Zobrazení zdroje stránky Forsing

'''Forsing''' (používá se též anglický termín {{Cizojazyčně|en|'''forcing'''}}) je v [[matematika|matematice]] obecná [[matematický důkaz|důkazová]] technika, která je základní metodou pro dokazování relativních [[konzistentní teorie|konzistencí]] v [[teorie množin|teorii množin]]. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik [[Paul Cohen]]. O rok později užitím forsingu dokázal [[bezesporná teorie|bezespornost]] [[negace]] [[hypotéza kontinua|hypotézy kontinua]] s [[axiom]]y [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]]. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována [[Dana Scott]]em, [[Robert Solovay|Robertem Solovayem]] a [[Petr Vopěnka|Petrem Vopěnkou]] do teorie [[booleovsky ohodnocený model|booleovsky ohodnocených modelů]]. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

== Princip forsingu ==
: ''Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.''

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování [[model (logika)|modelů]] [[teorie množin]] do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model <math>M</math> teorie množin, o kterém díky [[Löwenheimova-Skolemova věta|Löwenheim-Skolemově větě]] můžeme předpokládat, že je [[spočetná množina|spočetný]] (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin <math>N</math> rozšiřující <math>M</math>, tj. <math>M\subseteq N</math>. V této situaci mohou existovat prvky modelu <math>N</math>, které nejsou prvky <math>M</math>, ale jsou [[podmnožina]]mi <math>M</math>, tj. taková <math>x</math>, že <math>x\in N\setminus M</math> a <math>x\subseteq M</math> (taková x jsou pak „[[polomnožina]]mi“ v <math>M</math>). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model <math>M[G]</math> ležící mezi <math>M</math> a <math>N</math>, tj. takový, který obsahuje všechny prvky <math>M</math> a navíc i některé podmnožiny <math>M</math>, které v <math>M</math> neleží, ale leží v <math>N</math>.

Myšlenku konstrukce modelu <math>M[G]</math> lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny <math>M</math>, které v novém modelu <math>M[G]</math> mají být, lze ohodnotit číslem <math>1</math> a zbylé množiny číslem <math>0</math>. Protože však předem nevíme, které množiny musí v <math>M[G]</math> být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké [[Booleova algebra|Booleovy algebry]] <math>B\in M</math>. Každé podmnožině <math>M</math> pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota <math>b\in B</math>, která určuje „míru“ jejího náležení do <math>M[G]</math>. Ty množiny, které do <math>M[G]</math> nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého [[filtr (matematika)|filtru]] <math>G\in N</math> na <math>B</math>. Přesněji <math>x\in M[G]</math> právě tehdy když je booleovská hodnota <math>x</math> v <math>G</math>.

== Pozadí ==

[[Zermelova–Fraenkelova teorie množin|Zermelova–Fraenkelova axiomatizace teorie množin]] (značená ZF) byla vytvořena jako pokus reprezentovat matematickou pravdu (to, co opravdu „platí“) ve všech disciplínách matematiky. Ukázalo se, že bez AC ([[axiom výběru]]) v ní nelze dokázat některé důležité věty i evidentně pravdivá tvrzení. Zároveň však AC vedl k řadě paradoxů a potíží: nekonstruktivní důkazy, [[Banachův–Tarského paradox]] atd.

Matematiky proto počátkem 20. století rozdělovala otázka, zda AC přijmout, tj. pokládat za pravdu vše, co z něho plyne. Zkoumali, zda z axiomů ZF je AC dokazatelný (tj. „ZF + negace AC“ je sporná) nebo je dokazatelná jeho negace, tj. je sporná teorie „ZF+AC“, zvaná též „[[ZFC]]“. Ve 30. letech [[Kurt Gödel]] dokázal pomocí [[Konstruovatelná množina|konstruovatelných množin]], že ZFC je [[Bezesporná_teorie#Relativně_bezesporná_teorie|relativně bezesporná]] vůči ZF – tj. je bezesporná, pokud je bezesporná ZF (což je nemožné ověřit vzhledem k [[Gödelovy věty o neúplnosti|druhé Gödelově větě o neúplnosti]]).

Otázka, zda ZF s negací AC je bezesporná (relativně vůči ZF), odolávala úsilí matematiků mnohem déle, protože chyběly prostředky, jak tvořit nové modely. Tuto potřebu forsing naplnil mj. tím, že

* Prokázal relativní bezespornost teorie „ZF + non AC“ a teorie „ZFC + non [[Hypotéza kontinua|GC]]“. 
* Flexibilita forsingu dává značnou míru kontroly nad vlastností kontinua a dalších kardinálů. Je možné (je-li ZF bezesporná) forsingem vytvořit model, ve kterém prvním kardinálem, na němž GCH (zobecněná hypotéza kontinua) neplatí, je <math>\aleph_0</math> ([[Alef 0]]), tedy neplatí ani samotná hypotéza kontinua. Lze vytvořit model, kde je jím <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> atd.; model, kde je jím <math>\aleph_\omega</math>, <math>\aleph_{\omega+1}</math> atd. (Teorie je bezesporná, právě když má nějaký model -  [[Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky]].)
* Lze vytvořit modely, kde je AC porušen konkrétním způsobem, tj. v nichž neplatí některé konkrétní důsledky AC, jako např. [[Banachův–Tarského paradox]] nebo existence [[Lebesgueova míra|lebesgueovsky neměřitelné množiny]] atd.

== Konstrukce generických rozšíření ==
Pro sestrojení rozšíření <math>M[G]</math> k danému modelu <math>M</math> se používá technika booleovských jmen.
{{Pahýl část}}

== Odkazy ==

=== Související články ===
* [[Paul Cohen]]
* [[Hypotéza kontinua]]
* [[Model (logika)]]

=== Externí odkazy ===
* Timothy Y. Chow: [http://arxiv.org/abs/0712.1320 ''A beginner’s guide to forcing''] ([[Portable Document Format|PDF]], [[PostScript]]; anglicky), oai:[[arXiv|arXiv.org]]:0712.1320

Původní [[Paul Cohen|Cohenovy]] články obsahující důkaz nezávislosti [[hypotéza kontinua|hypotézy kontinua]] v [[ZFC]]:
* Paul J. Cohen: [http://links.jstor.org/sici?sici=0027-8424%2819631215%2950%3A6%3C1143%3ATIOTCH%3E2.0.CO%3B2-5 ''The Independence of the Continuum Hypothesis''], Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
* Paul J. Cohen: [http://links.jstor.org/sici?sici=0027-8424%2819640115%2951%3A1%3C105%3ATIOTCH%3E2.0.CO%3B2-U ''The Independence of the Continuum Hypothesis, II''], Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105-110.

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | příjmení = Balcar
 | jméno = Bohuslav
 | odkaz na autora = Bohuslav Balcar
 | příjmení2 = Štěpánek
 | jméno2 = Petr
 | odkaz na autora2 = Petr Štěpánek (matematik)
 | rok = 2001
 | titul = Teorie množin
 | vydavatel = Academia
 | vydání = 2. opr. a rozš
 | isbn = 80-200-0470-X
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Kunen
 | jméno = Kenneth
 | odkaz na autora = Kenneth Kunen
 | rok = 1980
 | titul = Set theory: An Introduction to Independence Proofs
 | vydavatel = North-Holland
 | isbn = 0-444-85401-0
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune
 }}

{{Teorie množin}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Tvrzení nezávislá na ZF]]