Zobrazení zdroje stránky Diffieho–Hellmanův protokol s využitím eliptických křivek

[[Soubor:ECDH.gif|right|thumb|Animovaný princip ECDH]]
'''Diffieho-Hellmanův protokol s využitím eliptických křivek''' (ECDH) je varianta [[Diffieho-Hellmanova výměna klíčů|Diffieho-Hellmanova protokolu]], který využívá [[eliptická křivka|eliptických křivek]]. Jde o šifrovací protokol, který umožňuje dvěma stranám, které se v životě nesetkaly ani spolu nekomunikovaly, sdílet „tajné“ informace na nechráněném komunikačním kanálu (to jest na sdělovacím kanálu, přes který se posílají informace, například [[telefon]]). Tyto informace mohou být přímo použity jako [[Šifrovací klíč|klíč]], nebo ještě lépe, na vytvoření jiného [[Šifrovací klíč|klíče]], který může být použit k zašifrování další komunikace s použitím [[Symetrická kryptografie|symetrické šifry]].

== Vytváření klíče ==
Předpokládejme, že první účastník - Alice - chce vytvořit sdílený klíč s druhým účastníkem - Bobem, ale na jediném místě, kde spolu mohou komunikovat, se nachází špehové. Předně se musí dohodnout na parametrech (p, a, b, G, n, h), kde p je [[prvočíslo]], kterým definujeme [[těleso]], konstanty a, b z rovnice [[Eliptická křivka|eliptické křivky]], bod G na [[eliptická křivka|eliptické křivce]], jeho [[Grupa#.C5.98.C3.A1d prvku a grupy|řád]] n a kofaktor h, který udává podíl počtu prvků [[grupa|grupy]] bodů na [[eliptická křivka|eliptické křivce]] a [[Grupa#.C5.98.C3.A1d prvku a grupy|řádu]] bodu G.

Nyní si každá strana musí zvolit své klíče, které se skládají ze soukromého klíče d (náhodně vybrané celé kladné číslo z intervalu [1,n-1]) a veřejného klíče Q, kde <math>Q=dG</math>. Alice tedy bude mít dvojici <math>d_{A}, Q_{A}</math> Bob bude mít <math>d_{B}, Q_{B}</math>. Aby tento protokol fungoval, strany si musí vyměnit veřejné klíče (Alice pošle Bobovi <math>Q_{A}</math>, Bob pošle Alici <math>Q_{B}</math>).

Nyní může Alice nalézt bod Z, <math>Z=d_{A}Q_{B}</math>, Bob může nalézt bod Z', <math>Z'=d_{B}Q_{A}</math>. Tyto body Z, Z' jsou totožné, neboť <math>Z=d_{A}Q_{B}=d_{A}(d_{B}G)=d_{A}d_{B}G=d_{B}(d_{A}G)=d_{B}Q_{A}=Z'</math>.

== Příklad ==
* Alice a Bob zvolí prvočíslo <math>p=23</math>, bod G[13;16], koeficienty <math>a=1, b=1</math>.
** <math>4a^3+27b^2 \ne 0 \mod 23</math>, jde tedy o [[eliptická křivka|eliptickou křivku]].
* Alice zvolí <math>d_{A}=2</math>, spočítá <math>Q_{A}=2G</math>:
** <math>s \equiv \frac {3x^2+a}{2y} \mod p \equiv \frac {3 \cdot 13^2 + 1}{2 \cdot 16} \mod 23 \equiv 13 \mod 23</math>
** <math>x_{A} \equiv s^2 - 2x \mod p \equiv 13^2 - 2 \cdot 13 \mod 23 \equiv 5 \mod 23</math>
** <math>y_{A} \equiv s(x-x_{A})-y \mod p \equiv 13(13-5) - 16 \mod 23 \equiv 19 \mod 23</math>
** Alice získává souřadnice bodu '''<math>Q_{A}[5;19]</math>''', tento bod posílá Bobovi.
* Bob zvolí <math>d_{B}=4</math>, spočítá <math>Q_{B}=2 \cdot 2G=2R</math>:
** Bob analogicky [[Eliptická křivka#Algebraicky|zdvojnásobí]] bod G, získá pomocný bod R, který opět [[Eliptická křivka#Algebraicky|zdvojnásobí]].
** Bob získává souřadnice bodu '''<math>Q_{B}[17;3]</math>''', tento bod posílá Alici.
* Alice nyní může nalézt bod Z:
** <math>Z \equiv d_{A}Q_{B} \mod 23 \equiv 2 \cdot [17;3] \mod 23 = [13;16]</math>
* Bob může nalézt bod Z':
** <math>Z' \equiv d_{B}Q_{A} \mod 23 \equiv 4 \cdot [5;19] \mod 23 = [13;16]</math>
* '''Z=Z''''

''Pozn.: Byly zvoleny nevhodné koeficienty, stejně jako ostatní čísla, příklad je pouze ilustrační.''

== Bezpečnost ==
Tento protokol je bezpečný, neboť se nezveřejnilo nic kromě [[Veřejný klíč|veřejných klíčů]], které nejsou tajné, a ani jedna strana nedokáže zjistit soukromý [[Šifrovací klíč|klíč]] té druhé, pokud by nevyřešila [[Diskrétní logaritmus|problém diskrétního logaritmu]] u [[eliptická křivka|eliptických křivek]].

[[Veřejný klíč|Veřejné klíče]] jsou buď neměnné (a shledané důvěryhodnými třeba pomocí [[Digitální certifikát|certifikátů]]), nebo dočasné. Dočasné klíče nejsou nutně ověřené, takže pokud je ověření vyžadováno, je třeba jej zajistit jinými způsoby.

Diffieho-Hellmanova výměna klíčů je ale napadnutelná (může obsahovat [[zadní vrátka]]).<ref>https://jiggerwit.wordpress.com/2013/09/25/the-nsa-back-door-to-nist/ - The NSA back door to NIST</ref>

== Reference ==
<references />

[[Kategorie:Kryptografie nad eliptickými křivkami]]