = 978-3764300319
 | jazyk = anglicky
}}</ref> jako samostatní disciplína se afinní geometrie chápe od [[Felix Christian Klein|Kleinova]] Erlangenského programu.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Coxeter
 | jméno = H.S.M.
 | titul = Introduction to geometry
 | vydavatel = Wiley
 | rok = 1989
 | isbn = 978-0471504580
 | jazyk = anglicky
 | strany = 191
}}</ref>

Model pro afinní geometrii je obvykle [[afinní prostor]] spolu s&nbsp;množinou [[afinní transformace|afinních transformací]]. Afinní transformace převádí přímky na přímky a&nbsp;zachovávají [[poměr]] délek úseček na přímce. V&nbsp;reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají poměr [[obsah]]ů těles, [[těžiště]] trojúhelníků, převádějí [[elipsa|elipsy]] na elipsy, [[parabola (matematika)|paraboly]] na paraboly a&nbsp;[[hyperbola|hyperboly]] na hyperboly.

Afinní geometrie v rovině je možné zadat také [[axiom]]aticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o&nbsp;existenci [[rovnoběžka|rovnoběžek]] a&nbsp;tvrzení, že paralelnost přímek je [[Ekvivalence (matematika)|relace ekvivalence]].<ref>Coxeter, strana 192</ref>

V [[lineární algebra|lineární algebře]] se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nad [[těleso (algebra)|tělesem]] jako jeho afinní rozšíření.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Bican
 | jméno = Ladislav
 | titul = Lineární algebra a geometrie
 | vydavatel = Academia
 | rok = 2002
 | isbn = 80-200-0843-8
 | kapitola = Afinní prostor
 | jazyk = česky
}}</ref> Grupa symetrií této geometrie je tzv. [[afinní grupa]], obsahující všechna posunutí a&nbsp;regulární [[lineární zobrazení]] vektorů.

=== Projektivní geometrie ===
{{Podrobně|Projektivní geometrie}}
'''Projektivní geometrie'''<ref>
{{Citace monografie
 | příjmení = Coxeter
 | jméno = H.S.M.
 | titul = Projective Geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2003
 | isbn = 978-0387406237
 | jazyk = anglicky
}}
</ref> může být zadána pomocí [[axiom]]ů, které se od [[Eukleidovská geometrie|Eukleidovské geometrie]] liší v&nbsp;tom, že neexistují [[rovnoběžky]] a&nbsp;libovolné dvě různé [[přímka|přímky]] v&nbsp;[[projektivní rovina|projektivní rovině]] se protnou. V&nbsp;této geometrii jsou definovány [[bod]]y a [[přímka|přímky]], nikoliv ale [[úhel|úhly]] a&nbsp;[[vzdálenost]]i. Model pro projektivní geometrie je obvykle nějaká [[projektivní přímka]], [[projektivní rovina]], anebo [[projektivní prostor]].

Původně byl její vznik inspirován [[perspektiva|perspektivou]] v&nbsp;[[malířství]]. K&nbsp;rozvoji projektivní geometrie výrazně přispěli [[Gérard Desargues|Desargues]], [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet]], [[August Ferdinand Möbius|Möbius]], [[Arthur Cayley|Cayley]] a&nbsp;další.

V&nbsp;abstraktnějším pojetí studuje projektivní geometrie struktury invariantní vůči [[projektivní transformace|projektivním transformacím]] (homografiím). Invariant takových transformací je dělicí [[dvojpoměr]]. V [[lineární algebra|lineární algebře]] se dá projektivní prostor zkonstruovat z libovolného [[afinní prostor|afinního prostoru]] jako jeho projektivní rozšíření.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Bican
 | jméno = Ladislav
 | titul = Lineární algebra a geometrie
 | vydavatel = Academia
 | rok = 2002
 | isbn = 80-200-0843-8
 | kapitola = Projektivní prostor
 | jazyk = česky
}}</ref>

=== Kleinova geometrie ===
Koncept [[symetrie]] se objevuje v geometrii od [[Starověk|antiky]]. [[Kruh]], [[pravidelný mnohoúhelník]] a&nbsp;[[Platónské těleso|Platónská tělesa]] vykazují vysokou míru symetrie což vzbuzovalo pozornost řeckých filozofů. Od konce 19. století se objevuje pojetí, že symetrie nějakého objektu (útvar, prostor, geometrie) je jeho charakteristická vlastnost. Popis symetrie je úzce spojen s&nbsp;[[Teorie grup|teorií grup]]. Toto pojetí je formalizováno v ''Erlangenském programu'' [[Felix Christian Klein|Felixe Kleina]]. Klein v&nbsp;roce [[1872]] na přednášce v [[Erlangen]]u ''definoval'' geometrii takto:
{{Citát v rámečku|Geometrie je studium invariantů vůči grupě transformací.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Galarza
 | jméno = A.I.R.
 | příjmení2 = Seade
 | jméno2 = J.
 | titul = Introduction to Classical Geometries
 | url = https://archive.org/details/introductiontocl00gala
 | vydavatel = Birkhäuser Basel
 | rok = 2007
 | isbn = 978-3764375171
 | jazyk = anglicky
 | strany = [https://archive.org/details/introductiontocl00gala/page/n25 16]
}}, dostupné [https://web.archive.org/web/20120118214544/http://bib.tiera.ru/ShiZ/Great%20Science%20TextBooks/Great%20Science%20Textbooks%20DVD%20Library%202007%20-%20Supplement%20Two/Algebra%20%26%20Trigonometry/Geometry/Introduction%20to%20Classical%20Geometries%20-%20A.%20Galarza%2C%20J.%20Seade%20%28Birkhauser%2C%202002%29%20WW.pdf online]</ref>}}
Transformace známých geometrií jsou popisovány pomocí [[Lieova grupa|Lieových grup]] a naopak, studium Lieových grup vedlo k&nbsp;popisu nových geometrických struktur. Geometrie, která je zadána pomocí [[Lieova grupa|Lieovy grupy]] G transformací nějakého prostoru a&nbsp;její význačné [[podgrupa|podgrupy]] H, se nazývá '''Kleinova geometrie'''.<ref name="sharpe">
{{Citace monografie
 | příjmení = Sharpe
 | jméno = R.W.
 | titul = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1997
 | isbn = 978-0387947327
 | jazyk = anglicky
}}
</ref> Speciální volba grup G,H vede na [[Eukleidovská geometrie|Eukleidovskou]], afinní a [[projektivní geometrie|projektivní]] geometrii. Zobecnění těchto idejí rozpracoval [[Élie Cartan]].

