Zobrazení zdroje stránky Fázor

{{redirect|Komplexní amplituda|kvantový-mechanický koncept|Komplexní pravděpodobnost amplituda}}
[[Soubor:Wykres wektorowy by Zureks.svg|náhled|300px|Příklad sériového [[Obvod RLC|RLC obvodu]] a jeho '''fázorový diagram''' pro určité <var>ω</var>]]

'''Fázor''' je ve [[Fyzika|fyzice]] a [[inženýrství]] otáčivý [[vektor]], reprezentující [[Sinusoida|harmonickou funkci]], jejíž [[amplituda]] (''A''), [[úhlová frekvence]] (''ω'') a [[Fáze (vlna)|počáteční fáze]] (''θ'') nejsou v čase proměnné.

Fázory se zakreslují do roviny, v pokročilejších výpočtech se používá [[symbolicko-komplexní metoda]] reprezentace fázorů, kdy jsou koncové body fázorů zobrazeny v [[Komplexní rovina|komplexní rovině]]. Fázor má souvislost s obecnějším konceptem zvaným [[analytický signál|analytická reprezentace]],<ref name="Bracewell">{{Citace monografie
| autor = Bracewell, Ron.
| titul = The Fourier Transform and Its Applications
| vydavatel = McGraw-Hill
| rok = 1965
| strana = p269
}}</ref> která rozkládá sinusoidu na součin komplexní konstanty s členem, který zapouzdřuje závislost na frekvenci a čase. Komplexní konstanta, které zapouzdřuje závislost na amplitudě a fázi, se nazývá '''fázor''' (vzniklý [[Univerbizace|univerbizací]] ze spojení '''fázový vektor''')<ref name="FoxBolton2002">{{Citace monografie
| titul = Mathematics for Engineers and Technologists
| url = https://archive.org/details/mathematicsforen0000foxh
| vydavatel = Butterworth-Heinemann
| isbn = 978-0-08-051119-1
| author1 = Huw Fox
| author2 = William Bolton
| rok = 2002
| strana = 30
}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{Citace monografie
| autor = Clay Rawlins
| titul = Basic AC Circuits
| vydání = 2
| vydavatel = Newnes
| isbn = 978-0-08-049398-5
| rok = 2000
| strana = 124
}}</ref>, '''komplexní amplituda''',<ref name="Kumar2008">{{Citace monografie
| autor = K. S. Suresh Kumar
| titul = Electric Circuits and Networks
| vydavatel = Pearson Education Indie
| isbn = 978-81-317-1390-7
| rok = 2008
| strana = 272
}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{Citace monografie
| titul = Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics
| vydání = 2
| vydavatel = Springer Science & Business Media
| isbn = 978-3-540-74296-8
| author1 = Kequian Zhang
| author2 = Dejie Li
| rok = 2007
| strana = 13
}}</ref> a (ve starších textech) '''sinor'''<ref name="Hindmarsh2014">{{Citace monografie
| autor = J. Hindmarsh
| titul = Electrical Machines & their Applications
| vydání = 4
| vydavatel = Elsevier
| isbn = 978-1-4832-9492-6
| rok = 1984
| strana = 58
}}</ref> nebo dokonce '''complexor'''<ref name="Hindmarsh2014" />.

V [[elektrický obvod|elektrických obvodech]] často pracujeme s více sinusovými průběhy, které mají stejnou frekvenci, ale různé amplitudy a fáze. V analytické reprezentaci se liší pouze svou komplexní amplitudou (fázorem). [[Lineární kombinace|Lineární kombinaci]] takových funkcí lze rozložit na součin lineárních kombinací fázorů (známý jako '''fázorová aritmetika''') a člen závislý na čase či frekvenci, který mají všechny společné.

