Zobrazení zdroje stránky De Rhamův diferenciál

{{upravit|sladit s ostatními články podobného typu}}

'''DeRhamův diferenciál''' je pojem z matematiky, přesněji z pomezí [[diferenciální geometrie]], [[globální analýza na varietách|globální analýzy na varietách]] a [[algebraická topologie|algebraické topologie]]. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

== Definice ==
Nechť <math>M</math> je diferencovatelná [[varieta (matematika)|varieta]] dimenze <math>n</math> a <math>\Omega^{\bullet}(M)</math> je [[vektorový prostor]] vnějších [[diferenciální forma|diferenciálních forem]] na <math>M</math>. Pak deRhamův diferenciál <math>d = (d_k)_{k=0}^n</math>  je systém  zobrazení <math>d_k: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)</math> definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť <math>\alpha  \in \Omega(M)</math> a <math>(\phi = (x^1,\ldots, x^n), U)</math> jsou nějaké souřadnice z atlasu <math>M</math>. Pak pro každý multiindex <math>I</math> existují hladké funkce <math>\alpha_I</math>, že <math>\alpha = \sum_{|I|=k} \alpha_I dx^I</math> na ''U'', kde  
<math>dx^I = dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge dx^{i_k}</math> a <math> I = (i_1, \ldots, i_k)</math> a <math> i_1, \ldots i_k \in \{1, \ldots, n\}.</math>
DeRhamův diferenciál  <math>d \alpha</math>  formy <math>\alpha</math>   je dán předpisem 
<math>d \alpha =  \sum_{|I|=k} d\alpha_I \wedge dx^I, </math>  kde <math>d\alpha_I</math>  je deRhamův diferenciál  funkce (0-formy) <math> \alpha_I </math>. Tento je definován přepisem <math> df = \sum_{i=0}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i</math>.

== Vlastnosti ==

<math>d^2 = 0</math> nebo obšírněji <math>d_{k+1} d_k = 0</math> (diferenciál).

<math> d(\alpha + r \beta) = d\alpha + r d \beta, r \in \mathbb{R} </math> (linearita nad <math>\mathbb{R}</math>) 

<math>d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{\mbox{deg } \alpha} \alpha \wedge d\beta </math> ([[Leibnizovo pravidlo]])

== Poznámka ==

Diferenciální formu <math>\alpha</math>nazveme uzavřenou, pokud <math>d\alpha=0</math>.
Diferenciální formu <math>\alpha</math>nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma <math>\beta</math>, že <math>d\beta = \alpha</math>.

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhamova komplexu)
<math> 0 \to \Omega^1(M) \to^d \ldots \to^{d} \Omega^{n-1}(M) \to^d \Omega^n(M) \to 0</math> se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy.
Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

== Literatura ==
[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish. 

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.

[[Kategorie:Diferenciální geometrie]]
[[Kategorie:Algebraická topologie]]