=== Diferenciální geometrie ===
{{Podrobně|Diferenciální geometrie}}
'''Diferenciální geometrie''' je označení pro geometrické obory, které studují geometrické struktury pomocí metod [[diferenciální počet|diferenciálního počtu]]. Základy diferenciální geometrie položil [[Carl Friedrich Gauss]], který zkoumal vlastnosti [[křivka|křivek]] a&nbsp;[[plocha|ploch]]. V&nbsp;modernějším pojetí se diferenciální geometrie zabývá strukturami na hladké [[varieta (matematika)|varietě]]. Na ní jsou definovány tečné vektory, [[vektorové pole|vektorová]] a&nbsp;[[tenzorové pole|tenzorová pole]], [[derivace]] a&nbsp;[[de Rhamův diferenciál]]. Geometrie na varietě se obvykle definuje přidáním další struktury (význačná [[Metrický tenzor|metrika]], [[konexe]], [[diferenciální forma]] a&nbsp;pod).<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Kobayashi
 | jméno = Shoshichi
 | titul = Foundations of Differential Geometry
 | vydavatel = Wiley-Interscience
 | rok = 1996
 | isbn = 978-0471157335
 | jazyk = anglicky
}}</ref><ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Sternberg
 | jméno = Sholomo
 | titul = Lectures on Differential Geometry
 | vydavatel = Chelsea Pub Co
 | rok = 1982
 | isbn = 978-0828403160
 | jazyk = anglicky
}}</ref>
[[Soubor:Connection-on-sphere.png|náhled|220px|[[Paralelní přenos (geometrie)]] [[vektor]]u na [[sféra (matematika)|sféře]]. Vektor paralelním přenosem přes sférický [[trojúhelník]] změnil směr]]
'''[[Riemannova geometrie]]'''<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Petersen
 | jméno = Peter
 | titul = Riemannian Geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2006
 | isbn = 978-0387292465
 | jazyk = anglicky
}}</ref> je popsána [[metrický tenzor|metrikou]] na hladké varietě. Je to tedy struktura, na které jsou definovány kromě [[vektor]]ů i [[úhel|úhly]], velikosti vektorů, délky [[křivka|křivek]] a&nbsp;vzdálenosti. Metrika určuje jednu význačnou beztorzní [[konexe (geometrie)|konexi]], díky které je možné [[paralelní přenos (geometrie)|přenášet paralelně]] [[vektor]]y a&nbsp;definovat [[geodetika|geodetiky]]. V&nbsp;případě, že metrika není [[signatura metriky|pozitivně definitní]] (tj. některé vektory mohou mít zápornou velikost), mluví se o&nbsp;pseudoriemannově geometrii. Slouží jako model [[časoprostor]]u pro [[Albert Einstein|Einsteinovu]] [[Obecná teorie relativity|teorii relativity]].

'''Symplektická geometrie'''<ref>
{{Citace monografie
 | příjmení = Berndt
 | jméno = Rolf
 | titul = American Mathematical Society
 | vydavatel = Chelsea Pub Co
 | rok = 2000
 | isbn = 978-0821820568
 | jazyk = anglicky
}}
</ref> je popsána [[nedegenerovaná forma|nedegenerovanou]] uzavřenou [[diferenciální forma|diferenciální 2-formou]] na hladké [[varieta (matematika)|varietě]]. Má kořeny v&nbsp;Hamiltonovské formulaci [[klasická mechanika|klasické mechaniky]] a&nbsp;slouží jako model pro [[fázový prostor]] jistých klasických systémů. Pokud [[hybnost]]i a&nbsp;[[Soustava souřadnic|souřadnice]] jsou <math>p_i, q_i</math>, forma definující geometrii je <math>\sum d p_i \wedge d q_i</math>.

'''Konformní geometrie'''<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Akivis
 | jméno = Maks A.
 | příjmení2 = Goldberg
 | jméno2 = Vladislav V.
 | titul = Conformal Differential Geometry and Its Generalizations
 | vydavatel = Wiley-Interscience
 | rok = 1996
 | isbn = 978-0471149583
 | jazyk = anglicky
}}</ref> je zadána třídou [[metrický tenzor|metrik]] na hladké varietě, které mají tu vlastnost, že v&nbsp;každém bodě jsou stejné až na kladný násobek. Tato struktura nám umožňuje měřit [[úhel|úhly]] [[vektor]]ů, nikoliv však vzdálenosti. Analogie přímek jsou tzv. neparametrické geodetiky. Grupa vlastní těmto geometriím je grupa všech transformací, které zachovávají úhly. V&nbsp;[[komplexní rovina|komplexní rovině]] jsou to všechny komplexní [[holomorfní funkce]] s nenulovou derivací, ve vyšších dimenzích anebo na [[sféra (matematika)|sférách]] je konformních zobrazení podstatně méně. Nejjednodušší model této geometrie je dvourozměrná [[sféra (matematika)|sféra]] spolu s&nbsp;množinou všech [[lineární lomená funkce|lineárních lomených funkcí]] (homografií).

