Zobrazení zdroje stránky E = mc²

{{různé významy|tento=fyzikálním principu|druhý=hudebním albu Mariah Carey|stránka=E=MC² (album, Mariah Carey)|redirect=E=MC²}}

[[Soubor:E equals m plus c square at Taipei101.jpg|náhled|E&nbsp;=&nbsp;mc² na taipeiském mrakodrapu [[Taipei 101]] při příležitosti [[Světový rok fyziky 2005|Světového roku fyziky 2005]]]]
Rovnice <math qid=Q35875>E = mc^2</math> popsaná [[Albert Einstein|Albertem Einsteinem]] ve [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]] patří mezi nejslavnější [[rovnice]] všech dob. Rovnice popisuje vztah mezi [[energie|energií]] a [[hmotnost]]í: '''Energie = hmotnost&nbsp;·&nbsp;(rychlost světla ve vakuu)²'''

Podle této rovnice je celkové množství energie, které lze z tělesa získat při nepůsobení vnějších sil (tedy [[kinetická energie|kinetické]] i [[klidová energie|klidové energie]]), rovno [[hmotnost]]i tělesa vynásobené druhou mocninou [[rychlost světla|rychlosti světla]]. V praxi však lze klidovou energii (nesprávně „hmotu“) na energii převádět obvykle jen s výrazně nižší účinností, proto množství získané energie nikdy nedosahuje této úrovně. Při běžných způsobech získávání energie (např. v [[jaderná elektrárna|jaderných elektrárnách]]) se totiž na energii nepřemění veškerý úbytek klidové energie, část (obvykle většina) ho zůstává jako „odpad“ přeměněný na dále nevyužité druhy energie. Příkladem teoreticky úplné přeměny je reakce hmoty s [[antihmota|antihmotou]].

Rovnice však také naopak říká, že každému druhu energie lokalizované v tělese nebo v poli přísluší i odpovídající [[hmotnost]] projevující se setrvačnými a gravitačními vlastnostmi. Vzhledem k velikosti dvojmoci rychlosti světla jsou však v běžných makroskopických poměrech změny hmotnosti dané dodáním či odebráním energie velmi malé.

V původní podobě Einstein tuto rovnici napsal ve tvaru ''m''&nbsp;=&nbsp;''L''&nbsp;/&nbsp;''c''² (pro energii použil označení ''L'' namísto ''E'').

Množství energie v jednom [[kilogram]]u (libovolné) hmoty je tedy
* 89&nbsp;875&nbsp;517&nbsp;873&nbsp;681&nbsp;764&nbsp;[[joule|J]] (≈ 90&nbsp;[[peta|P]]J) neboli
* 24&nbsp;965&nbsp;421&nbsp;632 [[kilowatthodina|kWh]] (≈ 25&nbsp;[[tera|T]]Wh),
* což odpovídá energii uvolněné při výbuchu více než 21&nbsp;[[megatuna|megatun]] [[Trinitrotoluen|TNT]].

== Odvození pomocí integrálního počtu ==
K odvození této rovnice stačí základy [[Integrální počet|integrálního počtu]].

Vyjdeme ze vztahu pro [[kinetická energie|kinetickou energii]] ''E<sub>k</sub>'':

:<math>E_k =W=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v_2\ne 0)} \mathbf{F}\, \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\, \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{\boldsymbol{0}}^{\mathbf{p}} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{p}=</math>
:<math>=\int_{\boldsymbol{0}}^{\mathbf{p}} \mathbf{v}\,\mathrm{d}(m.\mathbf{v})</math>.

Uvažujeme-li působení [[síla|síly]] rovnoběžně s [[Trajektorie|dráhou]] [[těleso|tělesa]], lze vynechat [[vektor]]y:

:<math>=\int_{0}^{p} v(v\,\mathrm{d}m+m\,\mathrm{d}v)=\int_{0}^{p}(v^2 \,\mathrm{d}m+mv\,\mathrm{d}v)</math>,

druhý člen lze upravit podle vztahu pro relativistickou [[hmotnost]]:

:<math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>,
:<math>m^2=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}</math>,
:<math>m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2</math>.

Uděláme [[Diferenciál (matematika)|diferenciál]] této rovnice,

:<math>2m\,\mathrm{d}m(c^2-v^2)+m^2 (-2v\,\mathrm{d}v)=0</math>,
:<math>\mathrm{d}m(c^2-v^2)=mv\,\mathrm{d}v</math>

a dosadíme do původní rovnice:

:<math>E_k =\int_{m_0}^{m}(v^2 \mathrm{d}m+\mathrm{d}m(c^2-v^2))=\int_{m_0}^{m}(v^2 \mathrm{d}m+c^2 \mathrm{d}m-v^2 \mathrm{d}m)=</math>
:<math>=\int_{m_0}^{m}c^2 \mathrm{d}m=c^2 \int_{m_0}^{m}1 \,\mathrm{d}m=c^2 [m]_{m_0}^{m}=c^2(m-m_0)</math>
:<math>E_k =mc^2-m_0 c^2\,\!</math>.

Na levé straně je kinetická energie, <math>m_0 c^2</math> je klidová energie (chemická, jaderná, potenciální).

:<math>E=E_k +E_0=mc^2\,\!</math>

je tedy celková [[energie]] tělesa.

== Související články ==
* [[Hmotnostní schodek]]
* [[Klidová hmotnost]]
* [[Teorie relativity]]
* [[Relativistická hmotnost]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Hmota]]
[[Kategorie:Hmotnost]]
[[Kategorie:Energie]]
[[Kategorie:Světlo]]
[[Kategorie:Albert Einstein]]