Zobrazení zdroje stránky Eulerův–Maclaurinův vzorec

'''Eulerův–Maclaurinův vzorec''' je v [[Matematika|matematice]] vzorec pro rozdíl mezi [[integrál]]em a [[Sumace|sumou]] tento integrál aproximující. Lze jej použít pro aproximaci integrálů konečnými součty nebo opačně pro vyhodnocení konečných součtů a [[Řada (matematika)|nekonečných řad]] pomocí integrálů a numerické řešení úloh [[Infinitezimální počet|infinitezimálního počtu]]. Z tohoto vzorce je odvozeno mnoho asymptotických rozvojů, a jeho bezprostředním důsledkem je [[Faulhaberův vzorec]] pro sumu mocnin.

Vzorec objevili okolo roku 1735 nezávisle [[Leonhard Euler]] a [[Colin Maclaurin]]. Euler jej potřeboval pro výpočty pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin jej používal pro vypočet integrálů. Později byl zobecněn na [[Darbouxův vzorec]].

== Vzorec ==
Pokud {{mvar|m}} a {{mvar|n}} jsou [[Přirozené číslo|přirozená čísla]] a {{math|''f''(''x'')}} je [[Reálné číslo|reálná]] nebo [[Komplexní číslo|komplexní]] [[Spojité zobrazení|spojitá funkce]] s [[Reálné číslo|reálným]] parametrem {{mvar|x}} na [[Interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle m, n\rangle</math>, pak integrál
:<math>I = \int_m^n f(x)\,dx</math>
lze aproximovat součtem (nebo naopak)
:<math>S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n)</math>
(viz [[Riemannův součet|obdélníková metoda]]). Eulerův–Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem s použitím vyšších [[Derivace|derivací]] <math>f^{(k)}(x)</math> vyčíslených v koncových bodech intervalu {{math|''x'' {{=}} ''m''}} a {{math|''x'' {{=}} ''n''}}.

Explicitně pro libovolné kladné [[celé číslo]] {{mvar|p}} a libovolnou funkci {{math|''f''(''x'')}}, která je {{mvar|p}} krát [[Diferencovatelnost|diferencovatelná]] na intervalu <math>\langle m, n\rangle</math>, platí
:<math>S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} \left(f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m)\right)} + R_p,</math>
kde {{mvar|B<sub>k</sub>}} je {{mvar|k}}-té [[Bernoulliho číslo]] (s <math>B_1=\frac{1}{2}</math>) a {{mvar|R<sub>p</sub>}} je [[Numerická integrace|chybový člen]], který závisí na {{mvar|n}}, {{mvar|m}}, {{mvar|p}}, a {{mvar|f}} a obvykle je pro vhodné hodnoty {{mvar|p}} malý.

Vzorec se často píše tak, že dolní index nabývá pouze sudých hodnot, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nula kromě pro {{math|''B''<sub>1</sub>}}:<ref name=":0" /><ref name="DLMF">{{Citace elektronické monografie
 | url = http://dlmf.nist.gov/2.10
 | titul = Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences
 | vydavatel = [[Národní institut standardů a technologie]]
 | ref = harv
}}</ref>
:<math>\sum_{i=m}^n f(i) =
    \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} +
    \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p,
</math>
nebo alternativně
:<math>\sum_{i=m+1}^n f(i) =
    \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} +
    \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p.
</math>

=== Zbytkový člen ===
{{Podrobně|Bernoulliho polynomy}}

Protože integrál obvykle není přesně roven součtu, obsahuje vzorec zbytkový člen. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací [[integrace per partes]] na sebe navazujících intervalech <math>\langle r, r + 1\rangle</math> pro {{math|''r'' {{=}} ''m'', ''m'' + 1, …, ''n'' − 1}}. Hraniční členy v těchto integracích dávají hlavní členy vzorce, a zbylé integrály tvoří zbytkový člen.

Zbytkový člen lze přesně vyjádřit pomocí periodizované Bernoulliho funkce {{math|''P<sub>k</sub>''(''x'')}}. Bernoulliho polynomy je možné definovat rekurzivně vztahem {{math|''B''<sub>0</sub>(''x'') {{=}} 1}} a, pro {{math|''k'' ≥ 1}},
:<math>\begin{align}
  B_k'(x) &= kB_{k - 1}(x), \\
  \int_0^1 B_k(x)\,dx &= 0.
\end{align}</math>
Periodizovaná Bernoulliho funkce je definována vztahem
:<math>P_k(x) = B_k\bigl(x - \lfloor x\rfloor\bigr),</math>
kde {{math|⌊''x''⌋}} označuje největší celé číslo menší nebo rovné {{mvar|x}}, takže {{math|''x'' − ⌊''x''⌋}} vždy leží v intervalu <math>\langle 0,1)</math>.