'''Cartanova geometrie''' je velmi obecná definice geometrie. Je to společné zobecnění Kleinovy a Riemannovy geometrie. Podobně jako je Riemannova geometrie je zobecněním Euklidovské geometrie na prostory s nenulovou křivostí, tak v Cartanově koncepci geometrie se dá zkonstruovat analogicky křivá verze k libovolnému typu Kleinovy geometrie.<ref group="pozn.">Tato struktura je popsána pomocí [[Lieova grupa|Lieovych grup]], [[Fibrovaný bundl|fibrovaných bundlů]] a jisté diferenciální formy, která zobecňuje klasickou konexi.</ref><ref name="sharpe"/> Obsahuje zobecněnou konexi (takzvaná [[Cartanova konexe]]). Převádění různých klasických geometrických struktur na univerzálnější Cartanovu definic řeší tzv. ''problém ekvivalence''.

V poslední době se zkoumá jistá třída Cartanových geometrií, které se nazývají '''parabolické geometrie'''.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Slovak
 | jméno = Jan
 | příjmení2 = Cap
 | jméno2 = Andreas
 | titul = Parabolic Geometries: Background and general theory
 | vydavatel = AMS Bookstore
 | rok = 2009
 | isbn = 978-0-8218-2681-2
 | jazyk = anglicky
}}</ref> Obsahují a&nbsp;zobecňují projektivní, konformní a&nbsp;symplektickou geometrii, nikoliv ale Riemannovu. Této problematice se v&nbsp;současnosti věnuje několik předních českých matematiků.<ref>[http://www.math.muni.cz/~slovak/publications.html Jan Slovak, publications]</ref>

'''Diferenciální topologie'''<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hirsch
 | jméno = Morris W.
 | titul = Differential Topology
 | url = https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4684-9449-5
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1976
 | isbn = 978-0387901480
 | jazyk = anglicky
}}</ref> je obor, která zkoumá topologické (globální) vlastnosti prostorů a&nbsp;zobrazení metodami diferenciální geometrie. Historicky nejstarším příkladem je [[Gauss-Bonnetova věta]], která dává do souvislosti [[Křivost plochy|křivost]] nějakého prostoru a&nbsp;jeho [[Eulerova charakteristika|Eulerovu charakteristiku]]. Modernější příklady jsou [[Morseho teorie]], studium [[stupeň zobrazení|stupně zobrazení]], výpočet [[charakteristická třída|charakteristických tříd]] a dalších [[topologie|topologických]] invariantů, pomocí diferencovatelných funkcí.

Další podobory diferenciální geometrie jsou ''Kontaktní geometrie'', ''Kahlerovské geometrie'', ''CR geometrie'', ''Finslerova geometrie'' a&nbsp;další.

=== Algebraická geometrie ===
{{Podrobně|Algebraická geometrie}}
'''Algebraická geometrie'''<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hartshorne
 | jméno = Robin
 | titul = Algebraic Geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2010
 | isbn = 978-1441928078
 | jazyk = anglicky
}}</ref> je obor na pomezí geometrie a&nbsp;[[abstraktní algebra|abstraktní algebry]]. Studuje vlastnosti [[polynom]]ů nad obecnými [[Okruh (algebra)|komutativními okruhy]], hlavně množinu nulových bodů nějakého systému [[polynom]]ů. Tyto množiny se nazývají [[algebraická varieta|algebraické variety]].

Podobor algebraické geometrie je studium [[eliptická křivka|eliptických křivek]], které mají úzkou souvislost s&nbsp;[[teorie čísel|teorií čísel]]. Aplikace našla teorie eliptických křivek hlavně v [[kryptografie|kryptografii]],<ref>Eliška Ochodková, ''Přínos teorie eliptických křivek k řešení moderních kryptografických systému'', Katedra informatiky, FEI, VŠB – Technická Univerzita Ostrava, [http://www.cs.vsb.cz/arg/workshop/files/ecc_eli.pdf online]</ref> ale také v statistice,<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Drton
 | jméno = Mathias
 | příjmení2 = Sturmfels
 | jméno2 = Bernd
 | příjmení3 = Sullivant
 | jméno3 = Seth
 | titul = Lectures on algebraic statistics
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2009
 | isbn = 9783764389048
 | jazyk = anglicky
}}</ref> [[Teorie řízení|teorii řízení]],<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Falb
 | jméno = Peter
 | titul = Methods of Algebraic Geometry in Control Theory
 | vydavatel = Birkhäuser Boston
 | rok = 1990
 | isbn = 978-0817634544
 | jazyk = anglicky
}}</ref> [[geometrické modelování|geometrickém modelování]],<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Jüttler
 | jméno = Bert
 | příjmení2 = Piene
 | jméno2 = Ragni
 | titul = Geometric Modeling and Algebraic Geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2007
 | isbn = 978-3540721840
 | jazyk = anglicky
}}</ref> [[teorie strun|teorii strun]],<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Cox
 | jméno = David A.
 | titul = Mirror Symmetry and Algebraic Geometry
 | url = https://archive.org/details/mirrorsymmetryal0000davi
 | vydavatel = AMS
 | rok = 1999
 | isbn = 978-0821821275
 | jazyk = anglicky
}}</ref> [[teorie her|teorii her]]<ref>{{Citace periodika
| příjmení = Blume
| jméno = Lawrence E.
| příjmení2 = Zame
| jméno2 = William R.
| titul = The Algebraic Geometry of Perfect and Sequential Equilibrium
| periodikum = Econometrica
| datum vydání = 1994-07
| ročník = 62
| číslo = 4
| doi = 10.2307/2951732
| jazyk = en
| url = https://www.jstor.org/stable/2951732?origin=crossref
| datum přístupu = 2024-12-29
}}</ref> a v dalších oborech.