Původ termínu fázor správně naznačuje, že grafické znázornění operací s [[vektor]]y lze použít také pro fázory<ref name="Hindmarsh2014"/>. Důležitou přídavnou vlastností fázorové transformace je, že [[derivace]] a [[integrál|integrace]] sinusových signálů (s konstantní amplitudou, periodou a fází) odpovídá jednoduchým algebraickým operacím na fázorech; fázorová transformace tedy umožňuje [[Síťová analýza (elektrotechnika)|analýzu]] (výpočet) [[střídavý proud|střídavého]] [[ustálený stav (elektronika)|ustáleného stavu]] [[Obvod RLC|RLC obvodů]] řešením jednoduchých [[Algebraická rovnice|algebraických rovnic]] (avšak s komplexními koeficienty) ve fázorové doméně místo řešení [[Diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]] (s reálnými koeficienty) v časové doméně<ref name="Eccles2011">{{Citace monografie
 | autor = William J. Eccles
 | titul = Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals
 | rok = 2011
 | vydavatel = Morgan & Claypool Publishers
 | isbn = 978-1-60845-668-0
 | strana = 51}}</ref><ref name="DorfSvoboda2010">{{Citace monografie
 | author1 = Richard C. Dorf
 | author2 = James A. Svoboda
 | titul = Introduction to Electric Circuits
 | rok = 2010
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | isbn = 978-0-470-52157-1
 | strana = 661
 | vydání = 8}}</ref>. Autorem fázorové transformace je [[Charles Proteus Steinmetz]], který byl na konci 19. století zaměstnán ve firmě [[General Electric]]<ref name="RobbinsMiller2012">{{Citace monografie
 | author1 = Allan H. Robbins
 | author2 = Wilhelm Miller
 | titul = Circuit Analysis: Theory and Practice
 | rok = 2012
 | vydání = 5
 | vydavatel = Cengage Learning
 | isbn = 1-285-40192-1
 | strana = 536}}</ref><ref name="YangLee2008"/>.

Pokud si odmyslíme určité matematické detaily, můžeme fázorovou transformaci považovat za určitý případ [[Laplaceova transformace|Laplaceovy transformace]], kterou lze navíc použít pro (simultální) odvození [[tranzientní odezva|tranzientní odezvy]] RLC obvodu<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{Citace monografie
 | author1 = Won Y. Yang
 | author2 = Seung C. Lee
 | titul = Circuit Systems with MATLAB and PSpice
 | rok = 2008
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | isbn = 978-0-470-82240-1
 | strana = 256–261}}</ref>. Laplaceovu transformaci je však matematicky obtížnější aplikovat, a toto větší úsilí může být zbytečné, pokud požadujme pouze analýzu v ustáleném stavu.<ref name="YangLee2008"/>

[[Soubor:unfasor.gif|náhled|vpravo|Obr 2. Znázorníme-li funkci <math>\scriptstyle A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> v [[Komplexní rovina|komplexní rovině]], vektor tvořený její imaginární a reálnou složkou rotuje okolo počátku. Jeho magnituda je '''A''' a vektor vykoná jeden cyklus každých 2π/ω sekund. θ je úhel který svírá s reálnou osou v&nbsp;čase ''t''&nbsp;=&nbsp;n•2π/ω pro celočíselné hodnoty n.]]

== Definice ==
Podle [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]] lze sinusový průběh matematicky reprezentovat jako součet dvou [[komplexní číslo|komplexních]] funkcí:
:<math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math> &nbsp; &nbsp;{{Poznámka|
* '''i''' je [[imaginární jednotka]] (<math>i^2 = -1</math>).
* V elektrotechnických textech se imaginární jednotka obvykle značí j.
* Pro frekvenci <math>f</math> v [[Hertz|Hz]] platí <math>f = \omega/2\pi</math>.}}

nebo jako [[Reálná část|reálnou část]] jedné z funkcí:
:<math>
\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \theta) = \operatorname{Re} \{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\}= \operatorname{Re} \{ E^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\}.
\end{align}
</math>

Funkci <math>A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> nazýváme ''[[Analytická reprezentace|analytickou reprezentací]]'' funkce <math>A\cdot \cos(\omega t + \theta)</math>. Obrázek&nbsp;2 ji zobrazuje jako otáčející se vektor v [[Komplexní rovina|komplexní rovině]]. Někdy se označení ''fázor'' používá pro celou funkci,<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Singh
 | jméno = Ravish R
 | titul = Electrical Networks
 | datum = 2009
 | vydavatel = Mcgraw Hill Higher Education
 | isbn = 0070260966
 | strana = 4.13
 | kapitola = 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities}}</ref> jako to děláme v další části. Ale termín ''fázor'' obvykle naznačuje pouze statický vektor <math>E^{i\theta}</math>. Ještě kompaktnější reprezentací ''fázoru'' je [[úhlová notace]]: <math>A \angle \theta</math>. Viz také [[vektorová notace]].

