Zobrazení zdroje stránky Einsteinovy rovnice gravitačního pole

{{Obecná teorie relativity}}
'''Einsteinovy rovnice gravitačního pole''' (ERGP, také známy jako '''Einsteinovy rovnice''') zahrnují soubor 10 [[Rovnice|rovnic]] v [[Obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]] [[Albert Einstein|Alberta Einsteina]], které popisují [[Základní interakce|základní interakci]] [[gravitace]] jako výsledek zakřivení [[časoprostor]]u [[Hmotnost|hmotou]]-[[Energie|energií]].<ref name="ein">{{Cite journal |last=Einstein |first=Albert |authorlink= |title=The Foundation of the General Theory of Relativity |journal=[[Annalen der Physik]] |volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |publisher= |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |id= |accessdate= |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06 }} {{Citace elektronického periodika |titul=Archivovaná kopie |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |datum přístupu=2018-12-14 |url archivu=https://web.archive.org/web/20060829045130/http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html }}</ref> Poprvé je Einstein publikoval v roce 1915 jako [[tenzor|tenzorové rovnice]],<ref name="Ein1915">{{Cite journal |last=Einstein |first=Albert |authorlink=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=Die Feldgleichungen der Gravitation |journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |accessdate=2017-08-21}}</ref> ERGP týkající se místa ''časoprostorového'' ''[[křivost|zakřivení]]'' (vyjádřeno Einsteinovým tenzorem) s lokální energií a [[hybnost]]í v rámci tohoto časoprostoru (vyjádřeno tenzorem energie a hybnosti).{{Sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=916 [ch. 34]}}

Podobně jako způsob, kterým jsou [[Elektromagnetické pole|elektromagnetická pole]] určována náboji a [[Elektrický proud|proudy]] pomocí [[Maxwellovy rovnice|Maxwellových rovnic]], jsou ERGP používány k určení geometrie časoprostoru vyplývající z přítomnosti hmotnosti-energie a lineární hybnosti, tj. určují metrický tenzor prostoročasu pro dané uspořádání energie a hybnosti v časoprostoru. Vztah mezi metrickým tenzorem a Einsteinovým tenzorem umožňuje, aby ERGP byly zapsány jako soubor nelineárních [[Parciální diferenciální rovnice|parciálních diferenciálních rovnic]], když jsou používány tímto způsobem. Řešení ERGP jsou součásti metrického tenzoru. [[Setrvačnost]] trajektorií částic a záření (geodetika) ve výsledné geometrie se pak vypočte pomocí geodetické rovnice.

Stejně jako při zachování místní energie- hybnosti ERGP zachovává [[Newtonův gravitační zákon]], pokud je gravitační pole slabé a rychlosti jsou mnohem menší než [[rychlost světla]].<ref name="Carroll">{{Cite book |last=Carroll |first=Sean |authorlink=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref>

Přesná řešení pro ERGP lze nalézt pouze za zjednodušujících předpokladů, jako je symetrie. Nejčastěji se studují speciální třídy přesných řešení, protože modelují mnoho gravitačních jevů, jako jsou rotující černé díry a [[rozpínání vesmíru|rozpínající se vesmír]]. Další zjednodušení je dosaženo aproximací skutečného časoprostoru jako [[Minkowského prostor|plochého časoprostoru]] s malou odchylkou, která vede k linearizovaným ERGP. Tyto rovnice se používají ke studiu jevů, jako jsou gravitační vlny.

== Matematická forma ==
Rovnice vychází z toho, že [[fyzikální pole|fyzikálnímu poli]] lze přiřadit [[symetrický tenzor|symetrický]] [[tenzor energie a hybnosti]] <math>T^{\iota\kappa}</math>. Dále se v teorii relativity předpokládá, že [[gravitační pole]] v daném [[bod]]ě <math>x^\lambda</math> je možné popsat deseti [[funkce (matematika)|funkcemi]] <math>g^{\iota\kappa}(x^\lambda)</math>, <math>\iota,\kappa=0,1,2,3</math> (viz [[metrický tenzor]]).

Einsteinovy rovnice je možné zapsat ve tvaru
:<math>G^{\iota\kappa}(g_{\mu\nu,\pi \rho}, g_{\mu\nu,\pi}, g_{\mu\nu})=\varkappa T^{\iota\kappa}(g_{\mu\nu,\rho}, g_{\mu\nu},\phi) </math>,
kde <math>T^{\iota\kappa}</math> je [[tenzor energie a hybnosti]], <math>G^{\iota\kappa}</math> je [[Einsteinův tenzor]] a symbol <math>\phi</math> je označením pro všechna ostatní fyzikální pole čistě negeometrické povahy (včetně jejich derivací), jako je např. hmotný prach, tekutina nebo elektromagnetické pole. <math>\varkappa</math> je '''Einsteinova gravitační konstanta'''
:<math>\varkappa = \frac{8\pi G}{c^4}</math>.
V tomto vzorci je <math>G</math> [[Newtonova gravitační konstanta]] a <math>c</math> je [[rychlost světla]].

O Einsteinovu tenzoru <math>G^{\iota\kappa}</math> lze předpokládat, že závisí pouze na [[metrický tenzor|metrickém tenzoru]] a jeho [[parciální derivace|parciálních derivacích]] podle <math>x^\lambda</math> nejvýše do druhého řádu. Obvykle se také požaduje, aby <math>G^{\iota\kappa}</math> záviselo na druhých derivacích metrického tenzoru [[lineární závislost|lineárně]], což lze zapsat jako
:<math>\frac{\partial^2G^{\iota\kappa}}{\partial g_{\rho\sigma,\tau\mu}\partial g_{\alpha\beta,\gamma\delta}} = 0</math>.