== Elementární geometrie ==
=== Geometrické útvary ===
{{Podrobně|Geometrický útvar}}
V&nbsp;elementární geometrii se geometrické útvary obvykle reprezentují jako [[množina|množiny]] [[bod]]ů v&nbsp;[[Eukleidovský prostor|Eukleidovském prostoru]].<ref>POLÁK, Josef, Přehled středoškolské matematiky, Praha : Prometheus, 2008, {{ISBN|978-80-7196-356-1}}, s. 414</ref>
==== Rovinné útvary ====
'''Rovinné útvary''' jsou takové útvary, jež leží v&nbsp;rovině. Příklady rovinných útvarů:
* [[rovinná křivka|rovinné křivky]] – např. [[kuželosečka|kuželosečky]] ([[kružnice]], [[elipsa]], [[parabola (matematika)|parabola]], [[hyperbola]]), [[cykloida|cykloidy]], [[řetězovka|řetězovky]] apod.
* [[trojúhelník]], [[čtyřúhelník]] a&nbsp;jiné [[mnohoúhelník]]y, [[kruh]], a podobně.

==== Prostorové útvary ====
'''Prostorové útvary''' jsou útvary, které nelze vnořit do roviny. Jsou to například:
* [[prostorová křivka|prostorové křivky]] – např. [[šroubovice]]
* [[plocha|plochy]] v prostoru – např. [[kvadrika|kvadriky]] ([[přímková plocha|přímkové plochy]], [[Sféra (matematika)|kulová plocha]], [[elipsoid]], [[paraboloid]], [[hyperboloid]]) apod.
* [[Geometrický útvar|tělesa]] – např. [[mnohostěn]]y ([[krychle]], [[kvádr]], [[hranol]], [[jehlan]] nebo [[Platónské těleso|Platónská tělesa]]), [[válec]], [[kužel]], [[koule]] apod.

Podobně lze uvažovat i&nbsp;vícerozměrné útvary. Příkladem mohou být [[čtyřrozměrná platónská tělesa]].

Následuje galerie některých rovinných a&nbsp;prostorových geometrických útvarů:
<center>
<gallery perrow="5">
Soubor:Circle - black simple.svg|[[Kružnice]]
Soubor:Triangle and squares.svg|Tři [[čtverec|čtverce]] a bílý [[trojúhelník]] mezi nimi
Soubor:Shape Area.svg|[[Pravoúhlý trojúhelník]], [[kosodélník]] a&nbsp;[[kruh]]
Soubor:Hexagon Reflections.png|[[Pravidelný šestiúhelník]] a jeho [[osa symetrie|osy symetrie]]
Soubor:Two parallel lines a b.svg|Dvě [[rovnoběžky|rovnoběžné přímky]]

Soubor:Basic shapes.svg|[[Jehlan]], [[koule]] a [[krychle]] v prostoru
Soubor:Tetrahedron (PSF).png|[[Čtyřstěn]]
Soubor:Octaedre.png|Pravidelný [[osmistěn]], jedno z&nbsp;[[Platónské těleso|Platonských těles]]
Soubor:Sphere wireframe.svg|[[Sféra (matematika)|Sféra]] (povrch [[koule]])
Soubor:ProlateSpheroid.png|[[Elipsoid]]
</gallery>
</center>