S touto notací je zbytkový člen {{mvar|R<sub>p</sub>}} roven
:<math>R_p = (-1)^{p+1}\int_m^n f^{(p)}(x) \frac{P_p(x)}{p!}\,dx. </math>

Pro {{math|''k'' > 0}} lze ukázat, že
:<math>\bigl|B_k(x)\bigr| \le \frac{2 \cdot k!}{(2\pi)^k}\zeta(k),</math>
kde {{mvar|ζ}} je [[Riemannova funkce zeta]]; jednou z možností, jak tuto nerovnost dokázat, je použít Fourierovu řadu pro polynomy {{math|''B<sub>k</sub>''(''x'')}}. Meze jsou dosaženy pro sudé {{mvar|k}}, pokud {{math|''x'' {{=}} 0}}. Člen {{math|''ζ''(''k'')}} lze pro lichá {{mvar|k}} vynechat, ale důkaz je v tomto případě složitější.<ref name="Lehmer">{{Citace periodika
 | příjmení = Lehmer
 | jméno = D. H.
 | odkaz na autora = D. H. Lehmer
 | titul = On the maxima and minima of Bernoulli polynomials
 | datum = 1940
 | časopis = [[The American Mathematical Monthly]]
 | ročník = 47
 | číslo = 8
 | strany = 533–538
 | doi = 10.2307/2303833
 | jstor = 2303833
 | ref = harv
}}</ref> Pomocí této nerovnosti lze velikost zbytkového členu odhadnout jako
:<math>\left|R_p\right| \leq \frac{2 \zeta(p)}{(2\pi)^p}\int_m^n \left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.</math>

=== První členy ===
Bernoulliho čísla od {{math|''B''<sub>1</sub>}} do {{math|''B''<sub>7</sub>}} jsou <math>\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, 0, -\frac{1}{30}, 0, \frac{1}{42}, 0</math>. Proto první členy Eulerova–Maclaurinova vzorce jsou:
<math>\begin{align}
\sum_{n=a+1}^b f(n) - \int_a^b f(x)\,dx &= \frac{f(b)-f(a)}{2} + \int_a^b f'(x)P_1(x)\,dx \\
&=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2!} - \int_a^b f''(x)\frac{P_2(x)}{2!}\,dx \\
&=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2!} + \int_a^b f'''(x)\frac{P_3(x)}{3!}\,dx \\
&=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(b) - f'''(a)}{4!}-\int_a^b f^{(4)}(x) \frac{P_4(x)}{4!}\, dx \\
&=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(b) - f'''(a)}{4!} + \int_a^b f^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}\,dx \\
&=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(b) - f'''(a)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)}{6!} - \int_a^b f^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}\,dx \\
&=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(b) - f'''(a)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)}{6!} + \int_a^b f^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}\,dx.
\end{align}</math>

== Aplikace ==

=== Basilejský problém ===
[[Basilejský problém]] je spočítat sumu
:<math> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. </math>

Euler v roce 1735 vypočítal tento součet na 20 desítkových míst pomocí několika málo členů Eulerova–Maclaurinova vzorce. To jej pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná <math>\frac{\pi^2}{6}</math>, což ve stejném roce dokázal.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Pengelley
 | jméno = David J.
 | arxiv = 1912.03527
 | contribution = Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula
 | místo = Washington, DC
 | mr = 2349549
 | strany = 169–189
 | vydavatel = Mathematical Association of America
 | edice = MAA Spectrum
 | titul = Euler at 300
 | rok = 2007
 | ref = harv
}}</ref>

=== Součty obsahujícím polynom ===
{{Podrobně|Faulhaberův vzorec}}
Je-li {{mvar|f}} je [[Polynom]] a {{mvar|p}} je dostatečně velké, pak zbytkový člen bude mít nulovou hodnotu. Pokud například {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>}}, můžeme zvolit {{math|''p'' {{=}} 2}} po zjednodušení dostaneme
:<math>\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2.</math>

=== Aproximace integrálů ===
Vzorec poskytuje prostředek pro aproximaci integrálu na omezeném intervalu. Nechť {{math|''a'' < ''b''}} jsou koncové body intervalu integrace. Zvolíme {{mvar|N}} – počet bodů použitých pro aproximaci, takže velikost kroku bude