== Fázorová aritmetika ==

=== Násobení konstantou ===
Výsledkem násobení fázoru &nbsp;<math>E^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> komplexní konstantou &nbsp;<math>B e^{i\phi}\,</math>&nbsp; je fázor. Dojde pouze ke změně amplitudy a fáze podkladových sinusoid:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\{(E^{i\theta} \cdot B e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \}
&= \operatorname{Re}\{(AB e^{i(\theta+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\
&= A B \cos(\omega t +(\theta+\phi))
\end{align}
</math>

V elektronice <math>B e^{i\phi}\,</math>&nbsp; reprezentuje [[Impedance|impedanci]], která je nezávislá na čase. Nejde o zkrácenou notaci pro jiný fázor. Násobení fázoru proudu impedancí dává fázor napětí. Ale součin dvou fázorů (nebo druhá mocnina fázoru) reprezentuje součin dvou sinusových průběhů, což je nelineární operace, která produkuje nové frekvenční komponenty. Pomocí fázorové notace můžeme reprezentovat pouze systémy s jednou frekvencí, jako například lineární systém buzený sinusoidou.

=== Derivování a integrace ===
Výsledkem derivace nebo integrálu fázoru podle času je také fázor.{{Poznámka|
To plyne z <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(e^{i \omega t}) = i \omega e^{i \omega t}</math>,

což znamená, že [[Exponenciální funkce|komplexní exponenciální funkce]] je [[Vlastní funkce|vlastní funkcí]] operace [[derivace]].
}} Například:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(E^{i\theta} \cdot e^{i\omega t})\right\}= \operatorname{Re}\{E^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} = \operatorname{Re}\{E^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} = \operatorname{Re}\{\omega E^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} = \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2)
\end{align}
</math>

Proto je ve fázorové reprezentaci časová derivace sinusového průběhu reprezentována jednoduše násobením konstantou <math>i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega)\,</math>.

Podobně integrování fázoru odpovídá jeho násobení hodnotou <math>\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}\,</math>. Časově závislý člen <math>e^{i\omega t}\,</math> je nezměněn.

Pokud řešíme [[lineární diferenciální rovnice|lineární diferenciální rovnici]] pomocí fázorové aritmetiky, pouze vytkneme <math>e^{i\omega t}\,</math> ze všech členů rovnice a vložíme jej zpět do výsledku. Uvažujme například následující diferenciální rovnici pro napětí na kondenzátoru v [[RC článek|RC obvodu]]:
:<math>\frac{\mathrm{d}\ v_C(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)</math>

Je-li napětí zdroje v tomto obvodu sinusové:
:<math>v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,</math>

můžeme dosadit <math>
\begin{align}
v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\
\end{align}
</math>
:<math>v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},</math>

kde fázor <math>V_s = V_P e^{i\theta}\,</math> a fázor <math>V_c\,</math> je neznámá hodnota, kterou je potřeba nalézt.

Ve zkracené fázorové notaci má diferenciální rovnice tvar
:<math>i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s</math>&nbsp;{{Poznámka|
;Důkaz:
:<math>\frac{\mathrm{d}\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}</math> (R1)

Tento vztah musí platit pro každé <math>t\,</math>, konkrétně pro <math>t - \frac{\pi}{2\omega }\,</math>, z toho plyne, že
:<math>\frac{\mathrm{d}\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}</math> (R2)

je také okamžitě vidět, že

:<math>\frac{\mathrm{d}\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm{d}t} 
= \operatorname{Re} \left\{ \frac{\mathrm{d}\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{\mathrm{d}t} \right\}
= \operatorname{Re} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm{d}t} 
= \operatorname{Im} \left\{ \frac{\mathrm{d}\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{\mathrm{d}t} \right\}
= \operatorname{Im} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}</math>

Jejich substitucí do &nbsp;R1 a &nbsp;R2, znásobením &nbsp;R2 hodnotou <math>i,\,</math>&nbsp; a sečtením obou rovnic dostáváme
:<math>i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} + \frac{1}{RC}V_c \cdot e^{i\omega t} = \frac{1}{RC}V_s \cdot e^{i\omega t}</math>

:<math>\left(i\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c \right) \cdot e^{i\omega t} = \left( \frac{1}{RC}V_s\right) \cdot e^{i\omega t}</math>

:<math>i\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c = \frac{1}{RC}V_s \quad\quad(\mathrm{QED})</math>
}}

Řešením fázoru napětí na kondenzátoru dává
:<math>
V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\theta})\,
</math>

Jak jsme viděli, člen, který násobí <math>V_s\,</math> reprezentuje rozdíly amplitudy a fáze <math>v_C(t)\,</math>&nbsp; vhledem k <math>V_P\,</math>&nbsp; a <math>\theta\,</math>.