[[Zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti|hybnosti]] omezuje pravou stranu Einsteinových rovnic podmínkou <math>T^{\iota\kappa}_{;\kappa}=0</math>. [[Divergence]] levé strany Einsteinových rovnic tedy musí být [[identita|identicky]] [[nula|nulová]], tzn. <math>G^{\iota\kappa}_{;\iota}=0</math>.

Lze ukázat, že pokud má <math>G^{\iota\kappa}</math> záviset pouze na metrickém tenzoru a jeho derivacích, pak je tvar <math>G^{\iota\kappa}</math> určen až na [[konstanta|konstanty]] <math>a_1, a_2, a_3</math> jako
:<math>G^{\iota\kappa} = a_1R^{\iota\kappa} + a_2Rg^{\iota\kappa} + a_3g^{\iota\kappa}</math>
kde <math>R^{\iota\kappa}</math> je [[Ricciho tenzor]] a <math>R</math> je [[skalární křivost]].

Srovnáním tohoto vztahu se [[úžení tenzoru|zúženými]] formami [[Riemannův tenzor|Riemannova tenzoru]] lze dojit k závěru, že můžeme položit <math>a_1=-1</math> a <math>a_2=\frac{1}{2}</math>. Konstanta <math>a_3</math> zůstává neurčena. Zavedeme-li novou konstantu <math>\Lambda=-a_3</math>, můžeme rovnici popisující gravitační zákon vyjádřit jako
:<math>R^{\iota\kappa} - \frac{1}{2}Rg^{\iota\kappa} - \Lambda g^{\iota\kappa} = \varkappa T^{\iota\kappa}</math>

Konstanta <math>\Lambda</math> se označuje jako '''[[kosmologická konstanta]]'''. Konstanta <math>\Lambda</math> hraje úlohu pouze v [[kosmologie|kosmologických]] měřítkách. Pokud řešíme problémy, které nejsou kosmologického charakteru, klademe <math>\Lambda=0</math>, tzn.
:<math>R^{\iota\kappa} - \frac{1}{2}Rg^{\iota\kappa} =\varkappa T^{\iota\kappa}</math>
[[Úžení tenzoru|Zúžením]] této dostaneme skalární rovnici
:<math>R=\varkappa T</math>
S pomocí této rovnice lze předchozí rovnici upravit na
:<math>R^{\iota\kappa} = \varkappa(T^{\iota\kappa}-\frac{1}{2}Tg^{\iota\kappa})</math>

V prázdném prostoru, tedy v dokonalém [[vakuum|vakuu]], platí
:<math>T^{\iota\kappa}=0</math>
V takovém případě platí
<math>R=0</math>
Odtud plyne, že v prázdném prostoru se rovnice gravitačního pole redukují na tvar
:<math>R^{\iota\kappa} = 0</math>

Einsteinovy rovnice gravitačního pole, představují systém deseti nelineárních [[parciální diferenciální rovnice|parciálních diferenciálních rovnic]]. Tyto rovnice tvoří základ obecné teorie relativity.

Vzhledem k tomu, že tyto rovnice jsou nelineární, neplatí v obecné teorii relativity [[princip superpozice]].

== Odkazy ==
=== Reference ===
{{Překlad|en|Einstein field equations|872217155}}
<references />

=== Literatura ===
Viz zdroje [[Obecná teorie relativity#Další literatura|obecné teorie relativity]].
* {{Cite book|author1-link=Charles Misner|first1=Charles W.|last1=Misner|first2=Kip S.|last2=Thorne|author3-link=John Archibald Wheeler|first3=John Archibald|last3=Wheeler|title=Gravitationlocation=San Francisco|publisher=W. H. Freeman|year=1973|isbn=978-0-7167-0344-0|ref=harv}}
* {{Cite book|last=Weinberg|first=Steven|year=1972|title=Gravitation and Cosmology|isbn=0-471-92567-5|publisher=John Wiley & Sons|authorlink=Steven Weinberg|ref=harv|url-access=registration|url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0}}
* {{Cite book|last=Peacock|first=John A.|year=1994|title=Cosmological Physics|isbn=978-0521410724|publisher=Cambridge University Press|ref=harv}}

=== Související články ===
* [[Princip ekvivalence]]
* [[Newtonův gravitační zákon]]

=== Externí odkazy ===
* [https://web.archive.org/web/20110621005940/http://www.black-holes.org/relativity6.html Výuka o relativitě na Caltechu] – jednoduchý úvod k Einsteinovým rovnicím gravitačního pole {{en}}
* [http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.html Význam Einsteinovy rovnice] – Vysvětlení Einsteinovy rovnice pole, její odvození a některé její důsledky {{en}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84&amp;p=858478F1EC364A2C&amp;index=2 Video přednáška o Einsteinových rovnicích gravitačního pole (Edmund Bertschinger, profesor fyziky na MIT)] {{en}}
* [http://scitation.aip.org/content/aip/magazine/physicstoday/article/68/11/10.1063/PT.3.2979 Oblouk a lešení: Jak Einstein našel své rovnice pole] ''Physics Today'' November 2015, Historie objevu rovnice gravitačního pole {{en}}
* [http://ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html Einsteinovy rovnice gravitačního pole na stěně muzea Boerhaave v centru Leidenu] {{en}} {{Wayback|url=http://ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html |date=20170118033047 }}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Fyzika}}

[[Kategorie:Albert Einstein]]
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Obecná teorie relativity]]
[[Kategorie:Parciální diferenciální rovnice]]