:<math>h = \frac{b-a}{N - 1}</math>

 a {{math|''x<sub>i</sub>'' {{=}} ''a'' + (''i'' − 1)''h''}}, tedy {{math|''x''<sub>1</sub>{{=}} ''a''}} a {{math|''x<sub>N</sub>'' {{=}} ''b''}}. Dostáváme<ref name="Devries">{{Citace monografie
 | příjmení = Devries
 | jméno = Paul L.
 | příjmení2 = Hasbrun
 | jméno2 = Javier E.
 | titul = A first course in computational physics.
 | vydání = 2
 | vydavatel = Jones and Bartlett Publishers
 | rok = 2011
 | strany = 156
 | ref = harv
}}</ref>
:<math>
\begin{align}
I & = \int_a^b f(x)\,dx \\
&\sim h\left(\frac{f(x_1)}{2} + f(x_2) + \cdots + f(x_{N-1}) + \frac{f(x_N)}{2}\right) + \frac{h^2}{12}\bigl[f'(x_1) - f'(x_N)\bigr] - \frac{h^4}{720}\bigl[f'''(x_1) - f'''(x_N)\bigr] + \cdots
\end{align}
</math>

Tento vzorec můžeme chápat jako rozšíření [[Lichoběžníková metoda|lichoběžníkového pravidla]] o opravné členy. Tento asymptotický rozvoj obvykle nekonverguje – existuje určité {{mvar|p}}, závisející na {{mvar|f}} a {{mvar|h}}, takové, že členy od řádu {{mvar|p}} rychle rostou. Na zbytkový člen je tedy třeba dávat velký pozor.<ref name="Devries" />

Eulerův–Maclaurinův vzorec se používá také pro podrobnou [[Analýza chyb (matematika)|analýzu chyb]] při [[Numerická integrace|numerické integraci]]. Vysvětluje vynikající výkonnost [[Lichoběžníková metoda|lichoběžníkové metody]] pro hladké [[Periodická funkce|periodické funkce]] a používá se v určitých [[Zrychlení konvergence řad|extrapolačních metodách]]. [[Clenshawova-Curtisova kvadratura]] je v zásadě substituce, která převádí libovolný integrál na integrály periodických funkcí, kde je Eulerův–Maclaurinův přístup velmi přesný (v tomto určitém případě má Eulerův–Maclaurinův vzorec tvar [[Diskrétní kosinová transformace|diskrétní kosinové transformace]]). Tato technika se někdy nazývá periodizační transformace.

=== Asymptotický rozvoj součtů ===
Při výpočtech [[Asymptotický rozvoj|asymptotických rozvojů]] součtů a [[Řada (matematika)|řad]] je obvykle nejužitečnější tento tvar Eulerova–Maclaurinova vzorce:
:<math>\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(b) + f(a)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(b) - f^{(2k - 1)}(a)\right),</math>

kde {{mvar|a}} a {{mvar|b}} jsou celá čísla.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení editora = Abramowitz
 | jméno editora = Milton
 | odkaz na editora = Milton Abramowitz
 | příjmení editora2 = Stegun
 | jméno editora2 = Irene A.
 | odkaz na editora2 = Irene Stegun
 | titul = [[Abramowitz a Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]
 | vydavatel = [[Dover Publications]]
 | místo = New York
 | isbn = 978-0-486-61272-0
 | rok = 1972
 | strany = 16, 806, 886
 | ref = harv
}}</ref> Rozvoj zůstává často platný dokonce i po limitním přechodu {{math|''a'' → −∞}}, {{math|''b'' → +∞}} nebo obou. V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyčíslit v [[Diferenciální Galoisova teorie|uzavřeném tvaru]] pomocí [[Elementární funkce|elementárních funkcí]], přestože součet na levé straně takto vyjádřit nelze. Pak lze pomocí elementárních funkcí vyjádřit všechny členy asymptotické řady. Například
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z + k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z + k)^2}\,dk}_{= \dfrac{1}{z}} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{t = 1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t + 1}}.</math>

Zde je levá strana rovna {{math|''ψ''<sup>(1)</sup>(''z'')}}, jmenovitě [[Polygamma funkce#Series reprezentace|polygamma funkci]] prvního řádu definované vztahem
:<math>\psi^{(1)}(z) = \frac{d^2}{dz^2}\log \Gamma(z);</math>
[[Gama funkce]] {{math|Γ(''z'')}} je rovna {{math|(''z'' − 1)!}}, je-li {{mvar|z}} je [[přirozené číslo]]. Dostáváme asymptotický rozvoj pro {{math|''ψ''<sup>(1)</sup>(''z'')}}. Naopak tento rozvoj slouží jako východisko pro jedno z odvození přesného odhadu chyby ve [[Stirlingův vzorec|Stirlingově vzorci]] pro funkci [[faktoriál]].

