Zobrazení zdroje stránky Empirická distribuční funkce

{{CSS ořez obrazu|Image= ECDF-100.png|bSize = 2500|cWidth = 250|cHeight = 250|oTop = 2250|oLeft =2250|Location= right|Description = Zelená křivka, která se asymptoticky blíží v <math>-\infty</math> 0 a v <math>+\infty</math> 1, je skutečná distribuční funkce [[Normální rozdělení|normálního rozdělení]]. Šedé křížky reprezentují pozorování v určitém [[Výběrový soubor|výběrovém souboru]] z tohoto rozdělení, a konstantní části modré schodovité funkce (kam v každé konstantní části patří levý krajní bod, a pravý krajní bod ne) tvoří empirickou distribuční funkci tohoto vzorku. ({{Purge|Klikněte zde pro načtení nového grafu.}})}}

'''Empirická distribuční funkce''' (obvykle označovaná eCDF podle [[Angličtina|anglického]] {{Cizojazyčně|en|''empirical Cumulative Distribution Function''}}) je ve [[Statistika|statistice]] distribuční funkce vytvořená na základě [[Empirická míra|empirické míry]] určené hodnotami určitého znaku z [[Výběrový soubor|výběrového souboru]].<ref>{{Citace monografie
 | url = https://www.worldcat.org/oclc/262680588
 | titul = A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how
 | datum = 2005
 | vydavatel = Springer
 | others = Michel Dekking
 | isbn = 978-1-85233-896-1
 | místo = London
 | strany = 219
 | oclc = 262680588
 | ref = harv
}}</ref> Tato [[distribuční funkce]] je [[schodovitá funkce]] tvořená skoky velikosti {{Math|1/''n''}} v každém z {{Math|''n''}} datových bodů. Její hodnota v každém bodě je zlomek, jehož čitatelem je počet pozorování, v nichž je měřená proměnná menší nebo rovna zadané hodnotě, a jmenovatelem je rozsah souboru, ''N''.

Empirická distribuční funkce je odhadem distribuční funkce, která generuje datové body. Podle [[Glivenkova–Cantelliho věta|Glivenkovy–Cantelliho věty]] konverguje k tomuto podkladovému rozdělení s pravděpodobností 1. Rychlost konvergence empirické distribuční funkce k podkladové distribuční funkci popisují různé matematické věty.

== Definice ==
Nechť {{Math|(''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>)}} jsou [[nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny]] reálné náhodné proměnné se stejnou [[Distribuční funkce|distribuční funkcí]] {{Math|''F''(''t'')}}. '''Empirická distribuční funkce''' je pak definována vzorcem{{Sfn|van der Vaart|1998|s=265}}<ref>{{Citace elektronického periodika |titul=PlanetMath |url=http://planetmath.org/empiricaldistributionfunction |datum přístupu=2022-04-07 |url archivu=https://web.archive.org/web/20210213183745/https://planetmath.org/empiricaldistributionfunction |datum archivace=2021-02-13 }}</ref>
:<math>\widehat F_n(t) = \frac{n_t}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \chi_{X_i \le t},</math>
kde <math>n_t</math> je počet prvků, které mají hodnotu zvoleného znaku menší nebo rovnou <math>t</math>, <math style="vertical-align:-.3em">\chi_{A}</math> je [[charakteristická funkce]] [[Náhodný jev|události]] {{Math|''A''}}. Pro pevné {{Math|''t''}} je indikátor <math style="vertical-align:-.3em">\chi_{X_i \le t}</math> náhodná proměnná s [[Alternativní rozdělení|Bernoulliho rozdělením]] s parametrem {{Math|''p'' {{=}} ''F''(''t'')}}; tedy <math style="vertical-align:-.3em">n \widehat F_n(t)</math> je [[Binomické rozdělení|binomická náhodná proměnná]] se [[Střední hodnota|střední hodnotou]] {{Math|''nF''(''t'')}} a [[Rozptyl (statistika)|rozptylem]] {{Math|''nF''(''t'')(1 − ''F''(''t''))}}. Z toho plyne, že <math style="vertical-align:-.3em">\widehat F_n(t)</math> je [[Vychýlenost odhadu|nevychýlený]] odhad funkce {{Math|''F''(''t'')}}.

