Zobrazení zdroje stránky Dvojková soustava

{{Různé významy|redirect=binární|stránka=Binární (rozcestník)}}
{{Číselné soustavy}}
'''Dvojková soustava''' ('''binární soustava''', '''dyadická soustava'''<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Polák
| jméno = Josef
| titul = Přehled středoškolské matematiky
| vydání = 10
| vydavatel = PROMETHEUS
| místo = Praha
| rok vydání = 2022
| isbn = 978-80-7196-458-2
}}</ref>) je [[číselná soustava]], která používá pouze dvě [[číslice]]: [[Nula|0]] a 1. Dvojková soustava je [[poziční číselná soustava]] se základem [[2 (číslo)|2]], každá číslice tedy odpovídá ''n''-té [[Umocňování|mocnině]] čísla dvě, kde ''n'' je pozice dané číslice v zapsaném čísle. Takto zapsané číslo se nazývá '''binární číslo'''.

Dvojková soustava se používá ve všech moderních [[Digitální data|digitálních]] [[počítač]]ích, neboť její dvě číslice (0 a 1) odpovídají dvěma jednoduše rozdělitelným stavům [[elektrický obvod|elektrického obvodu]] (vypnuto a zapnuto), popřípadě nepravdivosti či pravdivosti [[Výrok (logika)|výroku]].

== Výpočet hodnoty binárního čísla ==

=== Na příkladu ===
Například číslo zapsané v dvojkové soustavě '''11010110''' si můžeme přepsat do tabulky s mocninami čísla dvě odpovídajícími pozicím jednotlivých číslic:
{| class="wikitable"
!binární číslo||1||1||0||1||0||1||1||0
|-align=center 
|pozice číslice ||7||6||5||4||3||2||1||0
|-align=center 
|mocniny čísla dvě||2<sup>7</sup>||2<sup>6</sup> ||2<sup>5</sup>||2<sup>4</sup>||2<sup>3</sup>||2<sup>2</sup>||2<sup>1</sup>||2<sup>0</sup>
|-align=right 
!hodnoty mocnin||128||64||32||16||8||4||2||1
|-align=right 
|krát binární číslice||× 1||× 1||× 0||× 1||× 0||× 1||× 1||× 0
|-align=right 
!výsledky součinu||'''128'''||'''64'''||0||'''16'''||0||'''4'''||'''2'''||0
|}
Pro výpočet hodnoty čísla zapsaného v pozičních soustavách se násobí každá číslice odpovídající mocninou základu. Pro převod z dvojkové soustavy je výpočet jednodušší, násobí se jen jedničkou nebo nulou, tedy buď se mocnina započítá (např. '''1''' × 2² = 2²) nebo nezapočítá ('''0''' × 2³ = 0).

Stačí tedy pouze započítat ty mocniny, které odpovídají číslici 1, v příkladu: 128+64+16+4+2=214. Binární číslo 11010110 má tedy hodnotu odpovídající desítkovému číslu [[214 (číslo)|214]].

Převod desítkového čísla na binární získáme opakovaným dělením desítkového čísla dvojkou a zapisováním zbytků dělení (0 nebo 1) zprava doleva:

{| class="wikitable" 
|+ 
!pořadí dělení || 7.|| 6. || 5. || 4. || 3. || 2. || 1. || číslo
|-align=right 
|výsledky dělení||1||3||6||13||26||53||107||'''214'''
|-align=right 
|rozklad na součin 2||2 × 0 '''+ 1'''||2 × 1 '''+ 1'''||2 × 3||2 × 6 '''+ 1'''||2 × 13||2 × 26 '''+ 1'''||2 × 53 '''+ 1'''||2 × 107
|-
!zbytky dělení ||1||1||0||1||0||1||1||0
|}
Vezmeme číslo 214, vydělíme jej dvěma, zapíšeme zbytek po dělení (0) a výsledek (107). Vezmeme výsledek (107), znovu vydělíme dvěma, zapíšeme zbytek (1) a výsledek (53). Takto pokračujeme, dokud nebude výsledek dělení 1, kterou zapíšeme jako zbytek (7. dělení výše) – to je [[Nejvýznamnější bit|nejvyšší platná číslice]] daného binárního čísla.

=== Matematický výpočet ===
Výpočet hodnoty binárního čísla, které se skládá z <math>k+1</math> číslic <math>x_0 x_1 \ldots x_k</math>, každé o hodnotě buď 0, nebo 1, lze provést [[polynom]]em:

<math>x=\sum_{i=0}^k {x_i}\cdot2^{k-i}</math>

Tedy výše uvedený příklad dvojkového čísla 11010110 můžeme vypočítat následovně:
:<math>\ x_0 = 1; x_1 = 1; x_2 = 0; x_3 = 1; x_4 = 0; x_5 = 1; x_6 = 1; x_7 = 0 </math>
:<math>(11010110)_2 = \sum_{i=0}^7 {x_i}\cdot2^{7-i} = x_0\cdot 2^7 +\ x_1\cdot 2^6 +\ x_2\cdot 2^5 +\ x_3\cdot 2^4 +\ x_4\cdot 2^3 +\ x_5\cdot 2^2 +\ x_6\cdot 2^1 +\ x_7\cdot 2^0 = </math>
:<math>= 1\cdot 2^7 +\ 1\cdot 2^6 +\ 0\cdot 2^5 +\ 1\cdot 2^4 +\ 0\cdot 2^3 +\ 1\cdot 2^2 +\ 1\cdot 2^1 +\ 0\cdot 2^0 = 128\ +\ 64\ +\ 16\ +\ 4\ +\ 2\ = (214)_{10}</math>

Pro převod mezi soustavami se používají tyto metody:
* [[Substituční metoda (číselné soustavy)|Substituční metoda]] – součet členů polynomu, způsob použitý výše
* [[Metoda dělení základem]] – binární číslo tvoří zapsané [[Zbytek po dělení|zbytky]] opakovaného dělením desítkového čísla dvojkou
* [[Metoda násobení základem]] – pro převod zlomků (desetinných čísel) se místo dělení použije násobení

== Kódování záporných čísel ==
Pro ukládání, přenos a zpracování záporných binárních čísel v [[počítač]]i existuje mnoho možností, nejčastěji se používá kódování pomocí [[Dvojkový doplněk|dvojkového doplňku]].