==== Příklady ====
Je-li {{mvar|s}} celé číslo větší než 1, dostáváme:
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \approx \frac 1{s-1}+\frac 12-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}+\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\left[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}\right].</math>

Pokud sloučíme konstanty do hodnoty [[Riemannova funkce zeta|Riemannovy funkce zeta]], můžeme asymptotický rozvoj zapsat ve tvaru:
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \sim\zeta(s)-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.</math>

Pro {{math|''s'' {{=}} 2}} se výraz zjednoduší na
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim\zeta(2)-\frac 1n+\frac 1{2n^2}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}},</math>
nebo
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n^2} -\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7} + \cdots.</math>

Pro {{math|''s'' {{=}} 1}} dává odpovídající technika asymptotický rozvoj [[Harmonické číslo|harmonických čísel]]:
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \gamma + \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}},</math>
kde {{math|''γ'' ≈ 0.5772...}} je [[Eulerova konstanta]].

== Důkazy ==

=== Odvození matematickou indukcí ===
Následující důkaz uvádí Apostol.<ref name=":0">{{Citace periodika
 | jméno = T. M.
 | příjmení = Apostol
 | odkaz na autora = Tom M. Apostol
 | titul = An Elementary View of Euler's Summation Formula
 | časopis = [[The American Mathematical Monthly]]
 | ročník = 106
 | datum =  1999-05-01 
 | číslo = 5
 | strany = 409–418
 | issn = 0002-9890
 | doi = 10.2307/2589145
 | vydavatel = Mathematical Association of America
 | jstor = 2589145
 | ref = harv
}}</ref>

[[Bernoulliho polynomy]] {{math|''B<sub>n</sub>''(''x'')}} a periodické Bernoulliho funkce {{math|''P<sub>n</sub>''(''x'')}} pro {{math|''n'' {{=}} 0, 1, 2, ...}} byly zavedeny výše.

Prvních několik Bernoulliho polynomů je
:<math>\begin{align}
  B_0(x) &= 1, \\
  B_1(x) &= x - \tfrac{1}{2}, \\
  B_2(x) &= x^2 - x + \tfrac{1}{6}, \\
  B_3(x) &= x^3 - \tfrac{3}{2}x^2 + \tfrac{1}{2}x, \\
  B_4(x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \tfrac{1}{30}, \\
         &\vdots
\end{align}</math>

Hodnoty {{math|''B<sub>n</sub>''(0)}} jsou [[Bernoulliho číslo|Bernoulliho čísla]] {{math|''B''<sub>''n''</sub>}}. Pro {{math|''n'' ≠ 1}} platí
:<math>B_n = B_n(0) = B_n(1),</math>
a pro {{math|''n'' {{=}} 1}},
:<math>B_1 = B_1(0) = -B_1(1).</math>

Funkce {{math|''P''<sub>''n''</sub>}} mají na intervalu <math>\langle 0, 1\rangle</math> stejnou hodnotu jako Bernoulliho polynomy a jsou [[Periodická funkce|periodické]] s periodou 1. Navíc jsou, kromě {{math|''n'' {{=}} 1}}, také spojité. Tedy,
:<math> P_n(0) = P_n(1) = B_n \quad \text{pro }n \neq 1.</math>

Pro celé číslo {{math|''k''}} uvažujme integrál
:<math> \int_k^{k + 1} f(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv,</math>
kde
:<math>\begin{align}
   u &= f(x), \\
  du &= f'(x)\,dx, \\
  dv &= P_0(x)\,dx & \text{protože }P_0(x) &= 1, \\
   v &= P_1(x).
\end{align}</math>

[[Integrace per partes|Integrací per partes]] dostaneme
:<math>\begin{align}
 \int_k^{k + 1} f(x)\,dx &= \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du \\
                         &= \bigl[f(x)P_1(x)\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx \\
                         &= B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k) - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>

Použitím <math>B_1(0) = -\frac{1}{2}</math>, <math>B_1(1) = \frac{1}{2}</math> a sečtením výše uvedených výrazů od {{math|''k'' {{=}} 0}} do {{math|''k'' {{=}} ''n'' − 1}}, dostaneme
:<math>\begin{align}
\int_0^n f(x)\, dx &= \int_0^1 f(x)\,dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)\,dx \\
&= \frac{f(0)}{2}+ f(1) + \dotsb + f(n-1) + \frac{f(n)}{2} - \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>