==== Vlastnosti geometrických útvarů ====
[[Soubor:KochFlake.svg|náhled|250px|První čtyři iterace konstrukce [[Kochova křivka|Kochovy křivky]], která má neceločíselnou dimenzi log 4/log 3]]
Základní vlastnosti geometrických útvarů jsou například:
* [[Míra (matematika)|Míry]] útvarů: [[délka]], [[obsah]], [[objem]], [[povrch (geometrie)|povrch]] a&nbsp;[[obvod (geometrie)|obvod]], jsou-li definovány. Tyto veličiny zjednodušeně řečeno vyjadřují „velikost“ či „rozsah“ útvaru.
* [[Dimenze vektorového prostoru|Dimenze]]: útvarům lze přiřadit číslo, které se nazývá počet rozměrů čili dimenze útvaru. Pro „běžné“ útvary je dimenze celé číslo: pro bod je to nula, pro přímku a obvyklé křivky 1, pro rovinu a běžné zakřivené plochy 2, pro prostorová tělesa jako koule a hranol 3. Existuje více způsobů definice dimenze; podle toho rozlišujeme např. [[topologická dimenze|topologickou dimenzi]] nebo různé [[fraktální dimenze]] (jako jsou [[Hausdorffova míra]] či [[Rényiho dimenze]]), jež pro speciální útvary zvané [[fraktál]]y mohou být i&nbsp;neceločíselné.<ref>VACHTL, Pavel, Fraktály a chaos, Natura, [http://natura.baf.cz/natura/1998/12/9812-4.html on-line]</ref> (Pro fraktální útvary lze určovat i&nbsp;další speciální vlastnosti, např. [[lacunarita|lacunaritu]],<ref>Tolle,C.R. McJunkin,T.R. Rohrbaugh,D.T. a LaViolette,R.A., ''Lacunarity definition for ramified data sets based on optimal cover'', Physica D: Nonlinear Phenomena Volume 179, Issues 3-4, 15 May 2003, s. 129–152. DOI=http://dx.doi.org/10.1016/S0167-2789(03)00029-0</ref> měřící, nakolik fraktál vyplňuje prostor.)
* [[Symetrie]] čili souměrnost podle nějakého bodu, přímky či roviny, symetrie vzhledem k&nbsp;[[otočení (geometrie)|otočení]] nebo [[Osová souměrnost|zrcadlení]], či symetrie vůči změně měřítka ([[škálovací symetrie]]). Každému útvaru lze přiřadit jeho [[grupa|grupu symetrií]], což je množina všech [[ortogonální grupa|ortogonálních]] (případně jiných) zobrazení, které převádí útvar sám na sebe. Existence [[Platónské těleso|platónskych těles]] úzce souvisí s existencí ''konečných podgrup'' ortogonální grupy.
* Někdy se užívá pojem [[otevřená množina|otevřený]] útvar pro útvar, který je otevřený [[topologie|topologicky]], tedy obsahuje s&nbsp;každým svým bodem i&nbsp;nějaké jeho [[Okolí (matematika)|okolí]]. Příkladem je otevřená [[koule]] (bez hranice). Podobně se z&nbsp;topologie přebírají pojmy [[vnitřní bod]]y, [[vnější bod]]y, [[izolovaný bod|izolované body]], [[Hranice množiny|hraniční body]] útvaru a&nbsp;[[souvislost (topologie)|souvislý]] útvar.
* [[uzavřená množina|Uzavřený]] útvar může znamenat
** útvar, který obsahuje svoji topologickou hranici. Příkladem je koule s&nbsp;hranicí, anebo [[sféra (matematika)|sféra]].
** O [[křivka|křivce]] se říká, že je ''uzavřená'', pokud její koncový bod splývá s&nbsp;počátečním bodem.
* Útvar může být [[Konvexní množina|konvexní]]; to znamená, že úsečka mezi libovolnými dvěma jeho body leží celá v útvaru. Konvexní útvar musí být souvislý.

[[Soubor:Geom shodnost soumernost osa.svg|náhled|300px|[[Shodnost]] dvou osově symetrických útvarů: shodují se [[úhel|úhly]] i délky úseček]]

Kromě obecných [[matematická logika|logických]] a&nbsp;[[množina|množinových]] vztahů ([[existence]], [[rovnost (matematika)|rovnost]], [[inkluze (matematika)|inkluze]], [[průnik]], [[sjednocení]]) se v&nbsp;Eukleidovské geometrii také definuje
# Vlastnost „ležet mezi“, např. bod ''A'' leží mezi body ''X'' a ''Y'' na přímce ''p''.
# [[Shodnost]]. Dva útvary jsou shodné, pokud existuje otočení, posunutí a&nbsp;zrcadlení (případně jejich kombinace), které jeden útvar zobrazí na druhý. Týká se např. úseček (stejná délka) nebo úhlů (stejná velikost úhlu). Značí se <math>\cong</math>. Například <math>\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}</math> čteme „trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem DEF“ a znamená to, že oba trojúhelníky mají stejné délky stran a&nbsp;velikosti úhlů.
# [[podobnost (geometrie)|Podobnost]]. Dva útvary jsou podobné, pokud mají stejné úhly a proporce, velikosti se ale mohou lišit.

=== Konstrukce pravítkem a kružítkem ===
[[Soubor:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|náhled|210px|Konstrukce čtverce za pomocí [[pravítko|pravítka]] a [[kružítko|kružítka]].]]
{{Podrobně|Eukleidovská konstrukce}}
Konstrukce pomocí [[kružítko|kružítka]] a&nbsp;[[pravítko|pravítka]] označuje konstrukci geometrických objektů (například [[úhel|úhlů]]) pouze pomocí idealizovaného pravítka (bez měřítka) a&nbsp;kružítka.<ref>Eva Davidová, ''Řešení planimetrických konstrukčních úloh'', Ostrava 2005 (Gymnázium, Ostrava-Poruba), {{ISBN|80-903647-1-3}}, [http://www.wigym.cz/nv/wp-content/uploads/docs/opory/mat_geometrie.pdf dostupné online] {{Wayback|url=http://www.wigym.cz/nv/wp-content/uploads/docs/opory/mat_geometrie.pdf |date=20120111085510 }}</ref> O&nbsp;pravítku se předpokládá, že má nekonečnou délku, jen jednu hranu a&nbsp;žádné značky pro měření, o&nbsp;kružítku se předpokládá, že může nakreslit jakkoliv velikou [[kružnice|kružnici]].

Tento pojem se vyskytuje především v&nbsp;zadání úloh, které se týkají [[konstruovatelnost]]i. Úkolem bývá určit, zda z&nbsp;daného objektu je možné pomocí pravítka a&nbsp;kružítka vytvořit jiný objekt, který má dané vlastnosti. Příkladem obtížného úkolu je rozhodnout, které pravidelné [[mnohoúhelník|n-úhelníky]] lze takto zkonstruovat (bez jakýchkoliv počátečních dat). V&nbsp;19.&nbsp;století se dokázalo, že pravidelný n-úhelník je konstruovatelný, právě když všechny liché [[Dělení|dělitele]] ''n'' jsou [[Fermatovo prvočíslo|Fermatova prvočísla]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Jones
 | jméno = Arthur
 | příjmení2 = Morris
 | jméno2 = Sidney A.
 | příjmení3 = Pearson
 | jméno3 = Kenneth R.
 | titul = Abstract algebra and famous impossibilities
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1991
 | isbn = 978-0387976617
 | kapitola = 9.1
 | strany = 178
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/abstractalgebraf0000jone
}}</ref> Například lze takto zkonstruovat čtverec, avšak pravidelný 7-úhelník nelze. Dalším příkladem úlohy konstruovatelnosti jsou třeba úlohy [[trisekce úhlu]], [[kvadratura kruhu]] a&nbsp;[[Zdvojení krychle|duplikace krychle]]. Lze dokázat, že ani jednu z těchto úloh pomocí Eukleidovské konstrukce vyřešit obecně nelze.

