Zobrazení zdroje stránky Eulerova–Lagrangeova rovnice

'''Eulerova–Lagrangeova rovnice''' se také často nazývá '''Eulerova rovnice''' nebo '''[[Lagrangeova rovnice]]''', protože na této rovnici pracovali [[Leonhard Euler]] a [[Joseph Louis Lagrange|Joseph Lagrange]] současně okolo roku [[1755]]. V oboru [[:Kategorie:Variační počet|variačního počtu]] se jedná o [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]] umožňující nalezení extrémály [[funkcionál]]u a obvykle bývá užívána při [[Optimalizace (matematika)|optimalizaci]] a ve fyzice pro odvozování [[pohybová rovnice|pohybových rovnic]] různých objektů.

== Popis problému optimalizace ==
Je zadána tzv. Lagrangeova funkce ([[lagrangián]]) ''F'' tří proměnných, která má spojité první [[parciální derivace]], do níž je dosazena funkce ''y(x)'',
 
:<math> F \left( x, y(x), y'(x) \right) </math>.

Aby funkce ''y(x)'' představovala [[Extrém funkce|extremálu]] následujícího [[funkcionál]]u ''J'',

:<math> J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x </math>,

musí funkce ''y(x)'' být řešením následující [[obyčejné diferenciální rovnice]] zvané ''Eulerova–Lagrangeova rovnice'':

:<math> \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 </math>.
:Jedná se o obyčejnou (obecně nelineární) diferenciální rovnici 2. řádu. V dynamice má proměnná x většinou význam času. Některá proměnná Lagrangeovy funkce (kromě třetí) může "chybět", tím se výpočet zjednoduší. (Zřejmé je to při absenci 2. proměnné.)

=== Příklad: „Nejlevnější cesta“ ===
Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu ''J'' při splnění uvedených vazebních ([[Okrajové podmínky|okrajových]]) podmínek.

:<math> J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x </math>
:<math> y(0) = 0 </math>
:<math> y(1) = 1 </math>

V podstatě hledáme takovou [[trajektorie|trajektorii]] (množinu bodů <math>[x;y(x)]</math>) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný [[určitý integrál]], který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce <math>F(x,y,y') = y'^2+12xy</math> představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce ''F'' do Eulerovy–Lagrangeovy rovnice odvodíme následující [[Obyčejné diferenciální rovnice|obyčejnou diferenciální rovnici]] (lineární nehomogenní 2. řádu).

:<math> 12x - 2y'' = 0 </math>

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:
:<math> y'' = 6x </math>,
:<math> y' = 3x^2 + c_1 </math>,
:<math> y = x^3 + c_1 x + c_2 </math>.

Hodnotu integračních konstant ''c''<sub>1</sub> a ''c''<sub>2</sub> vypočteme z okrajových podmínek <math> y(0) = 0 </math> a <math> y(1) = 1 </math> a získáme tak hledanou funkci <math> y(x) </math>.

:<math> c_1 = 0 </math>
:<math> c_2 = 0 </math>
:<math> y(x) = x^3 </math>

== Lagrangeova mechanika ==

Předchozí formulace problému byla poněkud „Eulerovská“. [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] k problému přistupoval tak, že se snažil najít [[pohybová rovnice|pohybovou rovnici]] popisující trajektorii hmotného bodu. Za tímto účelem odvodil [[lagrangián]] ''L'', který je rozdílem [[kinetická energie|kinetické]] (''E<sub>k</sub>'', někdy také ''T'') a [[potenciální energie]] (''E<sub>p</sub>'', někdy také ''V'') zkoumaného tělesa. Pro těleso o souřadnicích ''q<sub>i</sub>'', na které nepůsobí externí síly, potom musí platit Eulerova–Lagrangeova rovnice.

:<math> L = T - V </math>

:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>

Pokud na těleso působí ještě další [[síla|síly]], přidá se na pravou stranu rovnice ještě člen reprezentující [[Práce (fyzika)|práci]] těchto sil v daném směru.

:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{dW}{dq_i} </math>

V případě, že je pohyb zkoumaného tělesa omezen ''vazební podmínkou'', kterou lze například vyjádřit rovnicí <math>g(x,y) = 0</math>, potom je třeba do [[lagrangián]]u ''L'' přidat ještě tuto funkci vynásobenou koeficientem <math>\lambda</math>, který se nazývá [[Lagrangeův multiplikátor]]. Z rovnic získaných dosazením do Lagrangeovy rovnice a z vazební podmínky je potom nutné vypočítat <math>\lambda</math> a následovně jej použít v hledaných pohybových rovnicích. Jedná se o podobný postup, jako při hledání [[vázaný extrém|vázaného extrému]] v [[diferenciální počet|diferenciálním počtu]].

=== Příklad: Pohybová rovnice oscilátoru ===

[[Soubor:Pruzina.gif|vpravo]]
Úkolem je sestavit pohybovou rovnici pro [[těleso]] o [[hmotnost]]i ''m'' upevněné na [[pružina|pružině]] s koeficientem tuhosti ''c'', jak je ukázáno na obrázku vpravo. [[Vzdálenost]] ''x'' představuje roztažení (výchylku) pružiny vůči klidovému stavu, přičemž předpokládáme, že pružina působí na těleso [[síla|silou]] ''F'' [[přímá úměrnost|přímo úměrnou]] výchylce ''x'' a koeficientu tuhosti ''c''.

:<math>F(x) = c \cdot x</math>

[[Kinetická energie]] tělesa ''T'' je známá, [[potenciální energie]] ''V'' v tomto případě představuje práci potřebnou k přesunu tělesa do vzdálenosti ''x'' od klidové polohy (viz [[Potenciální energie pružnosti]]). Ze znalosti energií lze sestavit [[lagrangián]] ''L''.

:<math>T = \frac{1}{2} m \dot x^2</math>
:<math>V = \int_0^x {F(s)} \, ds = \int_0^x {c \cdot s} \, ds = \frac{1}{2} c x^2</math>
:<math>L = T - V = \frac{1}{2} m \dot x^2 - \frac{1}{2} c x^2</math>

Dosazením lagrangiánu do Lagrangeovy rovnice získáme hledanou pohybovou rovnici.

:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 </math>

:<math> \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m \dot x, \,\, \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m \ddot x, \,\, \frac{\partial L}{\partial x} = - c x </math>

:<math> m \ddot x + c x = 0 </math>

Stejnou rovnici lze také samozřejmě získat užitím druhého [[Newtonovy pohybové zákony|Newtonova pohybového zákona]], který říká, že zrychlení tělesa je dáno součtem sil, které na těleso působí. Nicméně pro složitější soustavu těles se ukazuje být vhodnější Lagrangeův postup pomocí energií.

=== Příklad: Oscilátor a odpor prostředí ===

Zadání příkladu je téměř stejné, pouze je navíc přídána síla <math>F_o</math> představující [[odpor prostředí]] [[přímá úměrnost|přímo úměrný]] rychlosti tělesa (se součinitelem odporu <math>\alpha</math>) a působící proti rychlosti.

:<math>F_o = - \alpha \cdot \dot x</math>

Přírůstek [[Práce (fyzika)|práce]] <math>dW</math> v závislosti na přírůstku polohy <math>dx</math> bude zřejmě <math>dW = F_o dx</math>, takže stačí dosadit do Langrangeovy rovnice a získat hledanou pohybovou rovnici.

:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{dW}{dx} = F_o = - \alpha \cdot \dot x </math>

:<math> m \ddot x + c x = - \alpha \dot x </math>

== Související články ==
* [[Lagrangeovská formulace mechaniky]]

== Externí odkazy ==
* Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: https://web.archive.org/web/20070607010012/http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
* Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
* Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
* Vačkový mechanismus: https://web.archive.org/web/20090619023651/http://www.spszr.cz/~blazicek/Projekt/vack_mech/vacky.htm
* Úloha 10 - Kyvadlo: [https://web.archive.org/web/20070312020744/http://e-learning.tul.cz/cgi-bin/elearning/elearning.fcgi?ID_tema=71&ID_obsah=1581&stranka=publ_tema&akce=polozka_vstup http://e-learning.tul.cz/…]
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Variační počet]]
[[Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice]]
[[Kategorie:Teoretická mechanika]]
[[Kategorie:Dynamika]]