Přičtením <math>\frac{f(n) - f(0)}{2}</math> k oběma stranám a přeskupením členů dostaneme
:<math> \sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(0)}{2} + \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.</math>

Výsledkem je sumační vzorec pro {{math|''p'' {{=}} 1}}. Pro pokračování indukce aplikujeme integraci per partes na chybový člen:
:<math>\int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv,</math>
kde
:<math>\begin{align}
   u &= f'(x), \\
  du &= f''(x)\,dx, \\
  dv &= P_1(x)\,dx, \\
   v &= \tfrac{1}{2}P_2(x).
\end{align}</math>

Výsledek integrace per partes je
:<math>\begin{align}
  \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du &= \left[\frac{f'(x)P_2(x)}{2} \right]_k^{k+1} - \frac{1}{2}\int_k^{k+1} f''(x)P_2(x)\,dx \\
                  &= \frac{B_2}{2}(f'(k + 1) - f'(k)) - \frac{1}{2}\int_k^{k + 1} f''(x)P_2(x)\,dx.
\end{align}</math>

Sečtením od {{math|''k'' {{=}} 0}} do {{math|''k'' {{=}} ''n'' − 1}} a substitucí za chybový člen nižšího řádu vede ke vzorci pro {{math|''p'' {{=}} 2}}:
:<math>\sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(0)}{2} + \frac{B_2}{2}\bigl(f'(n) - f'(0)\bigr) - \frac{1}{2}\int_0^n f''(x)P_2(x)\,dx.</math>

Celý postup lze opakovat. Tímto způsobem dostaneme důkaz Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce, který lze formalizovat [[Matematická indukce|matematickou indukcí]], při níž indukční krok využívá integraci per partes a identit pro periodické Bernoulliho funkce.

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Euler–Maclaurin formula|1083219212}}<references />

=== Literatura ===
{{refbegin}}
* {{Citace periodika
 | jméno = H. W.
 | příjmení = Gould
 | jméno2 = William
 | příjmení2 = Squire
 | titul = Maclaurin's second formula and its generalization
 | rok = 1963
 | časopis = The American Mathematical Monthly
 | ročník = 70
 | číslo = 1
 | strany = 44–52
 | jstor = 2312783
 |  mr = 0146551
 | doi = 10.2307/2312783
 | ref = harv
}}
* {{Citace elektronické monografie
 | příjmení = Gourdon
 | jméno = Xavier
 | příjmení2 = Sebah
 | jméno2 = Pascal
 | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/bernoulli.html
 | titul = Introduction on Bernoulli's numbers
 | rok = 2002
 | ref = harv
}}
* {{Citace periodika
 | jméno = Erich
 | příjmení = Martensen
 | titul = On the generalized Euler-Maclaurin formula
 | časopis = Z. Angew. Math. Mech.
 | ročník = 85
 | číslo = 12
 | strany = 858–863
 | doi = 10.1002/zamm.200410217
 |  mr = 2184846
 | rok = 2005
 | bibcode = 2005ZaMM...85..858M
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Hugh L.
 | příjmení = Montgomery
 | odkaz na autora = Hugh Montgomery (mathematician)
 | jméno2 = Robert C.
 | příjmení2 = Vaughan
 | odkaz na autora2 = Robert Charles Vaughan (mathematician)
 | titul = Multiplicative number theory I. Classical theory
 | url = https://archive.org/details/multiplicativenu0000mont
 | edice = Cambridge tracts in advanced mathematics
 | ročník = 97
 | rok = 2007
 | isbn = 978-0-521-84903-6
 | strany = [https://archive.org/details/multiplicativenu0000mont/page/495 495]–519
 | ref = harv
}}
{{refend}}

=== Související články ===
* [[Cesàrova sumace]]
* [[Eulerova sumace]]
* [[Gaussův–Kronrodův vzorec pro numerickou integraci]]
* [[Darbouxův vzorec]]
* [[Eulerova–Booleova sumace]]

=== Externí odkazy ===
* {{MathWorld|titul=Euler–Maclaurin Integration Formulas|urlname=Euler-MaclaurinIntegrationFormulas}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie aproximace]]
[[Kategorie:Asymptotické chování]]
[[Kategorie:Hilbertův prostor]]
[[Kategorie:Numerická integrace]]
[[Kategorie:Sumační metody]]
[[Kategorie:Leonhard Euler|vzorec, Eulerův–Maclaurinův]]