Je známo, že pokud předem zadaná data pozůstávají z&nbsp;konečné množiny bodů, pak každá konstrukce pomocí pravítka a&nbsp;kružítka je možná jenom pomocí kružítka ([[Mohr–Mascheroniho věta]]).<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Hungerbuhler
 | jméno = Norbert
 | titul = A short elementary proof of Mohr Mascheroni Theorem
 | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-10_101_8/page/784
 | periodikum = The American Mathematical Monthly
 | rok = 1994
 | měsíc = October
 | ročník = 101
 | číslo = 8
 | strany = 784–787
}}, dostupné [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.45.9902&rep=rep1&type=ps online] (PostScript)</ref>

V&nbsp;školských úlohách se často objevuje úkol sestrojit [[trojúhelník]] s&nbsp;předem danými vlastnostmi. Někdy se kromě pravítka a kružítka připouští i [[úhloměr]], případně je povoleno [[měření|měřit]] pravítkem i vzdálenosti.

== Zobecnění ==
[[Soubor:Mug and Torus morph.gif|náhled|250px|Spojitá deformace ([[homotopie]]) hrníčku na pneumatiku ([[torus]]).]]
Existují různá matematická zobecnění pojmu geometrický útvar. '''[[Topologie]]''' se zabývá vlastnostmi [[množina|množin]], které se nemění při [[spojité zobrazení|spojitých transformacích]] a&nbsp;[[topologický prostor]] je zobecněním pojmu [[tvar]]. V topologii jsou definovány body a [[spojitost]], nikoliv ale vektory, úhly a přímky.

Vlastnosti útvarů, které se zachovávají při určitých transformacích, se nazývají ''invarianty''. V&nbsp;'''[[algebraická topologie|algebraické topologii]]''' jsou to například ''díry'' různých dimenzí (například kruh bez bodu má ''díru'', plný kruh nikoliv). Invarianty, které formalizují a popisují typy a&nbsp;počty děr, jsou ''[[homotopicá grupa|homotopické grupy]]'' a&nbsp;''[[homologie (matematika)|homologické grupy]]''.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Hatcher
 | jméno = Allen
 | titul = Algebraic Topology
 | url = https://archive.org/details/algebraictopolog0000hatc
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2002
 | isbn = 0-521-79160-X
 | jazyk = anglicky
}} [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Dostupné online]</ref>

'''Geometrická topologie'''<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Sher
 | jméno = R.B.
 | příjmení2 = Daverman
 | jméno2 = R.J.
 | počet stran = 1144
 | titul = Handbook of Geometric Topology
 | vydavatel = North Holland
 | rok = 2002
 | isbn = 978-0444824325
 | jazyk = anglicky
}}</ref> studuje [[varieta (matematika)|variety]] a&nbsp;vztahy mezi nimi. Předměty studia geometrické topologie jsou například (pořád se vyvíjející) [[teorie uzlů]], otázky existence vnoření variet do variet vyšších [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzí]] a&nbsp;také topologická klasifikace hladkých [[varieta (matematika)|variet]].

Jeden z hraničních oborů mezi geometrií a&nbsp;[[algebra|algebrou]] je '''[[nekomutativní geometrie]]'''. Geometrický prostor je tady popisován pomocí algebry funkcí, které tvoří nekomutativní [[algebra (struktura)|algebru]].<ref>{{Citace monografie | příjmení=Connes | jméno=Alain | titul=Non-commutative geometry | url=https://archive.org/details/noncommutativege0000conn | publisher=[[Academic Press]] | místo=Boston, MA | isbn=978-0-12-185860-5 | rok=1994 | url-access=registration }}</ref>
Základy této teorie položil francouzský matematik [[Alain Connes]] koncem 80.&nbsp;let dvacátého století. Nekomutativní geometrie má aplikace v&nbsp;[[Fyzika částic|částicové fyzice]] a v&nbsp;nekomutativní [[kvantová teorie pole|kvantové teorii pole]]. Spekulace o&nbsp;souvislosti nekomutativní geometrie s&nbsp;M-teorií<ref>Alain Connes, Michael R. Douglas, Albert Schwarz, Noncommutative geometry and matrix theory: compactification on tori. J. High Energy Phys. 1998, no. 2, Paper 3, 35 pp. [http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1998/02/003 doi], [http://arxiv.org/abs/hep-th/9711162 hep-th/9711162]</ref> podnítily od konce 20. století zvýšený zájem o&nbsp;nekomutativní geometrii ve fyzice.