V polárních souřadnicích máme
:<math>\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)},\text{ kde }\phi(\omega) = \operatorname{arctg}(\omega RC).\,</math>

A odtud
:<math>v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))</math>

=== Sčítání ===
[[Soubor:sumafasores.gif|náhled|vpravo|Sčítání fázorů jako sčítání otáčejících se vektorů]]Součtem několika fázorů je opět fázor, protože součet sinusových průběhů se stejnou frekvencí je opět sinusový průběh se stejnou frekvencí:
:<math>
\begin{align}
A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2)
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\theta_3})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= A_3 \cos(\omega t + \theta_3),
\end{align}
</math>
kde
:<math>
A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,
</math>
:a jestliže vezmeme <math>\theta_3 \in \left\langle-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{3\pi}{2}\right\rangle</math>, pak :
:* , jestliže <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = 0</math>, pak <math>\theta_3 = \sgn(A_1 \sin(\theta_1) + A_2 \sin(\theta_2)) * \frac{\pi}{2}</math>, kde <math>\sgn</math> je [[funkce signum]];
:* , jestliže <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 > 0</math>, pak <math>
\theta_3 = \operatorname{arctg}\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right) 
</math>;
:* , jestliže <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 < 0</math>, pak <math>
\theta_3 = \pi + \operatorname{arctg}\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right) 
</math>.

nebo pomocí [[Kosinová věta|kosinové věty]] v [[Komplexní rovina|komplexní rovině]] (nebo [[Trigonometrická identity#Angle součet a rozdíl identit|trigonometrické identity pro rozdíl úhlů]]):
:<math>
A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta)
      = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta),
</math>
kde <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2</math>.

Protože ''A''<sub>3</sub> a ''θ''<sub>3</sub> nezávisí na ''ω'' ani na ''t'', můžeme používat fázorovou notaci. Časovou a frekvenční závislost lze potlačit a znovu vložit do výsledku, pokud v mezikrocích používáme pouze takové operace, které produkují jiný fázor. V [[Úhlová notace|úhlové notaci]] lze operace uvedené výše zapsat jako
:<math>A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3. \, </math>

Na sčítání lze také pohlížet tak, že provádíme [[vektorový součet]] dvou '''vektorů''' se souřadnicemi {{nowrap|[&nbsp;''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)&nbsp;]}} a {{nowrap|[&nbsp;''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)&nbsp;]}}, jehož výsledkem je vektor se souřadnicemi {{nowrap|[&nbsp;''A''<sub>3</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>), ''A''<sub>3</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>)&nbsp;]}}. (viz animace)

[[Soubor:destructive interference.png|náhled|vpravo|Fázorový diagram tří vln v dokonale destruktivní interferenci]]
Ve fyzice se tento druh sčítání objevuje, když se dva sinusové průběhy [[Interference (šíření vln)|navzájem ruší]], konstruktivně nebo destruktivně. Statický vektorový koncept poskytuje jednoduché pochopení otázek jako: „''Jaký má být fázový rozdíl mezi třemi identickými sinusovými průběhy pro jejich vzájemné dokonalé vyrušení?''“ Nejjednodušší je si v tomto případě představit tři vektory shodné velikosti a umístit je tak, že každý z nich začíná na konci předchozího a poslední končí na začátku prvního. Výsledkem je zřejmě rovnostranný [[trojúhelník]], takže úhel mezi jednotlivými fázory je 120° ({{Zlomek|3π|2}}&nbsp;radiánů) nebo jedna třetina vlnové délky {{Zlomek|{{var|λ}}|3}}. Fázový rozdíl mezi vlnami tedy musí být také 120°, jako v případě [[Trojfázová soustava|trojfázové soustavy]].

Tato úvaha ukazuje, že řešením je
:<math>\cos(\omega t) + \cos(\omega t + 2\pi/3) + \cos(\omega t -2\pi/3) = 0.\,</math>

V příkladu se třemi vlnami byl fázový rozdíl mezi první a poslední vlnou 240&nbsp;stupňů, zatímco pro dvě vlny nastane destruktivní interference pro fázový rozdíl 180 stupňů. V limitním případě musí fázory vytvářet kružnici, aby došlo k destruktivní interferenci, takže první fázor je téměř rovnoběžný s posledním. To znamená, že v případě mnoha zdrojů dojde k destruktivní interferenci, když se první a poslední vlna liší o 360 stupňů, plnou vlnovou délku <math>\lambda</math>. To je důvod, proč se při [[Difrakce|difrakci]] na štěrbině objeví minima, když [[světlo]] ze vzdálené hrany putuje o plnou vlnovou délku další vzdálenost než světlo z blízké hrany.