Někteří autoři používají v čitateli zlomku hodnotu <math>n + 1</math>:{{Sfn|Coles|2001|p=36|loc=Definition 2.4}}{{Sfn|Madsen|2006|p=148-149}}
:<math>\widehat F_n(t) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \chi_{X_i \le t}</math>

== Střední hodnota ==
[[Střední hodnota]] empirického rozdělení je [[nestranný odhad]] střední hodnoty rozdělení populace

<math>E_n(X) = \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right ) </math>

která se častěji označuje <math>\bar{x}.</math>

== Rozptyl ==
[[Rozptyl (statistika)|Rozptyl]] empirického rozdělení znásobený <math>\tfrac{n}{n-1}</math> je nestranný odhad rozptylu rozdělení populace

<math>\begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}[X])^2\right] \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[(X - \bar{x})^2\right] \\[4pt]
&= \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}\right )
\end{align}</math>

== Střední kvadratická chyba ==
[[Střední kvadratická chyba]] empirického rozdělení je

<math>

\begin{align}
\operatorname{MSE}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(Y_i-\hat{Y_i})^2\\[4pt]
&=\operatorname{Var}_{\hat\theta}(\hat{\theta})+ \operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta)^2
\end{align}</math>

kde <math>\hat{\theta}</math> je odhad a <math>\theta</math> neznámý parametr

== Kvantily ==
Pokud <math>nq</math> není celé číslo, pak <math>q</math>-tý kvantil je jednoznačný a jen roven <math>x_{(\lceil{nq}\rceil)}</math>

kde <math>\lceil{a}\rceil</math> je horní [[celá část]] čísla <math>a</math> (nejmenší celé číslo větší nebo rovné <math>a</math>).

Pokud <math>nq</math> je celé číslo, pak <math>q</math>-tý kvantil není jednoznačný a jeho hodnota může být jakékoli reálné číslo <math>x</math> vyhovující nerovnosti

<math>x_{({nq})}<x<x_{({nq+1})}</math>

== Empirický medián ==
Pokud <math>n</math> je liché, pak empirický medián je číslo

<math>\tilde{x} = x_{(\lceil{n/2}\rceil)};</math>

pokud <math>n</math> je sudé, pak empirický medián je číslo

<math>\tilde{x} =\frac{ x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}</math>

== Asymptotické vlastnosti ==
Protože poměr {{Math|(''n''&nbsp;+&nbsp;1)/''n''}} se pro {{Math|''n''}} jdoucí k nekonečnu blíží k 1, asymptotické vlastnosti z obou výše uvedených definic jsou stejné.

Podle [[Zákon velkých čísel|zákona velkých čísel]] odhad <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\widehat{F}_n(t)</math> konverguje k {{Math|''F''(''t'')}} pro {{Math|''n'' → ∞}} [[Konvergence skoro jistě|skoro jistě]] pro každou hodnotu {{Math|''t''}}:{{Sfn|van der Vaart|1998|s=265}}
: <math>
    \widehat F_n(t)\ \xrightarrow{\text{s.j.}}\ F(t);
  </math>
Odhad <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\widehat{F}_n(t)</math> je tedy [[konzistentní odhad|konzistentní]]. Tento výraz vyjadřuje bodovou konvergenci empirické distribuční funkce ke skutečné distribuční funkci. Silnější tvrzení poskytuje [[Glivenkova–Cantelliho věta]], která říká, že konvergence je stejnoměrná přes {{Math|''t''}}:{{Sfn|van der Vaart|s=266}}
: <math>
    \|\widehat F_n-F\|_\infty \equiv
    \sup_{t\in\mathbb{R}} \big|\widehat F_n(t)-F(t)\big|\ \xrightarrow{\text{s.j.}}\ 0.
  </math>
Suprémová norma v tomto výrazu se nazývá [[Kolmogorovův–Smirnovův test|Kolmogorovova–Smirnovova statistika]] pro testování, jak dobře empirické rozdělení <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\widehat{F}_n(t)</math> vyhovuje předpokládané skutečné distribuční funkci {{Math|''F''}}. Mohou být použity i jiné [[Norma (matematika)|normy]], například [[Lp prostor|L<sup>2</sup>-norma]], která dává [[Cramérovo–von Misesovo kritérium|Cramérovu–von Misesovu statistiku]].