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
<references group=pozn./>

=== Reference ===
<references />

=== Literatura ===
==== Popularizující ====
* {{Citace monografie
 | příjmení = Coxeter
 | jméno = H.S.M.
 | titul = The beauty of geometry: twelve essays
 | url = https://archive.org/details/beautyofgeometry0000coxe
 | vydavatel = Courier Dover Publications
 | rok = 1999
 | isbn = 9780486409191
 | počet stran = 274
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Greenberg
 | jméno = Marvin J.
 | titul = Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History
 | url = https://archive.org/details/euclideannoneucl0000gree
 | vydavatel = W. H. Freeman (4th edition)
 | rok = 2007
 | isbn = 978-0716799481
 | počet stran = 637
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Kadeřávek
 | jméno = František
 | titul = Geometrie a umění v dobách minulých
 | vydavatel = Půdorys
 | místo = Praha
 | rok = 1997
 | počet stran = 140
 | isbn = 80-900791-5-6
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Mlodinow
 | jméno = Leonard
 | titul = Eukleidovo okno (dějiny geometrie)
 | vydavatel = SLOVART s. r. o.
 | místo = Praha
 | rok = 2007
 | isbn = 978-80-7209-900-9
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Vopěnka
 | jméno = Petr
 | odkaz na autora = Petr Vopěnka
 | titul = Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci
 | vydavatel = Práh
 | místo = Praha
 | rok = 2011
 | vydání = 4
 | počet stran = 920
 | isbn = 978-80-7252-338-2
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Vopěnka
 | jméno = Petr
 | odkaz na autora = Petr Vopěnka
 | titul = Trýznivé tajemství
 | vydavatel = Práh
 | místo = Praha
 | rok = 2003
 | počet stran = 142
 | isbn = 80-7252-088-1
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Voráčová
 | jméno = Šárka
 | titul = Atlas geometrie
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 2012
 | počet stran = 256
 | isbn = 978-80-200-1575-4
 | jazyk = česky
}}

==== Školská ====
* {{Citace monografie
 | příjmení = Audin
 | jméno = Michele
 | titul = Geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2002
 | počet stran = 357
 | isbn = 978-3540434986
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Boček
 | jméno = Leo
 | příjmení2 = Kočandrle
 | jméno2 = Milan
 | titul = Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie
 | vydavatel = Prometheus
 | místo = Praha
 | rok = 2009
 | počet stran = 220
 | isbn = 978-80-7196-390-5
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Boček
 | jméno = Leo
 | příjmení2 = Šedivý
 | jméno2 = Jaroslav
 | titul = Grupy geometrických zobrazení
 | vydavatel = Státní pedagogické nakladatelství
 | místo = Praha
 | rok = 1979
 | počet stran = 213
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Boček
 | jméno = Leo
 | příjmení2 = Kubát
 | jméno2 = Václav
 | titul = Diferenciální geometrie křivek a ploch
 | vydavatel = Státní pedagogické nakladatelství
 | místo = Praha
 | rok = 1983
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Boček
 | jméno = Leo
 | titul = Příklady z diferenciální geometrie
 | vydavatel = Univerzita Karlova
 | místo = Praha
 | rok = 1974
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Bureš
 | jméno = Jarolím
 | příjmení2 = Hrubčík
 | jméno2 = Karel
 | titul = Diferenciální geometrie křivek a ploch
 | vydavatel = Karolinum
 | místo = Praha
 | rok = 1998
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Bureš
 | jméno = Jarolím
 | příjmení2 = Vanžura
 | jméno2 = Jiří
 | titul = Algebraická geometrie
 | vydavatel = SNTL – Nakladatelství technické literatury
 | místo = Praha
 | rok = 1989
 | počet stran = 327
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Pomykalová
 | jméno = Eva
 | titul = Deskriptivní geometrie pro střední školy
 | vydavatel = Prometheus
 | isbn = 978-80-7196-400-1
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Stillwell
 | jméno = John
 | titul = The Four Pillars of Geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2010
 | počet stran = 241
 | jazyk = anglicky
}}