=== Přímý kód ===
První možný způsob je vyčlenění prvního bitu jako [[znaménkový bit|znaménkového bitu]]. Pokud například binární číslo 00000001 vyjadřuje jedničku, pak 10000001 označuje −1.

Tento způsob ale komplikuje [[Algoritmus|algoritmy]] pro praktické počítání – pro sčítání a odčítání jsou potřeba odlišné algoritmy a nejprve je vždy třeba testovat znaménkový bit a podle výsledku provést sčítání nebo odčítání. Další nevýhodou je, že existují dvě reprezentace čísla nula – kladná nula a záporná nula. Proto byl později pro záznam záporných čísel zaveden doplňkový kód.

=== Doplňkový kód ===
{{viz též|Dvojkový doplněk}}
Při kódování v doplňkovém kódu je záporné číslo zaznamenáno jako [[Bitový operátor#NOT - Bitová negace|binární negace]] (záměna všech 0 za 1 a 1 za 0) původního čísla zvětšená o 1. Podle úvodního bitu lze v tomto kódu opět rozpoznat kladná a záporná čísla. Využívá se faktu, že při odečtení čísla 00000001 od čísla 00000000 dojde k [[přetečení]], a výsledkem je číslo 11111111. Čísla ve dvojkovém doplňku můžeme chápat také tak, že nejvyšší bit má místo váhy 2<sup>k</sup> váhu −2<sup>k</sup>.

V tomto kódu existuje jen jediná reprezentace čísla nula, pro sčítání a odečítání lze použít stejnou sčítačku (operace probíhají stejně, liší se pouze význam kódu). Také je zachována komutativita, tzn. že výsledek součtu libovolného počtu čísel v doplňkovém kódu je stejný bez ohledu na jejich pořadí, i když dochází k přetečení.

Příklad: pokud 00001101 je binární vyjádření čísla 13, pak −13 se vypočte jako NOT(00001101) + 1 = 11110010 + 1 = 11110011.

Pokud se sečte takto vyjádřené záporné číslo s jiným záporným nebo větším kladným číslem, dojde k přetečení rozsahu. Kód je ale zvolen tak, že po odříznutí přetečeného bitu dostáváme správný výsledek.

Příklad: <math>20_{10} - 13_{10} = 20_{10} + (-13)_{10} = 00010100_{2} + 11110011_{2} = 1 00000111_{2} =  7_{10}</math> (po odříznutí přeteklého devátého bitu).

Poznámka: všechny příklady jsou pro jednoduchost provedeny na číslech o rozsahu 8 [[bit]]ů (1 [[Bajt|byte]]).

=== Inverzní kód ===
{{Podrobně|Jedničkový doplněk}}
Vedle dvou výše uvedených metod existuje ještě jakýsi mezikrok – kladná čísla se vyjadřují normálním způsobem, záporná čísla se vyjadřují binární negací čísla (a podle nejvyššího bitu lze opět poznat znaménko). Tento způsob se označuje jako inverzní kód či [[jedničkový doplněk]]. Například jestliže číslo 6 v osmibitovém vyjádření je 00000110, číslo −6 se vyjádří kódem 11111001.

Tento kód má stále dvě reprezentace čísla nula.

=== Kód s posunutou nulou ===
{{Podrobně|Aditivní kódování}}
Poslední používanou možností je k číslu připočítat nějakou známou konstantu, což se nazývá ''kódování s posunutou nulou'' nebo ''aditivní kódování''. Například pro osmibitová čísla, která mohou reprezentovat 256 různých čísel, lze použít posun −127: pak budeme 00000000 považovat za −127, nulu vyjádříme jako 01111111 a symbol 11111111 je 128.

Nevýhodou tohoto zápisu je, že kladná čísla se liší od bezznaménkové reprezentace čísel. Operace sčítání nepotřebuje úpravy, ale pro operaci násobení je nutné od operandů odečíst známou konstantu.

Tento kód se běžně používá pro exponent v reprezentaci desetinných čísel pomocí [[pohyblivá řádová čárka|pohyblivé řádové čárky]].

== Srovnání číselných soustav ==
{{Srovnání číselných soustav|2}}

== Odkazy ==

=== Reference ===
<references />

=== Související články ===
* [[BCD]]
* [[Binární kód]]
* [[Binární soubor]]
* [[Brownův kód]]
* [[Číselná soustava]]
* [[Grayův kód]]
* [[kód 1 z n]]
* [[Osmičková soustava]]
* [[Šestnáctková soustava]]

=== Externí odkazy ===
* {{commonscat}}
* {{Wikiverzita|kurs=Číselné soustavy/Dvojková soustava}}
{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Dvojková soustava| ]]
[[Kategorie:Počítačová terminologie]]
[[Kategorie:Poziční číselné soustavy]]