Když vektor rotuje proti směru hodinových ručiček, jeho konec vykoná jednu úplnou otáčku o 360° nebo 2π&nbsp;radiánů reprezentující jeden úplný cyklus. Pokud by délka jeho se pohybujícího se konce byla přenesena v různých úhlových intervalech v čase do grafu jak je ukázáno výše, sinusový tvar vlny byl vybrán začínající vlevo s nula čas. Pozice na horizontální ose udávají dobu, která uplynula od času nula, ''t''&nbsp;=&nbsp;0. Když je vektor orientován vodorovně, reprezentuje úhly 0°, 180° a 360°.

Obdobně když vektor směřuje svisle nahoru, reprezentuje kladnou špičkovou hodnotu (&nbsp;+''A''<sub>max</sub>&nbsp;) pro úhel 90° nebo {{Zlomek|π|2}}, a zápornou špičkovou hodnotu (&nbsp;−''A''<sub>max</sub>&nbsp;) pro úhel 270° nebo {{Zlomek|3π|2}}. Pak časová osa tvaru vlny reprezentuje úhel buď ve stupních nebo v radiánech o kolik se fázor pohl. Takže můžeme říct, že fázor reprezentuje sníženou hodnotu napětí nebo proudu otáčejícího se vektoru, který je „zmrazený“ v nějakém časovém okamžiku &nbsp;''t''&nbsp;. V našem příkladu výše je to úhel 30°.

Někdy, když analyzujeme střídající se tvary vln můžeme potřebovat znát pozici fázoru reprezentující proměnnou velikost v nějakém časovém okamžiku, zvláště když chceme porovnávat dva různé tvary vln na stejné ose. Například napětí a proud. V případě výše jsme předpokládali, že průběh začíná v čase ''t''&nbsp;=&nbsp;0 s odpovídajícím fázovým úhlem buď ve stupních nebo v radiánech.

Pokud však druhý tvar vlny začíná vlevo nebo vpravo od tohoto nulového bodu, nebo jestliže chceme reprezentovat ve fázorové notaci vztah mezi dvěma tvary vln, pak budeme potřebovat vzít v úvahu tento fázový rozdíl, {{var|Φ}} tvaru vlny. Uvažujme diagram níže z předchozího tutoriálu o fázovém rozdílu.

== Aplikace ==

=== Obvodové zákony ===
S pomocí fázorů lze pro řešení střídavých obvodů používat techniky pro řešení [[Stejnosměrný proud|stejnosměrných obvodů]]. Přitom lze používat následující základní zákony:

* '''Ohmův zákon pro rezistory:''' rezistor nemá žádné zpozdění a proto nemění fázi signálu, proto ''V''=''IR'' zůstává v platnosti.
* '''Ohmův zákon pro rezistory, indukčnosti a kondenzátory:''' ''V''&nbsp;=&nbsp;''IZ'' kde ''Z'' je komplexní [[impedance]]. <!-- toto pravděpodobně chceme někde dokázat -->
* Ve střídavém obvodu máme reálný výkon (''P'') který reprezentuje průměrný příkon do obvodu a jalový (reaktivní) výkon (''Q'') který indikuje výkon tekoucí zpět a dopředu. Můžeme také definovat [[komplexní výkon]] ''S''&nbsp;=&nbsp;''P''&nbsp;+&nbsp;''jQ'' a zdánlivý výkon který je magnitudou ''S''. Zákon výkonu pro střídavý obvod vyjádřený pomocí fázorů pak je ''S''&nbsp;=&nbsp;''VI''<sup>*</sup> (kde ''I''<sup>*</sup> je hodnota [[Komplexně sdružené číslo|komplexně sdružený]] k ''I'', a magnitudy fázorů napětí a proudu ''V'' a ''I'' jsou [[Kvadratický průměr#Definice|kvadratické průměry]] hodnot napětí a proudu).
* [[Kirchhoffovy zákony]] pracují s fázory v komplexním tvaru

S těmito zákony můžeme aplikovat techniky [[Analýza rezistivních obvodů|analýzy rezistivních obvodů]] a fázory analyzovat jednofrekvenční střídavé obvody obsahující rezistory, kondenzátory a cívky. Díky [[Superpozice (elektrotechnika)|principu superpozice]] lze analyzovat i lineární střídavé obvody s několika frekvencemi nebo střídavé obvody s různými tvary vln pro zjištění napětí a proudů pomocí transformací různých tvarů vln na sinusové (harmonické) vlnové komponenty s magnitudou a fází místo analyzování každé frekvence samostatně.