Asymptotická rozdělení lze dále charakterizovat několika různými způsoby:

[[Centrální limitní věta]], říká, že ''bodově'' má <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\widehat{F}_n(t)</math> asymptoticky normální rozdělení se standardní <math style="vertical-align:-.3em">\sqrt{n}</math> rychlostí konvergence:{{Sfn|van der Vaart|1998|s=265}}
: <math>
    \sqrt{n}\big(\widehat F_n(t) - F(t)\big)\ \ \xrightarrow{d}\ \ \mathcal{N}\Big( 0, F(t)\big(1-F(t)\big) \Big).
  </math>
Tento výsledek rozšiřuje [[Donskerova věta]], která říká, že pokud ''[[empirický proces]]'' <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\sqrt{n}(\widehat{F}_n - F)</math> považujeme za třídu funkcí indexovaných reálným číslem <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle t\in\mathbb{R}</math>, [[konvergence v rozdělení|konverguje v rozdělení]] ve [[Skorochodův prostor|Skorochodově prostoru]] <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle D\langle -\infty, +\infty\rangle </math> ke [[Gaussovský proces|gaussovskému procesu]] se střední hodnotou nula <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle G_F = B \circ F</math>, kde {{Math|''B''}} je standardní [[Brownův můstek]].{{Sfn|van der Vaart|s=266}} Kovarianční struktura tohoto gaussovského procesu je
: <math>
    \operatorname{E}\langle \,G_F(t_1)G_F(t_2)\,\rangle = F(t_1\wedge t_2) - F(t_1)F(t_2).
 </math>
Rovnoměrnou konvergenci v Donskerově větě lze kvantifikovat výsledkem známým jako [[maďarské vnoření]]:{{Sfn|van der Vaart|1998|s=268}}
: <math>
    \limsup_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\ln^2 n} \big\| \sqrt{n}(\widehat F_n-F) - G_{F,n}\big\|_\infty < \infty, \quad \text{s.j.}
  </math>

Rychlost konvergence výrazu <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\sqrt{n}(\widehat{F}_n-F)</math> lze také kvantifikovat asymptotickým chováním suprémové normy tohoto výrazu. V této oblasti existují další výsledky, například [[Dvoretzkého–Kieferova–Wolfowitzova nerovnost]] poskytuje meze tail probabilities of <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\sqrt{n}\|\widehat{F}_n-F\|_\infty</math>:{{Sfn|van der Vaart|1998|s=268}}
: <math>
    \Pr\!\Big( \sqrt{n}\|\widehat{F}_n-F\|_\infty > z \Big) \leq 2e^{-2z^2}.
  </math>
Kolmogorov ukázal, že pokud je distribuční funkce {{Math|''F''}} spojitá, pak výraz <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\sqrt{n}\|\widehat{F}_n-F\|_\infty</math> konverguje v rozdělení k <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\|B\|_\infty</math>, který má [[Kolmogorovův–Smirnovův test|Kolmogorovovo–Smirnovovo rozdělení]], které nezávisí na tvaru funkce {{Math|''F''}}.

Ze [[Zákon opakovaného logaritmu|zákona opakovaného logaritmu]] plyne další výsledek{{Sfn|van der Vaart|1998|s=268}}
: <math>
    \limsup_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\|\widehat{F}_n-F\|_\infty}{\sqrt{2\ln\ln n}} \leq \frac12, \quad \text{s.j.}
  </math>
a
: <math>
    \liminf_{n\to\infty} \sqrt{2n\ln\ln n} \|\widehat{F}_n-F\|_\infty = \frac{\pi}{2}, \quad \text{s.j.}
  </math>

== Intervaly spolehlivosti ==
[[Soubor:Empirical CDF, CDF and Confidence Interval plots for various sample sizes of Normal Distribution.png|náhled|Empirická distribuční funkce, distribuční funkce a intervaly spolehlivosti grafická znázornění pro různé velikosti vzorku normálního rozdělení]]
Podle [[Dvoretzkého–Kieferova–Wolfowitzova nerovnost|Dvoretzkého–Kieferovy–Wolfowitzovy nerovnosti]] lze interval, který obsahuje skutečnou distribuční funkci <math>F(x)</math> s pravděpodobností <math>1-\alpha</math>, zapsat
[[Soubor:Cauchy emp .png|náhled|Grafické znázornění empirické distribuční funkce, distribuční funkce a intervalu spolehlivosti pro různé velikosti vzorku Cauchyho rozdělení]]
:<math> F_n(x) - \varepsilon \le F(x) \le F_n(x) + \varepsilon \; \text{ kde } \varepsilon = \sqrt{\frac{\ln{\frac{2}{\alpha}}}{2n}}.</math>