==== Odborná ====
* {{Citace monografie
 | příjmení = Aubin
 | jméno = Thierry
 | titul = A Course in Differential Geometry
 | vydavatel = AMS
 | rok = 2000
 | isbn = 978-0821827093
 | počet stran = 184
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Bump
 | jméno = Daniel
 | titul = Algebraic geometry
 | vydavatel = World Scientific
 | rok = 1998
 | počet stran = 218
 | isbn = 9789810235611
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Coxeter
 | jméno = H.S.M.
 | titul = Introduction to geometry
 | vydavatel = Wiley
 | rok = 1989
 | počet stran = 496
 | isbn = 978-0471504580
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Coxeter
 | jméno = H.S.M.
 | titul = Non-Euclidean Geometry
 | url = https://archive.org/details/noneuclideangeom0000coxe_w2k5
 | vydavatel = The Mathematical Association of America
 | rok = 1998
 | počet stran = 354
 | isbn = 978-0883855225
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Dubrovin
 | jméno = B.A.
 | příjmení2 = Fomenko
 | jméno2 = A.T
 | příjmení3 = Novikov
 | jméno3 = S.P.
 | titul = Modern Geometry – Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields
 | vydavatel = Springer, s. e.
 | rok = 1991
 | počet stran = 507
 | isbn = 978-0387976631
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Dubrovin
 | jméno = B.A.
 | příjmení2 = Fomenko
 | jméno2 = A.T
 | příjmení3 = Novikov
 | jméno3 = S.P.
 | titul = Modern Geometry. Methods and Applications: Part 2: The Geometry and Topology of Manifolds
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1985
 | počet stran = 507
 | isbn = 978-0387961620
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Dubrovin
 | jméno = B.A.
 | příjmení2 = Fomenko
 | jméno2 = A.T
 | příjmení3 = Novikov
 | jméno3 = S.P.
 | titul = Modern Geometry – Methods and Applications: Part 3: Introduction to Homology Theory
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1990
 | počet stran = 507
 | isbn = 978-0387972718
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Frankel
 | jméno = Theodore
 | titul = The Geometry of Physics: An Introduction
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | rok = 2003
 | isbn = 978-0521539272
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Glaeser
 | jméno = Georg
 | titul = Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik
 | vydavatel = Elsevier
 | rok = 2002
 | isbn = 3-8274-1797-X
 | jazyk = německy
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Harris
 | jméno = Joe
 | titul = Algebraic geometry: a first course
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1992
 | počet stran = 328
 | isbn = 9780387977164
 | jazyk = anglicky
}}
* [[David Hilbert]], ''The foundations of Geometry'', [http://www.gutenberg.org/ebooks/17384 online] ([http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page Project Gutenberg])
* {{Citace monografie
 | příjmení = Kobayashi
 | jméno = Shoshichi
 | příjmení2 = Nomizu
 | jméno2 = Katsumi
 | titul = Foundations of Differential Geometry (volume I)
 | vydavatel = Wiley-Interscience
 | rok = 1996
 | isbn = 978-0471157335
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Kobayashi
 | jméno = Shoshichi
 | příjmení2 = Nomizu
 | jméno2 = Katsumi
 | titul = Foundations of Differential Geometry (volume I)
 | vydavatel = Wiley-Interscience
 | rok = 1996
 | isbn = 978-0471157328
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Huybrechts
 | jméno = Daniel
 | titul = Complex geometry: an introduction
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2005
 | počet stran = 309
 | isbn = 9783540212904
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Kowalski
 | jméno = Oldřich
 | titul = Úvod do Riemannovy geometrie
 | vydavatel = UK Karolinum
 | místo = Praha
 | rok = 2003
 | počet stran = 101
 | isbn = 80-246-0377-2
 | jazyk = česky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Lang
 | jméno = Serge
 | titul = Fundamentals of differential geometry
 | vydavatel = Birkhäuser
 | rok = 1999
 | počet stran = 535
 | isbn = 9780387985930
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Matoušek
 | jméno = Jiří
 | titul = Lectures on discrete geometry
 | vydavatel = Birkhäuser
 | rok = 2002
 | počet stran = 481
 | isbn = 9780387953731
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Petersen
 | jméno = Peter
 | titul = Riemannian geometry
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2006
 | isbn = 9780387292465
 | počet stran = 401
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Sharpe
 | jméno = R.W.
 | titul = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program
 | vydavatel = Springer
 | rok = 1997
 | isbn = 978-0387947327
 | počet stran = 421
 | jazyk = anglicky
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Šír
 | jméno = Zbyněk
 | titul = Řecké matematické texty
 | vydavatel = Oikoymenh
 | rok = 2011
 | isbn = 978-80-7298-308-7
 | počet stran = 560
 | jazyk = česky
}}
=== Související články ===
* [[Dějiny matematiky]]
* [[Eukleidovská geometrie]]
* [[Neeukleidovská geometrie]]
* [[Diferenciální geometrie]]
* [[Riemannova geometrie]]
* [[Deskriptivní geometrie]]
* [[Analytická geometrie]]
* [[Topologie]]
* [[Smíšený součin]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat|Geometry}}
* {{Wikiknihy|kniha=Geometrie}}
* {{Wikicitáty|téma=Geometrie}}
* {{Wikislovník|heslo=geometrie}}
* {{Otto|heslo=Geometrie}}

==== Česky ====
* Miroslav Lávička, [https://web.archive.org/web/20091229074639/http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/SG/texty/sg_text.pdf Syntetická geometrie], Pomocný učební text, ZČU Plzeň
* [[Ladislav Hlavatý]], [https://web.archive.org/web/20091122134218/http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/files/doprovod/KrivkyHlav/Krivky1.pdf Úvod do geometrie křivek a ploch], Pomocný učební text, ČVUT Praha
* [[Vladimír Souček]], [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/kpl_10_6.pdf Křivky a plochy, 4. semestr], Pomocný učební text, MFF UK Praha
* Ivan Kolář, Lenka Pospíšilová: [http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/prif/ps08/geom/web/index.html Diferenciální geometrie křivek a ploch – elektronické skriptum], MU Brno
* Jiří Vančura, [http://www.apolloniovyulohy.webz.cz/index.htm Apolloniovy úlohy] {{Wayback|url=http://www.apolloniovyulohy.webz.cz/index.htm |date=20090910074324 }}
* Radek Erben, ''[http://mks.mff.cuni.cz/library/ProblemyStarovekuRE/ProblemyStarovekuRE.pdf Slavné matematické problémy starověku]'', stručný důkaz nemožnosti řešení slavných starověkých konstrukčních úloh
* Konečný, Zbyněk, [https://web.archive.org/web/20110815202720/http://kondr.ic.cz/files/final.pdf Konstrukční úlohy z Planimetrie], SOČ Brno

==== Anglicky ====
* Stanford Encyclopedia of Philosophy:
** [http://plato.stanford.edu/entries/geometry-finitism/ Finitism in Geometry]
** [http://plato.stanford.edu/entries/geometry-19th/ Geometry in the 19th Century]
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html Non-Euclidean geometry] na [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ The MacTutor History of Mathematics archive]
* Vladimir Bulatov, [http://bulatov.org/math/1001/ Conformal Models of the Hyperbolic Geometry], Modely a animace transformací hyperbolické roviny
* [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html The geometry Jankyard], pokročilé zajímavosti související s geometrií
* Geometrie na [http://mathworld.wolfram.com/Geometry.html mathworld]

{{Dobrý článek}}
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}
{{1000 nejdůležitějších článků}}

[[Kategorie:Geometrie| ]]
[[Kategorie:Sedm svobodných umění]]
[[Kategorie:Obory a disciplíny matematiky]]