=== Výkonové inženýrství ===
Při analýze [[Trojfázová soustava|trojfázových]] střídavých výkonových systémů obvykle definujeme sadu fázorů jako trojici komplexních kořenů kubické rovnice, graficky reprezentovaných pomocí jednotkových průběhů s úhly 0, 120 a 240 stupňů. Reprezentací hodnot ve vícefázových střídavých obvodech pomocí fázorů lze vyvážený obvody zjednodušit a nevyvážené obvody lze považovat za algebraickou kombinaci [[Symetrická komponenta|symetrických komponent]]. Tento přístup značně zjednodušuje práci při výpočtech úbytků napětí, toků výkonu a zkratových proudů. V kontextu analýzy výkonových systémů je fázový úhel často zadaný ve [[Stupeň (úhel)|stupních]] a magnitudy v [[kvadratický průměr]] hodnota místo špičková amplituda.

Technika [[synchrofázor]]ů používá digitální nástroje pro měření fázorů reprezentujících přenos systém napětí v rozšířené body v přenosové síti. Rozdíly mezi fázory indikují tok výkonu a stabilitu systému.

=== Telekomunikace: analogové modulace ===
Rotace rámcového obrázku pomocí fázoru je výkonným nástrojem pro porozumění analogovým modulacím jako například [[amplitudová modulace|amplitudové modulaci]] (a jejím variantám<ref name="IJRES">{{Citace periodika
 | autor = de Oliveira, H.M.
 | příjmení2 = Nunes
 | jméno2 = F.D
 | titul = About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations
 | periodikum = International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES)
 | ročník = 2
 | číslo = 1 (Jan.)
 | strana = 11-18
 | rok = 2014
 | issn = 2320-9364}}</ref>
) a [[Frekvenční modulace|frekvenční modulaci]].

<math> x(t)=\Re e \left \{ E^{j\theta}.e^{j2\pi f_0 t} \right \}</math>, kde na člen ve složených závorkách pohlížíme jako na otáčející se vektor v [[Komplexní rovina|komplexní rovině]].

Velikost fázoru je <math>A</math>, rotuje proti směru hodinových ručiček rychlostí <math>f_0</math> otáček za sekundu a v čase <math>t=0</math> má úhel <math>\theta</math> vzhledem ke kladné [[Reálná osa|reálné ose]].

Tvar vlny <math>x(t)</math> můžeme pak považovat za projekci tohoto vektoru na reálnou osu.

* '''AM modulace:''' fázorový diagram jediného tónu o frekvenci <math>f_m</math>
* '''FM modulace:''' fázorový diagram jediného tónu o frekvenci <math>f_m</math>

=== Související články ===
* [[V-fáze a kvadraturní komponenty]]
* [[Analytický signál]]
* * [[Komplexní obálka]]
* [[Fázový faktor]], fázor jednotkové magnitudy

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Reference ===
{{Překlad|en|Phasor|913161691}}
<references />

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | autor = Douglas C. Giancoli
 | titul = Physics for Scientists and Engineers
 | url = https://archive.org/details/physicsforscient0000gian_v7u0
 | vydavatel = Prentice Hall
 | rok = 1989
 | isbn = 0-13-666322-2}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Dorf
 | jméno = Richard C.
 | jméno2 = Ronald J.
 | příjmení2 = Tallarida
 | titul = Pocket Book of Electrical Engineering Formulas
 | url = https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf
 | vydavatel = CRC Press
 | vydání = 1
 | datum = 1993-07-15
 | místo = Boca Raton,FL
 | strana = 152–155
 | isbn = 0849344735 }}

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory]
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Visual Representation of Phasors]
* [http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html Polar and Rectangular Notation]
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie obvodů]]
[[Kategorie:Interference]]
[[Kategorie:Goniometrie]]