Podle výše uvedených mezí můžeme graficky znázornit empirickou distribuční funkci, distribuční funkci a intervaly spolehlivosti pro různé distribuce pomocí libovolné statistické implementace. Následuje syntax z [https://www.statsmodels.org/dev/_modules/statsmodels/distribuce/empirical_distribution.html Statsmodel]{{Nedostupný zdroj}} pro grafické znázornění empirického rozdělení.
[[Soubor:Triangle emp.png|náhled|Grafické znázornění empirické distribuční funkce, distribuční funkce a intervalu spolehlivosti pro vzorky různé velikosti trojúhelníkového rozdělení]]

== Statistické implementace ==
K softwarovým implementacím empirické distribuční funkce patří:

* V [https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.1/topics/ecdf programovacím jazyce R] lze počítat empirické distribuční funkce, k dispozici je několik metod pro grafické znázornění a tisk a výpočty empirických distribučních funkcí.
* V [https://www.mathworks.com/help/stats/cdfplot.html Mathworks] lze použít vykreslení grafu empirické distribuční funkce (cdf)
* [https://www.jmp.com/support/help/14-2/cdf-plot.shtml jmp ze SAS] obsahuje CDF plot, který vytváří graf empirické distribuční funkce
* [https://blog.minitab.com/blog/data-analysis-and-quality-improvement-and-stuff/the-empirical-cdf-part-2-software-vs-etch-a-sketch Minitab], vytváří empirické distribuční funkce
* [http://www.mathwave.com/articles/distribution-fitting-graphs.html Mathwave] {{Wayback|url=http://www.mathwave.com/articles/distribution-fitting-graphs.html |date=20200729044413 }} umožňuje napasovat rozdělení pravděpodobnosti na data
* [https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman1/auxillar/ecdfplot.htm Dataplot], umožňuje vykreslit graf empirické distribuční funkce
* [https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/stats.html Scipy] {{Wayback|url=https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/stats.html |date=20211024113611 }}, pomocí scipy.stats umožňuje vykreslit graf rozdělení
* [https://www.statsmodels.org/dev/_modules/statsmodels/distributions/empirical_distribution.html Statsmodels], umožňuje použití statsmodels.distributions.empirical_distribution.ECDF
* [https://matplotlib.org/3.1.1/gallery/statistics/histogram_cumulative.html Matplotlib], umožňuje použití histogramů pro vytvoření grafu kumulativního rozdělení
* [https://seaborn.pydata.org/generated/seaborn.ecdfplot.html Seaborn] obsahuje funkci seaborn.ecdfplot
* [https://plotly.com/python/ecdf-plots/ Plotly], lze použít funkci plotly.express.ecdf
* [https://www.statisticshowto.com/empirical-distribution-function/ Excel] umožňuje vykreslit graf empirické distribuční funkce

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Empirical distribution function|1074703374}}<references />

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | příjmení = Coles
 | jméno = S.
 | titul = An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values
 | rok = 2001
 | vydavatel = Springer
 | isbn = 978-1-4471-3675-0
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | rok = 2006
 | příjmení = Madsen
 | jméno = H. O.
 | příjmení2 = Krenk
 | jméno2 = S.
 | příjmení3 = Lind
 | jméno3 = S. C.
 | titul = Methods of Structural Safety
 | url = https://archive.org/details/methodsofstructu0000mads
 | vydavatel = Dover Publications
 | isbn = 0486445976
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Shorack
 | jméno = G.R.
 | příjmení2 = Wellner
 | jméno2 = J.A.
 | titul = Empirical Processes with Applications to Statistics
 | url = https://archive.org/details/empiricalprocess0000shor
 | rok = 1986
 | vydavatel = Wiley
 | místo = New York
 | isbn = 0-471-86725-X
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = van der Vaart
 | jméno = A.W.
 | titul = Asymptotic statistics
 | url = https://archive.org/details/asymptoticstatis00vaar_017
 | url-access = limited
 | rok = 1998
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | isbn = 0-521-78450-6
 | ref = harv
}}

=== Související články ===
* [[Càdlàg]] funkce
* [[Count data]]
* [[Fitting rozdělení]]
* [[Dvoretzkého–Kieferova–Wolfowitzova nerovnost]]
* [[Empirická pravděpodobnost]]
* [[Empirické zpracování]]
* [[Kvantil]] – odhad kvantilů ze vzorku
* [[Četnost]]
* [[Kaplanův–Meierův odhad]] pro [[Cenzorování (statistika)|cenzorované procesy]]
* [[Funkce přežití]]
* [[Q-Q graf]]
* [[Znak (statistika)]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}

{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Testování statistických hypotéz]]